彈性力學(xué)第二章

彈性力學(xué)第二章第一頁，共三十七頁，2022年，8月28日前面講授的主要內(nèi)容：1、平面問題的基本物理量2、平面問題的基本方程3、平面問題的邊界條件4、平面問題的基本內(nèi)容復(fù)習(xí)……5、平面問題的基本關(guān)系第二頁，共三十七頁，2022年，8月28日基本物理量應(yīng)力分量應(yīng)變分量位移分量基本物理量已知物理量未知物理量注：基本未知量都是位置坐標(biāo)的函數(shù)！體力分量面力分量位移約束第三頁，共三十七頁，2022年，8月28日或物理方程平衡微分方程幾何方程基本方程基本方程是共性!第四頁，共三十七頁，2022年，8月28日邊界條件應(yīng)力邊界條件位移邊界條件注意：面力和應(yīng)力在不同邊界面上的正負(fù)號(hào)規(guī)

定不同。記住：面力始終沿坐標(biāo)正向?yàn)檎?，沿坐?biāo)負(fù)向

為負(fù)；應(yīng)力正面正向?yàn)檎?，?fù)面負(fù)向?yàn)?/p>

正，與之相反。邊界條件混合邊界條件邊界條件是個(gè)性!第五頁，共三十七頁，2022年，8月28日平衡微分方程幾何方程物理方程基本方程歸納與總結(jié)應(yīng)力邊界條件位移邊界條件混合邊界條件邊界條件3個(gè)應(yīng)力分量3個(gè)應(yīng)變分量2個(gè)位移分量基本物理量已知物理量未知物理量體力面力約束彈性力學(xué)問題中的基本內(nèi)容第六頁，共三十七頁，2022年，8月28日面力體力給定的位移值域內(nèi)的位移邊界上的位移邊界上的應(yīng)力域內(nèi)的應(yīng)力域內(nèi)的應(yīng)變外力位移靜力平衡幾何協(xié)調(diào)應(yīng)力物理方程應(yīng)力邊界條件平衡微分方程幾何方程位移邊界條件歸納與總結(jié)彈性力學(xué)問題中的基本物理量應(yīng)同時(shí)滿足基本方程和邊界條件，其解答才是唯一的、精確的。彈性力學(xué)問題中的基本關(guān)系式第七頁，共三十七頁，2022年，8月28日新課開始......第八頁，共三十七頁，2022年，8月28日第二章平面問題的基本理論至此，已經(jīng)建立了求解彈性力學(xué)平面問題的基本方程和邊界條件。在給定的邊界條件下，需要求解由8個(gè)基本未知量組成的偏微分方程組。問題的實(shí)質(zhì)和核心就是減少基本未知量的個(gè)數(shù)！通常采用類似于代數(shù)方程中的消元法進(jìn)行求解。第九頁，共三十七頁，2022年，8月28日§2-4基本解法基本解法位移法應(yīng)力法是以位移分量為基本未知函數(shù)，從基本方程和邊界條件中消去應(yīng)力和應(yīng)變分量，導(dǎo)出只含位移分量的方程和邊界條件。并由此解出位移分量，再求出應(yīng)變分量和應(yīng)力分量。是以應(yīng)力分量為基本未知函數(shù)，從基本方程和邊界條件中消去位移和應(yīng)變分量，導(dǎo)出只含應(yīng)力分量的方程和邊界條件。并由此解出應(yīng)力分量，再求出應(yīng)變分量和位移分量。第十頁，共三十七頁，2022年，8月28日位移解法物理方程平衡方程幾何方程按位移求解的基本微分方程彈性方程以平面應(yīng)力問題為例第十一頁，共三十七頁，2022年，8月28日用位移表示的邊界條件位移邊界條件應(yīng)力邊界條件彈性方程應(yīng)力表示位移表示用位移表示應(yīng)力第十二頁，共三十七頁，2022年，8月28日本節(jié)小結(jié)按位移求解時(shí)，位移分量必須滿足區(qū)域內(nèi)的基本微分方程(a)和邊界條件(b)、(c)。式(a)、(b)、(c)是求解位移分量

的條件，也是校核是否正確的全部條件。對(duì)于平面應(yīng)變問題，只要將式(a)、(b)、(c)中的E、分別作替換：

第十三頁，共三十七頁，2022年，8月28日用位移法求解圖中問題的位移和應(yīng)力上端為連桿支承、下端自由的桿件問題。如圖(a)所示，只受重力作用。如果兩端均為連桿支承的桿件問題。如圖(b)所示，其結(jié)果又將如何。注意：為簡(jiǎn)化分析，可假設(shè)位移分量：

