時間序列分析

《時間序列分析》周慧辦公室：9-319電話：(600試分數(shù)=80%卷面+20%平時成績時間序列分析的起源最早的時間序列分析可以追溯到7000年前的古埃及古埃及人把尼羅河漲落的情況逐天記錄下來，就構(gòu)成所謂的時間序列。對這個時間序列長期的觀察使他們發(fā)現(xiàn)尼羅河的漲落非常有規(guī)律。由于掌握了尼羅河泛濫的規(guī)律，使得古埃及的農(nóng)業(yè)迅速發(fā)展，從而創(chuàng)建了埃及燦爛的史前文明。按照時間的順序把隨機事件變化發(fā)展的過程記錄下來就構(gòu)成了一個時間序列。對時間序列進行觀察、研究，找尋它變化發(fā)展的規(guī)律，預測它將來的走勢就是時間序列分析。第2章確定性時間序列模型特點：數(shù)據(jù)去掉隨機擾動項后，剩下的可以用確定的時間函數(shù)來表示。假設(shè):(1)過去一段時間收集到的數(shù)確的刻畫了歷史；（2）歷史會重復。一個時間序列{Yt}可分解為以下四部分的共同作用：長期趨勢變動T，季節(jié)效應S，循環(huán)變動C，不規(guī)則變動因素I.(一般將循環(huán)變動和季節(jié)效應都稱為季節(jié)性變化)2.1時間序列的分解時間序列的變動因素長期趨勢變動(T：seculartrend)具體表現(xiàn)為不斷增加或減少的基本趨勢，及只圍繞某一常數(shù)值波動而無明顯增減變化的水平趨勢.季節(jié)性變動(S：seasonalvariation)周期小于或等于一年，通常為一年、一月、一周等.循環(huán)變動(C：cyclicalvariation)通常周期為2~15年.不規(guī)則變動或隨機變動(I：irregularvariation)受偶然不可控因素的影響，表現(xiàn)出不規(guī)則波動.1978年-2007年我國GDP數(shù)據(jù)(單位:億元)GDP即國內(nèi)生產(chǎn)總值，它是對一國經(jīng)濟在核算期內(nèi)所有常住單位生產(chǎn)的最終產(chǎn)品總量的度量，常常被看成反映一個國家經(jīng)濟狀況的重要指標。1992年第1季度-2008年第3季度我國GDP季度數(shù)據(jù)(單位:億元)

1820年-1869年的太陽黑子數(shù)(單位:個)該圖中，橫軸是時間t(以年為單位)，縱軸表示在時間t內(nèi)太陽黑子個數(shù)的觀測值.德國業(yè)余天文學家施瓦爾發(fā)現(xiàn)太陽黑子的活動具有11年左右的周期加法模型：各個影響因素相互獨立，均為與X同計量單位的絕對量乘法模型：只有長期趨勢是同X同計量單位的絕對值，其余趨勢為長期趨勢的比例，表現(xiàn)為對于長期趨勢的一種相對變化幅度，通常以百分數(shù)表示。趨勢模型趨勢季節(jié)模型趨勢季節(jié)循環(huán)模型時間序列數(shù)據(jù)的簡單外推如何選擇加法模型還是乘法模型適合乘法模型適合加法模型數(shù)值偏移趨勢部分的大小隨時間的改變而改變數(shù)值偏移趨勢部分的大小不隨時間的改變而改變平滑方法平滑方法的優(yōu)點：時間序列往往受到偶然因素的影響產(chǎn)生隨機變化，所以使用技術(shù)方法可以更好的發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的規(guī)律。若一個時間序列沒有明顯的趨勢和季節(jié)性，可以利用平滑后的序列對未來進行預測。2.2.1簡單移動平均原始數(shù)據(jù)用At表示，平滑數(shù)據(jù)用表示M-期簡單移動平均：使用最近的M個數(shù)據(jù)的平均值作為平滑值。對數(shù)據(jù)進行預測，用平滑值作為未來一個時刻的預測例:(奇數(shù)次滑動平均)5-期簡單滑動平均平滑：5-期簡單滑動平均預測：偶數(shù)次滑動平均（需要兩次平滑）簡單移動平均

