2023年公務(wù)員考試常用數(shù)學(xué)公式匯總完整打印版

公務(wù)員考試常用數(shù)學(xué)公式匯總(完整版)一、基礎(chǔ)代數(shù)公式1.平方差公式：（a＋b）×（a－b）＝a2－b22.完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab＋b2完全立方公式：（a±b）3=（a±b）(a2ab+b2)3.同底數(shù)冪相乘:am×an＝am＋n（m、n為正整數(shù)，a≠0）同底數(shù)冪相除：am÷an＝am－n（m、n為正整數(shù)，a≠0）a0＝1（a≠0）a-p＝（a≠0，p為正整數(shù)）4.等差數(shù)列：（1）sn＝＝na1+n(n-1)d；（2）an＝a1＋（n－1）d；（3）n＝＋1；（4）若a,A,b成等差數(shù)列，則：2A＝a+b；（5）若m+n=k+i，則：am+an=ak+ai；（其中：n為項數(shù)，a1為首項，an為末項，d為公差，sn為等差數(shù)列前n項的和）5.等比數(shù)列：（1）an＝a1q－1；（2）sn＝（q1）（3）若a,G,b成等比數(shù)列，則：G2＝ab；（4）若m+n=k+i，則：am·an=ak·ai；（5）am-an=(m-n)d（6）＝q(m-n)（其中：n為項數(shù)，a1為首項，an為末項，q為公比，sn為等比數(shù)列前n項的和）6.一元二次方程求根公式：ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)其中：x1=；x2=（b2-4ac0）根與系數(shù)的關(guān)系：x1+x2=-，x1·x2=二、基礎(chǔ)幾何公式1.三角形：不在同一直線上的三點可以構(gòu)成一個三角形；三角形內(nèi)角和等于180°；三角形中任兩邊之和大于第三邊、任兩邊之差小于第三邊；（1）角平分線：三角形一個的角的平分線和這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段,叫做三角形的角的平分線。（2）三角形的中線：連結(jié)三角形一個頂點和它對邊中點的線段叫做三角形的中線。（3）三角形的高：三角形一個頂點到它的對邊所在直線的垂線段，叫做三角形的高。（4）三角形的中位線：連結(jié)三角形兩邊中點的線段，叫做三角形的中位線。（5）內(nèi)心：角平分線的交點叫做內(nèi)心；內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。重心：中線的交點叫做重心；重心到每邊中點的距離等于這邊中線的三分之一。垂線：高線的交點叫做垂線；三角形的一個頂點與垂心連線必垂直于對邊。外心：三角形三邊的垂直平分線的交點，叫做三角形的外心。外心到三角形的三個頂點的距離相等。直角三角形：有一個角為90度的三角形，就是直角三角形。

直角三角形的性質(zhì)：（1）直角三角形兩個銳角互余；（2）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；