習(xí)題講解第十四頁，共三十七頁，2022年，8月28日將位移分量代入按位移求解的基本微分方程：注意到，可得：圖(b)中的邊界條件：圖(a)中的邊界條件：基本微分方程邊界條件求解微分方程，有：(混合邊界)(應(yīng)力邊界)(混合邊界)(混合邊界)第十五頁，共三十七頁，2022年，8月28日位移和應(yīng)力的表達(dá)式位移分量圖(b)中的邊界條件：圖(a)中的邊界條件：邊界條件(混合邊界)(應(yīng)力邊界)(混合邊界)(混合邊界)應(yīng)力分量彈性方程第十六頁，共三十七頁，2022年，8月28日?qǐng)D(a)中的解答位移分量應(yīng)力分量待定系數(shù)圖(b)中的解答第十七頁，共三十七頁，2022年，8月28日討論與延拓

對(duì)于左右兩個(gè)邊界面，其應(yīng)力邊界條件為：根據(jù)(a)、(b)中的應(yīng)力分量：顯然，僅當(dāng)泊松比時(shí)，左右邊界條件才能滿足，此時(shí)求得的位移與應(yīng)力分量才是精確解答。當(dāng)泊松比時(shí)，上述所求的位移與應(yīng)力分量都不是精確解答，需要重新假設(shè)位移分量，有關(guān)這一討論將在后面進(jìn)行。第十八頁，共三十七頁，2022年，8月28日二、應(yīng)力解法

取為基本未知函數(shù)

應(yīng)變與位移分量用應(yīng)力分量來表示

應(yīng)變分量物理方程(平面應(yīng)力問題)平衡方程用應(yīng)力表示（需保留）第十九頁，共三十七頁，2022年，8月28日幾何方程消除位移物理方程平衡微分方程化簡(jiǎn)相容方程相容方程用應(yīng)變表示：用應(yīng)力表示：第二十頁，共三十七頁，2022年，8月28日（1）區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程：（2）區(qū)域內(nèi)的用應(yīng)力表示的相容方程：（3）邊界上的應(yīng)力邊界條件：（4）對(duì)于多連體，還須滿足位移的單值條件。按應(yīng)力求解平面應(yīng)力問題，應(yīng)力必須滿足:本節(jié)小結(jié)也是校核應(yīng)力分量是否正確的全部條件第二十一頁，共三十七頁，2022年，8月28日

【P33習(xí)題2-13(a)】檢驗(yàn)應(yīng)力分量x

=y2q/b2，y=xy=0是否為圖示平面問題的正確解答。習(xí)題講解【分析】驗(yàn)證一組應(yīng)力分量是否為給定平面問題的正確解答，需要滿足的條件：區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程區(qū)域內(nèi)的相容方程全部應(yīng)力邊界上的邊界條件對(duì)于多連體，還需滿足位移單值條件顯然，本例題為單連體，位移單值條件不需要驗(yàn)證！

第二十二頁，共三十七頁，2022年，8月28日盡管應(yīng)力分量滿足平衡微分方程和全部的應(yīng)力邊界條件，但它們不滿足相容方程。因此，這組應(yīng)力分量不是所給平面問題的正確解答。【解】驗(yàn)證如下：平衡微分方程應(yīng)力分量滿足相容方程邊界條件不滿足滿足【結(jié)論】第二十三頁，共三十七頁，2022年，8月28日歸納與總結(jié)彈性力學(xué)平面問題的基本理論基本物理量已知物理量未知物理量平衡微分方程幾何方程物理方程基本方程應(yīng)力邊界條件位移邊界條件混合邊界條件邊界條件體力、面力、約束應(yīng)力、應(yīng)變、位移位移解法應(yīng)力解法基本解法應(yīng)力函數(shù)解法第二十四頁，共三十七頁，2022年，8月28日面力體力給定的位移值域內(nèi)的位移邊界上的位移邊界上的應(yīng)力域內(nèi)的應(yīng)力域內(nèi)的應(yīng)變外力位移靜力平衡幾何協(xié)調(diào)應(yīng)力物理方程應(yīng)力邊界條件平衡微分方程幾何方程位移邊界條件歸納與總結(jié)彈性力學(xué)問題中的基本物理量應(yīng)同時(shí)滿足基本方程和邊界條件，其解答才是唯一的、精確的。彈性力學(xué)問題中的基本關(guān)系式第二十五頁，共三十七頁，2022年，8月28日1.試比較按位移求解的方法和按應(yīng)力求解的方法，并與結(jié)構(gòu)力學(xué)中的位移法和力法作比較。2.若是否可能成為彈性體中的應(yīng)變？（體力不計(jì)）3.若是否可能為彈性體中的應(yīng)力？思考與作業(yè)第二十六頁，共三十七頁，2022年，8月28日三、常體力問題的應(yīng)力函數(shù)法(2)平衡微分方程：

