功率譜估計(jì)講解學(xué)習(xí)

1第四章功率(gōnglǜ)譜估計(jì)第一頁(yè)，共74頁(yè)。2譜估計(jì)的基本任務(wù)是根據(jù)(gēnjù)有限個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)，估計(jì)平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度。譜：頻譜，功率譜對(duì)于我們所研究的信號(hào)，隨機(jī)平穩(wěn)信號(hào)，功率譜第二頁(yè)，共74頁(yè)。34.1引言(yǐnyán)時(shí)鐘,日歷:經(jīng)驗(yàn)譜棱鏡分解一束光:光譜每一種(yīzhǒnɡ)譜估計(jì)的技術(shù)都可以認(rèn)為是一種(yīzhǒnɡ)模型法，具體地說，就是根據(jù)過程的先驗(yàn)知識(shí)，建立一個(gè)近似實(shí)際過程的模型；其次利用觀測(cè)數(shù)據(jù)或自相關(guān)函數(shù)來估計(jì)函數(shù)的模型參數(shù)，最后做譜估計(jì)。第三頁(yè)，共74頁(yè)。4維納——辛欽定(qīndìng)理第四頁(yè)，共74頁(yè)。5

功率(gōnglǜ)譜的另一種定義第五頁(yè)，共74頁(yè)。6當(dāng)信號(hào)(xìnhào)具有遍歷性時(shí)第六頁(yè)，共74頁(yè)。7辭海(cíhǎi)—譜(1)按照事務(wù)的類別(lèibié)或系統(tǒng)編成的表冊(cè)，年譜(2)供示范或?qū)z用的圖書、樣本，如棋譜、畫譜、臉譜(3)曲線：樂譜(4)按歌詞作曲，曲譜(5)大致的依據(jù)、打算：心里有譜,做事沒譜(6)左右、大約：三十元之譜第七頁(yè)，共74頁(yè)。8復(fù)雜(fùzá)振動(dòng)用譜線表示時(shí)，代表各振動(dòng)的頻率和振幅的一系列直線，譜線數(shù)反映了該復(fù)雜(fùzá)振動(dòng)所包含的諧振動(dòng)的個(gè)數(shù)，各譜線的長(zhǎng)短。譜線第八頁(yè)，共74頁(yè)。9考慮到是觀測(cè)數(shù)據(jù)，是隨機(jī)變量，取統(tǒng)計(jì)(tǒngjì)平均第九頁(yè)，共74頁(yè)。10二、譜估計(jì)方法(fāngfǎ)的概述第十頁(yè)，共74頁(yè)。11第十一頁(yè)，共74頁(yè)。12頻率分辯率低，這是由于有限個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)加窗截?cái)嗟挠绊?。主瓣：功率譜向附近頻域擴(kuò)展，譜模糊，頻率分辯率低。旁瓣：譜間干擾，強(qiáng)信號(hào)的旁瓣影響弱信號(hào)的檢測(cè)(jiǎncè)，淹沒弱信號(hào)；或者把旁瓣誤以為信號(hào)。經(jīng)典(jīngdiǎn)譜估計(jì)的缺點(diǎn)第十二頁(yè)，共74頁(yè)。13估計(jì)質(zhì)量比經(jīng)典譜估計(jì)質(zhì)量有很大提高，需要針對(duì)不同的信號(hào)，選擇合適的模型，但目前(mùqián)尚未有任何理論來指導(dǎo)模型的選擇。一般來說，AR模型適合有譜峰的信號(hào)，MA模型適合有波谷的信號(hào)?，F(xiàn)代(xiàndài)譜估計(jì)第十三頁(yè)，共74頁(yè)。144.2經(jīng)典(jīngdiǎn)譜估計(jì)第十四頁(yè)，共74頁(yè)。15一、BT法第十五頁(yè)，共74頁(yè)。161958年，Blackman和Tukey提出，在1965年FFT算法出現(xiàn)之前，BT法一直是最常用(chánɡyònɡ)的方法。理論基礎(chǔ)：維納——辛欽定理自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)功率譜的估計(jì)第十六頁(yè)，共74頁(yè)。17根據(jù)前面的分析已經(jīng)(yǐjing)知道，有偏自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)優(yōu)于無偏自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)第十七頁(yè)，共74頁(yè)。18實(shí)際上，根據(jù)有限個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)來估計(jì)自相關(guān)函數(shù)的，假設(shè)信號(hào)為，進(jìn)入(jìnrù)自相關(guān)函數(shù)估計(jì)的為，估計(jì)得到得自相關(guān)函數(shù)，則第十八頁(yè)，共74頁(yè)。