（3）直角三角形中，假如有一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；

（4）直角三角形中，假如有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角是30°；

（5）直角三角形中，c2＝a2＋b2（其中：a、b為兩直角邊長，c為斜邊長）；（6）直角三角形的外接圓半徑，同時也是斜邊上的中線；直角三角形的鑒定：（1）有一個角為90°；（2）邊上的中線等于這條邊長的一半；（3）若c2＝a2＋b2，則以a、b、c為邊的三角形是直角三角形；2.面積公式：正方形＝邊長×邊長；長方形＝長×寬；三角形＝×底×高；梯形＝；圓形＝R2平行四邊形＝底×高扇形＝R2正方體＝6×邊長×邊長長方體＝2×（長×寬＋寬×高＋長×高）；圓柱體＝2πr2＋2πrh；球的表面積＝4R23.體積公式正方體＝邊長×邊長×邊長；長方體＝長×寬×高；圓柱體＝底面積×高＝Sh＝πr2h圓錐＝πr2h球＝4.與圓有關(guān)的公式設(shè)圓的半徑為r，點到圓心的距離為d，則有：（1）d﹤r：點在圓內(nèi)（即圓的內(nèi)部是到圓心的距離小于半徑的點的集合）；（2）d＝r：點在圓上（即圓上部分是到圓心的距離等于半徑的點的集合）；（3）d﹥r：點在圓外（即圓的外部是到圓心的距離大于半徑的點的集合）；線與圓的位置關(guān)系的性質(zhì)和鑒定：假如⊙O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d，那么：（1）直線與⊙O相交：d﹤r；（2）直線與⊙O相切：d＝r；（3）直線與⊙O相離：d﹥r；圓與圓的位置關(guān)系的性質(zhì)和鑒定：設(shè)兩圓半徑分別為R和r，圓心距為d，那么：（1）兩圓外離：；（2）兩圓外切：；（3）兩圓相交：（）；（4）兩圓內(nèi)切：（）；（5）兩圓內(nèi)含：（）．圓周長公式：C＝2πR＝πd（其中R為圓半徑，d為圓直徑，π≈3.1415926≈）；的圓心角所對的弧長的計算公式：＝；扇形的面積：（1）S扇＝πR2；（2）S扇＝R；若圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則它的側(cè)面積：S側(cè)＝πr；圓錐的體積：V＝Sh＝πr2h。三、其他常用知識1．2X、3X、7X、8X的尾數(shù)都是以4為周期進行變化的；4X、9X的尾數(shù)都是以2為周期進行變化的；此外5X和6X的尾數(shù)恒為5和6，其中x屬于自然數(shù)。2．對任意兩數(shù)a、b，假如a－b＞0，則a＞b；假如a－b＜0，則a＜b；假如a－b＝0，則a＝b。當(dāng)a、b為任意兩正數(shù)時，假如a/b＞1，則a＞b；假如a/b＜1，則a＜b；假如a/b＝1，則a＝b。當(dāng)a、b為任意兩負數(shù)時，假如a/b＞1，則a＜b；假如a/b＜1，則a＞b；假如a/b＝1，則a＝b。對任意兩數(shù)a、b，當(dāng)很難直接用作差法或者作商法比較大小時，我們通常選取中間值C，假如a＞C，且C＞b，則我們說a＞b。3．工程問題：工作量＝工作效率×工作時間；工作效率＝工作量÷工作時間；工作時間＝工作量÷工作效率；總工作量＝各分工作量之和；注：在解決實際問題時，常設(shè)總工作量為1。4．方陣問題：（1）實心方陣：方陣總?cè)藬?shù)＝（最外層每邊人數(shù)）2最外層人數(shù)＝（最外層每邊人數(shù)－1）×4（2）空心方陣：中空方陣的人數(shù)＝（最外層每邊人數(shù)）2-（最外層每邊人數(shù)-2×層數(shù)）2＝（最外層每邊人數(shù)-層數(shù)）×層數(shù)×4=中空方陣的人數(shù)。例：有一個3層的中空方陣，最外層有10人，問全陣有多少人？解：（10－3）×3×4＝84（人）5．利潤問題：（1）利潤＝銷售價（賣出價）－成本；利潤率＝＝＝－1；銷售價＝成本×（1＋利潤率）；成本＝。（2）單利問題利息＝本金×利率×?xí)r期；

本利和＝本金＋利息＝本金×（1+利率×?xí)r期）；

本金＝本利和÷（1+利率×?xí)r期）。

年利率÷12=月利率；

月利率×12=年利率。例：某人存款2400元，存期3年，月利率為10．2‰（即月利1分零2毫），三年到期后，本利和共是多少元？”解：用月利率求。3年=12月×3=36個月