應該計算多少天M的平均值一個簡單的判斷方法。如果原始的時間序列比較平滑，那么使用短周期效果好，如果時間序列沒有什么規(guī)律，那么使用長周期效果好。簡單移動平均線的應用趨勢依然有效時使用長周期，趨勢反轉(zhuǎn)時使用短周期股票市場簡單移動平均線一條：如果閉盤價>移動平均線，買入，反之賣出一條：移動平均線是支撐和壓力區(qū)域。一條：移動平均線是對趨勢的確認。有滯后性。兩線交叉法：短期均線穿越長期均線時買入，常用的組合是5天－20天，10天－50天。例如5天均線向下穿越20天均線，而20天均線本身正向下降時，這種態(tài)勢意味著大勢在下跌。只有兩條線同時上升，而且5日線向上穿越20日線，才能認為市場出現(xiàn)反轉(zhuǎn)，如果20日線仍然下跌，不是有效的反轉(zhuǎn)信號。多條：穿越長期線更有意義。與其它指標共同使用來判斷買入還是賣出。股票市場移動平均線使用什么價格進行平均閉盤價（最廣泛的方法）最高價最低價其它：（最高＋最低）/2；（最高＋最低＋閉盤）/3美國股票市場合適的時間長度短期：10日，15日，20日，25日，30日中期：30日，10周，13周，20周，26周，200日長期：9個月，12個月，18個月，24個月加權(quán)滑動平均以4-期簡單滑動平均預測為例：等價于注意：4個數(shù)據(jù)的權(quán)數(shù)都為0.25.一般的，最近的數(shù)據(jù)最能反映未來的信息，應該給予更大的權(quán)數(shù)。如：說明：隨著時間的推移，越舊的數(shù)據(jù)，重要性越低。指數(shù)平滑一次指數(shù)平滑：其中是實際值序列；是平滑值序列

是上期平滑值，是平滑系數(shù)，也叫衰減因子，取值范圍為0<<1.

迭代后，整理

利用指數(shù)平滑對數(shù)據(jù)進行平滑和預測初始化：更新：預測：確定1.Eviews自動給定

自動給定是系統(tǒng)按照預測誤差平方和最小原則自動確定最佳系數(shù)值。如果系數(shù)接近1，說明該序列近似純隨機序列，這時最新的觀察值就是最理想的預測值。2.Bowerman和Oconnel建議取值范圍控制在0.1~0.3之間。一般認為，序列變化較為平緩，平滑系數(shù)應取得小些，如小于0.1;序列變化較為激烈，平滑系數(shù)可取得大些，如0.3~0.5；若平滑系數(shù)取大于0.5才能跟上序列變化，表明序列有很強的趨勢，不能采用一次指數(shù)平滑法。指數(shù)平滑的優(yōu)點與缺點優(yōu)點：方法簡單，甚至只要有樣本末期的平滑值，就可以得到預測結(jié)果。缺點：1.預測值是常數(shù)，不能反映趨勢變化、季節(jié)波動等有規(guī)律的變化；2.短期預測較為靈敏，但不適合中長期預測3.由于預測值是歷史數(shù)據(jù)的均值，與實際數(shù)據(jù)相比，預測值序列的變動有滯后性季節(jié)調(diào)整為什么要進行季節(jié)調(diào)整？

思考：3月份的啤酒銷量比2月份好還是差？如果僅從實際銷量分析這個問題，似乎不合適。因為3月份是淡季而2月份是旺季。趨勢和季節(jié)調(diào)整(x-11法)季節(jié)調(diào)整的基本思想乘法模型：加法模型：

某期實際值（Y）-同期季節(jié)變差（S）=T+C+IX-11基本原理（以乘法為例）1.假設(shè)觀測值{X}適合乘法模型X=TSI2.使用某種方法fT

(.)

對原始序列的趨勢T進行估計，得到3.從{X}中剔除得到季節(jié)變動和不規(guī)則變動相對數(shù)4.再用某種方法fS

(.)

