高中數(shù)學北師大版1第二章空間向量與立體幾何從平面向量到空間向量 第2章

§1從平面向量到空間向量1．了解空間向量的有關(guān)概念．(重點)2．理解直線的方向向量和平面的法向量．(難點)3．會求簡單空間向量的夾角．(易混點)[基礎(chǔ)·初探]教材整理1空間向量的概念閱讀教材P25“向量概念”的部分，完成下列問題．定義在空間中，既有大小又有方向的量，叫作空間向量表示方法①用有向線段eq\o(AB,\s\up12(→))表示，A叫作向量的起點，B叫作向量的終點自由向量數(shù)學中所討論的向量與向量的起點無關(guān)，稱之為自由向量長度或模與平面向量一樣，空間向量eq\o(AB,\s\up12(→))或a的大小也叫作向量的長度或模，用|eq\o(AB,\s\up12(→))|或|a|表示夾角定義如圖，兩非零向量a，b，過空間中任意一點O，作向量a，b的相等向量eq\o(OA,\s\up12(→))和eq\o(OB,\s\up12(→))，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉范圍規(guī)定0≤〈a，b〉≤π向量垂直當〈a，b〉＝eq\f(π,2)時，向量a與b垂直，記作a⊥b向量平行當〈a，b〉＝0或π時，向量a與b平行，記作a∥b判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)0向量是長度為0，沒有方向的向量．()(2)向量a與向量b的大小相等則a＝b.()(3)若向量a與向量b方向相反，則a與b是平行向量．()【解析】(1)0向量的方向是任意的．(2)a＝b需滿足兩個條件，一是大小相等，二是方向相同．(3)相反向量也是平行向量．【答案】(1)×(2)×(3)√教材整理2向量與直線閱讀教材P26“向量與直線”的部分，完成下列問題．設(shè)l是空間一直線，A，B是直線l上任意兩點，則稱eq\o(AB,\s\up12(→))為直線的方向向量，與eq\o(AB,\s\up12(→))平行的任意非零向量a也是直線的方向向量．正方體ABCD-A1B1C1D1中，以頂點為端點的向量中，可以作為直線AC的方向向量的有哪些？【解】∵A1C1∥AC，∴直線AC的方向向量有eq\o(AC,\s\up12(→))、eq\o(CA,\s\up12(→))、eq\o(A1C1,\s\up12(→))、eq\o(C1A1,\s\up12(→))教材整理3向量與平面閱讀教材P26“向量與平面”的部分，完成下列問題．如果直線l垂直于平面α，那么把直線l的方向向量a叫作平面α的法向量．平面的法向量與平面中任意一個向量的夾角是________．【解析】平面的法向量垂直于平面中任意向量，故夾角為90°.【答案】90°[質(zhì)疑·手記]預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑問2：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑問3：________________________________________________________解惑：________________________________________________[小組合作型]空間向量的有關(guān)概念(1)在如圖2-1-1所示的平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，與向量eq\o(AA1,\s\up12(→))相等的向量有________個(不含eq\o(AA1,\s\up12(→)))．圖2-1-1【自主解答】與向量eq\o(AA1,\s\up12(→))相等的向量為：eq\o(BB1,\s\up12(→))，eq\o(CC1,\s\up12(→))，eq\o(DD1,\s\up12(→))共有3個．【答案】3(2)下列說法中，正確的是()A．兩個有共同起點且相等的向量，其終點可能不同B．若非零向量eq\o(AB,\s\up12(→))和eq\o(CD,\s\up12(→))是共線向量，則A，B，C，D四點共線C．若a∥b，b∥c，則a∥cD．零向量與任意向量平行【自主解答】A項錯，因為兩個向量起點相同，且是相等的向量，所以終點必相同．B項錯，若eq\o(AB,\s\up12(→))和eq\o(CD,\s\up12(→))共線，則eq\o(AB,\s\up12(→))和eq\o(CD,\s\up12(→))的基線平行或重合，所以A，B，C，D不一定在同一條直線上．C項錯，若b＝0，a∥0，0∥c，則a與c不一定平行，D項正確．【答案】D(3)在長方體ABCD-A1B1C1D1中，以頂點為起止點的向量中，與向量eq\o(AB,\s\up12(→))平行的向量為________，與eq\o(AB,\s\up12(→))相反的向量為________．