高中數(shù)學(xué)北師大版2第一章推理與證明學(xué)業(yè)分層測評2

學(xué)業(yè)分層測評(二)(建議用時：45分鐘)[學(xué)業(yè)達標]一、選擇題1.對命題“正三角形的內(nèi)切圓切于三邊中點”可類比猜想：正四面體的內(nèi)切球切于四面體各正三角形的()A.一條中線上的點，但不是中心B.一條垂線上的點，但不是垂心C.一條角平分線上的點，但不是內(nèi)心D.中心【解析】由正四面體的內(nèi)切球可知，內(nèi)切球切于四個面的中心.【答案】D2.下列推理正確的是()A.把a(b＋c)與loga(x＋y)類比，則有l(wèi)oga(x＋y)＝logax＋logayB.把a(b＋c)與sin(x＋y)類比，則有sin(x＋y)＝sinx＋sinyC.把(ab)n與(a＋b)n類比，則有(x＋y)n＝xn＋ynD.把(a＋b)＋c與(xy)z類比，則有(xy)z＝x(yz)【解析】乘法的結(jié)合律與加法結(jié)合律相類比得(xy)z＝x(yz).故選D.【答案】D3.設(shè)△ABC的三邊長分別為a，b，c，△ABC的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則r＝eq\f(2S,a＋b＋c)，類比這個結(jié)論可知：四面體S-ABC的四個面的面積分別為S1，S2，S3，S4，內(nèi)切球半徑為R，四面體S-ABC的體積為V，則R＝()【導(dǎo)學(xué)號：94210007】\f(V,S1＋S2＋S3＋S4) \f(2V,S1＋S2＋S3＋S4)\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4) \f(4V,S1＋S2＋S3＋S4)【解析】設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為O，則球心O到四個面的距離都是R，所以四面體的體積等于以O(shè)為頂點，分別以四個面為底面的4個三棱錐體積的和.則四面體的體積為V四面體S-ABC＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)R，∴R＝eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4).【答案】C4.在等差數(shù)列{an}中，若an>0，公差d≠0，則有a4a6>a3a7.類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列{bn}中，若bn>0，公比q≠1，則關(guān)于b5，b7，b4，b8的一個不等關(guān)系正確的是()>b4b8 >b4b5＋b7<b4＋b8 ＋b8<b4＋b5【解析】b5＋b7－b4－b8＝b1(q4＋q6－q3－q7)＝b1[q3(q－1)＋q6(1－q)]＝b1[－q3(q－1)2(1＋q＋q2)]<0，∴b5＋b7<b4＋b8.【答案】C5.已知結(jié)論：“在正三角形ABC中，若D是邊BC的中點，G是三角形ABC的重心，則eq\f(AG,GD)＝2”.若把該結(jié)論推廣到空間，則有結(jié)論：“在棱長都相等的四面體A-BCD中，若△BCD的中心為M，四面體內(nèi)部一點O到四面體各面的距離都相等”，則eq\f(AO,OM)＝() 【解析】如圖，設(shè)正四面體的棱長為1，即易知其高AM＝eq\f(\r(6),3)，此時易知點O即為正四面體內(nèi)切球的球心，設(shè)其半徑為r，利用等體積法有4×eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)r＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×eq\f(\r(6),3)?r＝eq\f(\r(6),12)，故AO＝AM－MO＝eq\f(\r(6),3)－eq\f(\r(6),12)＝eq\f(\r(6),4)，故AO∶OM＝eq\f(\r(6),4)∶eq\f(\r(6),12)＝3∶1.【答案】C二、填空題6.(2023·山東日照一模)36的所有正約數(shù)之和可按如下方法得到：因為36＝22×32，所以36的所有正約數(shù)之和為(1＋3＋32)＋(2＋2×3＋2×32)＋(22＋22×3＋22×32)＝(1＋2＋22)(1＋3＋32)＝91，參照上述方法，可求得200的所有正約數(shù)之和為________.【解析】類比求36的所有正約數(shù)之和的方法，200的所有正約數(shù)之和可按如下方法求得：因為200＝23×52，所以200的所有正約數(shù)之和為(1＋2＋22＋23)(1＋5＋52)＝465.【答案】4657.在Rt△ABC中，若C＝90°，AC＝b，BC＝a，則△ABC的外接圓半徑為r＝eq\f(\r(a2＋b2),2)，將此結(jié)論類比到空間有______________________________.【解析】Rt△ABC類比到空間為三棱錐A-BCD，且AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD；△ABC的外接圓類比到空間為三棱錐A-BCD的外接球.【答案】在三棱錐A-BCD中，若AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD，AB＝a，AC＝b，AD＝c，則三棱錐A-BCD的外接球半徑R＝eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2)8.已知等差數(shù)列{an}中，有eq\f(a11＋a12＋…＋a20,10)＝eq\f(a1＋a2＋…＋a30,30)，則在等比數(shù)列{bn}中，會有類似的結(jié)論____________________.【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知b1b30＝b2b29＝…＝b11b20，∴eq\r(10,b11b12…b20)＝eq\r(30,b1b2…b30).【答案】eq\r(10,b11b12…b20)＝eq\r(30,b1b2…b30)三、解答題9.如圖1-1-13(1)，在平面內(nèi)有面積關(guān)系eq\f(S△PA′B′,S△PAB)＝eq\f(PA′·PB′,PA·PB)，寫出圖1-1-13(2)中類似的體積關(guān)系，并證明你的結(jié)論.