電路理論(黑皮版)華中科技大學陳明輝第7章

7-1第7章一階電路和二階電路7.1一階電路的零輸入響應7.2一階電路的零狀態(tài)響應7.3一階電路的全響應7.5沖激響應7.4二階電路7-2一階電路通常只含一個儲能元件，其余為含源線性電阻網(wǎng)絡。C含源線性電阻網(wǎng)絡L含源線性電阻網(wǎng)絡(a)RC電路(b)RL電路一階電路的兩種基本類型7-3零輸入響應(Zeroinputresponse)：激勵(電源)為零，由初始儲能引起的響應。7.1.1RC電路的零輸入響應uC(0)=U0S(t=0)+–uCRCi+–uC7.1一階電路的零輸入響應一、物理過程分析電容具有初始儲能，開關合上后，通過電阻釋放能量。7-4uC(0+)=uC(0)=U0解答形式

uC(t)=uC"=Kest

(特解

uC'=0)特征方程RCS+1=0二、微分方程及響應S(t=0)+–uCRCi+–uC7-5初始值uC(0+)=uC(0)=U0

K=U0令

=RC,具有時間的量綱,稱為時間常數(shù).(歐法=歐庫/伏=歐安秒/伏=秒)I0tiCOU0tuCO三、時間常數(shù)7-6從理論上講t時,電路才能達到穩(wěn)態(tài).但實際上一般認為經過35

的時間,過渡過程結束,電路已達到新的穩(wěn)態(tài).t02345U00.368U00.135U00.05U00.02U00.007U0(實驗測的方法)7-7四、固有頻率開關閉合后，C的能量不斷釋放,被R吸收,直到全部儲能消耗完畢.五、能量關系RC特征方程RCS+1=0特征方程的根稱為固有頻率S與電路的輸入無關，僅取決于電路的結構和參數(shù)，體現(xiàn)了電路本身所固有的性質，因而稱為固有頻率。電容的初始儲能為：電路中所有響應具有相同的固有頻率。7-87.1.2RL電路的零輸入響應iL(0)=I0一、微分方程及響應電感具有初始儲能，通過電阻釋放能量。LRiL+—uLiRiL(0+)=iL(0)=I0解答形式

iL(t)=iLh=Kest

(特解

iLp=0)特征方程R1+I0–LS(t=0)uRiL7-9iL(0)=I0代入初始條件，K=I0RI0tuL=uROI0tiLO-I0iRLRiL+—uLiR7-10=L/R為RL電路的時間常數(shù)，物理意義同RC電路的時間常數(shù)。二、時間常數(shù)及固有頻率RL電路的固有頻率為S與電路的輸入和初始狀態(tài)無關，僅取決于電路的結構和參數(shù)。量綱：亨/歐=韋/安*歐=韋/伏=伏*秒/伏=秒35

過渡過程結束。LRiL+—uLiRiL(0)=I07-11整個過渡過程中，電阻元件消耗的能量為：三、能量關系電感的初始儲能為：電阻元件消耗的能量恰好等于電感的初始儲能。7-12R1=3k,R2=6k,C=1F,uS=30V,求t>0的響應uC、i1、i2。例7-1-1.S+–uCUSR1Ci2R2+–i1+–uCRCi解：換路后的等效電路7-13回到原電路求i1、i2。S+–uCUSR1Ci2R2+–i17-14例7-1-2R1=2,R2=5,R3=3,L=3H,

US=15V,t>0求uL。解：S(t=0)iLUS1–R1R2R36uL2++––+u+–uL求換路后的等效電路+ReqiL_uL先將受控源等效為一個電阻7-15C1=C2=C0,uC1(0)=U0,uC2(0)=0求t>0的響應uC1

、uC2。解：例7-1-3S(t=0)C1iuC1–+abuC2+–C2R+–iRCuCab7-16換路后，C1通過R放電釋放能量，同時給C2充電，當二者電壓相等時，過渡過程結束。7-17小結：一階電路的零輸入響應是由儲能元件的初值引起的響應。一般形式為：2.響應快慢取決于時間常數(shù).

