功率譜估計講解學習

1第四章功率(gōnglǜ)譜估計第一頁，共74頁。2譜估計的基本任務是根據(jù)(gēnjù)有限個觀測數(shù)據(jù)，估計平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度。譜：頻譜，功率譜對于我們所研究的信號，隨機平穩(wěn)信號，功率譜第二頁，共74頁。34.1引言(yǐnyán)時鐘,日歷:經驗譜棱鏡分解一束光:光譜每一種(yīzhǒnɡ)譜估計的技術都可以認為是一種(yīzhǒnɡ)模型法，具體地說，就是根據(jù)過程的先驗知識，建立一個近似實際過程的模型；其次利用觀測數(shù)據(jù)或自相關函數(shù)來估計函數(shù)的模型參數(shù)，最后做譜估計。第三頁，共74頁。4維納——辛欽定(qīndìng)理第四頁，共74頁。5

功率(gōnglǜ)譜的另一種定義第五頁，共74頁。6當信號(xìnhào)具有遍歷性時第六頁，共74頁。7辭海(cíhǎi)—譜(1)按照事務的類別(lèibié)或系統(tǒng)編成的表冊，年譜(2)供示范或尋檢用的圖書、樣本，如棋譜、畫譜、臉譜(3)曲線：樂譜(4)按歌詞作曲，曲譜(5)大致的依據(jù)、打算：心里有譜,做事沒譜(6)左右、大約：三十元之譜第七頁，共74頁。8復雜(fùzá)振動用譜線表示時，代表各振動的頻率和振幅的一系列直線，譜線數(shù)反映了該復雜(fùzá)振動所包含的諧振動的個數(shù)，各譜線的長短。譜線第八頁，共74頁。9考慮到是觀測數(shù)據(jù)，是隨機變量，取統(tǒng)計(tǒngjì)平均第九頁，共74頁。10二、譜估計方法(fāngfǎ)的概述第十頁，共74頁。11第十一頁，共74頁。12頻率分辯率低，這是由于有限個觀測數(shù)據(jù)加窗截斷的影響。主瓣：功率譜向附近頻域擴展，譜模糊，頻率分辯率低。旁瓣：譜間干擾，強信號的旁瓣影響弱信號的檢測(jiǎncè)，淹沒弱信號；或者把旁瓣誤以為信號。經典(jīngdiǎn)譜估計的缺點第十二頁，共74頁。13估計質量比經典譜估計質量有很大提高，需要針對不同的信號，選擇合適的模型，但目前(mùqián)尚未有任何理論來指導模型的選擇。一般來說，AR模型適合有譜峰的信號，MA模型適合有波谷的信號?，F(xiàn)代(xiàndài)譜估計第十三頁，共74頁。144.2經典(jīngdiǎn)譜估計第十四頁，共74頁。15一、BT法第十五頁，共74頁。161958年，Blackman和Tukey提出，在1965年FFT算法出現(xiàn)之前，BT法一直是最常用(chánɡyònɡ)的方法。理論基礎：維納——辛欽定理自相關函數(shù)的估計功率譜的估計第十六頁，共74頁。17根據(jù)前面的分析已經(yǐjing)知道，有偏自相關函數(shù)的估計優(yōu)于無偏自相關函數(shù)的估計第十七頁，共74頁。18實際上，根據(jù)有限個觀測數(shù)據(jù)來估計自相關函數(shù)的，假設信號為，進入(jìnrù)自相關函數(shù)估計的為，估計得到得自相關函數(shù)，則第十八頁，共74頁。19第十九頁，共74頁。20第二十頁，共74頁。21是由于截斷數(shù)據(jù)而產生的，為了減少截斷的影響，通常要增加一個窗函數(shù)進行(jìnxíng)平滑處理。設平滑窗為.第二十一頁，共74頁。22功率(gōnglǜ)譜第二十二頁，共74頁。23設的持續(xù)時間為，需要注意的是，考慮到功率的非負性，在選擇窗函數(shù)的時候(shíhou)，一定要保證功率譜是一個非負值。第二十三頁，共74頁。24誤差(wùchā)分析第二十四頁，共74頁。25可以看出，方差小M小偏移(piānyí)小M大主瓣窄，頻率分辯率高通常Ｍ取數(shù)據(jù)長度的．i.e.第二十五頁，共74頁。26二．周期(zhōuqī)圖法第二十六頁，共74頁。27忽略(hūlüè)求統(tǒng)計平均運算1.原理(yuánlǐ)：用DFT計算(jìsuàn)功率譜第二十七頁，共74頁。282.與BT法的關系(guānxì)第二十八頁，共74頁。29周期圖的譜估計與有偏自相關函數(shù)的估計等價(děngjià)序列后面加零，F(xiàn)FT譜線變密，頻率分辨率并沒有提高。第二十九頁，共74頁。303.周期圖譜(túpǔ)估計的