2400×（1+10．2％×36）=2400×1．3672=3281．28（元）6．排列數(shù)公式：P＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1），（m≤n）組合數(shù)公式：C＝P÷P＝（規(guī)定＝1）?！把b錯信封”問題：D1＝0，D2＝1，D3＝2，D4＝9，D5＝44，D6＝265，7.年齡問題：關(guān)鍵是年齡差不變；幾年后年齡＝大小年齡差÷倍數(shù)差－小年齡幾年前年齡＝小年齡－大小年齡差÷倍數(shù)差8.日期問題：閏年是366天，平年是365天，其中：1、3、5、7、8、10、12月都是31天，4、6、9、11是30天，閏年時候2月份29天，平年2月份是28天。9.植樹問題（1）線形植樹：棵數(shù)＝總長間隔＋1（2）環(huán)形植樹：棵數(shù)＝總長間隔（3）樓間植樹：棵數(shù)＝總長間隔－1（4）剪繩問題：對折N次，從中剪M刀，則被剪成了（2N×M＋1）段10.雞兔同籠問題：雞數(shù)＝（兔腳數(shù)×總頭數(shù)-總腳數(shù)）÷（兔腳數(shù)-雞腳數(shù)）（一般將“每”量視為“腳數(shù)”）得失問題（雞兔同籠問題的推廣）：不合格品數(shù)＝（1只合格品得分?jǐn)?shù)×產(chǎn)品總數(shù)-實得總分?jǐn)?shù)）÷（每只合格品得分?jǐn)?shù)+每只不合格品扣分?jǐn)?shù)）＝總產(chǎn)品數(shù)-（每只不合格品扣分?jǐn)?shù)×總產(chǎn)品數(shù)+實得總分?jǐn)?shù)）÷（每只合格品得分?jǐn)?shù)+每只不合格品扣分?jǐn)?shù)）例：“燈泡廠生產(chǎn)燈泡的工人，按得分的多少給工資。每生產(chǎn)一個合格品記4分，每生產(chǎn)一個不合格品不僅不記分，還要扣除15分。某工人生產(chǎn)了1000只燈泡，共得3525分，問其中有多少個燈泡不合格？”解：（4×1000-3525）÷（4+15）=475÷19=25（個）11．盈虧問題：（1）一次盈，一次虧：（盈+虧）÷（兩次每人分派數(shù)的差）=人數(shù)（2）兩次都有盈：（大盈-小盈）÷（兩次每人分派數(shù)的差）=人數(shù)（3）兩次都是虧：（大虧-小虧）÷（兩次每人分派數(shù)的差）=人數(shù)（4）一次虧，一次剛好：虧÷（兩次每人分派數(shù)的差）=人數(shù)（5）一次盈，一次剛好：盈÷（兩次每人分派數(shù)的差）=人數(shù)例：“小朋友分桃子，每人10個少9個，每人8個多7個。問：有多少個小朋友和多少個桃子？”

解（7+9）÷（10-8）=16÷2=8（個）………………人數(shù)

10×8-9=80-9=71（個）………………桃子

12.行程問題：（1）平均速度：平均速度＝（2）相遇追及：相遇（背離）：路程÷速度和＝時間追及：路程÷速度差＝時間（3）流水行船：順?biāo)俣龋酱伲?；逆水速度＝船速－水速。兩船相向航行時，甲船順?biāo)俣?乙船逆水速度=甲船靜水速度+乙船靜水速度

兩船同向航行時，后（前）船靜水速度-前（后）船靜水速度=兩船距離縮小（拉大）速度。（4）火車過橋：列車完全在橋上的時間＝（橋長－車長）÷列車速度列車從開始上橋到完全下橋所用的時間＝（橋長＋車長）÷列車速度（5）多次相遇：相向而行，第一次相遇距離甲地a千米，第二次相遇距離乙地b千米，則甲乙兩地相距S＝3a-b（千米）（6）鐘表問題：鐘面上按“分針”分為60小格，時針的轉(zhuǎn)速是分針的，分針每小時可追及時針與分針一晝夜重合22次，垂直44次，成180o22次。時分秒重疊2次13．容斥原理：A＋B=+A+B+C=+++-其中，＝E14．牛吃草問題：原有草量＝（牛數(shù)－天天長草量）×天數(shù)，其中：一般設(shè)天天長草量為X2023國家公務(wù)員考試行測備考數(shù)量關(guān)系萬能解法：文氏圖

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動化，可以變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。此外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷。

縱觀近幾年公務(wù)員考試真題，無論是國考還是地方考試，集合問題作為一個熱點問題幾乎每年都會考到，此類題目的特點是總體難度不大，只要方法得當(dāng)，一般都很容易求解。下面為大家介紹用數(shù)形結(jié)合方法解這類題的經(jīng)典方法：文氏圖。

一般來說，考試中?？嫉募详P(guān)系重要有下面兩種：

1.并集∪定義：取一個集合，設(shè)全集為I，A、B是I中的兩個子集，由所有屬于A或?qū)儆贐的元素所組成的集合，叫做A，B的并集，表達：A∪B。

比如說，現(xiàn)在要挑選一批人去參與籃球比賽。條件A是，這些人年齡要在18歲以上，條件B是，這些人身高要在180CM以上，那么符合條件的人就是取條件A和B的并集，就是兩個條件都符合的人：18歲以上且身高在180CM以上。

2.交集∩定義：（交就是取兩個集合共同的元素）A和B的交集是具有所有既屬于A又屬于B的元素，而沒有其他元素的集合。A和B的交集寫作“A∩B”。形式上：x屬于A∩B當(dāng)且僅當(dāng)x屬于A且x屬于B。