19第十九頁(yè)，共74頁(yè)。20第二十頁(yè)，共74頁(yè)。21是由于截?cái)鄶?shù)據(jù)而產(chǎn)生的，為了減少截?cái)嗟挠绊?，通常要增加一個(gè)窗函數(shù)進(jìn)行(jìnxíng)平滑處理。設(shè)平滑窗為.第二十一頁(yè)，共74頁(yè)。22功率(gōnglǜ)譜第二十二頁(yè)，共74頁(yè)。23設(shè)的持續(xù)時(shí)間為，需要注意的是，考慮到功率的非負(fù)性，在選擇窗函數(shù)的時(shí)候(shíhou)，一定要保證功率譜是一個(gè)非負(fù)值。第二十三頁(yè)，共74頁(yè)。24誤差(wùchā)分析第二十四頁(yè)，共74頁(yè)。25可以看出，方差小M小偏移(piānyí)小M大主瓣窄，頻率分辯率高通常Ｍ取數(shù)據(jù)長(zhǎng)度的．i.e.第二十五頁(yè)，共74頁(yè)。26二．周期(zhōuqī)圖法第二十六頁(yè)，共74頁(yè)。27忽略(hūlüè)求統(tǒng)計(jì)平均運(yùn)算1.原理(yuánlǐ)：用DFT計(jì)算(jìsuàn)功率譜第二十七頁(yè)，共74頁(yè)。282.與BT法的關(guān)系(guānxì)第二十八頁(yè)，共74頁(yè)。29周期圖的譜估計(jì)與有偏自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)等價(jià)(děngjià)序列后面加零，F(xiàn)FT譜線變密，頻率分辨率并沒有提高。第二十九頁(yè)，共74頁(yè)。303.周期圖譜(túpǔ)估計(jì)的

性能分析第三十頁(yè)，共74頁(yè)。31(1)均值(jūnzhí)第三十一頁(yè)，共74頁(yè)。32其中(qízhōng)，BT法譜估計(jì)第三十二頁(yè)，共74頁(yè)。33由(1)式可知因此，周期圖是有偏估計(jì)(gūjì)當(dāng)時(shí)，，其頻譜趨近于函數(shù)，周期圖的估計(jì)(gūjì)屬于漸近無偏估計(jì)(gūjì)第三十三頁(yè)，共74頁(yè)。34（2）方差(fānɡchà)第三十四頁(yè)，共74頁(yè)。35假設(shè)x(n)是實(shí)的、零均值、正態(tài)白噪聲信號(hào)，方差為，則功率譜為常數(shù)。令N為數(shù)據(jù)(shùjù)長(zhǎng)度第三十五頁(yè)，共74頁(yè)。36這里假設(shè)(jiǎshè)信號(hào)是實(shí)的白噪聲信號(hào)，周期圖估計(jì)是無偏估計(jì)。第三十六頁(yè)，共74頁(yè)。37要計(jì)算(jìsuàn)周期圖的均方值，先計(jì)算(jìsuàn)第三十七頁(yè)，共74頁(yè)。38第三十八頁(yè)，共74頁(yè)。39第三十九頁(yè)，共74頁(yè)。40第四十頁(yè)，共74頁(yè)。41第四十一頁(yè)，共74頁(yè)。42當(dāng)N→∞時(shí)周期圖是非(shìfēi)一致估計(jì)第四十二頁(yè)，共74頁(yè)。43上面的推導(dǎo)是以為依據(jù)進(jìn)行推導(dǎo)的，其定性(dìngxìng)結(jié)果在一個(gè)相當(dāng)寬的范圍內(nèi)立。第四十三頁(yè)，共74頁(yè)。44若，k，l均為整數(shù)(zhěngshù)，則第四十四頁(yè)，共74頁(yè)。45當(dāng)且k+l不是N的整數(shù)倍時(shí),以的整數(shù)倍為頻率間距(jiānjù)的周期圖是不相關(guān)的 協(xié)方差為零的功率譜樣本之間的間距(jiānjù)↓，周期圖的起伏增快。第四十五頁(yè)，共74頁(yè)。46第四十六頁(yè)，共74頁(yè)。47BT法和周期圖法(túfǎ)的主要優(yōu)點(diǎn)計(jì)算量小功率譜估計(jì)值正比(zhèngbǐ)于正弦波的功率是一種良好的實(shí)用模型第四十七頁(yè)，共74頁(yè)。48主要(zhǔyào)缺點(diǎn):弱信號(hào)被強(qiáng)信號(hào)的旁瓣淹沒(yānmò)頻率分辯率約為數(shù)據(jù)長(zhǎng)度的倒數(shù)，且與數(shù)據(jù)的特征或信噪比無關(guān)出現(xiàn)旁瓣，使譜失真需采用某種平滑或平均措施以改善譜估計(jì)的統(tǒng)計(jì)特性某些加窗的相關(guān)函數(shù)會(huì)使功率譜估計(jì)值出現(xiàn)負(fù)值第四十八頁(yè)，共74頁(yè)。49經(jīng)典譜估計(jì)不可能(kěnéng)獲得良好的譜估計(jì)m↑，參與求和項(xiàng)數(shù)↓，平均效果↓，m=N-1，只有一項(xiàng)?！鷾罅恳暂^大的是不可靠(kěkào)的，估計(jì)方差大。