廣東省梅州市大壩中學2021-2022學年高三數(shù)學理月考試卷含解析

廣東省梅州市大壩中學2021-2022學年高三數(shù)學理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.過雙曲線（，）的右焦點作兩條漸近線的垂線，垂足分別為，點為坐標原點，若四邊形的面積為4，則雙曲線的離心率為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：D2.已知三棱錐P-ABC中，底面ABC是邊長為2的正三角形，平面ABC，且PA=1，則點A到平面PBC的距離為

(

)A.1

B.

C.

D.參考答案：C3.m和n是分別在兩個互相垂直的面α、β內(nèi)的兩條直線，α與β交于l，m和n與l既不垂直，也不平行，那么m和n的位置關(guān)系是

（

）

A.可能垂直，但不可能平行

B.可能平行，但不可能垂直

C.可能垂直，也可能平行

D.既不可能垂直，也不可能平行參考答案：D4.已知函數(shù)f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)，若f(x)的圖象如右圖所示，則函數(shù)g(x)＝ax＋b的圖象大致為A

B

C

D參考答案：A略5.在數(shù)列中，已知等于的個位數(shù)，則的值是（

）

A．8

B．6

C．4

D．2參考答案：C，所以的個位數(shù)是4，，所以所以的個位數(shù)是8，，所以的個位數(shù)是2，，所以的個位數(shù)是6，的個位數(shù)是2，的個位數(shù)是2，的個位數(shù)是4，的個位數(shù)是8，的個位數(shù)是2，所以從第三項起，的個位數(shù)成周期排列，周期數(shù)為6，，所以的個位數(shù)和的個位數(shù)一樣為4，選C.6.函數(shù)的圖象經(jīng)過四個象限，則實數(shù)的取值范圍是(

)

A.

B.

C.

D.參考答案：D略7.sinx=0是cosx=1的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：B【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義進行推理即可．【解答】解：若sinx=0，則x=kπ，k∈Z，此時cosx=1或cosx=﹣1，即充分性不成立，若cosx=1，則x=2kπ，k∈Z，此時sinx=0，即必要性成立，故sinx=0是cosx=1的必要不充分條件，故選：B8.已知直線ax+y﹣1=0與圓C：（x﹣1）2+（y+a）2=1相交于A，B兩點，且△ABC為等腰直角三角形，則實數(shù)a的值為（）A． B．﹣1 C．1或﹣1 D．1參考答案：C【考點】直線與圓的位置關(guān)系．【專題】計算題；直線與圓．【分析】由題意可得△ABC是等腰直角三角形，可得圓心C（1，﹣a）到直線ax+y﹣1=0的距離等于r?sin45°，再利用點到直線的距離公式求得a的值．【解答】解：由題意可得△ABC是等腰直角三角形，∴圓心C（1，﹣a）到直線ax+y﹣1=0的距離等于r?sin45°=，再利用點到直線的距離公式可得=，∴a=±1，故選：C．【點評】本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，直角三角形中的邊角關(guān)系，點到直線的距離公式的應用，屬于基礎(chǔ)題．9.（5分）若不等式a＞|t﹣1|﹣|t﹣2|對任意t∈R恒成立，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A．B．（3，+∞）C．D．（﹣∞，2）參考答案：B設y=|t﹣1|﹣|t﹣2|，由t﹣1=0，得t=1；由t﹣2=0，得t=2．當t≥2時，y=t﹣1﹣t+2=1；當1≤t＜2時，y=t﹣1﹣2+t=2t﹣3∈[﹣1，1）；當t＜1時，y=1﹣t﹣2+t=﹣1．∴y=|t﹣1|﹣|t﹣2|的值域是[﹣1，1]．∵不等式a＞|t﹣1|﹣|t﹣2|對任意t∈R恒成立，∴a＞1．∴0＜＜1．∵函數(shù)，∴x2﹣5x+6＞0，解得x＞3，或x＜2．∵m=x2﹣5x+6是開口向上，對稱軸為x=的拋物線，∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（3，+∞）．故選B．10.設若在方向上的投影為2，且在方向上的投影為1，則與的夾角等于（A）

（B）

（C）

（D）或參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.求值：sin(－1200°)·cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)＋tan945°=