(1)相容方程：

在常體力情況下，均為常數(shù)，按應(yīng)力求解彈性力學(xué)兩類平面問題時(shí)，在區(qū)域內(nèi)應(yīng)滿足的條件：在常體力時(shí)，平衡微分方程的全解可以直接導(dǎo)出。根據(jù)微分方程理論，非齊次微分方程的全解是非齊次微分方程的特解和齊次微分方程的通解之和。第二十七頁，共三十七頁，2022年，8月28日平衡微分方程的全解非齊次的特解齊次微分方程艾里（Airy）在1862年導(dǎo)出:齊次的通解非齊次的全解齊次的通解非齊次的特解稱為艾里應(yīng)力函數(shù)第二十八頁，共三十七頁，2022年，8月28日存在存在艾里公式的推導(dǎo)第二十九頁，共三十七頁，2022年，8月28日或者平衡微分方程的全解相容方程應(yīng)力表示應(yīng)力函數(shù)表示第三十頁，共三十七頁，2022年，8月28日本節(jié)小結(jié)（1）區(qū)域內(nèi)相容方程：（2）全部邊界

上的應(yīng)力邊界條件（3）對(duì)于多連體，還需滿足位移單值條件

在常體力下求解兩類平面問題，可轉(zhuǎn)變?yōu)榘磻?yīng)力函數(shù)求解，

應(yīng)滿足:求出應(yīng)力函數(shù)后，于是應(yīng)力分量為：第三十一頁，共三十七頁，2022年，8月28日歸納與總結(jié)平面應(yīng)力問題平面應(yīng)變問題名

稱一般情況常體力用應(yīng)變表示用應(yīng)力函數(shù)表示(常體力情況)用應(yīng)力表示相容方程（或變形協(xié)調(diào)條件）的物理意義：相容方程是連續(xù)體中位移連續(xù)性的必然結(jié)果；相容方程是應(yīng)變對(duì)應(yīng)的位移存在且連續(xù)的必要條件。第三十二頁，共三十七頁，2022年，8月28日歸納與總結(jié)彈性力學(xué)平面問題的基本理論平衡微分方程幾何方程物理方程基本方程應(yīng)力邊界條件位移邊界條件混合邊界條件邊界條件基本物理量已知物理量未知物理量體力、面力、約束應(yīng)力、應(yīng)變、位移位移解法應(yīng)力解法基本解法應(yīng)力函數(shù)解法第三十三頁，共三十七頁，2022年，8月28日面力體力給定的位移值域內(nèi)的位移邊界上的位移邊界上的應(yīng)力域內(nèi)的應(yīng)力域內(nèi)的應(yīng)變外力位移靜力平衡幾何協(xié)調(diào)應(yīng)力物理方程應(yīng)力邊界條件平衡微分方程幾何方程位移邊界條件歸納與總結(jié)彈性力學(xué)問題中的基本物理量應(yīng)同時(shí)滿足基本方程和邊界條件，其解答才是唯一的、精確的。彈性力學(xué)問題中的基本關(guān)系式第三十四頁，共三十七頁，2022年，8月28日1、在常體力、單連體和全部為應(yīng)力邊界條件下，對(duì)于不同材料，兩類平面問題的應(yīng)力分量

是相同的。試問應(yīng)變和位移分量是否也相同？思考與作業(yè)2、對(duì)于按位移求解、按應(yīng)力求解和按應(yīng)力函數(shù)求解的方法，試比較其未知函數(shù)應(yīng)滿足的方程和條件，求解的難易程度及局限性。第三十五頁，共三十七頁，2022年，8月28日【P33習(xí)題2-10】檢驗(yàn)平面問題中的位移分量是否為正確解答的條件是什么？【P33習(xí)題2-11】檢驗(yàn)平面問題中的應(yīng)力分量是否為正確解答的條件是什么？思考與作業(yè)【P33習(xí)題2-12】檢驗(yàn)平面問題中的應(yīng)力函數(shù)

是否為正確解答的條件是什么？第三十六頁，共三十七頁，2022年