物體的彈性綜述

醫(yī)學物理學物體的彈性第二章掌握描述物體彈性的基本概念：形變、應變、應力、模量。理解應力與應變的關系。了解骨骼的力學特性和生物材料的黏彈性。教學基本要求物體形變形變定義：物體在外力作用下發(fā)生形狀和大小的改變。形變類型：從彈性體的恢復情況劃分有彈性形變、范性（塑性）形變。從形狀變化情況劃分有伸長、縮短、切變、扭轉(zhuǎn)、彎曲等形變。伸長和縮短合稱線變。線變和切變是彈性形變的兩種基本類型，其他形變實際上是這兩種形變的復合。第一節(jié)線應變與正應力一、線應變對一細長物體施加拉力F使之拉伸,其伸長變化率稱為線應變：

若物體被拉伸＞0,ε＞0；若物體被壓縮＜0,ε＜0。（2-1）1.內(nèi)力物體內(nèi)部任一橫截面兩邊材料之間存在的一種相互作用力。

2.張力垂直于任一截面的拉伸內(nèi)力。3.壓力垂直于任一截面的相互擠壓的內(nèi)力。二、正應力4.正應力如果是均勻物體，則張力F與橫截面面積S之比，稱為該橫截面上的正應力，用σ表示:

（2-2）

如果是物體受力不均勻或者內(nèi)部材料不均勻的一般情況，可以取一個微小的面元，其面積為

dS，設這個面元上的張力為dF

，則該面元上的正應力表示為（2-3）正應力分為張應力(σ＞0)與壓應力(σ

＜0).1.低碳鋼正應力與線應變的關系從圖上可將拉伸分為彈性、屈服、硬化和頸縮四個階段：三、正應力與線應變的關系①彈性階段曲線中OA段，A點稱為正比極限。B點的正應力叫做彈性極限。②屈服階段過了C點是屈服階段，這一階段的最大正應力為屈服強度。③硬化階段從D點開始是硬化階段，只有加大正應力，才能使物體進一步伸長，此即材料的硬化；E點的正應力叫做強度極限；④頸縮階段過了E點是頸縮階段；F點稱為斷裂點。拉伸時，斷裂點的正應力稱為材料的抗張強度。壓縮時，斷裂點的正應力稱為材料的抗壓強度。BF是材料的范性（塑性）范圍。如果F點距B點較遠，則這種材料能產(chǎn)生較大的范性形變，表示它具有展性。如果F點距B點較近，則這種材料能產(chǎn)生較小的范性形變，材料表現(xiàn)為脆性。實驗表明：在正比極限內(nèi)，正應力與線應變成正比，即（2-4）Y稱為楊氏模量。結(jié)合（2-1）和（2-2）式（2-5）即為胡克定律

其中楊氏模量Y只與材料的性質(zhì)有關，它反映材料抵抗線變的能力，其值越大物體越不容易變形。幾種材料的楊氏模量見表材料低碳鋼鑄鐵花崗巖鉛骨/拉伸骨/壓縮木材腱橡膠血管楊氏模量Y109N·m-2196785017169100.020.0010.00022.骨作為一種彈性材料，在正比極限范圍之內(nèi)，它的正應力和線應變成正比關系。骨骼在被拉伸時會伸長、變細（如人進行懸垂動作）。骨骼在被壓縮時（如舉重）能夠刺激骨的生長，促進骨折愈合；但壓縮作用較大時能使骨縮短、變粗。拉伸與壓縮的極限應力分別為134MN·m-2與170MN·m-2濕潤而致密的成人四肢骨的正應力-線應變曲線3.主動脈彈性組織的正應力與線應變關系并不服從胡克定律，曲線沒有直線部分。主動脈彈性組織的彈性極限十分接近斷裂點，這說明只要它沒有被拉斷，在外力消失后都能恢復原狀。彈性組織應變可達到1.0，這說明它可以伸長到原有長度的兩倍，這一點和橡膠皮比較類似。主動脈彈性組織的正應力-線應變曲線[例2-1]如圖所示，一根結(jié)構均勻的彈性桿，密度為