參考答案：2

略12.下列四個結(jié)論中，錯誤的序號是___________.①以直角坐標系中x軸的正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C的方程為，若曲線C上總存在兩個點到原點的距離為，則實數(shù)a的取值范圍是；②在殘差圖中，殘差點比較均勻地落在水平帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適，這樣的帶狀區(qū)域?qū)挾仍綄?，說明模型擬合精度越高；③設隨機變量，若，則；④已知n為滿足能被9整除的正數(shù)a的最小值，則的展開式中，系數(shù)最大的項為第6項.參考答案：234【分析】對于①，把極坐標方程化為直角坐標方程，結(jié)合圓心與原點的距離關(guān)系可求；對于②，帶狀區(qū)域?qū)挾仍綄?，說明模型擬合誤差越大；對于③，先利用求出，然后再求；對于④，先求出，再利用二項式定理的通項公式求解系數(shù)最大的項.【詳解】對于①，化為直角坐標方程為，半徑為.因為曲線C上總存在兩個點到原點的距離為，所以，解得，故①正確；對于②，帶狀區(qū)域?qū)挾仍綄挘f明模型擬合誤差越大，故②錯誤；對于③，，解得；，故③錯誤；對于④，，而，所以，所以的系數(shù)最大項為第7項，故④錯誤；綜上可知②③④錯誤.【點睛】本題主要考查命題真假的判定，涉及知識點較多，知識跨度較大，屬于知識拼盤，處理方法是逐一驗證是否正確即可.13.已知非零向量a，b滿足|a|＝|a＋b|＝1，a與b夾角為120°，則向量b的模為

▲

．參考答案：114.若全集，集合，則

。參考答案：本題考查集合的運算，難度較小.因為，所以.15.已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足：對于有，則