，利用SI對時間序列進行季節(jié)調(diào)整，得到季節(jié)成分5.最后得到不規(guī)則變動I的估計 X-11程序季節(jié)調(diào)整的特點：利用原始資源{X}求和利用SI求均采用滑動平均，并反復迭代直至異常值被識別、剔除或者調(diào)整，最終得到穩(wěn)定的季節(jié)因素。分離趨勢成分從原時間序列{X}分離趨勢T，采用滑動平均法。平均過程剔除了時間序列中的季節(jié)成分和不規(guī)則成分，派生出的移動平均序列是長期趨勢的估計值。例子原時間序列是月度資料，月度資料是12個月為一個周期，應做12項的滑動平均第一個滑動平均值對應于原序列的第6和第7項的中間；而第二項對應于第7和第8項的中間，以此類推；但是，偶數(shù)項的滑動平均需要再進行一次兩項的滑動平均。稱為12*2的滑動平均。12*2滑動平均注意：在滑動平均計算中，時間區(qū)間中首尾分別沒有對應的移動平均值，如果移動平均值的移動項目是偶數(shù)L，那么首尾各缺L/2如果移動平均值的移動項目是奇數(shù)L，那么首尾各缺(L-1)/2,稱為滑動平均的端值丟失。季節(jié)因子（seasonalfactor）反應了序列隨著時間變化過程中，受季節(jié)因素影響的程度，即模型中的S部分。乘法模型，表現(xiàn)為季節(jié)指數(shù)，是一串在100%上下波動的相對數(shù)；加法模型，表現(xiàn)為季節(jié)變差，是一串在0左右分布的絕對數(shù)。主要用途：（1）反映了時間序列中季節(jié)波動的規(guī)律（2）對時間序列進行季節(jié)調(diào)整（3）對時間序列進行季節(jié)預測時間序列數(shù)據(jù)的簡單外推第一步：使用中心滑動平均估計趨勢項對月度數(shù)據(jù)使用6個月的中心滑動平均，把數(shù)據(jù)平滑化?t＝（0.5yt-6+yt-4+…+yt+…+yt+5+0.5yt＋6）/12對季度數(shù)據(jù)使用2個中心滑動平均，把數(shù)據(jù)平滑?t＝（0.5yt-2+yt-1+yt+yt+1+0.5yt＋2）/4這樣就把季度特點取消了，只剩下趨勢，所以時間序列數(shù)據(jù)的簡單外推第二步：把隨機誤差項去掉—把不同年份相同季節(jié)的數(shù)據(jù)進行平均，就可以去掉隨機誤差項假設(shè)有4年的數(shù)據(jù)第一個數(shù)據(jù)用y1表示，以此類推，所有的數(shù)據(jù)可以表示為y1,…,y48用z1,…,z48表示去掉趨勢后的數(shù)據(jù)，為了去掉誤差項，我們把每一年的相同月份求平均時間序列數(shù)據(jù)的簡單外推z1＝（z1+z13+z25+z37）/4z2＝（z2+z14+z26+z38）/4…z12＝（z12+z24+z36+z48）/4時間序列數(shù)據(jù)的簡單外推把季節(jié)因子規(guī)范化，使得季節(jié)因子的平均值等于1月度數(shù)據(jù)季度數(shù)據(jù)時間序列數(shù)據(jù)的簡單外推第三步：從原始數(shù)據(jù)中去掉季節(jié)項每年第一個月的數(shù)據(jù)除以zb1每年第二個月的數(shù)據(jù)除以zb2。。。每年第十二個月的數(shù)據(jù)除以zb12時間序列數(shù)據(jù)的簡單外推股票市場中加權(quán)移動平均線第一期數(shù)據(jù)乘以1，第二期數(shù)據(jù)乘以2，依次類推求出和，然后再除以權(quán)重和。還有的最后一期數(shù)據(jù)乘以2，其它數(shù)據(jù)乘以1，然后除以權(quán)重和。如果加權(quán)移動平均線轉(zhuǎn)變方向意味著趨勢反轉(zhuǎn)。趨勢性的提取方法平滑法移動平均法：k期左側(cè)移動平均，k期右側(cè)移動平均，k期中心移動平均指數(shù)平均法擬合法：建立時間t的回歸模型常用的擬合模型：線性方程，二次曲線，指數(shù)曲線，修正指數(shù)曲線，龔帕茲曲線，Logistic曲線季節(jié)指數(shù)表示一年內(nèi)每個月或每個季度，或其他周期的季節(jié)性變動方向和幅度的百分數(shù)。例如某季度的季節(jié)指數(shù)等于100％，說明該季度屬于平均水平，如果大于100％說明該季度是旺季，如果小于100％說明是淡季。月度數(shù)據(jù)12個月的季節(jié)指數(shù)之和等于1200％，季度數(shù)據(jù)4個季度的指數(shù)之和等于400％時間序列數(shù)據(jù)的簡單外推擬和趨勢