RC電路：=ReqC,RL電路：=L/Req3.同一電路中所有響應具有相同的時間常數(shù)。4.一階電路的零輸入響應和初值成正比。7-18零狀態(tài)響應(Zerostateresponse)：儲能元件初始能量為零，在激勵(電源)作用下產生的過渡過程。7.2.1

直流電源激勵下的零狀態(tài)響應7.2一階電路的零狀態(tài)響應uC(0)=0S(t=0)+–uCUSRCiR+–uR+–iC1.物理過程分析一、RC電路t=0,uC(0+)=uC(0)=0,電容相當于短路，電源對其充電，開始充電電流最大，隨著電容電壓的上升，充電電流不斷減小。當uC=US

時，uR=0,iR=0,過渡過程結束。7-19uC(0+)=uC(0)=02.微分方程及響應求特解uCp=US非齊次線性常微分方程解答形式為：通解特解強制分量(穩(wěn)態(tài)分量)求齊次方程通解uCh

自由分量(暫態(tài)分量)全解uC(0)=0S(t=0)+–uCUSRCiR+–uR+–iC7-20uC(0+)=K+US=0

K=US定常數(shù)USUSuCpuCh強制分量(穩(wěn)態(tài))自由分量(暫態(tài))uctOtiRO3.穩(wěn)態(tài)分量與暫態(tài)分量4.時間常數(shù)=RC5.固有頻率SS=-1/7-216.能量關系：電源提供的能量一部分被電阻消耗掉，一部分儲存在電容中，且WC=WR充電效率為50%USRC7-22t=0時閉合開關S.求uC、i1的零狀態(tài)響應。uiCi12i1++2V+1110.8FuCSuC

(V)t1.5O例1.解法1:7-23解法2:戴維南等效.+1.5V+0.2510.8FuCSuiCi12i1++2V+1110.8FuCS7-247.2.2階躍響應uC(0)=0+–uCUS(t)RCi+–tiOUSuCtO單位階躍響應：輸入為常量時的零狀態(tài)響應，階躍輸入免去了開關的作用。uC(0)=0S(t=0)+–uCUSRCiR+–uR+–iC7-25延時階躍響應:激勵在t=t0時加入，則響應從t=t0開始。uC

(t0)=0+–uCUS

(tt0)RCi+–USuCtOt0tiOt07-26注意：零狀態(tài)網(wǎng)絡的階躍響應為y(t)(t)時，則延時t0的階躍響應為y(t-t0)(t-t0).結論：二者的區(qū)別!7-277.2.3正弦電源激勵下的零狀態(tài)響應iL(0+)=iL(0)=0解答形式為：一、微分方程及響應iL(0)=0iLiS+LS(t=0)–RuR+–uLiR設特解為：將特解代入微分方程求待定系數(shù)7-287-29解答為將初始條件代入求待定系數(shù)KiLt0iLp234iLh時電感電流的波形響應達到正弦穩(wěn)態(tài)，所需時間為4~5。二、穩(wěn)態(tài)分量及暫態(tài)分量7-30討論：(1)合閘后，電路直接進入穩(wěn)態(tài)，不產生過渡過程。三、合閘角對響應的影響(2)K=0無暫態(tài)分量最大電流出現(xiàn)在合閘后半個周期時t=T/2，為穩(wěn)態(tài)幅值的2倍。若>>T(T為正弦輸入的周期)7-31例7-2-1R1=6,R2=12,

R3=2,

US=18V,L=2H,

求t>0的零狀態(tài)響應iL。解：iLUS+R1LS(t=0)–R2R3abiLLReqUOC+_ab7-32RC延時電路，要求開關閉合后延時0.4s點亮70V的氖光燈，試確定R2的值。已知R1=1.5M,C=0.1F,

