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廣東省佛山市桂鳳初級中學(xué)2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.已知a=21.2,b=()﹣0.8,c=2log52,則a,b,c的大小關(guān)系為()A.c<b<a B.c<a<b C.b<a<c D.b<c<a參考答案:A【考點】不等式比較大?。緦n}】不等式的解法及應(yīng)用.【分析】由函數(shù)y=2x在R上是增函數(shù)可得a>b>20=1,再由c=2log52=log54<log55=1,從而得到a,b,c的大小關(guān)系【解答】解:由于函數(shù)y=2x在R上是增函數(shù),a=21.2,b=()﹣0.8=20.8,1.2>0.8>0,∴a>b>20=1.再由c=2log52=log54<log55=1,可得a>b>c,故選A.2.若,則(
)A、9
B、
C、
D、3參考答案:A3.直線l將圓x2+y2﹣2x+4y=0平分,且在兩坐標軸上的截距相等,則直線l的方程是() A.x﹣y+1=0,2x﹣y=0 B.x﹣y﹣1=0,x﹣2y=0 C.x+y+1=0,2x+y=0 D.x﹣y+1=0,x+2y=0 參考答案:C【考點】圓的一般方程. 【專題】計算題;方程思想;數(shù)形結(jié)合法;直線與圓. 【分析】求出圓的圓心坐標,利用直線在兩坐標軸上的截距相等,即可求解直線l的方程. 【解答】解:圓x2+y2﹣2x+4y=0化為:圓(x﹣1)2+(y+2)2=5,圓的圓心坐標(1,﹣2),半徑為,直線l將圓 x2+y2﹣2x+4y=0平分,且在兩坐標軸上的截距相等,則直線l經(jīng)過圓心與坐標原點.或者直線經(jīng)過圓心,直線的斜率為﹣1, ∴直線l的方程是:y+2=﹣(x﹣1),2x+y=0,即x+y+1=0,2x+y=0. 故選:C. 【點評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系,直線的截距式方程的求法,考查計算能力,是基礎(chǔ)題. 4.若不論取何實數(shù),直線恒過一定點,則該定點的坐標為(
)A.
B.
C.
D.
參考答案:A略5.已知函數(shù),其中為實數(shù),若對恒成立,且,則的單調(diào)遞增區(qū)間是(
)A. B. C. D.
參考答案:C6.方程實根的個數(shù)為(
)A.1個
B.2個
C.3個
D.4個參考答案:C7.設(shè)有四個命題,其中真命題的個數(shù)是()①有兩個平面互相平行,其余各面都是四邊形的多面體一定是棱柱;②有一個面是多邊形,其余各面都是三角形的多面體一定是棱錐;③用一個面去截棱錐,底面與截面之間的部分叫棱臺;④側(cè)面都是長方形的棱柱叫長方體.A.0個 B.1個 C.2個 D.3個參考答案:A【考點】2K:命題的真假判斷與應(yīng)用;L2:棱柱的結(jié)構(gòu)特征;L3:棱錐的結(jié)構(gòu)特征;L4:棱臺的結(jié)構(gòu)特征.【分析】利用棱柱,棱錐,樓臺的定義判斷選項的正誤即可.【解答】解:①有兩個平面互相平行,其余各面都是四邊形的多面體一定是棱柱;不滿足棱柱的定義,所以不正確;②有一個面是多邊形,其余各面都是三角形的多面體一定是棱錐;不滿足棱錐的定義,所以不正確;③用一個面去截棱錐,底面與截面之間的部分叫棱臺;沒有說明兩個平面平行,不滿足棱臺定義,所以不正確;④側(cè)面都是長方形的棱柱叫長方體.沒有說明底面形狀,不滿足長方體的定義,所以不正確;正確命題為0個.故選:A.8.tan210°的值是()A.﹣ B. C.﹣ D.參考答案:D【考點】運用誘導(dǎo)公式化簡求值.【專題】三角函數(shù)的求值.【分析】直接利用誘導(dǎo)公式把要求的式子化為tan30°,從而求得它的結(jié)果.【解答】解:tan210°=tan=tan30°=,故選D.【點評】本題主要考查利用誘導(dǎo)公式進行化簡求值,屬于基礎(chǔ)題.9.若關(guān)于x的方程有負數(shù)根,則實數(shù)a的取值范圍為
(
)
A.