線性趨勢二次線性趨勢指數(shù)趨勢（對數(shù)線性趨勢）線性趨勢模型yt=c0+c1t

截距斜率時間趨勢增長的數(shù)量是常數(shù)t+1比t時刻增加c1例如：yt=27.5+3.1t時間序列數(shù)據(jù)的簡單外推二次趨勢模型yt=c0+c1t＋c2t2曲線不是直線，有一定的弧度。指數(shù)增長曲線時間序列數(shù)據(jù)的簡單外推例如:前面季節(jié)調(diào)整后的數(shù)據(jù)有趨勢，并且曲線反應出正線性關(guān)系，所有使用線性趨勢擬和數(shù)據(jù)yt=c0+c1t根據(jù)最小二乘法估計出未知參數(shù)為c0＝113.7c1＝1.855預測趨勢點預測在任何時間t，有yt=c0+c1t＋t在時刻T+h，yT+h=c0+c1(T+h)＋T+h時間序列數(shù)據(jù)的簡單外推總結(jié)1計算中心滑動平均2去掉趨勢得到季節(jié)和誤差項，得到季節(jié)指數(shù)3調(diào)整季節(jié)指數(shù)4去掉季節(jié)項5估計趨勢6計算擬和數(shù)據(jù)7計算誤差，評價對歷史數(shù)據(jù)的擬和程度8預測擬合澳大利亞政府1981-1990年每季度的消費支出序列線性模型參數(shù)估計方法最小二乘估計參數(shù)估計值最后看一下殘差I(lǐng)t是否需要擬合ARMA模型趨勢性提取的擬合法擬合效果圖對上海證券交易所每月末上證指數(shù)序列進行模型擬合非線性模型參數(shù)估計方法最小二乘估計參數(shù)估計值最后看一下殘差I(lǐng)t是否需要擬合ARMA模型趨勢性提取的擬合法擬合效果圖第三章平穩(wěn)線性ARMA模型隨機過程與時間序列隨機過程的定義Ω為隨機試驗E的樣本空間，T為實數(shù)集的子集，如果對于每個參數(shù)t∈T，X(e,t)為樣本空間Ω上的一個隨機變量,對每一個e∈Ω，X(e,t)為t的函數(shù)，則{X(e,t),t∈T,e∈Ω}稱為隨機過程，簡記為{X(t),t∈T}或{Xt,t∈T}.參數(shù)t的變化范圍T，稱為隨機過程的參數(shù)集.對于一切t∈T,e∈Ω，X(e,t)的全部可能的取值的集合，稱為隨機過程的狀態(tài)集，記為I.參數(shù)集T、狀態(tài)集I都可分為離散集與連續(xù)集.

隨機過程與時間序列隨機過程{Xt,t∈T}的分類：(1)連續(xù)參數(shù)集T、連續(xù)狀態(tài)集I的隨機過程(2)連續(xù)參數(shù)集T、離散狀態(tài)集I的隨機過程(3)離散參數(shù)集T、連續(xù)狀態(tài)集I的隨機過程(4)離散參數(shù)集T、離散狀態(tài)集I的隨機過程鏈：狀態(tài)空間I離散的隨機過程，(2)(4)隨機序列：參數(shù)空間T離散的隨機過程，(3)(4)。

T通常表示時間，又稱為時間序列.時間序列數(shù)學意義上的時間序列：對時間序列{Xt,t=0,±1,±2,…}，取一系列時間點t1<t2<…<tN，ti∈T={0,±1,±2,…}進行觀察，觀察值按時間先后順序排列得到{xi,i=1,2,…,N}，這樣就形成了時間序列{Xt,t=0,±1,±2,…}一次觀察(或?qū)崿F(xiàn)).實際工作中的T常表示為年、季度、月、周、日等.統(tǒng)計意義上的時間序列：時間序列是變量在某一時間段內(nèi)不同時間點上觀測值的集合，而且這些觀測值是按時間先后順序排列的.時間序列中的“時間”：指時間、長度、溫度等具有順序的物理量.時間序列時間序列{Xt,t=0,±1,±2,…}的一次觀察{xi,i=1,2,…,N}所得到的數(shù)據(jù)，實際上是N維隨機變量{Xt1