US=110V。解：例7-2-2US氖光燈+R1CS–R2uC+–7-337.2.4零狀態(tài)響應的線性特性與時不變特性一、線性特性

線性時不變電路零狀態(tài)響應是輸入的線性函數(shù)，滿足齊次性和可加性。二、時不變特性若輸入為x(t),零狀態(tài)響應y(t)輸入為x(t-t0),零狀態(tài)響應y(t-t0)三、微分或積分特性若輸入為x(t),零狀態(tài)響應y(t)當輸入為dx(t)/dt,零狀態(tài)響應dy(t)/dt若輸入為x(t)的積分,則零狀態(tài)響應為y(t)的積分。7-34例7-2-4求零狀態(tài)響應uC.解:RuS+uCC+由(t)引起的零狀態(tài)響應uC1：

根據(jù)線性特性和時不變特性，由uS引起的零狀態(tài)響應uC為

13t/suS/V021327-35例2.求階躍響應iC.10k10kuS+iC100F0.510t(s)uS(V)0解:10k10k10

(t)+100F10k10k10(tt0)+100F7-36等效5k5(t)V+100F分段表示為：10k10k10

(t)+100F10k10k10(tt0)+100F7-37分段表示為t(s)iC(mA)010.6320.5波形0.368配項法：7-38非齊次方程=RCuC(0+)=K+US全響應：非零初始狀態(tài)的電路受到激勵時電路中產生的響應。7.3一階電路的全響應

(completeresponse)7.3.1

RC電路的全響應uC(0+)=uC(0-)=U0uC(0)=U0S(t=0)+–uCUSRC+–K=uC(0+)-US7-39USU0U0<UStoU0uCU0>USuC的波形uC(0)=U0S(t=0)+–uCUSRC+–7-40一、

全響應分解為零輸入響應和零狀態(tài)響應的疊加=+7.3.2全響應的分解uC(0)=U0S(t=0)+–uCUSRC+–uC(0-)=U0S(t=0)+–RCuC(0-)=0S(t=0)+–USRC+–7-41二、全響應分解為暫態(tài)分量和穩(wěn)態(tài)分量(t>0)穩(wěn)態(tài)分量暫態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量只與輸入有關暫態(tài)分量不僅與輸入有關，還與初始條件有關uC(0)=U0S(t=0)+–uCUSRC+–7-42全響應小結:1.全響應的不同分解方法只是便于更好地理解過渡過程的本質;2.零輸入響應與零狀態(tài)響應的分解方法其本質是疊加，因此只適用于線性電路；3.零輸入響應與零狀態(tài)響應均滿足齊性原理，但全響應不滿足。7-43一階電路的數(shù)學描述是一階微分方程,其解的一般形式為令t=0+7.3.3一階電路的三要素法7-44三要素的確定：1.時間常數(shù)的確定：RC電路：=ReqCRL電路：=L/ReqReq:換路后電路中所有獨立電源置零后接在儲能元件（L或C）兩端的等效電阻。2.穩(wěn)態(tài)值y()的確定：穩(wěn)態(tài)值y()由換路后的穩(wěn)態(tài)電路確定，（電容相當于開路，電感相當于短路）7-453.初始值y(0+)的確定：

由換路前儲能元件的初始值uC(0－)或iL(0－)

，根據(jù)換路定則確定t=0+時的等效電路，再由t=0+時的等效電路確定y(0+)。一般情況：特殊情況：

換路后有電容并聯(lián)或有電感串聯(lián)時，或電路有沖激激勵時，換路定則不再成立，此時應根據(jù)電荷守恒或磁鏈守恒先確定uC(0+)

或iL(0+)

，再確定y(0+)。7-46例7-3-1解：t=0時合開關S。求換路后的iR2(t)。已知：用三要素法求解時的等效電路采用回路分析法R1SUS+LiR2R2R3IsiLUS+R1iL(0+)iR2R2R3Isi1(0+)7-47采用節(jié)點分析法時的等效電路將獨立電源置零，電感兩端的等效電阻按三要素法US+R1R2R3Is7-48例7-3-2解：三要素法_++1F+uouC_100k++_4mV10k_S(t=0)求

t>0的響應uc(t)

。換路后，再次達到穩(wěn)態(tài)由換路后等效電路和運放的“虛短”、“虛斷”7-49解：圖示電路，用三要素法求解例7-3-3S(t=0)+–uC1R+uC2–C1C2開關在t=0時閉合。求響應uc1和uc2