，楊氏模量為Y

。將此桿豎直懸掛，使上端固定，下端自由。求桿中的應力和應變。解：設桿在懸掛時的長為

l，橫截面積為S。以懸掛點為原點向下作Ox軸，如圖所示，計算坐標為x（0<x<l

）的橫截面處的應力和應變。由

得這個截面處的應力為：又因為，所以這個截面處的應變?yōu)椋篬例2-2]股骨是大腿中的主要骨骼。如果成年人股骨的最小截面積是

610-4m2，問受壓負荷為多大時將發(fā)生碎裂？又假定直至碎裂前，應力-應變關系還是線性，試求發(fā)生碎裂時的應變。

（抗壓強度=17107

N·m-2）解：導致骨碎裂的作用力

根據(jù)骨的楊氏模量

Y=0.91010N·m-2，可求碎裂時的應變

平面彎曲是指物體具有一個縱向的對稱面，所有外力的合力都集中在這個對稱面里。在兩個支架上放置一橫梁。當橫梁受到一個垂直于軸線的橫向壓力

P時，如圖（b）所示，橫梁發(fā)生彎曲。顯然，凸出的一側(cè)被拉伸，凹進的一側(cè)被壓縮。四、彎曲第二節(jié)切應變與切應力一、切應變當物體兩端同時受到反向平行的拉力

F

作用時會發(fā)生形變，如圖所示，其內(nèi)部與該截面平行的平面發(fā)生錯位，使原來與這些截面正交的線段變得不再正交，這樣的形變叫做切應變。發(fā)生錯位的這些平面叫做剪切面，平行于這個平面的外力叫做剪切力。剪切的程度以Δx/d比值來衡量，這一比值稱為切應變(γ)：（2-6）二、切應力彈性體發(fā)生切變時，任一剪切面兩邊材料之間存在相互作用并且大小相等的切向內(nèi)力。通過彈性體內(nèi)某一個面元的切應力為（2-8）當切向內(nèi)力在上下底面上分布均勻時，剪切力F

與截面積S之比稱為切應力,又稱為剪切應力。用τ

表示。（2-7）三、切應力與切應變的關系實驗證明，在一定的限度內(nèi)，切應力與切應變成正比，這種正比關系叫做切變的胡克定律。即：上式中比例系數(shù)G

稱為切變模量，也叫剛性模量。結(jié)合（2-6）和（2-8）式（2-10）（2-9）與楊氏模量類似，切變模量也只與材料的性質(zhì)有關，幾種材料的切變模量見表：剪切作用時，人骨骼所能承受的剪切載荷比拉伸和壓縮載荷都低。骨骼的剪切破壞應力約等于54MN·m-2。材料鎢低碳鋼銅鑄鐵玻璃熔石英鋁骨木材鉛切變模量G109Nm-2140784035302510106若使圓柱體兩端分別受到對中心軸的力矩，且方向相反，則圓柱體便會發(fā)生扭轉(zhuǎn)現(xiàn)象。如圖所示，將結(jié)構均勻的圓桿下端固定，力矩作用其上端，圓桿一端相對于另一端的角位移稱為扭轉(zhuǎn)角，用δ表示。扭轉(zhuǎn)角與母線的傾斜角φ之間的關系為：四、扭轉(zhuǎn)（2-11）l為桿的半徑，

a為桿的長度。實驗證明，當圓桿發(fā)生微弱的扭轉(zhuǎn)時，扭轉(zhuǎn)角δ與扭轉(zhuǎn)力矩M有如下的關系：其中G為材料的切變模量。由上式可見，在扭轉(zhuǎn)角δ相同的條件下，扭轉(zhuǎn)力矩M與桿的半徑a