,Xt2

,…,XtN

}的一次觀察.這些數(shù)據(jù)具有一定的相關(guān)性，在整體上呈現(xiàn)某種趨勢性或周期性變化，反映了時間序列{Xt,t=0,±1,±2,…}隨“時間”變化的、“動態(tài)”的、“整體”的統(tǒng)計規(guī)律性，包含了產(chǎn)生該時間序列的系統(tǒng)的歷史行為的全部信息.1985年-2007年我國居民消費價格指數(shù)CPI居民消費價格指數(shù)(Consumer

Price

Index)英文縮寫CPI，是反映與居民生活有關(guān)的產(chǎn)品及勞務價格統(tǒng)計出來的物價變動指標，通常作為觀察通貨膨脹水平的重要指標.1949年-1964年北京地區(qū)的洪澇災害面積數(shù)據(jù)(單位:萬畝)北京在歷史上也是自然災害頻發(fā)的地區(qū)，在各種自然災害中，水旱災害發(fā)生的次數(shù)最多，危害最大。1997年1月-2008年9月美元對人民幣匯率月度數(shù)據(jù)(單位:元)：2005年7月21日中國啟動人民幣匯率改革以來，不斷完善匯率形成機制，人民幣對美元匯率總體呈現(xiàn)小幅上揚態(tài)勢1990年12月19日-2008年11月6日上證A股指數(shù)日數(shù)據(jù)(除去節(jié)假日，共4386個數(shù)據(jù))1980年1月-1991年10月澳大利亞紅酒的月銷量(單位：公升)銷量數(shù)據(jù)存在較為明顯的上升趨勢和季節(jié)變化1951年-1980年美國每年發(fā)生的罷工次數(shù)序列這些數(shù)據(jù)存在一種不規(guī)律的上下波動。1994年-1995年香港環(huán)境數(shù)據(jù)序列(a)表示因循環(huán)和呼吸問題前往醫(yī)院就診的人數(shù)；(b)表示二氧化硫的日平均水平；(c)表示二氧化氮的日平均水平；(d)表示可吸入的懸浮顆粒物的日平均水平時間序列分析時間序列分析依賴于不同地應用背景，有著不同的目的分析的基本任務是揭示支配觀測到的時間序列的隨機規(guī)律，通過所了解的這個隨機規(guī)律，我們可以理解所要考慮的動態(tài)系統(tǒng)，預測未來的事件，并且通過干預來控制將來事件。上述即為時間序列分析的三個目的。時間序列的分布和數(shù)字特征時間序列{Xt,t=0,±1,±2,…}在任意時刻t的狀態(tài)是隨機變量，因此可以利用隨機變量的一些概念來描述時間序列{Xt,t=0,±1,±2,…}的統(tǒng)計特征.有限維分布函數(shù)，均值函數(shù)，均方值函數(shù)，方差函數(shù)，自相關(guān)函數(shù)，自協(xié)方差函數(shù)，自相關(guān)系數(shù)時間序列的有限維分布函數(shù)實時間序列{Xt,t=0,±1,±2,…},參數(shù)集T={0,±1,±2,…},對任意n個時刻t1,t2,…,tn∈T，及實數(shù)x1,x2,…,xn∈R，稱為時間序列{Xt,t=0,±1,±2,…}的n維分布函數(shù).時間序列{Xt,t=0,±1,±2,…}的所有有限維分布函數(shù)的集合為時間序列{Xt,t=0,±1,±2,…}的有限維分布函數(shù)族。它完全刻畫了時間序列的統(tǒng)計特征.時間序列的數(shù)字特征時間序列{Xt,t=0,±1,±2,…}的均值函數(shù)：記為t