。電路的時間常數(shù)由電荷守恒聯(lián)立解得7-50圖示電路，例7-3-3S(t=0)+–uC1R+uC2–C1C2開關在t=0時閉合。求響應uc1和uc2

。由三要素法7-51例3.已知：電感無初始儲能

t=0時合S1,t=0.2s時合S2。0<t<0.2st>0.2s解求換路后的電感電流i(t)。it(s)0.25(A)1.2620i10V1HS1(t=0)

S2(t=0.2s)32+_7-521.通過例子，掌握求解二階電路的方法、步驟。2.通過例子得出二階電路的一般規(guī)律。二階電路的零輸入響應，零狀態(tài)響應和全響應重點掌握學習方法7.4二階電路(TwoOrderCircuit)7-53二階線性齊次微分方程解的一般形式設二階線性齊次微分方程為根的性質不同，響應的變化規(guī)律也不同方程的通解形式為：方程的通解形式為：7-54方程的通解形式為：方程的通解形式為：AB7-55uC(0-)=U0iL

(0-)=0已知求uC(t),iL

(t),uL(t).7.4.1RLC串聯(lián)電路的零輸入響應S(t=0)RLC+-uRiL+-uC7-56例7-4-1解電路原已達穩(wěn)態(tài)。t=0時開關S打開。4iLS+uC–10V0.02F0.5H36+–換路后，由KVL換路后為RLC串聯(lián)電路7-577-58例7-4-2利用下圖電路可產生強大的瞬間電流，電容原處穩(wěn)態(tài)。t=0開關S由1至2，求電流iL及其最大值iLm

。解UsR0RC+-uciLSL12+-7-59電感電流的最大值為：可計算tm令iLt0tmax電感電流的波形7-60小結：可推廣應用于一般二階電路定積分常數(shù)由RLC串聯(lián)二階電路7-61uC(0-)=0，iL(0-)=0。已知開關在t=0打開求iL(t).RLC并聯(lián)電路，KCL:初始條件解法同前述RLC串聯(lián)電路7.4.2二階電路的零狀態(tài)響應與全響應iLiRiCISRC+uCSL-7-62求全響應uC和iL。解例7-4-3電路原已達穩(wěn)態(tài)。t=0

時開關S閉合。特征根S1=-2，S2=-3過阻尼4+-uCSiL1H12V+-27-637-64求所示電路中電流i(t)的零狀態(tài)響應。由KVL整理得：二階非齊次常微分方程解：第一步列寫微分方程例40.5

u12-ii1+u1-2W1/6F1HS2W2W2A

i7-65第二步求通解ih解答形式為：第三步求特解ip穩(wěn)態(tài)模型S1=-2

，S2=-6S2+8S+12=0+u1-0.5u12W2Wi2Ai=0.5u1u1=2(2-0.5u1)u1=2Vi()=1A+u1-0.5

u12W1/6F1HS2W2W2A

i7-66第四步求初值0.5

u0+電路模型：+u1-12W1/6F1HS2W2W2A

i0.5

u+u1-12W2W2A+uL-7-67第五步定常數(shù)+u1-0.5

u12W1/6F1Hk2W2W2A

i7-68零狀態(tài)h(t)單位沖激響應：電路在單位沖激激勵作用下產生的零狀態(tài)響應。

(Unitimpulseresponse)用h(t)表示。+

(t)RCiC+uC7.5

沖激響應7-69=1=0uC不可能是沖激函數(shù),否則微分方程不成立方法一、將沖激響應轉化為t>0的零輸入響應1.t從0

0+uC(0-)=0兩邊積分+

(t)RCiC+uC7-702.t>0

零輸入響應

(C放電)uCtoiCtoRCiC+uC7-71例7-5-1R1=R2=20,

R3=30,L=1H,

求電路的沖激響應iL。解：iLuLReq–L+iL+R1L–R3R2uL+–將沖激響應轉化為t>0的零輸入響應7-72例7-5-2解求單位沖激響應(t)+-uC-+uLiLt=0,L開路，C短路7-73已知：R=1/5,L=1/6H,C=1F，iS=(t)解:例5沖激激勵則提供初始條件。RC+-