例如：集合{1，2，3}和{2，3，4}的交集為{2，3}。數(shù)字9不屬于素數(shù)集合{2，3，5，7，11}和奇數(shù)集合{1，3，5，7，9，11｝的交集。若兩個集合A和B的交集為空，就是說他們沒有公共元素，則他們不相交。

（I）取一個集合，設(shè)全集為I，A、B是I中的兩個子集，X為A和B的相交部分，則集合間有如下關(guān)系：

A∩B＝X，A＋B＝A∪B－X；文氏圖如下圖。

下面讓我們回顧一下歷年國考和地方真題，了解一下文氏圖的一些應(yīng)用。

例：如下圖所示，X、Y、Z分別是面積為64、180、160的三個不同形狀的紙片，它們部分重疊放在一起蓋在桌面上，總共蓋住的面積為290，且X與Y、Y與Z、Z與X重疊部分面積分別為24、70、36，問陰影部分的面積是多少？（）

A.15

B.16

C.14

D.18

【答案：B】從題干及提供的圖我們可以看出，所求的陰影部分的面積即（II）中的x，直接套用上述公式，我們可以得到：X∪Y∪Z＝64+180+160，X∩Z＝24，X∩Y＝36，Y∩Z＝70，則：x＝X∪Y∪Z－[X＋Y＋Z－X∩Z－X∩Y－Y∩Z]＝290－[64＋180＋160－24－70－36]＝16

從圖上可以清楚的看到，所求的陰影部分是X，Y，Z這三個圖形的公共部分。即圖1中的x，由題意有：64＋180＋160－24－70－36＋x＝290，解得x＝16。

例：旅行社對120人的調(diào)查顯示，喜歡爬山的與不喜歡爬山的人數(shù)比為5：3，喜歡游泳的與不喜歡游泳的人數(shù)比為7：5，兩種活動都喜歡的有43人，對這兩種活動都不喜歡的人數(shù)是（）。

A.18B.27C.28D.32

【答案：A】欲求兩種活動都喜歡的人數(shù)，我們可以先求出兩種活動都不喜歡的人數(shù)。套用（I）中的公式：喜歡爬山的人數(shù)為120×58＝75，可令A(yù)＝75；喜歡游泳的人數(shù)為120×712＝70，可令B＝70；兩種活動都喜歡的有43人，即A∩B＝43，故兩項活動至少喜歡一個的人數(shù)為75＋70－43＝102人，即A∪B＝105，則兩種活動都不喜歡的人數(shù)為120－102＝18（人）。

例：某外語班的30名學(xué)生中，有8人學(xué)習(xí)英語，12人學(xué)習(xí)日語，3人既學(xué)英語也學(xué)日語，問有多少人既不學(xué)英語又沒學(xué)日語？（）

A.12B.13C.14D.15

【答案：B】題中規(guī)定的是既不學(xué)英語又不學(xué)日語的人數(shù)，我們可以先求出既學(xué)英語又學(xué)日語的人數(shù)?？?cè)藬?shù)減去既學(xué)英語又學(xué)日語的人數(shù)即為所求的人數(shù)。套用上面的公式可知，即學(xué)英語也學(xué)日語的人數(shù)為8＋12－3＝17，則既不學(xué)英語又沒學(xué)日語的人數(shù)是：30－（8＋12－3）＝13。

例：電視臺向100人調(diào)查昨天收看電視情況，有62人看過2頻道，34人看過8頻道，11人兩個頻道都看過。問，兩個頻道都沒有看過的有多少人？（）

A．4B．15C．17D．28答案：B】本題解法同上，直接套用上述公式求出既看過2頻道又看過8頻道的人數(shù)為62＋34－11＝85人，則兩個頻道都沒看過的有100－85＝15人。就我自己考試經(jīng)歷而言，其實沒有快速方法，唯有多練習(xí)，下面的可以參考一下在排列組合中，有三種特別常用的方法：捆綁法、插空法、插板法。一、捆綁法精要：所謂捆綁法，指在解決對于某幾個元素規(guī)定相鄰的問題時，先整體考慮，將相鄰元素視作一個整體參與排序，然后再單獨考慮這個整體內(nèi)部各元素間順序。提醒：其首要特點是相鄰，另一方面捆綁法一般都應(yīng)用在不同物體的排序問題中。二、插空法精要：所謂插空法，指在解決對于某幾個元素規(guī)定不相鄰的問題時，先將其它元素排好，再將指定的不相鄰的元素插入已排好元素的間隙或兩端位置。提醒：首要特點是不鄰，另一方面是插空法一般應(yīng)用在排序問題中。三、插板法精要：所謂插板法，指在解決若干相同元素分組，規(guī)定每組至少一個元素時，采用將比所需分組數(shù)目少1的板插入元素之間形成分組的解題策略。文總結(jié)了數(shù)學(xué)運算排列組合解題法則，幫助廣大備考2023年江蘇公務(wù)員考試的考生了解排列組合常見問題及解題方法。