，若對于任意t∈T={0,±1,±2,…}，EXt存在，則t=EXt

方差函數(shù)：記為DX(t)或Var(X)，若對于任意t∈T={0,±1,…},E(Xt

-t)2存在，則DX(t)=E(Xt-t)2=EXt2-t2數(shù)學期望的性質(zhì)：1.E(aX+b)=aEX+b2.E(X+Y)=EX+EY方差的性質(zhì)：1.D(aX+b)=a2DX;2.D(X±Y)=DX+DY±2Cov(X,Y)如果X與Y不相合，則D(X±Y)=DX+DY注意：獨立和不相合非等價。時間序列的數(shù)字特征自相關(guān)函數(shù)：記為γts，若對于任意t1,t2∈T={0,±1,…},存在，則注意：自協(xié)方差函數(shù)是對稱的。當t=s時，就是方差。自相關(guān)系數(shù):(ACF)協(xié)方差的性質(zhì)：1.Cov(X,Y)=Cov(Y,X);2.Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),3.Cov(aX+b,cY+d)=acCov(X,Y)平穩(wěn)時間序列：時間序列處于某種平穩(wěn)狀態(tài)，其主要性質(zhì)與變量之間的時間間隔有關(guān)，而與所考察的起始點無關(guān)。平穩(wěn)時間序列的分類：嚴平穩(wěn)(strictlystationary)，寬平穩(wěn)(weaklystationary)一元時間序列，多元時間序列82平穩(wěn)時間序列嚴平穩(wěn)時間序列嚴平穩(wěn)是一種條件比較苛刻的平穩(wěn)性定義，它認為只有當時間序列所有的統(tǒng)計性質(zhì)都不會隨著時間的推移而發(fā)生變化時，該時間序列才能被認為平穩(wěn).定義：如果時間序列{Xt,t=0,±1,±2,…}的概率分布不隨時間的變化而變化，即對任意ε，任意n∈N，任意t1,t2,…,tn∈T，任意x1,x2,…,xn∈R，有則稱該時間序列為嚴平穩(wěn)時間序列.寬平穩(wěn)時間序列寬平穩(wěn)是使用特征統(tǒng)計量來定義的一種平穩(wěn)性，它認為時間序列的統(tǒng)計性質(zhì)主要由低階矩決定，所以只要保證低階矩平穩(wěn)(二階)，就能保證時間序列的主要性質(zhì)近似穩(wěn)定.定義：如果時間序列{Xt,t=0,±1,±2,…}滿足以下三條：(1)均方值函數(shù)存在，即對任意t∈T有EX2(t)<∞(2)均值函數(shù)為常數(shù)，即對任意t∈T有EX(t)=(3)自協(xié)方差函數(shù)是時間間隔的函數(shù),即對任意s,t∈T,τ=s-t有Cov(Xt,Xs)=E[(Xt-)(Xs-)]=(τ)則稱該時間序列為寬平穩(wěn)時間序列.嚴平穩(wěn)與寬平穩(wěn)的關(guān)系區(qū)別：寬平穩(wěn)對時間推移的不變性表現(xiàn)在統(tǒng)計平均的一、二階矩上，對于高于二階的矩沒有任何要求；嚴平穩(wěn)對時間推移的不變性表現(xiàn)在統(tǒng)計平均的概率分布上，以保證序列所有的統(tǒng)計特征都相同；兩者的要求不同，一般說來，嚴平穩(wěn)比寬平穩(wěn)要求要“嚴”.嚴平穩(wěn)與寬平穩(wěn)的關(guān)系聯(lián)系：嚴寬：因為寬平穩(wěn)要求期望和協(xié)方差都存在，而嚴平穩(wěn)要求概率分布存在，并不斷言一二階矩存在.而服從柯西分布的嚴平穩(wěn)序列就不是寬平穩(wěn)序列，因為它的一、二階矩均不存在；寬嚴：不言而喻；嚴平穩(wěn)+二階矩存在寬平穩(wěn)，但反過來一般不成立；對于正態(tài)過程來說，有嚴平穩(wěn)寬平穩(wěn).在實際應用中，研究最多的還是寬平穩(wěn)時間序列白噪聲(WhiteNoise)定義：若時間序列{εt,t=0,±1,±2,…}滿足則稱{εt,t=0,±1,±2,…}，表示為{εt}～WN(0,ε2).若{εt}是獨立同分布、均值為零、有限方差為ε2的白噪聲，則表示為{εt}～IID(0,ε2).若{εt}是獨立同正態(tài)分布、均值為零、有限方差為ε2的白噪聲，則表示為{εt}～NID(0,ε2).本質(zhì)特點：時刻t的隨機變量εt與另一時刻s的隨機變量εs是互不相關(guān)，不存在線性關(guān)系.白噪聲過程指目前時刻與過去時刻的值不相關(guān)。過去時刻對未來沒有任何有用的價值?！鞍住笔且驗樗淖V與白光有相同的特點，它的譜密度在所有頻率上是常數(shù)。白噪聲的相關(guān)系數(shù)標準正態(tài)白噪聲序列時序圖均值為零方差為常數(shù)純隨機性常用的檢驗方法：數(shù)據(jù)圖檢驗法自相關(guān)和偏相關(guān)系數(shù)圖檢驗法特征根檢驗法參數(shù)檢驗法逆序檢驗法游程檢驗法平穩(wěn)性檢驗數(shù)據(jù)圖檢驗法以時間為橫軸，變量Xt的取值為縱軸平穩(wěn)的特點無明顯的趨勢性或周期性在一直線附近做小幅波動1990年12月19日-2008年11月6日上證A股指數(shù)日數(shù)據(jù)(除去節(jié)假日，共4386個數(shù)據(jù))1994年-1995年香港環(huán)境數(shù)據(jù)序列(a)表示因循環(huán)和呼吸問題前往醫(yī)院就診的人數(shù)；(b)表示二氧化硫的日平均水平；(c)表示二氧化氮的日平均水平；(d)表示可吸入的懸浮顆粒物的日平均水平數(shù)據(jù)圖檢驗法數(shù)據(jù)圖檢驗法優(yōu)點：簡單，方便，直觀缺點：主觀性強

