2022-2023學(xué)年山東省青島市高三年級上冊學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題

2022-2023第一學(xué)期期末測試高三數(shù)學(xué)一、選擇題；本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合A＝，B＝，則A∩B等于()A．[1,3] B．[1,5] C．[3,5] D．[1，＋∞)2．若復(fù)數(shù)z滿足：，則的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（

）A．-2 B．i C．0 D．23．我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中說：“九百九十六斤棉，贈分八子做盤纏．次第每人多十七，要將第八數(shù)來言．務(wù)要分明依次第，孝和休惹外人傳．”意為：“996斤棉花，分別贈送給8個子女做旅費，從第1個孩子開始，以后每人依次多17斤，直到第8個孩子為止．分配時一定要按照次序分，要順從父母，兄弟間和氣，不要引得外人說閑話．”在這個問題中，第8個孩子分到的棉花為（

）A．184斤 B．176斤 C．65斤 D．60斤4．已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則（

）A．0.5 B．0.625 C．0.75 D．0.8755．已知，則（

）A． B． C． D．6．設(shè)，是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上一點，且點P到兩個焦點的距離之差為1，則的面積為（

）A．2 B．3 C． D．7．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且在區(qū)間上只取得一次最大值，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．定義在上的函數(shù)滿足，且當時，.若對，都有，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、選擇題；本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9．古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩定點A，B的距離之比為定值λ（λ≠1）的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”．在平面直角坐標系xOy中，A（－2，0），B（4，0），點P滿足＝.設(shè)點P的軌跡為C，則下列結(jié)論正確的是（）A．軌跡C的方程為（x＋4）2＋y2＝9公眾號高中僧課堂B．在x軸上存在異于A，B的兩點D，E使得＝C．當A，B，P三點不共線時，射線PO是∠APB的平分線D．在C上存在點M，使得10．已知函數(shù)，若在上的值域是，則實數(shù)的可能取值為（

）A． B． C． D．11．對于伯努利數(shù)，有定義：.則（

）A． B．C． D．12．已知函數(shù)（為正整數(shù)，）的最小正周期，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后所得圖象關(guān)于原點對稱，則下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（