一、捆綁法

精要：所謂捆綁法，指在解決對于某幾個元素規(guī)定相鄰的問題時，先整體考慮，將相鄰元素視作一個整體參與排序，然后再單獨考慮這個整體內(nèi)部各元素間順序。

提醒：其首要特點是相鄰，另一方面捆綁法一般都應(yīng)用在不同物體的排序問題中。

【例題】有10本不同的書：其中數(shù)學(xué)書4本，外語書3本，語文書3本。若將這些書排成一列放在書架上，讓數(shù)學(xué)書排在一起，外語書也恰好排在一起的排法共有()種。

解析：這是一個排序問題，書本之間是不同的，其中規(guī)定數(shù)學(xué)書和外語書都各自在一起。為快速解決這個問題，先將4本數(shù)學(xué)書看做一個元素，將3本外語書看做一個元素，然后和剩下的3本語文書共5個元素進行統(tǒng)一排序，方法數(shù)為，然后排在一起的4本數(shù)學(xué)書之間順序不同也相應(yīng)最后整個排序不同，所以在4本書內(nèi)部也需要排序，方法數(shù)為，同理，外語書排序方法數(shù)為。而三者之間是分步過程，故而用乘法原理得。

【例題】5個人站成一排，規(guī)定甲乙兩人站在一起，有多少種方法?

解析：先將甲乙兩人當(dāng)作1個人，與剩下的3個人一起排列，方法數(shù)為，然后甲乙兩個人也有順序規(guī)定，方法數(shù)為，因此站隊方法數(shù)為。

【練習(xí)】一臺晚會上有6個演唱節(jié)目和4個舞蹈節(jié)目，4個舞蹈節(jié)目要排在一起，有多少不同的安排節(jié)目的順序?

注釋：運用捆綁法時，一定要注意捆綁起來的整體內(nèi)部是否存在順序的規(guī)定，有的題目有順序的規(guī)定，有的則沒有。如下面的例題。

【例題】6個不同的球放到5個不同的盒子中，規(guī)定每個盒子至少放一個球，一共有多少種方法?

解析：按照題意，顯然是2個球放到其中一個盒子，此外4個球分別放到4個盒子中，因此方法是先從6個球中挑出2個球作為一個整體放到一個盒子中，然后這個整體和剩下的4個球分別排列放到5個盒子中，故方法數(shù)是。

二、插空法

精要：所謂插空法，指在解決對于某幾個元素規(guī)定不相鄰的問題時，先將其它元素排好，再將指定的不相鄰的元素插入已排好元素的間隙或兩端位置。

提醒：首要特點是不鄰，另一方面是插空法一般應(yīng)用在排序問題中。

【例題】若有A、B、C、D、E五個人排隊，規(guī)定A和B兩個人必須不站在一起，則有多少排隊方法?

解析：題中規(guī)定AB兩人不站在一起，所以可以先將除A和B之外的3個人排成一排，方法數(shù)為，然后再將A和B分別插入到其余3個人排隊所形成的4個空中，也就是從4個空中挑出兩個并排上兩個人，其方法數(shù)為，因此總方法數(shù)。

【例題】8個人排成一隊，規(guī)定甲乙必須相鄰且與丙不相鄰，有多少種方法?

解析：甲乙相鄰，可以捆綁看作一個元素，但這個整體元素又和丙不相鄰，所以先不排這個甲乙丙，而是排剩下的5個人，方法數(shù)為，然后再將甲乙構(gòu)成的整體元素及丙這兩個元素插入到此前5人所形成的6個空里，方法數(shù)為，此外甲乙兩個人內(nèi)部還存在排序規(guī)定為。故總方法數(shù)為。

【練習(xí)】5個男生3個女生排成一排，規(guī)定女生不能相鄰，有多少種方法?