是獨立同分的隨機變量，且證明其平穩(wěn)性。1.證明其寬平穩(wěn) 1）

2）2.證明其嚴平穩(wěn)獨立性同分布性獨立性隨機游走（randomwalker）設(shè)e1，e2，…均值為0，方差為σ2的獨立同分布的隨機變量序列，且滿足在初始條件，如果把e解釋為沿著數(shù)軸向前(向后)游走的步長大小，那Yt就是t時刻，漫步者到達的位置。

1.從這里我們可以看出，方差與t有關(guān)，則非平穩(wěn)?；瑒悠骄?movingaverage)設(shè)e1，e2，…均值為0，方差為σ2的獨立同分布的隨機變量序列，且滿足試判斷其平穩(wěn)性。1.即非平穩(wěn)隨機過程不具平穩(wěn)性過程就是非平穩(wěn)過程。如在工藝革新、原材料質(zhì)量提高（下降）、設(shè)備更新時，產(chǎn)品的質(zhì)量指標就是非平穩(wěn)過程。作業(yè)：1.假設(shè)與t無關(guān)，而

，問（1）{Xt}是否平穩(wěn)？（2）令，則{Yt}是否平穩(wěn)？2.假設(shè)為獨立同分布的白噪聲，問{Xt}是否平穩(wěn)？

第二節(jié)

時間序列分析時間序列分析的方法時間序列的本質(zhì)特征：相鄰觀察值之間具有相關(guān)性.時間序列分析timeseriesanalysis通過對時間序列{Xt,t=0,±1,±2,…}的一次觀察{xi,i=1,2,…,N}的研究，認識其統(tǒng)計特征和結(jié)構(gòu)特征，揭示其運行規(guī)律，預測其發(fā)展趨勢并進行必要的控制.分類確定性時間序列分析統(tǒng)計時間序列分析時域分析timedomain頻域分析frequencydomain統(tǒng)計時間序列分析頻域分析所謂頻域分析方法，也稱為“頻譜分析”或者“譜分析”方法，是著重研究時間序列的功率譜密度函數(shù)，對序列的頻率分量進行統(tǒng)計分析和建模.常用工具：傅里葉變換、功率譜密度、最大熵譜估計等時域分析時域分析的重點就是尋找事件發(fā)展之間的相關(guān)關(guān)系，擬合適當?shù)臄?shù)學模型，并用該模型來預測序列未來的走勢.常用工具：自相關(guān)系數(shù)、偏自相關(guān)系數(shù)、差分方程等時域分析時域分析又稱為隨機時間序列分析，是時間序列分析的主流方法常用手段數(shù)據(jù)圖法以時間為橫軸，序列觀察值為縱軸，觀察序列的變化情況指標法通過計算一系列核心指標，反映研究對象的動態(tài)特征模型法用數(shù)理統(tǒng)計方法建立適應性模型，進行預測和控制隨機時間序列分析分類平穩(wěn)時間序列分析常見模型：AR、MA、ARMA非平穩(wěn)時間序列分析常見模型：ARIMA、乘積季節(jié)模型、組合模型等可控時間序列分析時間序列分析的特點時間序列分析是數(shù)理統(tǒng)計學的一個分支，遵循其基本原理，但由于時間的不可重復性，使得時間序列分析又有其自成體系的一套分析方法.多元統(tǒng)計分析處理的是橫剖面數(shù)據(jù)，而時間序列分析處理的是縱剖面數(shù)據(jù).觀測值之間順序的重要性，是時間序列分析區(qū)別其他統(tǒng)計分析的另一個特征.時間序列分析的觀測值之間存在相關(guān)性.

