第一章傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)

信息光學(xué)的研究方法和用途光學(xué)+信息科學(xué)方法！將信息科學(xué)中的線性系統(tǒng)理論引入光學(xué)

把光學(xué)成像系統(tǒng)看成一種二維的圖像信號(hào)的傳輸、變換和處理系統(tǒng)由空間域擴(kuò)展到空間頻率域，對(duì)光學(xué)成像系統(tǒng)進(jìn)行空間頻譜分析光學(xué)成像系統(tǒng)的單一成像功能擴(kuò)展到二維信息處理二維信號(hào)（圖像）的各種運(yùn)算方法，圖像處理與識(shí)別技術(shù)，高密度信息存儲(chǔ)的光學(xué)方法，三維面形測量，全息散斑干涉技術(shù)（特點(diǎn)）數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

常用函數(shù)—變形xf(x)xf(x-x0)x0xf(x/a)xf(-x)x-f(-x)xbf(x)平移(原點(diǎn)移至x0)折疊與f(x)關(guān)于y軸鏡像對(duì)稱取反與f(x)關(guān)于x軸鏡像對(duì)稱倍乘y方向幅度變化比例縮放a>1,在x方向展寬a倍a<1,在x方向壓縮a倍常用函數(shù)—變形xf(x)01x,0<x<10其它例:f(x)={求f(-2x+4)解：f(-2x+4)=f[-2(x-2)]，包含折疊、壓縮、平移xf(-x)0-1先折疊xf(-2x)0-1/2再壓縮x0f[-2(x-2)]3/2最后平移cos(x),|x|p/20 其它求f(-x/2+p/4)練習(xí)：f(x)={

常用函數(shù)—變形先折疊，偶函數(shù)折疊后不變xf(x)0p/2-p/2解：f(-x/2+p/4)=f[-(x-p/2)/2]，包含折疊、擴(kuò)展、平移再擴(kuò)展,

最后平移xf(-x)0p/2-p/2求f(-x/2+p/4)曲線下面積:注意：在縮放前后的變化cos(x),|x|p/20 其它f(x)={常用函數(shù)

注意：1.函數(shù)在時(shí)域和空域各代表什么物理對(duì)象

2.一維向二維擴(kuò)展，各代表什么物理對(duì)象一.階躍函數(shù)StepFunctionx01Step(x)1,x>01/2,x=00,x<0定義:Step(x)={代表：開關(guān),無窮大半平面屏0x常用函數(shù)(續(xù))

二.符號(hào)函數(shù)Signum

x01Sgn(x)-11,x>00,x=0-1,x<0定義:Sgn(x)={原型 代表“p”相移器、反相器與Step函數(shù)的關(guān)系:Sgn(x)=2Step(x)-1常用函數(shù)(續(xù))

三.矩形函數(shù)RectangleFunction定義xrect(x)01/2-1/21原型特點(diǎn):rect(0)=1,矩形寬度=1，矩形面積=1,偶函數(shù)快門;單縫,矩孔,區(qū)域限定x0ax0axx0,y0yab0常用函數(shù)(續(xù))

四、三角形函數(shù)TriangleFunction底寬:2|a|,面積:S=|a|底寬:2最大值：tri(0)=1曲線下面積:S=1xtri(x)01-111xa+x0-a+x0x0又寫成：L(x)要關(guān)注它和矩形函數(shù)的關(guān)系（兩個(gè)相同矩形函數(shù)的卷積）常用函數(shù)(續(xù))

五、sinc函數(shù)xsinc(x)01-111xa+x0-a+x0x0特點(diǎn):最大值：sinc(0)=1；limsinc(x)=0

x曲線下面積:S=1，偶函數(shù)0點(diǎn)位置:x=n(n=1,2,3…)等間隔兩個(gè)一級(jí)0點(diǎn)之間的主瓣寬度=2常用函數(shù)

五.sinc函數(shù)(續(xù))Sinc函數(shù)的重要性:數(shù)學(xué)上sinc函數(shù)和rect函數(shù)互為傅里葉變換物理上，單一矩形脈沖rect(t)的頻譜是sinc函數(shù);單縫的夫瑯和費(fèi)衍射花樣是sinc函數(shù)xsinc2(x)01-11sinc

(x)sinc2(0)=1,S=1與sinc(x)相比,曲線形狀不同,但曲線下面積相同二維sinc函數(shù): sinc(x)sinc(y)sin2(px)(px)2附:sinc2函數(shù)sinc2(x)=[sinc(x)]2常用函數(shù)(續(xù))

六、高斯函數(shù)GaussianFunctionGaus(x)=exp(-px2)Gaus(0)=1S=1是非常平滑的函數(shù)，即各階導(dǎo)數(shù)均連續(xù)。Gaus(x)0x二維情形:Gaus(x)Gaus(y)=exp[-p(x2+y2)]可代表單模激光束的光強(qiáng)分布常用函數(shù)(續(xù))