注釋：將規(guī)定不相鄰元素插入排好元素時，要注釋是否可以插入兩端位置。

【例題】若有A、B、C、D、E五個人排隊，規(guī)定A和B兩個人必須不站在一起，且A和B不能站在兩端，則有多少排隊方法?

解析：原理同前，也是先排好C、D、E三個人，然后將A、B查到C、D、E所形成的兩個空中，由于A、B不站兩端，所以只有兩個空可選，方法總數(shù)為。

注釋：對于捆綁法和插空法的區(qū)別，可簡樸記為“相鄰問題捆綁法，不鄰問題插空法”。

三、插板法

精要：所謂插板法，指在解決若干相同元素分組，規(guī)定每組至少一個元素時，采用將比所需分組數(shù)目少1的板插入元素之間形成分組的解題策略。

提醒：其首要特點是元素相同，另一方面是每組至少具有一個元素，一般用于組合問題中。

【例題】將8個完全相同的球放到3個不同的盒子中，規(guī)定每個盒子至少放一個球，一共有多少種方法?

解析：解決這道問題只需要將8個球提成三組，然后依次將每一組分別放到一個盒子中即可。因此問題只需要把8個球提成三組即可，于是可以講8個球排成一排，然后用兩個板查到8個球所形成的空里，即可順利的把8個球提成三組。其中第一個板前面的球放到第一個盒子中，第一個板和第二個板之間的球放到第二個盒子中，第二個板后面的球放到第三個盒子中去。由于每個盒子至少放一個球，因此兩個板不能放在同一個空里且板不能放在兩端，于是其放板的方法數(shù)是。(板也是無區(qū)別的)

【例題】有9顆相同的糖，天天至少吃1顆，要4天吃完，有多少種吃法?

解析：原理同上，只需要用3個板插入到9顆糖形成的8個內(nèi)部空隙，將9顆糖提成4組且每組數(shù)目不少于1即可。因而3個板互不相鄰，其方法數(shù)為。

【練習(xí)】現(xiàn)有10個完全相同的籃球所有分給7個班級，每班至少1個球，問共有多少種不同的分法?

注釋：每組允許有零個元素時也可以用插板法，其原理不同，注意下題解法的區(qū)別。

【例題】將8個完全相同的球放到3個不同的盒子中，一共有多少種方法?

解析：此題中沒有規(guī)定每個盒子中至少放一個球，因此其解法不同于上面的插板法，但依舊是插入2個板，提成三組。但在分組的過程中，允許兩塊板之間沒有球。其考慮思維為插入兩塊板后，與本來的8個球一共10個元素。所有方法數(shù)實際是這10個元素的一個隊列，但由于球之間無差別，板之間無差別，所以方法數(shù)實際為從10個元素所占的10個位置中挑2個位置放上2個板，其余位置所有放球即可。因此方法數(shù)為。

注釋：特別注意插板法與捆綁法、插空法的區(qū)別之處在于其元素是相同的。

四、具體應(yīng)用

【例題】一條馬路上有編號為1、2、……、9的九盞路燈，現(xiàn)為了節(jié)約用電，要將其中的三盞關(guān)掉，但不能同時關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，則所有不同的關(guān)燈方法有多少種?

解析：要關(guān)掉9盞燈中的3盞，但規(guī)定相鄰的燈不能關(guān)閉，因此可以先將要關(guān)掉的3盞燈拿出來，這樣還剩6盞燈，現(xiàn)在只需把準(zhǔn)備關(guān)閉的3盞燈插入到亮著的6盞燈所形成的空隙之間即可。6盞燈的內(nèi)部及兩端共有7個空，故方法數(shù)為。

【例題】一條馬路的兩邊各立著10盞電燈，現(xiàn)在為了節(jié)省用電，決定每邊關(guān)掉3盞，但為了安全，道路起點和終點兩邊的燈必須是亮的，并且任意一邊不能連續(xù)關(guān)掉兩盞。問總共可以有多少總方案?

