高中數(shù)學(xué)蘇教版第二章數(shù)列數(shù)列 2023版第2章數(shù)列

數(shù)列1．了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式)．(難點(diǎn))2．理解數(shù)列的通項(xiàng)公式及簡(jiǎn)單應(yīng)用．(重點(diǎn))3．?dāng)?shù)列與集合、函數(shù)等概念的區(qū)別與聯(lián)系．(易混點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]教材整理1數(shù)列的概念與分類閱讀教材P31，完成下列問題．1．?dāng)?shù)列的概念按照一定次序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)．項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列叫做有窮數(shù)列，項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列叫做無窮數(shù)列．2．?dāng)?shù)列的表示方法數(shù)列的一般形式可以寫成a1，a2，a3，…，an，…，簡(jiǎn)記為{an}，其中a1稱為數(shù)列{an}的第1項(xiàng)(或稱為首項(xiàng))，a2稱為第2項(xiàng)，…，an稱為第n項(xiàng)．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)數(shù)列1,2,3,5,7可表示為{1,2,3,5,7}．()(2)數(shù)列1,0，－1，－2與數(shù)列－2，－1,0,1是相同的數(shù)列．()(3)數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)))的第5項(xiàng)為eq\f(1,5).()(4)數(shù)列0,2,4,6，…是無窮數(shù)列．()【答案】(1)×(2)×(3)√(4)√教材整理2數(shù)列的通項(xiàng)公式閱讀教材P32～P33的有關(guān)內(nèi)容，完成下列問題．1．?dāng)?shù)列與函數(shù)的關(guān)系數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2，…，k})為定義域的函數(shù)an＝f(n)，當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時(shí)，所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值．2．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．?dāng)?shù)列可以用通項(xiàng)公式來描述，也可以通過列表或圖象來表示．1．?dāng)?shù)列1,3,5,7,9，…的一個(gè)通項(xiàng)公式可以是．【解析】1,3,5,7,9，…的一個(gè)通項(xiàng)公式可以是an＝2n－1，n∈N*.【答案】an＝2n－1，n∈N*2．若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n－2，則a5＝.【解析】∵an＝3n－2，∴a5＝3×5－2＝13.【答案】13[小組合作型]根據(jù)數(shù)列的前n項(xiàng)寫出通項(xiàng)公式寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式．(1)eq\f(1,2)，2，eq\f(9,2)，8，eq\f(25,2)，…；(2)9,99,999,9999，…；(3)eq\f(22－1,1)，eq\f(32－2,3)，eq\f(42－3,5)，eq\f(52－4,7)，…；(4)－eq\f(1,1×2)，eq\f(1,2×3)，－eq\f(1,3×4)，eq\f(1,4×5)，….【精彩點(diǎn)撥】eq\x(觀察)→eq\x(歸納an與n的關(guān)系)→eq\x(驗(yàn)證結(jié)論)→eq\x(得出答案)【自主解答】(1)數(shù)列的項(xiàng)，有的是分?jǐn)?shù)，有的是整數(shù)，可將各項(xiàng)都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)再觀察：eq\f(1,2)，eq\f(4,2)，eq\f(9,2)，eq\f(16,2)，eq\f(25,2)，…，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝eq\f(n2,2)(n∈N*)．(2)各項(xiàng)加1后，變?yōu)?0,100,1000,10000，….此數(shù)列的通項(xiàng)公式為10n，可得原數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝10n－1(n∈N*)．(3)數(shù)列中每一項(xiàng)由三部分組成，分母是從1開始的奇數(shù)列，可用2n－1表示；分子的前一部分是從2開始的自然數(shù)的平方，可用(n＋1)2表示，分子的后一部分是減去一個(gè)自然數(shù)，可用n表示，綜上，原數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(n＋12－n,2n－1)(n∈N*)．(4)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的絕對(duì)值都等于項(xiàng)數(shù)與項(xiàng)數(shù)加1的積的倒數(shù)，且奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式是an＝(－1)neq\f(1,nn＋1)(n∈N*)．用觀察法求數(shù)列的通項(xiàng)公式的一般規(guī)律1．一般數(shù)列通項(xiàng)公式的求法2．