初中數(shù)學(xué)湘教版八年級(jí)下冊(cè)第2章四邊形本章復(fù)習(xí)與測(cè)試

2023—2023學(xué)年湘教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第2章《四邊形》單元檢測(cè)與解析一．選擇題（共8小題）1．若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是900°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（）A．5 B．6 C．7 D．82．一個(gè)多邊形除一個(gè)內(nèi)角外其余內(nèi)角的和為1510°，則這個(gè)多邊形對(duì)角線的條數(shù)是（）A．27 B．35 C．44 D．543．在四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C，點(diǎn)E在邊AB上，∠AED=60°，則一定有（）A．∠ADE=20° B．∠ADE=30° C．∠ADE=∠ADC D．∠ADE=∠ADC4．如圖，若干全等正五邊形排成環(huán)狀．圖中所示的是前3個(gè)五邊形，要完成這一圓環(huán)還需（）個(gè)五邊形．A．6 B．7 C．8 D．95．如圖所示，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)是（）A．180° B．270° C．360° D．540°6．如圖，?ABCD中，AC．BD為對(duì)角線，BC=3，BC邊上的高為2，則陰影部分的面積為（）A．3 B．6 C．12 D．247．如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)P是對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)B、點(diǎn)D不重合），過(guò)點(diǎn)P作EF∥BC，GH∥AB，則圖中面積始終相等的平行四邊形有（）A．1對(duì) B．2對(duì) C．3對(duì) D．4對(duì)8．如圖，△ABC紙片中，AB=BC＞AC，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AC上，將紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處．則下列結(jié)論成立的個(gè)數(shù)有（）①△BDF是等腰直角三角形；②∠DFE=∠CFE；③DE是△ABC的中位線；④BF+CE=DF+DE．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二．填空題（共8小題）9．若一個(gè)平行四邊形一個(gè)內(nèi)角的平分線把一條邊分為2cm和3cm的兩條線段，則該平行四邊形的周長(zhǎng)是．10．已知：如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為BC，AD，CE的中點(diǎn)，且S△ABC=4cm2，則陰影部分的面積為cm2．11．如圖，在△ABC中，M是BC邊的中點(diǎn)，AP平分∠A，BP⊥AP于點(diǎn)P、若AB=12，AC=22，則MP的長(zhǎng)為．12．如圖，在△ABC中，AB=7，AC=11，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，AD是∠BAC的平分線，MF∥AD，則FC的長(zhǎng)為．13．如圖，在?ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，AB=10cm，AD=8cm，AC⊥BC，則OB=cm．14．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=15cm，BC=10cm，P、Q分別從A、C同時(shí)出發(fā)，P以3cm/s的速度由A向D運(yùn)動(dòng)，Q以2cm/s的速度由C出發(fā)向B運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)秒時(shí)四邊形PQCD恰好是平行四邊形．15.如圖，△ABC與△A1B1C1關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱(chēng)，下列說(shuō)法：①∠BAC=∠B1A1C1；②AC=A1C1；③OA=OA1；④△ABC與△A1B1C1的面積相等，其中正確的有個(gè)。16．如圖，在△ABC中，AB=4，AC=3，AD、AE分別是其角平分線和中線，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AD于F，交AB于G，連接EF，則線段EF的長(zhǎng)為．三．解答題（共5小題）17．如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，∠BAD的角平分線AE交CD于點(diǎn)F，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：BE=CD；（2）連接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四邊形ABCD的面積．18．如圖，E是?ABCD的邊CD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）求證：△ADE≌△FCE．（2）若∠BAF=90°，BC=5，EF=3，求CD的長(zhǎng)．19．如圖，在四邊形ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，E、F是AD、BC的中點(diǎn)，EF分別交AC、BD于M、N，且OM=ON．求證：AC=BD．20．已知：如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AD，BC上的點(diǎn)，且AE=CF，直線EF分別交BA的延長(zhǎng)線、DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，H，交BD于點(diǎn)O．（1）求證：△ABE≌△CDF；（2）連接DG，若DG=BG，則四邊形BEDF是什么特殊四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由．21．已知：如圖，平行四邊形ABCD中，AB=4，AD=6，∠A的平分線交BC于E，交DC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，BG⊥AE，垂足為G，射線BG交AD于H，交CD延長(zhǎng)線于M（1）求CE的長(zhǎng)；（2）求MF的長(zhǎng)．

