初中數(shù)學(xué)浙教版八年級(jí)下冊(cè)第1章二次根式1．3二次根式的運(yùn)算 優(yōu)秀

1．3二次根式的運(yùn)算(三)(第1題)1．如圖，長(zhǎng)方形內(nèi)相鄰兩正方形的面積分別是2和6，那么長(zhǎng)方形內(nèi)陰影部分的面積是2eq\r(,3)－2(結(jié)果保留根號(hào))．2．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(eq\r(3)，1)到原點(diǎn)的距離是__2__．3．如圖，一道斜坡的坡比為1∶8，已知AC＝16m，則斜坡AB的長(zhǎng)為2eq\r(65)m.(第3題)4．在如圖所示的數(shù)軸上，點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱．若A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)分別是eq\r(3)和－1，則點(diǎn)C所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是2eq\r(3)＋1．(第4題)5．已知x＝1－eq\r(2)，y＝1＋eq\r(2)，則x2＋y2－xy－2x＋2y的值為7＋4eq\r(2)．【解】∵x＝1－eq\r(2)，y＝1＋eq\r(2)，∴x－y＝(1－eq\r(2))－(1＋eq\r(2))＝－2eq\r(2)，xy＝(1－eq\r(2))(1＋eq\r(2))＝1－2＝－1，∴x2＋y2－xy－2x＋2y＝(x－y)2－2(x－y)＋xy＝(－2eq\r(2))2－2×(－2eq\r(2))＋(－1)＝7＋4eq\r(2).6．已知一次函數(shù)y＝x＋b的圖象與x軸，y軸的交點(diǎn)分別為A，B，△OAB的周長(zhǎng)為2＋eq\r(2)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求b的值．【解】易知一次函數(shù)y＝x＋b的圖象分別交x軸，y軸于點(diǎn)A(－b，0)，B(0，b)，∴OA＝|b|＝OB，∴AB＝eq\r(2)|b|，∴|b|＋|b|＋eq\r(2)|b|＝2＋eq\r(2)，(2＋eq\r(2))|b|＝2＋eq\r(2)，∴|b|＝1，∴b＝±1.(第7題)7．如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，∠B＝45°，AB＝2eq\r(6)，CD＝eq\r(3).求四邊形ABCD的面積．【解】延長(zhǎng)AD，BC交于點(diǎn)E.∵∠B＝45°，∠A＝90°，∴∠B＝∠E＝45°，∴AE＝AB＝2eq\r(6).同理，CE＝CD＝eq\r(3).∴S四邊形ABCD＝S△ABE－S△CDE＝eq\f(1,2)×(2eq\r(6))2－eq\f(1,2)×(eq\r(3))2＝12－eq\f(3,2)＝eq\f(21,2).(第8題)8．如圖，∠B＝90°，點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿射線BA以1cm/s的速度移動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q也從點(diǎn)B開始沿射線BC以2cm/s的速度移動(dòng)．問：幾秒后△PBQ的面積為35cm2？此時(shí)PQ的長(zhǎng)是多少厘米？(結(jié)果用最簡(jiǎn)二次根式表示．)【解】設(shè)x(s)后△PBQ的面積為35cm2，則PB＝x，BQ＝2x.由題意，得eq\f(1,2)x·2x＝35，解得x1＝eq\r(35)，x2＝－eq\r(35)(不合題意，舍去)．∴PQ＝eq\r(PB2＋BQ2)＝eq\r(x2＋4x2)＝eq\r(5x2)＝eq\r(5×35)＝5eq\r(7)(cm)．答：eq\r(35)s后△PBQ的面積為35cm2，此時(shí)PQ的長(zhǎng)為5eq\r(7)c9．在△ABC中，∠C＝90°，周長(zhǎng)為(5＋2eq\r(,3))cm，斜邊上的中線CD＝2cm，則Rt△ABC的面積為eq\f(4\r(,3)－3,4)cm2.【解】在△ABC中，∵∠C＝90°，斜邊上的中線CD＝2cm∴斜邊c的長(zhǎng)為4cm，∴兩直角邊的和為a＋b＝5＋2eq\r(,3)－4＝(1＋2eq\r(3))cm.∵a2＋b2＝c2＝16，(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab，∴2ab＝(1＋2eq\r(,3))2－16＝4eq\r(,3)－3，∴Rt△ABC的面積＝eq\f(ab,2)＝eq\f(4\r(,3)－3,4)(cm2)．10．已知x＝eq\f(\r(2)＋1,2)，則代數(shù)式4x4＋4x3－9x2－2x＋1的值為__1__．【解】∵x＝eq\f(\r(2)＋1,2)，∴2x－1＝eq\r(2)，∴4x2－4x＋1＝2，∴4x2－4x＝1.原式＝4x4－4x3＋8x3－8x2－x2－2x＋1＝x2(4x2－4x)＋2x(4x2－4x)－x2－2x＋1＝x2＋2x－x2－2x＋1＝1.11．已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為x，y，z.