對(duì)于符號(hào)交替出現(xiàn)的情況，可先觀察其絕對(duì)值，再用(－1)k處理符號(hào)問題．3．對(duì)于周期出現(xiàn)的數(shù)列，可考慮拆成幾個(gè)簡(jiǎn)單數(shù)列和的形式，或者利用周期函數(shù)，如三角函數(shù)等．[再練一題]1．寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式．(1)3,5,9,17,33，…；(2)eq\f(1,2)，eq\f(3,4)，eq\f(7,8)，eq\f(15,16)，eq\f(31,32)，…；(3)eq\f(2,3)，－1，eq\f(10,7)，－eq\f(17,9)，eq\f(26,11)，－eq\f(37,13)，….【導(dǎo)學(xué)號(hào)：92862029】【解】(1)中3可看做21＋1,5可看做22＋1,9可看做23＋1,17可看做24＋1,33可看做25＋1，….所以an＝2n＋1.(2)每一項(xiàng)的分子比分母少1，而分母組成數(shù)列為21,22,23,24，…，所以an＝eq\f(2n－1,2n).(3)偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)而奇數(shù)項(xiàng)為正，故通項(xiàng)公式必含因式(－1)n＋1，觀察各項(xiàng)絕對(duì)值組成的數(shù)列，從第3項(xiàng)到第6項(xiàng)可見，分母分別由奇數(shù)7,9,11,13組成，而分子則是32＋1,42＋1,52＋1,62＋1，按照這樣的規(guī)律第1,2兩項(xiàng)可分別改寫為eq\f(12＋1,2＋1)，－eq\f(22＋1,2×2＋1)，所以an＝(－1)n＋1eq\f(n2＋1,2n＋1).通項(xiàng)公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝2n2－n.(1)寫出數(shù)列的前3項(xiàng)；(2)判斷45是否為{an}中的項(xiàng)？3是否為{an}中的項(xiàng)？【精彩點(diǎn)撥】(1)令n＝1,2,3求解即可；(2)令an＝45或an＝3解n便可．【自主解答】(1)在通項(xiàng)公式中依次取n＝1,2,3，可得{an}的前3項(xiàng)分別為：1,6,15.(2)令2n2－n＝45，得2n2－n－45＝0，解得n＝5或n＝－eq\f(9,2)(舍去)，故45是數(shù)列{an}中的第5項(xiàng)．令2n2－n＝3，得2n2－n－3＝0，解得n＝－1或n＝eq\f(3,2)，即方程沒有正整數(shù)解，故3不是數(shù)列中的項(xiàng)．1．如果已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，只要將相應(yīng)項(xiàng)數(shù)代入通項(xiàng)公式，就可以寫出數(shù)列中的指定項(xiàng)．2．判斷某數(shù)是否為數(shù)列中的一項(xiàng)，步驟如下：(1)將所給的數(shù)代入通項(xiàng)公式中；(2)解關(guān)于n的方程；(3)若n為正整數(shù)，說明所給的數(shù)是該數(shù)列的項(xiàng)；若n不是正整數(shù)，則不是該數(shù)列的項(xiàng)．[再練一題]2．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(n2－21n,2)(n∈N*)．(1)0和1是不是數(shù)列{an}中的項(xiàng)？如果是，那么是第幾項(xiàng)？(2)數(shù)列{an}中是否存在連續(xù)且相等的兩項(xiàng)？若存在，分別是第幾項(xiàng)？【解】(1)令an＝0，得n2－21n＝0，∴n＝21或n＝0(舍去)，∴0是數(shù)列{an}中的第21項(xiàng)．令an＝1，得eq\f(n2－21n,2)＝1，而該方程無正整數(shù)解，∴1不是數(shù)列{an}中的項(xiàng)．(2)假設(shè)存在連續(xù)且相等的兩項(xiàng)為an，an＋1，則有an＝an＋1，即eq\f(n2－21n,2)＝eq\f(n＋12－21n＋1,2)，解得n＝10，所以存在連續(xù)且相等的兩項(xiàng)，它們分別是第10項(xiàng)和第11項(xiàng)．[探究共研型]數(shù)列的性質(zhì)探究1數(shù)列是特殊的函數(shù)，能否利用函數(shù)求最值的方法求數(shù)列的最大(小)項(xiàng)？【提示】可以借助函數(shù)的性質(zhì)求數(shù)列的最大(小)項(xiàng)，但要注意函數(shù)與數(shù)列的差異，數(shù)列{an}中，n∈N*.探究2如何定義數(shù)列{an}的單調(diào)性？【提示】對(duì)于數(shù)列的單調(diào)性的判斷一般要通過比較an＋1與an的大小來判斷，若an＋1>an，則數(shù)列為遞增數(shù)列，若an＋1<an，則數(shù)列為遞減數(shù)列．設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2＋kn(n∈N*)．?dāng)?shù)列{an}是單調(diào)遞增的，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【精彩點(diǎn)撥】利用二次函數(shù)的單調(diào)性，求得k的取值范圍．【自主解答】∵an＝n2＋kn，其圖象的對(duì)稱軸為n＝－eq\f(k,2)，∴當(dāng)－eq\f(k,2)≤1，即k≥－2時(shí)，{an}是單調(diào)遞增數(shù)列．另外，當(dāng)1<－eq\f(k,2)<2且eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(k,2)))－1<2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(k,2)))，即－3<k<－2時(shí)，{an}也是單調(diào)遞增數(shù)列(如圖所示)．