(1)(2)圖1-1-13【解】類比eq\f(S△PA′B′,S△PAB)＝eq\f(PA′·PB′,PA·PB)，有eq\f(VP-A′B′C′,VP-ABC)＝eq\f(PA′·PB′·PC′,PA·PB·PC).證明：如圖，設(shè)C′，C到平面PAB的距離分別為h′，h.則eq\f(h′,h)＝eq\f(PC′,PC)，故eq\f(VP-A′B′C′,VP-ABC)＝eq\f(\f(1,3)S△PA′B′·h′,\f(1,3)S△PAB·h)＝eq\f(PA′·PB′·h′,PA·PB·h)＝eq\f(PA′·PB′·PC′,PA·PB·PC).10.在等差數(shù)列{an}中，若a10＝0，則有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N＋)成立.類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地，在等比數(shù)列{bn}中，若b9＝1，則有什么樣的等式成立？【解】在等差數(shù)列{an}中，由a10＝0，則有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N＋)成立，相應(yīng)地，在等比數(shù)列{bn}中，若b9＝1，則可得b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N＋).[能力提升]1.已知正三角形內(nèi)切圓的半徑是其高的eq\f(1,3)，把這個結(jié)論推廣到空間正四面體，類似的結(jié)論是()A.正四面體的內(nèi)切球的半徑是其高的eq\f(1,2)B.正四面體的內(nèi)切球的半徑是其高的eq\f(1,3)C.正四面體的內(nèi)切球的半徑是其高的eq\f(1,4)D.正四面體的內(nèi)切球的半徑是其高的eq\f(1,5)【解析】原問題的解法為等面積法，即S＝eq\f(1,2)ah＝3×eq\f(1,2)ar?r＝eq\f(1,3)h，類比問題的解法應(yīng)為等體積法，V＝eq\f(1,3)Sh＝4×eq\f(1,3)Sr?r＝eq\f(1,4)h，即正四面體的內(nèi)切球的半徑是其高的eq\f(1,4).【答案】C2.若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則數(shù)列{bn}eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(bn＝\f(a1＋a2＋…＋an,n)))也為等差數(shù)列.類比這一性質(zhì)可知，若正項數(shù)列{cn}是等比數(shù)列，且{dn}也是等比數(shù)列，則dn的表達式應(yīng)為()＝eq\f(c1＋c2＋…＋cn,n)＝eq\f(c1·c2·…·cn,n)＝eq\r(n,\f(ceq\o\al(n,1)＋ceq\o\al(n,2)＋…＋ceq\o\al(n,n),n))＝eq\r(n,c1·c2·…·cn)【解析】若{an}是等差數(shù)列，則a1＋a2＋…＋an＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d，∴bn＝a1＋eq\f(（n－1）,2)d＝eq\f(d,2)n＋a1－eq\f(d,2)，即{bn}為等差數(shù)列；若{cn}是等比數(shù)列，則c1·c2·…·cn＝ceq\o\al(n,1)·q1＋2＋…＋(n－1)＝ceq\o\al(n,1)·qeq\s\up12(\f(n（n－1）,2))，∴dn＝eq\r(n,c1·c2·…·cn)＝c1·qeq\s\up12(\f(n－1,2))，即{dn}為等比數(shù)列.【答案】D3.類比“等差數(shù)列”的定義，寫出“等和數(shù)列”的定義，并解答下列問題：已知數(shù)列{an}是等和數(shù)列，且a1＝2，公和為5，那么a18＝________，這個數(shù)列的前n項和Sn的計算公式為________.【導(dǎo)學(xué)號：94210008】【解析】定義“等和數(shù)列”：在一個數(shù)列中，從第二項起每一項與它前一項的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和.由上述定義，得an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2，n為奇數(shù)，,3，n為偶數(shù)，))故a18＝3.從而Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)n－\f(1,2)，n為奇數(shù)，,\f(5,2)n，n為偶數(shù).))【答案】3Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)n－\f(1,2)，n為奇數(shù)，,\f(5,2)n，n為偶數(shù)))4.(1)橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)與x軸交于A，B兩點，點P是橢圓C上異于A，B的任意一點，直線PA，PB分別與y軸交于點M，N，求證：eq\o(AN,\s\up12(→))·eq\o(BM,\s\up12(→))為定值b2－a2.(2)類比(1)可得如下真命題：雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)與x軸交于A，B兩點，點P是雙曲線C上異于A，B的任意一點，直線PA，PB分別與y軸交于點M，N，求證eq\o(AN,\s\up12(→))·eq\o(BM,\s\up12(→))為定值，請寫出這個定值(不要求寫出解題過程).【解】(1)證明如下：設(shè)點P(x0，y0)(x0≠±a)，依題意，得A(－a，0)，B(a，0)，所以直線PA的方程為y＝eq\f(y0,x0＋a)(x＋a).令x＝0，得yM＝eq\f(ay0,x0＋a)，同理得yN＝－eq\f(ay0,x0－a)，所以yMyN＝eq\f(a2yeq\o\al(2,0),a2－xeq\o\al(2,0)).又因為點P(x0，y0)在橢圓上，所以eq\f(xeq\o\al(2,0),a2)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),