）A．是函數(shù)的一個零點 B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C．方程在上有三個解 D．函數(shù)在上單調(diào)遞減三、填空題；本題共4小題，每小題5分，共20分13．一個布袋中，有大小、質(zhì)地相同的4個小球，其中2個是紅球，2個是白球，若從中隨機抽取2個球，則所抽取的球中至少有一個紅球的概率是______.14．已知拋物線的焦點為，過點作傾斜角為的直線交于，兩點，過，分別作的切線、，與交于點，，與軸的交點分別為，，則四邊形的面積為______________．15．已知函數(shù)，則的最小值為____.16．已知函數(shù)有六個不同零點，且所有零點之和為，則的取值范圍為__________．四、解答題；本題共6個小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．某電視臺“挑戰(zhàn)主持人”節(jié)目的挑戰(zhàn)者闖第一關(guān)需要回答三個問題，其中前兩個問題回答正確各得分，回答不正確得分，第三個問題回答正確得分，回答不正確得分．如果一位挑戰(zhàn)者回答前兩個問題正確的概率都是，回答第三個問題正確的概率為，且各題回答正確與否相互之間沒有影響．若這位挑戰(zhàn)者回答這三個問題的總分不低于分就算闖關(guān)成功．（）求至少回答對一個問題的概率．（）求這位挑戰(zhàn)者回答這三個問題的總得分的分布列．（）求這位挑戰(zhàn)者闖關(guān)成功的概率．18．請你設(shè)計一個包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去如陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個點重合于圖中的點P，正好形成一個長方體形狀的包裝盒，E，F(xiàn)是AB邊上被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設(shè)cm.(1)求包裝盒的容積關(guān)于x的函數(shù)表達式，并求出函數(shù)的定義域.(2)當x為多少時，包裝盒的容積V（）最大？最大容積是多少？19．已知函數(shù)(1)函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)，討論當時的單調(diào)性；(2)當時，證明：存在唯一的極大值點.20．已知數(shù)列中，，，，（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求．21．已知直線方程為，其中.(1)當變化時，求點到直線的距離的最大值及此時的直線方程；(2)若直線分別與x軸、y軸的負半軸交于A、B兩點，求面積的最小值及此時的直線方程.22．已知函數(shù)．(1)求的極值；(2)若，且，證明：．參考答案1．C求出中不等式的解集確定出，求出中的范圍確定出，找出與的交集即可由中不等式變形可得：，解得由中得到，即則故選本題主要考查的是集合的交集及其運算，屬于基礎(chǔ)題．2．C根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)的乘方、加減運算計算即可判斷作答.因，則，所以所求共軛復(fù)數(shù)為，其虛部為0.故選：C3．A根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式、等差數(shù)列的通項公式進行求解即可.依題意得，八個子女所得棉花斤數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)該等差數(shù)列為，公差為d，前n項和為，第一個孩子所得棉花斤數(shù)為，則由題意得，，解得，．故選：A4．C根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，由題中條件，直接求解即可.因為，并且又因為，所以，所以所以，所以故選：C5．C由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與二倍角公式和誘導(dǎo)公式求解即可因為，所以，且，所以，所以，所以．故選：C．6．C由題意結(jié)合橢圓的定義求出，又因為，由余弦定理可求出，再求出，由三角形的面積公式即可得出答案.因為橢圓的方程為：，則，，是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上一點，因為點P到兩個焦點的距離之差為1，所以假設(shè)，則，解得：，又因為，在中，由余弦定理可得：，所以，所以的面積為：.故選：C.7．C根據(jù)三角恒等變換化簡，結(jié)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間和取得最值的情況，利用整體法即可求得參數(shù)的范圍.因為，因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，由，則，則，解得，即；當時，，要使得該函數(shù)取得一次最大值，故只需，解得；綜上所述，的取值范圍為.故選：C.8．B根據(jù)已知，利用分段函數(shù)的解析式，結(jié)合圖像進行求解.因為當時，，所以，又因為函數(shù)滿足，所以函數(shù)的部分圖像如下，由圖可知，若對，都有，則.故A，C，D錯誤.故選：B.9．BC根據(jù)阿波羅尼斯圓的定義，結(jié)合兩點間距離公式逐一判斷即可.在平面直角坐標系xOy中，A（－2，0），B（4，0），點P滿足，設(shè)P（x，y），則，化簡得（x＋4）2＋y2＝16，所以A錯誤；假設(shè)在x軸上存在異于A，B的兩點D，E使得，設(shè)D（m，0），E（n，0），則，化簡得3x2＋3y2－（8m－2n）x＋4m2－n2＝0，由軌跡C的方程為x2＋y2＋8x＝0，可得8m－2n＝－24，4m2－n2＝0，解得m＝－6，n＝－12或m＝－2，n＝4（舍去），即在x軸上存在異于A，B的兩點D，E使，所以B正確；當A，B，P三點不共線時，，可得射線PO是∠APB的平分線，所以C正確；若在C上存在點M，使得，可設(shè)M（x，y），則有＝2，化簡得x2＋y2＋x＋＝0，與x2＋y2＋8x＝0聯(lián)立，方程組無解，故不存在點M，所以D錯誤．故選：BC關(guān)鍵點睛：運用兩點間距離公式是解題的關(guān)鍵.10．BC根據(jù)已知求出的范圍即可.，因為，所以又因為的值域是，所以可知的取值范圍是.故選：BC.11．ACD根據(jù)伯努利數(shù)的定義以及二項式定理，將寫成遞推公式的形式，逐一代入計算即可判斷選項.由得，，所以，，同理，，所以，，其中第項為即可得令，得；令，得；令，得同理，可得；即可得選項AC正確，B錯誤；由上述前12項的值可知，當為奇數(shù)時，除了之外其余都是0，即，也即；所以D正確.故選：ACD.12．ABD先由周期范圍及為正整數(shù)求得，再由平移后關(guān)于原點對稱求得，從而得到，對于AB，將與代入檢驗即可；對于C，利用換元法得到在內(nèi)只有兩個解，從而可以判斷；對于D，利用整體法及的單調(diào)性即可判斷.