∴k的取值范圍是(－3，＋∞)．1．函數(shù)的單調(diào)性與數(shù)列的單調(diào)性既有聯(lián)系又有區(qū)別，即數(shù)列所對(duì)應(yīng)的函數(shù)若單調(diào)則數(shù)列一定單調(diào)，反之若數(shù)列單調(diào)，其所對(duì)應(yīng)的函數(shù)不一定單調(diào)．2．求數(shù)列的最大(小)項(xiàng)，還可以通過研究數(shù)列的單調(diào)性求解，一般地，若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an－1≤an，,an＋1≤an，))則an為最大項(xiàng)；若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an－1≥an，,an＋1≥an，))則an為最小項(xiàng)．[再練一題]3．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝－2n2＋9n＋3(n∈N*)，求它的最大項(xiàng).【導(dǎo)學(xué)號(hào)：92862030】【解】由題意知，－2n2＋9n＋3＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(9,4)))eq\s\up20(2)＋eq\f(105,8).由于函數(shù)f(x)＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(9,4)))eq\s\up20(2)＋eq\f(105,8)在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(9,4)))上是增函數(shù)，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)，＋∞))上是減函數(shù)，故當(dāng)n＝2時(shí)，f(n)＝－2n2＋9n＋3取得最大值13，所以數(shù)列{an}的最大項(xiàng)為a2＝13.1．已知下列數(shù)列：(1)2010,2012,2014,2016,2018；(2)0，eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，…，eq\f(n－1,n)，…；(3)1，eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，…，eq\f(1,2n－1)，…；(4)1，－eq\f(2,3)，eq\f(3,5)，…，eq\f(－1n－1·n,2n－1)，…；(5)1,0，－1，…，sineq\f(nπ,2)，…；(6)9,9,9,9,9,9.其中，有窮數(shù)列是，無窮數(shù)列是，遞增數(shù)列是，遞減數(shù)列是，常數(shù)列是，擺動(dòng)數(shù)列是．(將合理的序號(hào)填在橫線上)【解析】(1)是有窮遞增數(shù)列；(2)是無窮遞增數(shù)列eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(因?yàn)閈f(n－1,n)＝1－\f(1,n)))；(3)是無窮遞減數(shù)列；(4)是擺動(dòng)數(shù)列，也是無窮數(shù)列；(5)是擺動(dòng)數(shù)列，也是無窮數(shù)列；(6)是常數(shù)列，也是有窮數(shù)列．【答案】(1)(6)(2)(3)(4)(5)(1)(2)(3)(6)(4)(5)2．?dāng)?shù)列2,3,4,5，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為．【解析】這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)都比序號(hào)大1，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝n＋1.【答案】an＝n＋13．下列有關(guān)數(shù)列的表述：①數(shù)列的通項(xiàng)公式是唯一的；②數(shù)列0,1,0，－1與數(shù)列－1,0,1,0是相同的數(shù)列；③數(shù)列若用圖象表示，它是一群孤立的點(diǎn)；④數(shù)列中的數(shù)是按一定次序排列的．其中說法正確的是．【解析】如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，但一個(gè)數(shù)列可以沒有通項(xiàng)公式，也可以有幾個(gè)通項(xiàng)公式，如：數(shù)列1，－1,1，－1，1，－1，…的通項(xiàng)公式可以是an＝(－1)n＋1，也可以是an＝cos(n－1)π，故①錯(cuò)；由數(shù)列的概念知數(shù)列0,1,0，－1與數(shù)列－1,0,1,0是不同的數(shù)列，故②錯(cuò)；易知③④是正確的．【答案】③④4．用火柴棒按圖2-1-1的方法搭三角形：圖2-1-1按圖示的規(guī)律搭下去，則所用火柴棒數(shù)an與所搭三角形的個(gè)數(shù)n之間的關(guān)系式是.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：92862031】【解析】a1＝3，a2＝3＋2＝5，a3＝3＋2＋2＝7，a4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴an＝2n＋1.【答案】an＝2n＋15．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(4,n2＋3n)(n∈N*)，(1)寫出此數(shù)列的前3項(xiàng)；(2)試問eq\f(1,10)和eq\f(16,27)是不是它的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？【解】(1)a1＝eq\