性能分析第三十頁，共74頁。31(1)均值(jūnzhí)第三十一頁，共74頁。32其中(qízhōng)，BT法譜估計第三十二頁，共74頁。33由(1)式可知因此，周期圖是有偏估計(gūjì)當時，，其頻譜趨近于函數(shù)，周期圖的估計(gūjì)屬于漸近無偏估計(gūjì)第三十三頁，共74頁。34（2）方差(fānɡchà)第三十四頁，共74頁。35假設x(n)是實的、零均值、正態(tài)白噪聲信號，方差為，則功率譜為常數(shù)。令N為數(shù)據(jù)(shùjù)長度第三十五頁，共74頁。36這里假設(jiǎshè)信號是實的白噪聲信號，周期圖估計是無偏估計。第三十六頁，共74頁。37要計算(jìsuàn)周期圖的均方值，先計算(jìsuàn)第三十七頁，共74頁。38第三十八頁，共74頁。39第三十九頁，共74頁。40第四十頁，共74頁。41第四十一頁，共74頁。42當N→∞時周期圖是非(shìfēi)一致估計第四十二頁，共74頁。43上面的推導是以為依據(jù)進行推導的，其定性(dìngxìng)結果在一個相當寬的范圍內立。第四十三頁，共74頁。44若，k，l均為整數(shù)(zhěngshù)，則第四十四頁，共74頁。45當且k+l不是N的整數(shù)倍時,以的整數(shù)倍為頻率間距(jiānjù)的周期圖是不相關的 協(xié)方差為零的功率譜樣本之間的間距(jiānjù)↓，周期圖的起伏增快。第四十五頁，共74頁。46第四十六頁，共74頁。47BT法和周期圖法(túfǎ)的主要優(yōu)點計算量小功率譜估計值正比(zhèngbǐ)于正弦波的功率是一種良好的實用模型第四十七頁，共74頁。48主要(zhǔyào)缺點:弱信號被強信號的旁瓣淹沒(yānmò)頻率分辯率約為數(shù)據(jù)長度的倒數(shù)，且與數(shù)據(jù)的特征或信噪比無關出現(xiàn)旁瓣，使譜失真需采用某種平滑或平均措施以改善譜估計的統(tǒng)計特性某些加窗的相關函數(shù)會使功率譜估計值出現(xiàn)負值第四十八頁，共74頁。49經典譜估計不可能(kěnéng)獲得良好的譜估計m↑，參與求和項數(shù)↓，平均效果↓，m=N-1，只有一項?！鷾罅恳暂^大的是不可靠(kěkào)的，估計方差大。第四十九頁，共74頁。50經典譜估計不可能(kěnéng)獲得良好的譜估計周期圖法用到了m=0~N-1的全部相關函數(shù)的估計值方差較大，BT法雖然可以通過使相關函數(shù)的最大滯后量M<N-1來去掉那些不可靠(kěkào)的相關函數(shù)估計值，但M↓,將FT的求和范圍縮短，變換式本身的近似程度↑。第五十頁，共74頁。51三.經典(jīngdiǎn)譜估計方法的改進第五十一頁，共74頁。52窗口處理(chǔlǐ)法：（FFT出現(xiàn)以前）選擇適當?shù)拇昂瘮?shù)作為加權平均。平均周期圖法：數(shù)據(jù)分段求出各段的平均周期圖取平均Welch法：改進的Bartlett法第五十二頁，共74頁。531.平均(píngjūn)周期圖分L組，每組有M個數(shù)據(jù)(shùjù)，第組：第五十三頁，共74頁。54第五十四頁，共74頁。55三角窗長度的減少，主瓣變寬，頻率分辨率減少，因此平均(píngjūn)周期圖法是以犧牲頻率分辨率換取方差的減小。信號(xìnhào)的功率譜第五十五頁，共74頁。56如果數(shù)據(jù)是不相關(xiāngguān)的（白噪聲），其偏移量、方差如上面的兩式所示。但實際信號存在關聯(lián)性，因此，在一般情況下，估計方差的減小少于。

當，功率譜越平滑。估計的偏移量與方差是一對矛盾。偏移大小反映的是頻率分辨率。當N確定，，方差減小，頻率分辨率降低。第五十六頁，共74頁。57方差減小有明顯(míngxiǎn)效果第五十七頁，共74頁。582.窗函數(shù)(hánshù)法第五十八頁，共74頁。59選擇一個(yīɡè)適當?shù)拇昂瘮?shù)與周期圖卷積，平滑周期圖。第五十九頁，共74頁。60由于的長度M<數(shù)據(jù)長度N，因此窗函數(shù)平滑周期圖相當于加了一個短的截斷窗，使得頻率分布(fēnbù)率降低，偏移量上升，換取方差的減小。第六十頁，共74頁。613.修正周期(zhōuqī)圖法（Welch法）第六十一頁，共74頁。62（1）選擇適當?shù)拇昂瘮?shù)(hánshù)，在計算各組周期圖之前加進去。優(yōu)點：無論什么樣的窗函數(shù)(hánshù)，均可使Welch法對Bartlett法做了兩方面(fāngmiàn)的修正第六十二頁，共74頁。63歸一化因子(yīnzǐ)第六十三頁，共74頁。642）在分組時，可使各組數(shù)據(jù)(shùjù)有重疊。方差重疊最高可達50％。第六十四頁，共74頁。65小結(xiǎojié)周期圖法直接對有限長序列的觀測值進行FFT，再取模平方，忽略了集合平均。譜估計的結果仍時一個隨機變量。缺點：不是一致估計，方差較大。增加序列長度(chángdù)并不能改善估計效果。第六十五頁，共74頁。66自相關(xiāngguān)函數(shù)法隨機序列值自相關函數(shù)PSD隱含的存在一個矩形窗，缺點與周期圖法(túfǎ)類似。第六十六頁，共74頁。67當信號(xìnhào)具有遍歷性時第六十七頁，共74頁。68忽略求統(tǒng)計平均(píngjūn)運算1.原理(yuánlǐ)：用DFT計算(jìsuàn)功率譜第六十八頁，共74頁。69當且k+l不是N的整數(shù)倍時,以的整數(shù)倍為頻率間距的周期圖是不相關(xiāngguān)的 協(xié)方差為零的功率譜樣本之間的間距↓，周期圖的起伏增快。第六十九頁，共74頁。701.平均(píngjūn)周期圖分L組，每組有M個數(shù)據(jù)(shùjù)，第組：第七十頁，共74頁。712.窗函數(shù)(hánshù)法第七十一頁，共74頁。72（1）選擇適當(s