的四次方成正比。顯然，桿的半徑越大扭轉(zhuǎn)越困難。由式（2-9）和（2-11）可知，外緣的切應力為（2-12）結(jié)合（2-12）式，最大切應力為：（2-14）（2-13）由于承擔最大的切應力的是圓桿的外緣材料，并且從抗扭轉(zhuǎn)性能來看，靠近中心軸的各層作用不大，因此常用空心管來代替實心柱，這樣既可以節(jié)省材料，又可以減輕重量。人體骨骼的抗扭轉(zhuǎn)強度最小，因而過大的扭轉(zhuǎn)很容易造成扭轉(zhuǎn)性骨折。下表是人體的四肢骨的斷裂力矩和相應的扭轉(zhuǎn)角度。骨扭斷力矩N·m扭轉(zhuǎn)角下肢上肢股骨脛骨腓骨肱骨橈骨尺骨140100126020201.5o3.4o35.7o5.9o15.4o15.2o第三節(jié)體應變與體應力一、體應變物體各部分在各個方向上受到同等壓強時體積發(fā)生變化而形狀不變，則體積變化ΔV

與原體積

之比稱為體應變，以θ

表示即（2-15）二、體應力物體在外力作用下發(fā)生體積變化時，如果物體是各向同性的，則其內(nèi)部各個方向的截面積上都有同樣大小的壓應力，或者說具有同樣的壓強。因此，體應力可以用壓強來表示。三、體應力與體應變的關系在體積形變中，壓強與體應變的比值稱為體變模量，用K表示：負號表示體積縮小時壓強是增加的。體變模量與壓縮率k的關系為：（2-17）（2-16）物質(zhì)的k值越大，越易被壓縮。下表是幾種材料的體變模量材料鋼銅鐵鋁玻璃熔石英水銀水乙醇體變模量K158120807036252.20.9第四節(jié)*生物材料的黏彈性

生物材料分為天然和人工合成兩大類●天然生物材料：如活體器官、組織、部件及體液等。●人工合成生物材料：是用化學合成方法制成的人造生物材料，它能用于與人體活組織或生物流體直接相接觸的部位，具有天然器官組織或部件的功能。如人工血管、心臟、關節(jié)、血液代用品等等。天然生物材料既具有彈性也有黏性，被稱為黏彈體，其特征稱為黏彈性。生物材料中的液體和固體幾乎都是黏彈體，如血液、呼吸道粘液、關節(jié)液、軟骨、血管、食管以及人工關節(jié)、瓣膜、皮膚等。只不過有的彈性較強，有的黏性較強，在程度上有所差別。一、生物材料的結(jié)構特點生物材料多數(shù)是高分子聚合物。其分子間可以形成多種不同的三維結(jié)構，大致可分為三類：1.分子不交聯(lián)的無定型聚合態(tài)這種聚合態(tài)的分子可互相分開，分子間可互相滑動，材料能拉長或無規(guī)則地形變，但不能恢復原狀，所以是非彈性的，如體液等。2.分子交聯(lián)的無定型聚合態(tài)這類分子因交聯(lián)而不能互相滑動。當生物材料拉長時，長分子可在拉長方向上伸直，被拉長到原來的3

倍左右；放松時，又能卷曲和彈開，能恢復到接近原來的尺寸，如彈性蛋白就具有這種性質(zhì)。3.分子交聯(lián)成定型的結(jié)構此類生物材料具有較高的彈性模量（1~10MN·m-2）如膠原纖維、骨骼等。所有組成人體器官的生物材料都是由上述三種聚合物和其他摻合物（無機鹽、水、空氣等）構成的復雜結(jié)構。除生物金屬材料外大多數(shù)合成生物材料也是高分子聚合物，它們的力學性質(zhì)介于彈性固體和黏性液體之間，即同時具有彈性固體的彈性和黏性液體的黏性，所以合成生物材料大多也是黏彈性材料。二、生物材料的黏彈性黏彈性材料的基本性質(zhì)：1．延遲彈性黏彈性材料，其應變對應力的響應不是即時的，應變滯后于應力。如圖(a)所示，黏彈性材料在恒定壓力作用下，應變隨時間逐漸增加，最后趨近于恒定值。當外力去除后，應變只能逐漸減小到零，即應變總是落后于應力的變化，這種表現(xiàn)就是延遲彈性。其原因在于大分子鏈回縮過程中需克服內(nèi)摩擦力。當黏彈體發(fā)生形變時，若使黏彈體應變維持恒定，則應力隨時間的增加而緩慢減小，如圖（b）所示，這種現(xiàn)象稱為應力松弛，如血管和血液就具有此特性。其原因與生物