七、圓域函數(shù)CircularFunction定義:circ(r)=circ函數(shù)是不可分離變量的二元函數(shù)描述無窮大不透明屏上半徑為1的圓孔的透過率1xy0a0常用函數(shù)(續(xù))

八、復(fù)指數(shù)函數(shù)ComplexexponentialfunctionAexp(jq)=Acosq+jAsinqq：振子的位相角對(duì)于簡諧振動(dòng)，q=2pnt推廣到二維：Aexp[j2p(ux+vy)]A0qw=2pn

九、d-函數(shù)的陣列--梳狀函數(shù)comb(x)表示沿x軸分布、間隔為1的無窮多脈沖的系列。例如：不考慮縫寬度和總尺寸的線光柵。間隔為t的脈沖系列:定義:

n為整數(shù)梳狀函數(shù)與普通函數(shù)的乘積:f(x)0x=x0xcomb(x).0利用comb(x)可以對(duì)函數(shù)f(x)進(jìn)行等間距抽樣.xy二維梳狀函數(shù):comb(x,y)=comb(x)comb(y)

第一章傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)

一、定義及存在條件函數(shù)f(x,y)在整個(gè)x-y平面上滿足狄氏條件,定義函數(shù)：為函數(shù)f(x,y)的傅里葉變換,記作：

F(u,v)=

{f(x,y)}=F.T.[f(x,y)],

或

f(x,y)

F(u,v)F.T.f(x,y):原函數(shù),

F(u,v):像函數(shù)或頻譜函數(shù)變換核積分變換:傅里葉變換的核:exp(-j2pux)

由頻譜函數(shù)求原函數(shù)的過程稱為傅里葉逆變換:f(x,y)和F(u,v)稱為傅里葉變換對(duì)；記作: f(x,y)=

-1{F(u,v)}.顯然-1{f(x,y)}=f(x,y)

綜合可寫:

f(x,y)

F(u,v)F.T.F.T.-1x(y)

和u(v

)稱為一對(duì)共軛變量,它們?cè)诓煌姆懂?時(shí)空域或頻率域)描述同一個(gè)物理對(duì)象。描述了各頻率分量的相對(duì)幅值和相移。x,y,

u,v均為實(shí)變量，F(xiàn)(u,v)一般是復(fù)函數(shù),F(u,v)=A(u,v)ejf(u,v)振幅譜位相譜F(u,v)是f(x,y)的頻譜函數(shù)體現(xiàn)了分解與疊加的概念傅里葉變換存在的條件（狄氏條件）是：原函數(shù)在全平面絕對(duì)可積；原函數(shù)在全平面只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，在任何有限的區(qū)域內(nèi)只有有限個(gè)間斷點(diǎn)；原函數(shù)沒有無窮大型的間斷點(diǎn)。從物理上來說，“物理的真實(shí)”就是變換存在的充分條件。對(duì)于某些不符合狄氏條件的函數(shù),求F.T.的方法：例:g(x,y)=1,在(-,+)不可積對(duì)某個(gè)可變換函數(shù)組成的系列取極限不符合狄氏條件的函數(shù),函數(shù)系列變換式的極限原來函數(shù)的廣義F.T.可定義:g(x,y)=limrect(x/t)rect(y/t)

t

則{g(x,y)}=lim{rect(x/t)rect(y/t)}

t

§1-2二維傅里葉變換2-DFourierTransform

二、廣義F.T.根據(jù)廣義傅立葉變換的定義和d函數(shù)的定義:

{g(x,y)}=limτ2sinc(τu)sinc(τv)=d(u,v)

t

則

{rect(x/t)rect(y/t)}=t2sinc(tu)sinc(tv)

{1}=d(u,v)按照廣義變換的概念可以得出一系列特殊函數(shù)的F.T.{rect()}重要推論:{rect(x)}=sinc(u) 函數(shù)的傅里葉變換1、函數(shù)通常用于描述質(zhì)量或能量在空間或時(shí)間上高度集中的各種現(xiàn)象，如質(zhì)點(diǎn)、點(diǎn)電荷、點(diǎn)光源、瞬時(shí)脈沖2、物理意義：點(diǎn)源函數(shù)具有權(quán)重為1的最豐富的頻譜分量3、偏導(dǎo)數(shù)的定義

二、極坐標(biāo)系下的傅里葉和傅里葉-貝塞爾變換

特別適合于圓對(duì)稱函數(shù)的F.T.