2023—2023學(xué)年湘教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第2章《四邊形》單元檢測(cè)解析一．選擇題（共8小題）1．若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是900°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式（n﹣2）?180°，列式求解即可．【解答】解：設(shè)這個(gè)多邊形是n邊形，根據(jù)題意得，（n﹣2）?180°=900°，解得n=7．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和公式，熟記公式是解題的關(guān)鍵．2．一個(gè)多邊形除一個(gè)內(nèi)角外其余內(nèi)角的和為1510°，則這個(gè)多邊形對(duì)角線的條數(shù)是（）A．27 B．35 C．44 D．54【分析】設(shè)出題中所給的兩個(gè)未知數(shù)，利用內(nèi)角和公式列出相應(yīng)等式，根據(jù)邊數(shù)為整數(shù)求解即可，再進(jìn)一步代入多邊形的對(duì)角線計(jì)算方法，即可解答．【解答】解：設(shè)這個(gè)內(nèi)角度數(shù)為x°，邊數(shù)為n，∴（n﹣2）×180﹣x=1510，180n=1870+x，∵n為正整數(shù)，∴n=11，∴=44，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查多邊形的內(nèi)角和計(jì)算公式以及多邊形的對(duì)角線條數(shù)的計(jì)算方法，屬于需要識(shí)記的知識(shí)．3．在四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C，點(diǎn)E在邊AB上，∠AED=60°，則一定有（）A．∠ADE=20° B．∠ADE=30° C．∠ADE=∠ADC D．∠ADE=∠ADC【分析】利用三角形的內(nèi)角和為180°，四邊形的內(nèi)角和為360°，分別表示出∠A，∠B，∠C，根據(jù)∠A=∠B=∠C，得到∠ADE=∠EDC，因?yàn)椤螦DC=∠ADE+∠EDC=∠EDC+∠EDC=∠EDC，所以∠ADE=∠ADC，即可解答．【解答】解：如圖，在△AED中，∠AED=60°，∴∠A=180°﹣∠AED﹣∠ADE=120°﹣∠ADE，在四邊形DEBC中，∠DEB=180°﹣∠AED=180°﹣60°=120°，∴∠B=∠C=（360°﹣∠DEB﹣∠EDC）÷2=120°﹣∠EDC，∵∠A=∠B=∠C，∴120°﹣∠ADE=120°﹣∠EDC，∴∠ADE=∠EDC，∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠EDC+∠EDC=∠EDC，∴∠ADE=∠ADC，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)利用三角形的內(nèi)角和為180°，四邊形的內(nèi)角和為360°，分別表示出∠A，∠B，∠C．4．如圖，若干全等正五邊形排成環(huán)狀．圖中所示的是前3個(gè)五邊形，要完成這一圓環(huán)還需（）個(gè)五邊形．A．6 B．7 C．8 D．9【分析】先根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式（n﹣2）?180°求出正五邊形的每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，再延長(zhǎng)五邊形的兩邊相交于一點(diǎn)，并根據(jù)四邊形的內(nèi)角和求出這個(gè)角的度數(shù)，然后根據(jù)周角等于360°求出完成這一圓環(huán)需要的正五邊形的個(gè)數(shù)，然后減去3即可得解．【解答】解：五邊形的內(nèi)角和為（5﹣2）?180°=540°，所以正五邊形的每一個(gè)內(nèi)角為540°÷5=108°，如圖，延長(zhǎng)正五邊形的兩邊相交于點(diǎn)O，則∠1=360°﹣108°×3=360°﹣324°=36°，360°÷36°=10，∵已經(jīng)有3個(gè)五邊形，∴10﹣3=7，即完成這一圓環(huán)還需7個(gè)五邊形．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式，延長(zhǎng)正五邊形的兩邊相交于一點(diǎn)，并求出這個(gè)角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵，注意需要減去已有的3個(gè)正五邊形．5．如圖所示，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)是（）A．180° B．270° C．360° D．540°【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可得∠1與∠E、∠F的關(guān)系，∠1、∠2、∠D的關(guān)系，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式，可得答案．【解答】解：如圖延長(zhǎng)AF交DC于G點(diǎn)，由三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，得∠1=∠E+∠F，∠2=∠1+∠D，由等量代換，得∠2=∠E+∠F+∠D，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠A+∠B+∠2+∠C=（4﹣2）×180°=360°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形外角的性質(zhì)及三角形的外角和，熟知三角形的外角和是360度是解答此題的關(guān)鍵．6．如圖，?ABCD中，AC．BD為對(duì)角線，BC=3，BC邊上的高為2，則陰影部分的面積為（）A．