A、120B、320C、400D、420

解析：考慮一側(cè)的關(guān)燈方法，10盞燈關(guān)掉3盞，還剩7盞，由于兩端的燈不能關(guān)，表達3盞關(guān)掉的燈只能插在7盞燈形成的6個內(nèi)部空隙中，而不能放在兩端，故方法數(shù)為，總方法數(shù)為。

注釋：由于兩邊關(guān)掉的種數(shù)肯定是同樣的(由于兩邊是同等地位)，并且總的種數(shù)是一邊的種數(shù)乘以另一邊的種數(shù)，因此關(guān)的方案數(shù)一定是個平方數(shù)，只有C符合。排列組合

加法原理：做一件事，完畢它可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有mn種不同的方法．那么完畢這件事共有N＝m1十m2十…十乘法原理：做一件事，完畢它需要提成n個環(huán)節(jié)，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法．那么完畢這件事共有N＝m1m2…m

6．排列數(shù)公式：P＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1），（m≤n）組合數(shù)公式：C＝P÷P＝（規(guī)定＝1）。例15位高中畢業(yè)生，準(zhǔn)備報考3所高等院校，每人報且只報一所，不同的報名方法共有多少種?解：5個學(xué)生中每人都可以在3所高等院校中任選一所報名，因而每個學(xué)生都有3種不同的報名方法，根據(jù)乘法原理，得到不同報名方法總共有3×3×3×3×3=35(種)例2從4臺甲型和5臺乙型電視機中任意取出3臺，其中至少有甲型與乙型電視機各1臺，則不同的取法共有()A.140種B.84種C.70種D.35種解：抽出的3臺電視機中甲型1臺乙型2臺的取法有C14·C25種；甲型2臺乙型1臺的取法有C24·C15種根據(jù)加法原理可得總的取法有C24·C25+C24·C15=40+30=70(種)可知此題應(yīng)選C.例3由數(shù)字1、2、3、4、5組成沒有反復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中小于50000的偶數(shù)共有()A.60個B.48個C.36個D.24個解由于規(guī)定是偶數(shù)，個位數(shù)只能是2或4的排法有P12；小于50000的五位數(shù)，萬位只能是1、3或2、4中剩下的一個的排法有P13;在首末兩位數(shù)排定后，中間3個位數(shù)的排法有P33，得P13P33P12＝36(個)由此可知此題應(yīng)選C.例4將數(shù)字1、2、3、4填入標(biāo)號為1、2、3、4的四個方格里，每格填一個數(shù)字，則每個方格的標(biāo)號與所填的數(shù)字均不同的填法有多少種?解：將數(shù)字1填入第2方格，則每個方格的標(biāo)號與所填的數(shù)字均不相同的填法有3種，即2143，3142，4123；同樣將數(shù)字1填入第3方格，也相應(yīng)著3種填法；將數(shù)字1填入第4方格，也相應(yīng)3種填法，因此共有填法為3P13=9(種).例5甲、乙、丙、丁四個公司承包8項工程，甲公司承包3項，乙公司承包1項，丙、丁公司各承包2項，問共有多少種承包方式?解：甲公司從8項工程中選出3項工程的方式C38種；乙公司從甲公司挑選后余下的5項工程中選出1項工程的方式有C15種；丙公司從甲乙兩公司挑選后余下的4項工程中選出2項工程的方式有C24種；丁公司從甲、乙、丙三個公司挑選后余下的2項工程中選出2項工程的方式有C22種.根據(jù)乘法原理可得承包方式的種數(shù)有×C15×C24×C22=×1=1680(種).例6由數(shù)學(xué)0，1，2，3，4，5組成沒有反復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有().A.210個B.300個C.464個D.600個解：先考慮可組成無限制條件的六位數(shù)有多少個?應(yīng)有P15·P55=600個.由對稱性，個位數(shù)小于十位數(shù)的六位數(shù)和個位數(shù)大于十位數(shù)的六位數(shù)各占一半.∴有×600=300個符合題設(shè)的六位數(shù).應(yīng)選B.例7以一個正方體的頂點為頂點的四周體共有().A.70個B.64個C.58個D.52個解：如圖，正方體有8個頂點，任取4個的組合數(shù)為C48=70個.其中共面四點分3類：構(gòu)成側(cè)面的有6組；構(gòu)成垂直底面的對角面的有2組；形如(ADB1C1)的有4組.∴能形成四周體的有70-6-2-4=58(組)應(yīng)選C.例87人并排站成一行，假如甲、乙必須不相鄰，那么不同排法的總數(shù)是().A.1440B.3600C.4320D.4800解：7人的全排列數(shù)為P77.若甲乙必須相鄰則不同的排列數(shù)為P22P66.∴甲乙必須不相鄰的排列數(shù)為P77-P22P66=5P66=3600.應(yīng)選B.例9用1，2，3，4，四個數(shù)字組成的比1234大的數(shù)共有個(用品體數(shù)字作答).解：若無限制，則可組成4!=24個四位數(shù)，其中1234不合題設(shè).∴有24-1=23個符合題設(shè)的數(shù).例10用0，1，2，3，4這五個數(shù)字組成沒有反復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，那么在這些四位數(shù)中，是偶數(shù)的總共有().A.120個B.96個C.60個D.36個解：末位為0，則有P34=24個偶數(shù).末位不是0的偶數(shù)有P12P13P23=36個.∴共有24+36=60個數(shù)符合題設(shè).應(yīng)選C.