B.
C.
D.參考答案:D
解析:因為
解得10.某小型服裝廠生產(chǎn)一種風(fēng)衣,日銷售量x(件)與單價P(元)之間的關(guān)系為,生產(chǎn)x件所需成本為C(元),其中元,若要求每天獲利不少于1300元,則日銷量x的取值范圍是(
)A. B. C. D.參考答案:B設(shè)該廠每天獲得的利潤為元,則,,根據(jù)題意知,,解得:,所以當(dāng)時,每天獲得的利潤不少于元,故選.點睛:考查了根據(jù)實際問題分析和解決問題的能力,以及轉(zhuǎn)化與化歸的能力,對于函數(shù)的應(yīng)用問題:(1)函數(shù)模型的關(guān)鍵是找到一個影響求解目標函數(shù)的變量,以這個變量為自變量表達其他需要的量,綜合各種條件建立數(shù)學(xué)模型;(2)在實際問題的函數(shù)模型中要特別注意函數(shù)的定義域,它是實際問題決定的,不是由建立的函數(shù)解析式?jīng)Q定的.
二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)的定義域是,值域是,則的最大值是_____參考答案:令,可得或者,的值為……兩個相鄰的值相差,因為函數(shù)的值域是,所以的最大值是,故答案為.12.設(shè)變量x,y滿足約束條件則目標函數(shù)的最大值為
。參考答案:3畫出約束條件的可行域,如圖所示:目標函數(shù)z=x+y經(jīng)過可行域A點時,目標函數(shù)取得最大值.由可得,目標函數(shù)z=x+y的最大值為3.
13.在平面直角坐標系中,曲線與坐標軸的交點都在圓C上,則圓C的方程為
▲
.參考答案:()14.設(shè)的最小值為__________參考答案:8
15.對于任意的正整數(shù),,定義,如:,對于任意不小于2的正整數(shù),,設(shè)……+,……+,則=
.參考答案:16.(5分)如圖,在正方形內(nèi)有一扇形(見陰影部分),扇形對應(yīng)的圓心是正方形的一頂點,半徑為正方形的邊長.在這個圖形上隨機撒一粒黃豆,它落在扇形外正方形內(nèi)的概率為
參考答案:.考點: 幾何概型;扇形面積公式.分析: 先令正方形的邊長為a,則S正方形=a2,則扇形所在圓的半徑也為a,則S扇形=,從而結(jié)合幾何概型的計算公式即可求得黃豆落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率.解答: 令正方形的邊長為a,則S正方形=a2,則扇形所在圓的半徑也為a,則S扇形=則黃豆落在陰影區(qū)域外的概率P=1﹣=.故答案為:.點評: 本小題主要考查扇形面積公式、幾何概型等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想.關(guān)鍵是要求出陰影部分的面積及正方形的面積.屬于基礎(chǔ)題.17.