因為，，所以，解得，又為正整數(shù)，所以，所以，所以函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后所得圖象對應(yīng)的函數(shù)，（點撥：函數(shù)的圖象經(jīng)過平移變換得到的圖象時，不是平移個單位長度，而是平移個單位長度），由題意知，函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，故，即，又，所以，，所以，對于A，，故A正確；對于B，，故B正確；對于A，令，因為，所以，顯然在內(nèi)只有，兩個解，即方程在上只有兩個解，故C錯誤；對于A，當時，，因為在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故D正確.故選：ABD.關(guān)鍵點點睛：求解此類問題的關(guān)鍵是會根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換法則求出變換后所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式，注意口訣“左加右減，上加下減，橫變，縱變A”在解題中的應(yīng)用.13．先求出“所抽取的球中至少有一個紅球”的對立事件的概率，再用1減去此概率的值，即得所求．從中隨機抽取2個球，所有的抽法共有種，事件“所抽取的球中至少有一個紅球”的對立事件為“所抽取的球中沒有紅球”，而事件：“所抽取的球中沒有紅球”的概率為，故事件“所抽取的球中至少有一個紅球”的概率等于，故答案為.本題考查等可能事件的概率，“至多”、“至少”問題的概率通常求其的對立事件的概率，再用1減去此概率的值，屬于簡單題.14．4求得焦點的坐標，直線的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，即可求出、兩點坐標；由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得切線，的方程，求得交點的坐標，求得，的坐標，可得，再由三角形的面積公式，計算可得所求值．解：拋物線的焦點為且直線的傾斜角為，則，所以直線方程為，即，設(shè)，，不妨設(shè)在第一象限，聯(lián)立，消去得解得、，代入直線方程，則、，因為直線與拋物線相切于點，即，則，所以，同理可得，則可得直線方程為，即，則其與軸交點，令，則，所以，直線的方程為，即，則其與軸交點，令，則，所以，所以，聯(lián)立、的方程，解得，即點坐標為，．故答案為：．15．化簡函數(shù)的解析式，利用換元法，通過二次函數(shù)的最值的求解即可．解：f（x）＝（x2+x）（x2﹣5x+6）＝x（x+1）（x﹣2）（x﹣3）＝[x（x﹣2）][（x+1）（x﹣3）]＝（x2﹣2x）（x2﹣2x﹣3），不妨令t＝x2﹣2x≥﹣1，則（t≥﹣1），所以當時，f（x）的取最小值．故答案為本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．16．根據(jù)函數(shù)的對稱性可求得的值，將問題轉(zhuǎn)化為與有個不同交點的問題，通過分類討論和導(dǎo)數(shù)的方式得到單調(diào)性和極值，進而確定的圖象，采用數(shù)形結(jié)合的方式得到結(jié)果.，圖象關(guān)于對稱，又的六個零點之和為，，解得：，，令，則與有個不同交點，；當時，，在上單調(diào)遞增；當時，，，又與在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，使得，且當時，；當時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，結(jié)合對稱性可得其大致圖象如下圖所示：由圖象可知：若與有個不同交點，則，即實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.方法點睛：解決函數(shù)零點問題的基本方法：（1）直接法：求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點問題；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；（3）分離變量法：由分離變量得出，將問題等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點問題.17．（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）.試題分析：（Ⅰ）由題意結(jié)合對立事件概率公式可得至少回答對一個問題的概率為.（Ⅱ）這位挑戰(zhàn)者回答這三個問題的總得分的所有可能取值為.計算各個分值相應(yīng)的概率值即可求得總得分X的分布列；（Ⅲ）結(jié)合(Ⅱ)中計算得出的概率值可得這位挑戰(zhàn)者闖關(guān)成功的概率值為.試題解析：（Ⅰ）設(shè)至少回答對一個問題為事件,則.（Ⅱ）這位挑戰(zhàn)者回答這三個問題的總得分的所有可能取值為.根據(jù)題意,,,,,,.隨機變量的分布列是:（Ⅲ）設(shè)這位挑戰(zhàn)者闖關(guān)成功為事件,則.18．(1)，(2)當時，包裝盒的容積最大是（1）設(shè)包裝盒的高為，底面邊長為，分別將用表示，求出函數(shù)的解析式，注明定義域即可．（2）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的最值即可．（1）解：設(shè)包裝盒的高為，底面邊長為，則，，，所以，；（2）解：由，可得，當時，；當時，，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，當時，取得極大值也是最大值：．所以當時，包裝盒的容積最大是．19．(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2)證明見解析（1）由導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性求解，（2）由導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，及零點存在性定理證明．(1)，設(shè)，則.當時，令，則，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.(2)證明：當時，，，由（1）可知的最小值為，而，又，由函數(shù)零點存在定理可得存在使得，又在上單調(diào)遞減，所以當時，，當時，，故為的極大值點，又在上單調(diào)遞增，故在上不存在極大值點，所以存在唯一的極大值點，20．（1）；（2）詳見解析（1）由，得，根據(jù)等比數(shù)列通項公式得，再根據(jù)累加法得答案；（2）根據(jù)等比數(shù)列求和即可得證.即（1）因為，，，所以，，所以，，所以.而也符合該式，故.（2），21．(1)距離最大值為，此時直線方程為；(2)面積的最小值為4，此時直線方程為；（1）求出直線恒過定點，由兩點間距離公式即可求出最大值，由兩條直線垂直的充要條件求出直線的斜率，即可得到直線方程；（2）設(shè)直線的方程為，，求出，，利用三角形的面積公式結(jié)合基本不等式求解最小值，從而求出此時的值，得到直線方程．(1)解：直線方程為，其中，即，令，解得，故直線經(jīng)過定點，當變化時，點到直線的距離的最大值為，此時，和直線垂直，所以直線的斜率為，即，解得，此時直線的方程為；(2)解：因為直線經(jīng)過定點，設(shè)直線方程為，，令則，令