公務(wù)員行測排列組合問題的七大解題策略（修正版）排列組合問題是歷年公務(wù)員考試行測的必考題型，并且隨著近年公務(wù)員考試越來越熱門，國考中這部分題型的難度也在逐漸的加大，解題方法也趨于多樣化。解答排列組合問題，必須認真審題，明確是屬于排列問題還是組合問題，或者屬于排列與組合的混合問題；同時要抓住問題的本質(zhì)特性，靈活運用基本原理和公式進行分析，還要注意講究一些策略和方法技巧。

一、排列和組合的概念

排列：從n個不同元素中，任取m個元素(這里的被取元素各不相同)按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列。

組合：從n個不同元素種取出m個元素拼成一組，稱為從n個不同元素取出m個元素的一個組合。

二、七大解題策略

1.特殊優(yōu)先法

特殊元素，優(yōu)先解決；特殊位置，優(yōu)先考慮。對于有附加條件的排列組合問題，一般采用：先考慮滿足特殊的元素和位置，再考慮其它元素和位置。

例：從6名志愿者中選出4人分別從事翻譯、導(dǎo)游、導(dǎo)購、保潔四項不同的工作，若其中甲、乙兩名志愿者都不能從事翻譯工作，則不同的選派方案共有()

(A)280種(B)240種(C)180種(D)96種

對的答案：【B】

解析：由于甲、乙兩名志愿者都不能從事翻譯工作，所以翻譯工作就是“特殊”位置，因此翻譯工作從剩下的四名志愿者中任選一人有C(4,1)=4種不同的選法，再從其余的5人中任選3人從事導(dǎo)游、導(dǎo)購、保潔三項不同的工作有A(5,3)=60種不同的選法，所以不同的選派方案共有C(4,1)×A(5,3)=240種，所以選B。

2.科學(xué)分類法

問題中既有元素的限制，又有排列的問題，一般是先元素(即組合)后排列。

對于較復(fù)雜的排列組合問題，由于情況繁多，因此要對各種不同情況，進行科學(xué)分類，以便有條不紊地進行解答，避免反復(fù)或漏掉現(xiàn)象發(fā)生。同時明確分類后的各種情況符合加法原理，要做相加運算。

例：某單位邀請10位教師中的6位參與一個會議，其中甲，乙兩位不能同時參與，則邀請的不同方法有()種。

A.84B.98C.112D.140

對的答案【D】

解析：按規(guī)定：甲、乙不能同時參與提成以下幾類：

a。甲參與，乙不參與，那么從剩下的8位教師中選出5位，有C(8，5)=56種；

b。乙參與，甲不參與，同(a)有56種；

c。甲、乙都不參與，那么從剩下的8位教師中選出6位，有C(8，6)=28種。

故共有56+56+28=140種。

3.間接法

即部分符合條件排除法，采用正難則反，等價轉(zhuǎn)換的策略。為求完畢某件事的方法種數(shù)，假如我們分步考慮時，會出現(xiàn)某一步的方法種數(shù)不擬定或計數(shù)有反復(fù)，就要考慮用分類法，分類法是解決復(fù)雜問題的有效手段，而當(dāng)正面分類情況種數(shù)較多時，則就考慮用間接法計數(shù)。

例：從6名男生，5名女生中任選4人參與競賽，規(guī)定男女至少各1名，有多少種不同的選法？

A.240B.310C.720D.1080

對的答案【B】

解析：此題從正面考慮的話情況比較多，假如采用間接法，男女至少各一人的反面就是分別只選男生或者女生，這樣就可以變化成C(11，4)-C(6，4)-C(5，4)=310。

4.捆綁法

所謂捆綁法，指在解決對于某幾個元素規(guī)定相鄰的問題時，先整體考慮，將相鄰元素視作一個整體參與排序，然后再單獨考慮這個整體內(nèi)部各元素間順序。