3 B．6 C．12 D．24【分析】由?ABCD中，AC．BD為對(duì)角線，BC=3，BC邊上的高為2，即可求得菱形的面積，易證得△AOE≌△COF（ASA），即可得S△AOE=S△COF，同理：S△EOG=S△FOH，S△DOG=S△BOH，即可求得答案．【解答】解：∵?ABCD中，AC．BD為對(duì)角線，BC=3，BC邊上的高為2，∴S?ABCD=3×2=6，AD∥BC，∴OA=OC，∠OAE=∠OCF，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴S△AOE=S△COF，同理：S△EOG=S△FOH，S△DOG=S△BOH，∴S陰影=S△ABD=S?ABCD=×6=3．故選A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．7．如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)P是對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)B、點(diǎn)D不重合），過(guò)點(diǎn)P作EF∥BC，GH∥AB，則圖中面積始終相等的平行四邊形有（）A．1對(duì) B．2對(duì) C．3對(duì) D．4對(duì)【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得△ABD≌△BCD，△BEP≌△BHP，△PGD≌△PFD，所以得其面積分別相等，從而得面積相等的平行四邊形有3對(duì)．【解答】解：面積始終相等的平行四邊形有：平行四邊形AEPG和平行四邊形PHCF；平行四邊形ABHG和平行四邊形BEFC；平行四邊形AEFD和平行四邊形GHCD．共3對(duì)．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和三角形全等的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是將證明平行四邊形的面積相等的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明三角形的面積相等的問(wèn)題，利用全等三角形的知識(shí)解決．8．如圖，△ABC紙片中，AB=BC＞AC，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AC上，將紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處．則下列結(jié)論成立的個(gè)數(shù)有（）①△BDF是等腰直角三角形；②∠DFE=∠CFE；③DE是△ABC的中位線；④BF+CE=DF+DE．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)題意可知△DFE是△DAE對(duì)折的圖形，所以全等，故AD=DF，而AD=BD，所以BD=DF，但是∠B不一定等于45°，所以△BDF不一定是等腰直角三角形，①不成立；結(jié)合①中的結(jié)論，BD=DF，而∠ADE=∠FDE，∠ADF=∠DBF+∠DFB，可證∠BFD=∠EDF，故DE∥BC，即DE是△ABC的中位線，③成立；若③成立，利用△ADE≌△FDE，DE∥BC，∠AEF=∠EFC+∠ECF，可證∠DFE=∠CFE，②成立；根據(jù)折疊以及中位線定理得右邊=AB，要和左邊相等，則需CE=CF，則△CEF應(yīng)是等邊三角形，顯然不一定，故④不成立．【解答】解：①根據(jù)折疊知AD=DF，所以BD=DF，即一定是等腰三角形．因?yàn)椤螧不一定等于45°，所以①錯(cuò)誤；②連接AF，交DE于G，根據(jù)折疊知DE垂直平分AF，又點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，在△ABF中，根據(jù)三角形的中位線定理，得DG∥BF．進(jìn)一步得E是AC的中點(diǎn)．由折疊知AE=EF，則EF=EC，得∠C=∠CFE．又∠DFE=∠A=∠C，所以∠DFE=∠CFE，正確；③在②中已證明正確；④根據(jù)折疊以及中位線定理得右邊=AB，要和左邊相等，則需CE=CF，則△CEF應(yīng)是等邊三角形，顯然不一定，錯(cuò)誤．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題結(jié)合翻折變換，考查了三角形中位線定理，正確利用折疊所得對(duì)應(yīng)線段之間的關(guān)系以及三角形的中位線定理是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共8小題）9．若一個(gè)平行四邊形一個(gè)內(nèi)角的平分線把一條邊分為2cm和3cm的兩條線段，則該平行四邊形的周長(zhǎng)是14cm或16cm．【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和等腰三角形的判定求解，解題時(shí)要注意分類(lèi)討論，即DE可能為2，也可能為3．【解答】解：由題意可得，DC=5cm，∵平行四邊形ABCD，∴∠BAE=∠DEA，又∵AE為∠DAB的角平分線，∴∠DAE=∠DEA，∴△ADE是等腰三角形，AD=DE，∴當(dāng)DE=2cm時(shí)，該平行四邊形的周長(zhǎng)是10+4=14cm；當(dāng)DE=3cm時(shí)，該平行四邊形的周長(zhǎng)是10+6=16cm．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查平行四邊形的性質(zhì)和等腰三角形的判定及性質(zhì)，注意考慮當(dāng)DE=2或3cm的兩種情況．10．已知：如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為BC，AD，CE的中點(diǎn)，且S△ABC=4cm2，則陰影部分的面積為1cm2．【分析】易得△ABD，△ACD為△ABC面積的一半，同理可得△BEC的面積等于△ABC面積的一半，那么陰影部分的面積等于△BEC的面積的一半．【解答】解：∵D為BC中點(diǎn)，根據(jù)同底等高的三角形面積相等，∴S△ABD=S△ACD=S△ABC=×4=2，同理S△BDE=S△CDE=S△BCE=×2=1，∴S△BCE=2，∵F為EC中點(diǎn)，∴S△BEF=S△BCE=×2=1．故答案為1．