【自主解答】∵AB∥A1B1∥DC∥D1C1，∴與eq\o(AB,\s\up12(→))平行的向量為eq\o(A1B1,\s\up12(→))，eq\o(B1A1,\s\up12(→))，eq\o(DC,\s\up12(→))，eq\o(CD,\s\up12(→))，eq\o(D1C1,\s\up12(→))，eq\o(C1D1,\s\up12(→))，eq\o(BA,\s\up12(→))其中與eq\o(AB,\s\up12(→))相反的向量為：eq\o(BA,\s\up12(→))，eq\o(CD,\s\up12(→))，eq\o(C1D1,\s\up12(→))，eq\o(B1A1,\s\up12(→))【答案】eq\o(A1B1,\s\up12(→))，eq\o(B1A1,\s\up12(→))，eq\o(DC,\s\up12(→))，eq\o(CD,\s\up12(→))，eq\o(D1C1,\s\up12(→))，eq\o(C1D1,\s\up12(→))，eq\o(BA,\s\up12(→))eq\o(BA,\s\up12(→))，eq\o(CD,\s\up12(→))，eq\o(C1D1,\s\up12(→))，eq\o(B1A1,\s\up12(→))1．在空間中，向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相對應的概念完全一樣．2．注意區(qū)別向量、向量的模、線段、線段的長度等概念．直線的方向向量與平面的法向量如圖2-1-2，正方體ABCD-A1B1C1D1(1)以頂點為向量端點的所有向量中，直線AB的方向向量有哪些？(2)在所有棱所在的向量中，寫出平面ABCD的所有法向量．【導學號：32550020】圖2-1-2【精彩點撥】根據(jù)方向向量與法向量的定義直接寫出即可．【自主解答】(1)直線AB的方向向量有：eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(BA,\s\up12(→))，eq\o(A1B1,\s\up12(→))，eq\o(B1A1,\s\up12(→))，eq\o(C1D1,\s\up12(→))，eq\o(D1C1,\s\up12(→))，eq\o(CD,\s\up12(→))，eq\o(DC,\s\up12(→)).(2)平面ABCD的法向量，就是與平面ABCD垂直的棱所在的向量，即eq\o(AA1,\s\up12(→))，eq\o(A1A,\s\up12(→))，eq\o(BB1,\s\up12(→))，eq\o(B1B,\s\up12(→))，eq\o(CC1,\s\up12(→))，eq\o(C1C,\s\up12(→))，eq\o(DD1,\s\up12(→))，eq\o(D1D,\s\up12(→)).1．直線的方向向量就是與直線平行的非零向量對模沒有限制，注意起點和終點都在直線上的向量也是符合題意的．2．找平面的法向量要注意幾何體中的垂直關(guān)系，特別是成面面垂直關(guān)系．[再練一題]1．根據(jù)本例的條件，寫出平面BCC1B1的所有法向量．【解】平面BCC1B1的法向量為eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(BA,\s\up12(→))，eq\o(DC,\s\up12(→))，eq\o(CD,\s\up12(→))，eq\o(A1B1,\s\up12(→))，eq\o(B1A1,\s\up12(→))，eq\o(D1C1,\s\up12(→))，eq\o(C1D1,\s\up12(→)).[探究共研型]空間向量的特征探究1空間向量與平面向量有什么關(guān)系？【提示】空間向量是平面向量概念的拓展，也只有大小和方向兩個要素，用有向線段表示向量時，它的起點可以是空間內(nèi)的任意一點，只要保證它的大小和方向不改變．它是可以自由平移的，與起點無關(guān)．數(shù)量可以比較大小，但向量不可以比較大小，向量的模是個非負實數(shù)，可以比較大?。骄?直線的方向向量與平面的法向量只有一個嗎？【提示】直線的方向向量與平面的法向量是不唯一的，直線的方向向量都平行于該直線，平面的法向量都垂直于該平面．探究3如何求兩個空間向量的夾角？向量角與平面角有什么區(qū)別？【提示】與求平面內(nèi)兩向量夾角類似，求空間兩向量夾角時，采取平移的方法，把空間兩向量的夾角轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)某兩條相交直線的角，進而用解三角形的知識求解．必須注意兩向量夾角應保證兩向量移至共同起點處，比如若〈eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(AC,\s\up12(→))〉＝eq\f(π,4)，而〈eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(CA,\s\up12(→))〉＝eq\f(3π,4).