第四十九頁(yè)，共74頁(yè)。50經(jīng)典譜估計(jì)不可能(kěnéng)獲得良好的譜估計(jì)周期圖法用到了m=0~N-1的全部相關(guān)函數(shù)的估計(jì)值方差較大，BT法雖然可以通過使相關(guān)函數(shù)的最大滯后量M<N-1來去掉那些不可靠(kěkào)的相關(guān)函數(shù)估計(jì)值，但M↓,將FT的求和范圍縮短，變換式本身的近似程度↑。第五十頁(yè)，共74頁(yè)。51三.經(jīng)典(jīngdiǎn)譜估計(jì)方法的改進(jìn)第五十一頁(yè)，共74頁(yè)。52窗口處理(chǔlǐ)法：（FFT出現(xiàn)以前）選擇適當(dāng)?shù)拇昂瘮?shù)作為加權(quán)平均。平均周期圖法：數(shù)據(jù)分段求出各段的平均周期圖取平均Welch法：改進(jìn)的Bartlett法第五十二頁(yè)，共74頁(yè)。531.平均(píngjūn)周期圖分L組，每組有M個(gè)數(shù)據(jù)(shùjù)，第組：第五十三頁(yè)，共74頁(yè)。54第五十四頁(yè)，共74頁(yè)。55三角窗長(zhǎng)度的減少，主瓣變寬，頻率分辨率減少，因此平均(píngjūn)周期圖法是以犧牲頻率分辨率換取方差的減小。信號(hào)(xìnhào)的功率譜第五十五頁(yè)，共74頁(yè)。56如果數(shù)據(jù)是不相關(guān)(xiāngguān)的（白噪聲），其偏移量、方差如上面的兩式所示。但實(shí)際信號(hào)存在關(guān)聯(lián)性，因此，在一般情況下，估計(jì)方差的減小少于。

當(dāng)，功率譜越平滑。估計(jì)的偏移量與方差是一對(duì)矛盾。偏移大小反映的是頻率分辨率。當(dāng)N確定，，方差減小，頻率分辨率降低。第五十六頁(yè)，共74頁(yè)。57方差減小有明顯(míngxiǎn)效果第五十七頁(yè)，共74頁(yè)。582.窗函數(shù)(hánshù)法第五十八頁(yè)，共74頁(yè)。59選擇一個(gè)(yīɡè)適當(dāng)?shù)拇昂瘮?shù)與周期圖卷積，平滑周期圖。第五十九頁(yè)，共74頁(yè)。60由于的長(zhǎng)度M<數(shù)據(jù)長(zhǎng)度N，因此窗函數(shù)平滑周期圖相當(dāng)于加了一個(gè)短的截?cái)啻?，使得頻率分布(fēnbù)率降低，偏移量上升，換取方差的減小。第六十頁(yè)，共74頁(yè)。613.修正周期(zhōuqī)圖法（Welch法）第六十一頁(yè)，共74頁(yè)。62（1）選擇適當(dāng)?shù)拇昂瘮?shù)(hánshù)，在計(jì)算各組周期圖之前加進(jìn)去。優(yōu)點(diǎn)：無論什么樣的窗函數(shù)(hánshù)，均可使Welch法對(duì)Bartlett法做了兩方面(fāngmiàn)的修正第六十二頁(yè)，共74頁(yè)。63歸一化因子(yīnzǐ)第六十三頁(yè)，共74頁(yè)。642）在分組時(shí)，可使各組數(shù)據(jù)(shùjù)有重疊。方差重疊最高可達(dá)50％。第六十四頁(yè)，共74頁(yè)。65小結(jié)(xiǎojié)周期圖法直接對(duì)有限長(zhǎng)序列的觀測(cè)值進(jìn)行FFT，再取模平方，忽略了集合平均。譜估計(jì)的結(jié)果仍時(shí)一個(gè)隨機(jī)變量。缺點(diǎn)：不是一致估計(jì)，方差較大。增加序列長(zhǎng)度(chángdù)并不能改善估計(jì)效果。第六十五頁(yè)，共74頁(yè)。66自相關(guān)(xiāngguān)函數(shù)法隨機(jī)序列值自相關(guān)函數(shù)PSD隱含的存在一個(gè)矩形窗，缺點(diǎn)與周期圖法(túfǎ)類似。第六十六頁(yè)，共74頁(yè)。67當(dāng)信號(hào)(xìnhào)具有遍歷性時(shí)第六十七頁(yè)，共74頁(yè)。68忽略求統(tǒng)計(jì)平均(píngjūn)運(yùn)算1.原理(yuánlǐ)：用DFT計(jì)算(jìsuàn)功率譜第六十八頁(yè)，共74頁(yè)。69當(dāng)且k+l不是N的整數(shù)倍時(shí),以的整數(shù)倍為頻率間距的周期圖是不相關(guān)(xiāngguān)的 協(xié)方差為零的功率譜樣本之間的間距↓，周期圖的起伏增快。第六十九頁(yè)，共74頁(yè)。701.平均(píngjūn)周期圖分L組，每組有M個(gè)數(shù)據(jù)(shùjù)，第組：第七十頁(yè)，共74頁(yè)。712.窗函數(shù)(hánshù)法第七十一頁(yè)，共74頁(yè)。72（1）選擇適當(dāng)(s