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了三角形中線的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是知道同底等高的三角形面積相等．11．如圖，在△ABC中，M是BC邊的中點(diǎn)，AP平分∠A，BP⊥AP于點(diǎn)P、若AB=12，AC=22，則MP的長(zhǎng)為5．【分析】先作輔助線，再根據(jù)三角形全等的性質(zhì)得出BP=DB，再利用角平分線的性質(zhì)計(jì)算．【解答】解：延長(zhǎng)BP與AC相交于D，延長(zhǎng)MP與AB相交于E因?yàn)椤螧AP=∠DAP，AP⊥BD，AP=AP所以△ABP≌△APD于是BP=PD又∵M(jìn)是BC邊的中點(diǎn)故PM∥AC所以∠2=∠3又因?yàn)椤?=∠3所以∠1=∠2，EP=AE=AB=×12=6AD=2EP=2×6=12DC=22﹣12=10PM=DC=×10=5故MP的長(zhǎng)為5．故答案為5．【點(diǎn)評(píng)】本題比較復(fù)雜，考查的是三角形的中位線定理及角平分線的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是延長(zhǎng)BP與AC相交于D，延長(zhǎng)MP與AB相交于E，構(gòu)造出三角形，再解答．12．如圖，在△ABC中，AB=7，AC=11，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，AD是∠BAC的平分線，MF∥AD，則FC的長(zhǎng)為9．【分析】解決該題的關(guān)鍵是作出中位線，并且在圖中找出規(guī)律，解決問(wèn)題，做MN平行于AB，則MN為△ABC的中位線．【解答】解：如圖，設(shè)點(diǎn)N是AC的中點(diǎn)，連接MN，則MN∥AB，∴∠NMC=∠B，MN=AB，又∵M(jìn)F∥AD，∴∠FMC=∠ADC=∠B+∠BAD，即∠FMN+∠NMC=∠B+∠BAD，∴∠FMN=∠BAD=∠DAC=∠MFN，所以．因此=+=9．故答案為9．【點(diǎn)評(píng)】該題考查了中位線在三角形中的應(yīng)用，并且根據(jù)三角形中位線定理進(jìn)行分析運(yùn)算．13．如圖，在?ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，AB=10cm，AD=8cm，AC⊥BC，則OB=cm．【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出BC=AD=8cm，OA=OC=AC，由勾股定理求出AC，得出OC，再由勾股定理求出OB即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC=AD=8cm，OA=OC=AC，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∴AC===6，∴OC=3，∴OB===；故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．14．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=15cm，BC=10cm，P、Q分別從A、C同時(shí)出發(fā)，P以3cm/s的速度由A向D運(yùn)動(dòng)，Q以2cm/s的速度由C出發(fā)向B運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)3秒時(shí)四邊形PQCD恰好是平行四邊形．【分析】根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得當(dāng)DP=CQ時(shí)，四邊形PQCD是平行四邊形，因此設(shè)y秒后四邊形PQCD是平行四邊形，進(jìn)而表示出PD=（15﹣3x）cm，CQ=2xcm，再列方程解出x的值即可．【解答】解：設(shè)x秒后，四邊形PQCD是平行四邊形，∵P以3cm/s的速度由A向D運(yùn)動(dòng)，Q以2cm/s的速度由C出發(fā)向B運(yùn)動(dòng)，∴AP=3xcm，CQ=2xcm，∵AD=15cm，∴PD=（15﹣3x）cm，當(dāng)DP=CQ時(shí)，四邊形QCDP是平行四邊形，∴2x=15﹣3x，解得：x=3，故3秒后，四邊形PQCD是平行四邊形，故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行四邊形的判定，關(guān)鍵是掌握平行四邊形的判定方法．15.如圖，△ABC與△A1B1C1關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱(chēng)，下列說(shuō)法：①∠BAC=∠B1A1C1；②AC=A1C1；③OA=OA1；④△ABC與△A1B1C1的面積相等，其中正確的有（填序號(hào)）【分析】根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)的圖形的性質(zhì)即可判斷．【解答】解：中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形全等，則①②④正確；對(duì)稱(chēng)點(diǎn)到對(duì)稱(chēng)中心的距離相等，故③正確；故①②③④都正確．故答案為：①②③④．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了中心對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)，正確理解性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．如圖，在△ABC中，AB=4，AC=3，AD、AE分別是其角平分線和中線，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AD于F，交AB于G，連接EF，則線段EF的長(zhǎng)為．【分析】首先根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出△AFG≌△AFC，即可判斷出FG=FC，AG=AC，所以點(diǎn)F是CG的中點(diǎn)；然后根據(jù)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，可得EF是△CBG的中位線，再根據(jù)三角形中位線定理，求出線段EF的長(zhǎng)為多少即可．