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廣東省惠州市鎮(zhèn)隆中學2022年高三數(shù)學理下學期期末試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.若向量,則A.
B.
C.
D.參考答案:D設(shè),則,所以,解得,即,選D.2.橢圓的一個焦點坐標為,則其離心率等于
()A.2
B.C.
D.參考答案:D3.復(fù)數(shù)z滿足:(z-i)i=2+i,則z=
A.一l-i
B.1-i
C.—1+3i
D.1-2i參考答案:4.設(shè)函數(shù),且其圖象關(guān)于直線對稱,則(
) A.的最小正周期為,且在上為增函數(shù) B.的最小正周期為,且在上為減函數(shù) C.的最小正周期為,且在上為增函數(shù) D.的最小正周期為,且在上為減函數(shù)參考答案:B5.設(shè)的定義在R上以2為周期的偶函數(shù),當時,則時,的解析式為
(
)
A.
B.
C.
D.參考答案:C6.在等腰直角三角形ABC中,若M是斜邊AB上的點,則AM小于AC的概率為A、
B、
C、
D、參考答案:答案:C7.一個盒子里裝有大小、形狀、質(zhì)地相同的12個球,其中黃球5個,藍球4個,綠球3個.現(xiàn)從盒子中隨機取出兩個球,記事件A為“取出的兩個球顏色不同”,事件B為“取出一個黃球,一個綠球”,則A.
B.
C.
D.參考答案:D8.已知數(shù)列{an}的通項,數(shù)列{bn}的前n項和為,若這兩個數(shù)列的公共項順次構(gòu)成一個新數(shù)列{cn},則滿足的m的最大整數(shù)值為(
)A.335 B.336 C.337 D.338參考答案:A由可知數(shù)列為等差數(shù)列,通項公式,又因為,由題意可知,通項公式,所以即,解得,所以的最大整數(shù)值為335,故選擇A.9.已知正項數(shù)列為等比數(shù)列且的等差中項,若,則該數(shù)列的前5項的和為
(
)
A.
B.31
C.
D.以上都不正確
參考答案:B略10.已知的值是(
)
A.
B.-
C.- D.參考答案:答案:B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),若當x∈(0,+∞)時,f(x)=lgx,則滿足f(x)>0的x的取值范圍是
.參考答案:【解析】由f(x)為奇函數(shù)得:答案:12.已知,則
.參考答案:-7/9略13._________參考答案:
14.若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個不同的實數(shù)解,則的取值范圍為______________.參考答案:
15.函數(shù)的定義域為A,若時總有,則稱為單函數(shù),例如,函數(shù)是單函數(shù),下列命題:①函數(shù)是單函數(shù)②函數(shù)是單函數(shù)③若為單函數(shù),且,則④函數(shù)在定義域內(nèi)某個區(qū)間D上具有單調(diào)性,則在定義域內(nèi)一定是單函數(shù)。其中的真命題是______________(寫出所有真命題的編號)參考答案:略16.對于數(shù)列,若,都有成立,則稱數(shù)列具有性質(zhì).若數(shù)列的通項公式為,且具有性質(zhì),則實數(shù)a的取值范圍是_______________.參考答案:【考點】全稱命題,推理運算.由數(shù)列通項公式且數(shù)列具有性質(zhì)可知,則恒成立,則數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列,則有恒成立,化簡得,由數(shù)軸標根法作圖觀察可知時最值成立,則帶入可得.【點評】:恒成立問題一般轉(zhuǎn)化為求最值,構(gòu)造新的數(shù)列形式后要利用遞推關(guān)系建立不等式.17.已知是互不相同的正數(shù),且,則的取值范圍是
;參考答案:考點:函數(shù)圖象分段函數(shù),抽象函數(shù)與復(fù)合函數(shù)試題解析:因為由圖可知,,
所以,的取值范圍是
三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.已知O為平面直角坐標系的原點,過點的直線與圓交于、兩點.(1)若,求直線的方程;(2)若與的面積相等,求直線的斜率.參考答案:
略19.(12分)已知數(shù)列的首項其中,,令集合.(1)若是數(shù)列中首次為1的項,請寫出所有這樣數(shù)列的前三項;(2)求證:對恒有成立;(3)求證:.參考答案:解:(1)2,3,1;9,3,1;
(2)若被3除余1,則由已知可得,;若被3除余2,則由已知可得,,;若被3除余0,則由已知可得,;所以,(3)由(2)可得,所以,對于數(shù)列中的任意一項,“若,則”.因為,所以.所以數(shù)列中必存在某一項(否則會與上述結(jié)論矛盾!)若,則;若,則,若,則,由遞推關(guān)系易得.
略20.(本小題滿分12分)如圖,菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O,AB=5,AC=6,點E,F(xiàn)分別在AD,CD上,,EF交BD于點H.將△DEF沿EF折到△的位置.(I)證明:D′H⊥平面ABCD;(II)求二面角B-D′A-C的正弦值.
參考答案:(I)由已知得AC⊥BD,AD=CD,又由AE=CF得,故AC∥EF.因此EF⊥HD,從而EF⊥D′H.由AB=5,AC=6得DO=BO==4.由EF∥AC得.所以O(shè)H=1,D′H=DH=3.于是D′H2+OH2=32+12=10=D′O2,故D′H⊥OH.又D′H⊥EF,而OH∩EF=H,所以D′H⊥平面ABCD.(II)如圖,以H為坐標原點,的方向為x軸的正方向,建立空間直角坐標系H-xyz.則H(0,0,0),A(-3,-1,0),B(0,-5,0),C(3,-1,0),D′(0,0,3),=(3,-4,0),=(6,0,0),=(3,1,3).設(shè)m=(x1,y1,z1)是平面ABD′的法向量,則
即所以可以取m=(4,3,-5).設(shè)n=(x2,y2,z2)是平面ACD′的法向量,則
即所以可以取n=(0,-3,1).于是,.因此二面角B-D′A-C的正弦值是.21.已知函數(shù)f(x)=lnx﹣+(a﹣1)x(a>0).(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)試問在函數(shù)f(x)的圖象上是否存在A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2),使得f(x)在x0=處的切線l平行于AB,若存在,求出A,B點的坐標,若不存在,請說明理由.參考答案:【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.【分析】(1)求導f′(x)=﹣,從而確定導數(shù)的正負,從而確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)求導f′(x0)=﹣a+a﹣1,求直線AB的斜率kAB=﹣+a﹣1,從而可得=,再設(shè)=t,(t>1),從而可得2=lnt,令g(t)=lnt﹣2=lnt+﹣2,從而解得.【解答】解:(1)∵f(x)=lnx﹣+(a﹣1)x,∴f′(x)=﹣,又∵a>0,∴當x∈(0,1)時,f′(x)>0,當x∈(1,+∞)時,f′(x)<0;故f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,1),單調(diào)減區(qū)間為(1,+∞);(2)∵f′(x0)=f′()=﹣a+a﹣1,kAB==﹣+a﹣1,由題意可得,﹣a+a﹣1=﹣+a﹣1;故=,故=,即設(shè)=t,(t>1),則上式可化為=lnt,即2=lnt,令g(t)=lnt﹣2=lnt+﹣2,g′(t)=﹣==≥0,故g(t)=l
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