已知集合,則用列舉法表示集合=______________.參考答案:三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f(x)=aex,g(x)=lnx-lna,其中a為常數(shù),且曲線y=f(x)在其與y軸的交點處的切線記為l1,曲線y=g(x)在其與x軸的交點處的切線記為l2,且l1∥l2.(1)求l1,l2之間的距離;(2)若存在x使不等式成立,求實數(shù)m的取值范圍;(3)對于函數(shù)f(x)和g(x)的公共定義域中的任意實數(shù)x0,稱|f(x0)-g(x0)|的值為兩函數(shù)在x0處的偏差.求證:函數(shù)f(x)和g(x)在其公共定義域內(nèi)的所有偏差都大于2.參考答案:(1);(2);(3)見解析【分析】(1)先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出兩條切線,然后利用平行直線之間的距離公式求出求l1,l2之間的距離;(2)利用分離參數(shù)法,求出h(x)=x-ex的最大值即可;(3)根據(jù)偏差的定義,只需要證明的最小值都大于2.【詳解】(1)f′(x)=aex,g′(x)=,y=f(x)的圖象與坐標軸的交點為(0,a),y=g(x)的圖象與坐標軸的交點為(a,0),由題意得f′(0)=g′(a),即a=,又∵a>0,∴a=1.∴f(x)=ex,g(x)=lnx,∴函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的圖象在其坐標軸的交點處的切線方程分別為:x-y+1=0,x-y-1=0,∴兩平行切線間的距離為.(2)由>,得>,故m<x-ex在x∈[0,+∞)有解,令h(x)=x-ex,則m<h(x)max,當(dāng)x=0時,m<0;當(dāng)x>0時,∵h′(x)=1-(+)ex,∵x>0,∴+≥2=,ex>1,∴(+)ex>,故h′(x)<0,即h(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞減,故h(x)max=h(0)=0,∴m<0,即實數(shù)m的取值范圍為(-∞,0).(3)解法一:∵函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的偏差為:F(x)=|f(x)-g(x)|=ex-lnx,x∈(0,+∞),∴F′(x)=ex-,設(shè)x=t為F′(x)=0的解,則當(dāng)x∈(0,t),F(xiàn)′(x)<0;當(dāng)x∈(t,+∞),F(xiàn)′(x)>0,∴F(x)在(0,t)單調(diào)遞減,在(t,+∞)單調(diào)遞增,∴F(x)min=et-lnt=et-ln=et+t,∵F′(1)=e-1>0,F(xiàn)′()=-2<0,∴<t<1,故F(x)min=et+t=+>+=2,即函數(shù)y=f(x)和y=g(x)在其公共定義域內(nèi)的所有偏差都大于2.解法二:由于函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的偏差:F(x)=|f(x)-g(x)|=ex-lnx,x∈(0,+∞),令F1(x)=ex-x,x∈(0,+∞);令F2(x)=x-lnx,x∈(0,+∞),∵F1′(x)=ex-1,F(xiàn)2′(x)=1-=,∴F1(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,F(xiàn)2(x)在(0,1)單調(diào)遞減,在(1,+∞)單調(diào)遞增,∴F1(x)>F1(0)=1,F(xiàn)2(x)≥F2(1)=1,∴F(x)=ex-lnx=F1(x)+F2(x)>2,即函數(shù)y=f(x)和y=g(x)在其公共定義域內(nèi)的所有偏差都大于2.【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決曲線的切線問題,利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值問題,屬于難度題.19.已知,.(1)求tanα的值;(2)求的值.參考答案:【考點】三角函數(shù)的化簡求值.【專題】計算題;轉(zhuǎn)化思想;分析法;三角函數(shù)的求值.【分析】(1)由角的范圍及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用可求cosα的值,進而利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求tanα的值.(2)利用誘導(dǎo)公式,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡所求,利用(1)的結(jié)論即可計算求值.【解答】(本題滿分為12分)解:(1)∵,∴,…(3分)∴;…(6分)(2)原式==,…(9分)=…(12分)【點評】本題主要考查了誘導(dǎo)公式,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用,考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.20.(本題滿分16分):平面直角坐標系中,直線截以原點O為圓心的圓所得的弦長為(1)求圓O的方程;(2)若直線與圓O切于第一象限,且與軸分別交于D,E,當(dāng)DE長最小時,求直線的方程;(3)設(shè)M,P是圓O上任意兩點,點M關(guān)于軸的對稱點為N,若直線MP、NP分別交于軸于點(m,0)和(n,0),問這兩點的橫坐標之積mn是否為定值?若是,請求出該定值;若不是,請說明理由。參考答案:21.(本小題滿分12分)已知各項都不相等的等差數(shù)列{an}的前6項和為60,且a6為a1和a21的等比中項.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)若數(shù)列{bn}滿足bn+1-bn=an(n∈N*),且b1=3,求數(shù)列的前n項和Tn.參考答案:(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0),則解得∴an=2n+3.(2)由bn+1-bn=an,∴bn-bn-1=an-1(n≥2,n∈N*),bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1=an-1+an-2+
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