參考答案：答案:016.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為_____________.參考答案：略17.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且，數(shù)列{bn}滿足，則數(shù)列{an?bn}的前n項和Tn=．參考答案：10+（3n﹣5）2n+1【考點】數(shù)列的求和．【分析】利用an=Sn﹣Sn﹣1求出數(shù)列{an}的通項公式，然后利用，求出數(shù)列{bn}通項公式；利用cn=anbn．求出數(shù)列cn的通項公式，寫出前n項和Tn的表達式，利用錯位相減法，求出前n項和Tn．【解答】解：由已知得，當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=（n2﹣n）﹣[（n﹣1）2﹣（n﹣1）]=3n﹣2，又a1=1=3×1﹣2，符合上式．故數(shù)列{an}的通項公式an=3n﹣2．又因為，所以log2bn=（an+2）=n，即bn=2n，令cn=anbn．則cn=（3n﹣2）?2n．所以Tn=1×21+4?22+7?23+…+（3n﹣2）?2n，①2Tn=1×22+4×23+7?24+…+（3n﹣2）?2n+1，②由②﹣①得：﹣Tn=2+3?22+3?23+…+（3n﹣5）?2n+1=3×（2+22+…+2n）﹣（3n﹣2）?2n+1﹣2=﹣（3n﹣5）?2n+1﹣10，所以Tn=10+（3n﹣5）2n+1故答案是：10+（3n﹣5）2n+1．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)．（1）設g（x）是函數(shù)f（x）的導函數(shù)，求函數(shù)g（x）在區(qū)間上的最小值；（2）若f（1）=0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有零點，證明：e﹣2＜a＜1．參考答案：【考點】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；函數(shù)零點的判定定理；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】導數(shù)的綜合應用．【分析】（1）先求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，通過討論a的范圍得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最值；（2）設x0為f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)的一個零點，通過討論a的范圍，得出a的取值．【解答】解：（1）由f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，得g（x）=f′（x）=ex﹣2ax﹣b，所以g′（x）=ex﹣2a．當x∈時，g′（x）∈．當a≤時，g′（x）≥0，所以g（x）在上單調(diào)遞增，因此g（x）在上的最小值是g（0）=1﹣b；當a≥時，g′（x）≤0，所以g（x）在上單調(diào)遞減，因此g（x）在上的最小值是g（1）=e﹣2a﹣b；當＜a＜時，令g′（x）=0，得x=ln（2a）∈（0，1），所以函數(shù)g（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間（ln（2a），1]上單調(diào)遞增，于是，g（x）在上的最小值是g（ln（2a））=2a﹣2aln（2a）﹣b．綜上所述，當a≤時，g（x）在上的最小值是g（0）=1﹣b；當＜a＜時，g（x）在上的最小值是g（ln（2a））=2a﹣2aln（2a）﹣b；當a≥時，g（x）在上的最小值是g（1）=e﹣2a﹣b．…（2）證明：設x0為f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)的一個零點，則由f（0）=f（x0）=0可知，f（x）在區(qū)間（0，x0）上不可能單調(diào)遞增，也不可能單調(diào)遞減．則g（x）不可能恒為正，也不可能恒為負．故g（x）在區(qū)間（0，x0）內(nèi)存在零點x1．同理g（x）在區(qū)間（x0，1）內(nèi)存在零點x2．故g（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有兩個零點，由（1）知，當a≤時，g（x）在遞增，故g（x）在（0，1）內(nèi)至多有1個零點，當a≥時，g（x）在遞減，故g（x）在（0，1）內(nèi)至多有1個零點，都不合題意，所以＜a＜，此時，g（x）在區(qū)間遞減，在區(qū)間（ln（2a），1）遞增，因此x1∈（0，ln（2a）），x2∈（ln（2a），1），必有：g（0）=1﹣b＞0，g（1）=e﹣2a﹣b＞0，由f（1）=0，得a+b=e﹣1＜2，有g(shù)（0）=a﹣e+2＞0，g（1）=1﹣a＞0，解得：e﹣2＜a＜1，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有零點時，e﹣2＜a＜1．【點評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，考查導數(shù)的應用，考查分類討論思想，是一道綜合題．19.如圖，圓錐的軸截面為三角形SAB，O為底面圓圓心，C為底面圓周上一點，D為BC的中點．（I）求證：平面SBC⊥平面SOD；（II）如果∠AOC=∠SDO=60°，BC=2，求該圓錐的側(cè)面積．參考答案：【考點】L5：旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）；LY：平面與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推導出SO⊥平面OBC，從而SO⊥BC，再求出OD⊥BC，從而BC⊥平面SOD，由此能證明平面SBC⊥平面SOD．（Ⅱ）求出∠COD=60°，OD=1，OC=2，SO=，SA=，由此能求出該圓錐的側(cè)面積．【解答】證明：（Ⅰ）由題意知SO⊥平面OBC，又BC?平面OBC，∴SO⊥BC，在△OBC中，OB=OC，CD=BD，∴OD⊥BC，又SO∩OD=O，∴BC⊥平面SOD，又BC?平面SBC，∴平面SBC⊥平面SOD．解：（Ⅱ）在△OBC中，OB=OC，CD=BD，∵∠AOC=60°，∴∠COD=60°，∵CD=，∴OD=1，OC=2，在△SOD中，∠SDO=60°，又SO⊥OD，∴SO=，在△SAO中，OA=OC=2，∴SA=，∴該圓錐的側(cè)面積為．20.在極坐標系中，曲線的極坐標方程為，以極點為原點，極軸為軸的非負半軸建立平面直角坐標系，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.（1）求曲線的直角坐標方程和直線的普通方程；（2）若曲線上的動點到直線的最大距離為，求的值.參考答案：（1）由得，因為，，故可得曲線，由消去參數(shù)可得直線的普通方程為：；（2）由（1）可得曲線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)），由點到直線的距離公式可得：據(jù)條件可知，由于，分如下情況：①時，由得；②時，由得；綜上，.21.（本小題滿分12分）為迎接2012年倫敦奧運會,在著名的海濱城市青島舉行了一場奧運選拔賽,其中甲、乙兩名運動員為爭取最后一個參賽名額進行的7輪比賽的得分如莖葉圖所示：（1）若從甲運動員的每輪比賽的得分中任選3個不低于80且不高于90的得分，求甲的三個得分與其每輪比賽的平均得分的差的絕對值都不超過2的概率；（2）若分別從甲、乙兩名運動員的每輪比賽不低于80且不高于90的得分中任選1個，求甲、乙兩名運動員得分之差的絕對值的分布列與期望.

參考答案：【解析】（1）有莖葉圖可知，甲運動員七輪比賽的得分情況為：78，81，84，85，84，85，91．所以甲每輪比賽的平均得分為，顯然甲運動員每輪比賽得分中不低于80且不高于90的得分共有5個，分別為81，84，85，84，85，其中81分與平均得分的絕對值大于2，所求概率?！?分（2）設甲、乙兩名運動員的得分分別為，則得分之差的絕對值為。顯然，由莖葉圖可知，的可能取值為0，1，2，3，5，6．當=0時，，故當=1時，或，故當=2時，或，故當=3時，或，故當=5時，，故當=6時，，故所以的分布列為：0123