在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，BC(1)〈eq\o(EF,\s\up12(→))，eq\o(A1C1,\s\up12(→))〉，〈eq\o(A1C1,\s\up12(→))，eq\o(FE,\s\up12(→))〉；(2)〈eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(BC,\s\up12(→))〉，〈eq\o(A1B1,\s\up12(→))，eq\o(AD1,\s\up12(→))〉．【精彩點撥】依據(jù)圖形特點，找到向量對應直線的位置關(guān)系即可求解：【自主解答】(1)如圖，連接AC.∵EF分別是AB，BC的中點，∴EF∥AC.∴eq\o(EF,\s\up12(→))∥eq\o(A1C1,\s\up12(→))，且方向相同，∴〈eq\o(EF,\s\up12(→))，eq\o(A1C1,\s\up12(→))〉＝0°；eq\o(A1C1,\s\up12(→))∥eq\o(FE,\s\up12(→))，且方向相反，∴〈eq\o(A1C1,\s\up12(→))，eq\o(FE,\s\up12(→))〉＝180°.(2)∵在正方形ABCD中，AB⊥BC，∴〈eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(BC,\s\up12(→))〉＝90°；∵A1B1⊥平面A1ADD1，又AD1?平面A1ADD1，∴A1B1⊥AD1，∴〈eq\o(A1B1,\s\up12(→))，eq\o(AD1,\s\up12(→))〉＝90°.1．求空間向量夾角的關(guān)鍵是平移向量，使它們的起點相同．在平移的過程中，要充分利用已知圖形的特點，尋找線線平行，找出所求的角，這一過程可簡單總結(jié)為：(1)通過平移找角，(2)在三角形中求角．2．在利用平面角求向量角時，要注意兩種角的取值范圍，線線角的范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，而向量夾角的范圍是[0，π]，比如〈a，b〉與〈－a，b〉兩個角互補，而它們對應的線線角卻是相等的．[再練一題]2．在正四面體ABCD中，(1)向量eq\o(AB,\s\up12(→))與eq\o(BA,\s\up12(→))的夾角為________；(2)向量eq\o(AB,\s\up12(→))與eq\o(CD,\s\up12(→))的夾角為________．【解析】(1)∵eq\o(AB,\s\up12(→))與eq\o(BA,\s\up12(→))方向相反．∴eq\o(AB,\s\up12(→))與eq\o(BA,\s\up12(→))的夾角為180°(2)∵AB⊥CD，∴eq\o(AB,\s\up12(→))與eq\o(CD,\s\up12(→))的夾角為90°【答案】(1)180°(2)90°[構(gòu)建·體系]1．下列有關(guān)空間向量的說法中，正確的是()A．如果兩個向量的模相等，那么這兩個向量相等B．如果兩個向量方向相同，那么這兩個向量相等C．如果兩個向量平行且它們的模相等，那么這兩個向量相等D．同向且等長的有向線段表示同一向量【解析】相等向量要求模相等且方向相同，故A和B錯誤；平行向量可以方向相同也可以方向相反，故C錯誤．D顯然正確．【答案】D2．已知向量a0，b0是分別與a，b同方向的單位向量，那么下列式子正確的是()A．a(chǎn)0＝b0 B．a(chǎn)0＝1C．a(chǎn)0，b0共線 D．|a0|＝|b0|【解析】單位向量的模為1，故|a0|＝|b0|＝1【答案】D3．下列說法中不正確的是()A．平面α的一個法向量垂直于與平面α共面的所有向量B．一個平面的所有法向量互相平行C．如果兩個平面的法向量垂直，那么這兩個平面也垂直D．如果a，b與平面α共面且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一個法向量【解析】A，B，C正確，而D中，若a∥b，雖然n⊥a，n⊥b，但n不一定是平面的法向量．【答案】D4．若直線l的方向向量為a，平面α的法向量為b，當l∥α時，一定有____(填a與b的位置關(guān)系)．【導學號：32550021】【解析】∵l∥α，b⊥α，∴a⊥b.【答案】a⊥b5．已知正方體ABCD-A1B1C1D1(1)〈eq\o(B1C,\s\up12(→))，eq\o(AA1,\s\up12(→))〉；(2)〈eq\o(CA,\s\up12(→))，eq\o(DA1,\s\up12(→))〉．【解】(1)如圖，因為eq\o(AA1,\s\up12(→))＝eq\o(BB1,\s\up12(→))，所以將eq\o(AA1,\s\up12(→))平移至eq\o(BB1,\s\up12(→))處，則〈eq\o(B1C,\s\up1