依F.T.定義：

極坐標(biāo)變換令:

則在極坐標(biāo)系中:則極坐標(biāo)系下的的二維傅里葉變換定義為：圓對(duì)稱函數(shù)的F.T.仍是圓對(duì)稱函數(shù),稱為F-B(傅-貝)變換,記為G(r)={g(r)},g(r)=-1{G(r)}

當(dāng)f具有圓對(duì)稱性，即僅是半徑r的函數(shù):f(x,y)=g(r,q)=g

(r).依F.T.定義:利用貝塞爾函數(shù)關(guān)系

傅里葉-貝塞爾變換

例:利用F-B變換求圓域函數(shù)的F.T.定義: 是圓對(duì)稱函數(shù)作變量替換,令r’=2prr,并利用:

三.虛、實(shí)、奇、偶函數(shù)的F.T.將頻譜函數(shù)G(u)分別寫成實(shí)部(余弦變換)和虛部(正弦變換)，然后根據(jù)g(x)的虛、實(shí)、奇、偶性質(zhì)討論頻譜的相應(yīng)性質(zhì)。注意：并非實(shí)函數(shù)的頻譜一定是實(shí)函數(shù)，只有厄米函數(shù)(實(shí)部為偶函數(shù)、虛部為奇函數(shù))的頻譜才一定是實(shí)函數(shù)。例:rect(x)(實(shí)、偶)sinc(u)(實(shí)、偶)F.T.但是,rect(x-1)(實(shí)、非偶)復(fù)函數(shù)F.T.

四、F.T.定理--F.T.的基本性質(zhì)1.線性定理Linearity

設(shè)g(x,y)G(u,v),h(x,y)H(u,v),F.T.F.T.2.空間縮放Scaling(相似性定理）{ag(x,y)+b

h(x,y)}=aG(u,v)+b

H(u,v)F.T.是線性變換注意：空域坐標(biāo)(x,y)的擴(kuò)展(a,b<1)，導(dǎo)致頻域中坐標(biāo)(u,v)的壓縮及頻譜幅度的變化；反之亦然。g(x)x01/2-1/21g(ax)a=2x01/4-1/41fG(u)01-11f02-21/2空域壓縮F.T.F.T.頻域擴(kuò)展3.位移定理Shifting

{g(x-a,y-b)}=

G(u,v)exp[-j2p(ua+vb)]

設(shè)g(x,y)G(u,v),F.T.頻率位移：原函數(shù)在空間域的相移，導(dǎo)致頻譜的位移。{g(x,y)exp[j2p(ux+vy)]}=G(u-

u’,v-v’)空間位移：原函數(shù)在空域中的平移，相應(yīng)的頻譜函數(shù)振幅分布不變，但位相隨頻率線性改變。推論:由{1}=d(u,v){exp[j2p(u’x+v’y)]}=d(u-u’,v-v’)復(fù)指函數(shù)的F.T.是移位的d函數(shù)(物理意義）4.帕色伐(Parseval)定理若g(x)代表加在單位電阻上的電流或電壓，則∫|g(x)|2dx

代表信號(hào)的總能量(或總功率)|G(u)|2代表能量(功率)的譜密度(單位頻率間隔的能量或功率)

設(shè)g(x,y)G(u,v),F.T.Parseval定理說明：信號(hào)的能量由|G(u)|2曲線下面積給出，或者說等于各頻率分量的能量之和—能量守恒Parseval定理的證明交換積分順序,先對(duì)x求積分:利用復(fù)指函數(shù)的F.T.利用d函數(shù)的篩選性質(zhì)5、卷積與卷積定理（convolution）寬度為a的狹縫，對(duì)平面上光強(qiáng)分布 f(x)=2+cos(2pux)掃描，在狹縫后用光電探測器記錄。求輸出光強(qiáng)分布。探測器輸出的光功率分布axf(x)1/f0x卷積運(yùn)算設(shè)：物平面光軸上的單位脈沖在像平面產(chǎn)生的分布為h(x)物體分布成像系統(tǒng)像平面分布f(x)成像xx

0x1f(x1)h(x-x1)x2f(x2)h(x-x2)f(0)h(x)物平面光軸上的單位脈沖在像平面產(chǎn)生的分布為h(x)像平面上的分布是物平面上各點(diǎn)產(chǎn)生的分布疊加以后的結(jié)果。需用卷積運(yùn)算來描述f(x)成像xx

0x1f(x1)h(x-x1)x2f(x2)h(x-x2)f(0)h(x)x若f(x)與h(x)有界且可積，

定義：*:卷積符號(hào)

g(x)是f(x)與h(x)兩個(gè)函數(shù)共同作用的結(jié)果。對(duì)于給定的x,第一個(gè)函數(shù)的貢獻(xiàn)是f(x)，則第二個(gè)函數(shù)的貢獻(xiàn)是h(x-x)。需要對(duì)任何可能的x求和。g(x)稱為函數(shù)f(x)與h(x)的卷積二維函數(shù)的卷積:th(t)1/5

590f(t)1/3

46t0f(t)1/3

46t0th(-t)1/5

-9-50xh(x-t)

x-9x-5t

460練習(xí):計(jì)算rect(x)*rect(x)

9111315

g(x)

x

0

2/151.用啞元t畫出函數(shù)f(t)和h(t);2.將h(t)折疊成h(-t);3.將h(-t)移位至給定的x,

h[-(t-x)]=h(x-t);4.二者相乘;5.乘積函數(shù)曲線下面積的值即為g(x).步驟:探測器輸出的光功率分布:af(x)1/f0xx卷積運(yùn)算的特點(diǎn)展寬效應(yīng)：假如卷積的兩個(gè)函數(shù)只