【解答】解：∵AD是∠BAC的平分線，∴∠FAG=∠FAC，∵CG⊥AD，∴∠AFG=∠AFC=90°，在△AFG和△AFC中，，∴△AFG≌△AFC，∴FG=FC，AG=AC=3，∴F是CG的中點(diǎn)，又∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴EF是△CBG的中位線，∴EF==．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】（1）此題主要考查了三角形中位線定理的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．（2）此題還考查了等腰三角形的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①等腰三角形的兩腰相等．②等腰三角形的兩個(gè)底角相等．③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．三．解答題（共5小題）17．（2023?永州）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，∠BAD的角平分線AE交CD于點(diǎn)F，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：BE=CD；（2）連接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四邊形ABCD的面積．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)和角平分線得出∠BAE=∠BEA，即可得出AB=BE；（2）先證明△ABE是等邊三角形，得出AE=AB=4，AF=EF=2，由勾股定理求出BF，由AAS證明△ADF≌△ECF，得出△ADF的面積=△ECF的面積，因此平行四邊形ABCD的面積=△ABE的面積=AE?BF，即可得出結(jié)果．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，∴∠AEB=∠DAE，∵AE是∠BAD的平分線，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∴BE=CD；（2）解：∵AB=BE，∠BEA=60°，∴△ABE是等邊三角形，∴AE=AB=4，∵BF⊥AE，∴AF=EF=2，∴BF===2，∵AD∥BC，∴∠D=∠ECF，∠DAF=∠E，在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（AAS），∴△ADF的面積=△ECF的面積，∴平行四邊形ABCD的面積=△ABE的面積=AE?BF=×4×2=4．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問(wèn)題（2）的關(guān)鍵．18．（2023?溫州）如圖，E是?ABCD的邊CD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）求證：△ADE≌△FCE．（2）若∠BAF=90°，BC=5，EF=3，求CD的長(zhǎng)．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC，AB∥CD，證出∠DAE=∠F，∠D=∠ECF，由AAS證明△ADE≌△FCE即可；（2）由全等三角形的性質(zhì)得出AE=EF=3，由平行線的性質(zhì)證出∠AED=∠BAF=90°，由勾股定理求出DE，即可得出CD的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAE=∠F，∠D=∠ECF，∵E是?ABCD的邊CD的中點(diǎn)，∴DE=CE，在△ADE和△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（AAS）；（2）解：∵ADE≌△FCE，∴AE=EF=3，∵AB∥CD，∴∠AED=∠BAF=90°，在?ABCD中，AD=BC=5，∴DE===4，∴CD=2DE=8．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定方法、勾股定理；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．19．如圖，在四邊形ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，E、F是AD、BC的中點(diǎn)，EF分別交AC、BD于M、N，且OM=ON．求證：AC=BD．【分析】取AB和CD的中點(diǎn)分別為G、H，連接EG、GF、FH、EH，推出EH∥AC，EH=AC，HF∥BD，F(xiàn)H=BD，根據(jù)平行線性質(zhì)求出∠3=∠2，∠1=∠4，根據(jù)OM=ON推出∠4=∠3=∠1=∠2，同理∠EFH=∠GFE=∠1=∠2，推出∠4=∠EFH，得出EH=HF即可．【解答】證明：取AB和CD的中點(diǎn)分別為G、H，連接EG、GF、FH、EH，則EH∥AC，EH=AC，HF∥BD，F(xiàn)H=BD，∴∠3=∠2，∠1=∠4，∵OM=ON，∴∠1=∠2，∴∠4=∠3=∠1=∠2，同理∠EFH=∠GFE=∠1=∠2，∴∠4=∠EFH，∴EH=HF，∵EH=AC，F(xiàn)H=BD，∴AC=BD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形的中位線，平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵是正確作輔助線后得出EH=HF，題目比較典型，有一定的難度．20．（2023?青島）已知：如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AD，BC上的點(diǎn)，且AE=CF，直線EF分別交BA的延長(zhǎng)線、DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，H，交BD于點(diǎn)O．（1）求證：△ABE≌△CDF；（2）連接DG，若DG=BG，則四邊形BEDF是什么特殊四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出AB=CD