有下列結(jié)論：①以eq\r(x)，eq\r(y)，eq\r(z)為三邊長(zhǎng)的三角形一定存在．②以x2，y2，z2為三邊長(zhǎng)的三角形一定存在．③以eq\f(1,2)(x＋y)，eq\f(1,2)(y＋z)，eq\f(1,2)(z＋x)為三邊長(zhǎng)的三角形一定存在．④以|x－y|＋1，|y－z|＋1，|z－x|＋1為三邊長(zhǎng)的三角形一定存在．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為(C)A．1B．2C．3D．4【解】不妨設(shè)x≤y≤z，則必有x＋y＞z.①eq\r(x)＋eq\r(y)>eq\r(x＋y)>eq\r(z)，故此結(jié)論正確．②設(shè)x＝3，y＝4，z＝5，則x2，y2，z2構(gòu)不成三角形，故此結(jié)論不正確．③eq\f(1,2)(x＋y)≤eq\f(1,2)(z＋x)≤eq\f(1,2)(y＋z)，eq\f(1,2)(x＋y)＋eq\f(1,2)(z＋x)＝x＋eq\f(1,2)(y＋z)>eq\f(1,2)(y＋z)，故此結(jié)論正確．④|x－y|＋1＋|y－z|＋1＝y(tǒng)－x＋1＋z－y＋1＝z－x＋2＞z－x＋1＝|z－x|＋1，故此結(jié)論正確．綜上所述，①③④正確．12．如圖，C為線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別過點(diǎn)B，D在BD兩側(cè)作AB⊥BD，ED⊥BD，連結(jié)AC，EC.已知AB＝5，DE＝9，BD＝8，設(shè)CD＝x.(1)用含x的代數(shù)式表示AC＋CE的長(zhǎng)．(2)請(qǐng)問：點(diǎn)C滿足什么條件時(shí)，AC＋CE的值最小？(3)根據(jù)(2)中的規(guī)律和結(jié)論，請(qǐng)構(gòu)圖求出代數(shù)式eq\r(x2＋4)＋eq\r(（12－x）2＋9)的最小值．(第12題)(第12題解)【解】(1)AC＋CE＝eq\r(（8－x）2＋25)＋eq\r(x2＋81).(2)當(dāng)A，C，E三點(diǎn)共線時(shí)，AC＋CE的值最?。?3)如解圖所示，作BD＝12，過點(diǎn)B作AB⊥BD，過點(diǎn)D作ED⊥BD(點(diǎn)A與點(diǎn)E在BD的異側(cè))，使AB＝2，ED＝3，連結(jié)AE交BD于點(diǎn)C，設(shè)BC＝x，則AE的長(zhǎng)即為eq\r(x2＋4)＋eq\r(（12－x）2＋9)的最小值．過點(diǎn)E作EF⊥AB，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，構(gòu)成Rt△AEF，易得AF＝2＋3＝5，EF＝12，∴AE＝13，即eq\r(x2＋4)＋eq\r(（12－x）2＋9)的最小值為13.(第13題)13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)M0的坐標(biāo)為(1，0)，將線段OM0繞原點(diǎn)O沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°，再將其延長(zhǎng)到點(diǎn)M1，使得M1M0⊥OM0，得到線段OM1；將線段OM1繞原點(diǎn)O沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°，再將其延長(zhǎng)到點(diǎn)M2，使得M2M1⊥OM1，得到線段OM2……如此下去，得到線段OM3，OM4，…，OM(1)寫出點(diǎn)M5的坐標(biāo)．(2)求△M5OM6的周長(zhǎng)．(3)我們規(guī)定：把點(diǎn)Mn(xn，yn)(n＝0，1，2，3，…)的橫坐標(biāo)xn，縱坐標(biāo)yn都取絕對(duì)值后得到的新坐標(biāo)(|xn|，|yn|)稱之為點(diǎn)Mn的“絕對(duì)坐標(biāo)”．根據(jù)圖中點(diǎn)Mn的分布規(guī)律，請(qǐng)你猜想點(diǎn)Mn的“絕對(duì)坐標(biāo)”，并寫出來．【解】(1)點(diǎn)M5(－4，－4)．(2)△M5OM6的周長(zhǎng)＝4eq\r(2)＋4eq\r(2)＋8＝8eq\r(2)＋8.(3)設(shè)k為自然數(shù)，當(dāng)n＝4k時(shí)，Mn的絕對(duì)坐標(biāo)為(2eq\s\up6(\f(n,2))，0)；當(dāng)n＝4k＋2時(shí)，Mn的絕對(duì)坐標(biāo)為(0，2eq\s\up6(\f(n,2)))；當(dāng)n＝4k＋1或4k＋3時(shí)，Mn的絕對(duì)坐標(biāo)為(2eq\s\up6(\f(n－1,2))，2eq\s\up6(\f(n－1,2)))．(第14題)14．如圖，B地在A地的正東方向，兩地相距28eq\r(2)，B兩地之間有一條東北走向的高速公路，且A，B兩地到這條高速公路的距離相等．某日8：00測(cè)得一輛在高速公路上行駛的汽車位于A地的正南方向P處，至8：20，測(cè)得該車在B地的西北方向Q處，該段高速公路限速為110km/h.問：該車是否超速行駛？【解】過點(diǎn)A作AD⊥PQ于點(diǎn)D，設(shè)PQ與AB交于點(diǎn)C.由