第三節(jié)

平穩(wěn)時間序列自協(xié)方差函數(shù)設(shè){Xt,t=0,±1,±2,…}是實平穩(wěn)序列，對任意整數(shù)k有Cov(Xt,Xt+k)=E[(Xt-)(Xt+k-)]=(k)，k=0,±1,±2,…則{(k),k=0,±1,±2,…}稱為平穩(wěn)時間序列的自協(xié)方差函數(shù)序列，其中k稱為遲后量(或者滯后量，延遲量).性質(zhì)(k)是偶函數(shù)，即(k)=(-k)(k)具有界性，即|(k)|≤(0)=D(Xt){(k),k=0,±1,±2,…}是非負定序列自相關(guān)系數(shù)ACF平穩(wěn)時間序列{Xt,t=0,±1,±2,…}的自相關(guān)系數(shù)為是相隔時間為k的序列{Xt}中各量的相關(guān)系數(shù)，是序列中滯后k期的兩變量相關(guān)程度的度量.自相關(guān)系數(shù)序列{,k=0,±1,±2,…}的性質(zhì)對稱性，

{

,k=0,±1,±2,…}是非負定序列遍歷性（Ergodicity）一般含義：遍歷性就是隨著時間的推移總可以得到以前沒有過的新息?；蛘哒f

與是漸近獨立的，當t趨于無窮的時，兩組隨機變量不再相關(guān)。

假設(shè)隨機變量都滿足遍歷性。

幾類重要的平穩(wěn)隨機過程一階自回歸過程(AR(1))AR(1)模型：為白噪聲，并獨立于自變量因變量誤差項1.寬平穩(wěn)性的必要條件不妨假設(shè)序列若平穩(wěn)，可以得到兩種可能(1)?≠1,則Xt的均值存在，則=0；(2)?=1，則該過程為隨機游走，非平穩(wěn)。2.兩邊取方差因為?≠1，而0>0,可以推出|?|<1.（充要條件）

3.等式兩邊同時乘以（k=1，2，…）可得到當k=1時，當k=2時，所以ACF(自相關(guān)系數(shù))|?|<1,隨著滯后長度k的增加，自相關(guān)函數(shù)值呈指數(shù)遞減；0<?<1,自相關(guān)系數(shù)>0;-1<?<0,一階自相關(guān)系數(shù)是負數(shù)，接下來自相關(guān)系數(shù)的符號呈正負交替，自相關(guān)函數(shù)的絕對是呈指數(shù)遞減。兩個AR（1）系統(tǒng)參數(shù)分別為0.9,0.1J123456Φ=0.90.90.810.7290.65610.590490.531441Φ=0.10.10.010.0010.00010.000010.000001J78910Φ=0.90.47829690.430467210.387420890.34867841Φ=0.10.00000010.000000010.000000010.000000001結(jié)論：?在±1附近，指數(shù)遞減的很慢，但是對于較小的數(shù)，遞

減的速度相當快；?是正數(shù)，相對平滑序列，若為負數(shù)，

鋸齒狀序列。AR（2）模型：

獨立同分布，并且獨立于性質(zhì)1.考慮寬平穩(wěn)，零均值，兩邊Xt-k并求期望，可以得到同除以0，

令k=1，所以對兩邊取方差結(jié)合兩式，得滯后算子(LagOperater)滯后算子，一般用B,或者L表示，是一個運算符號，與加減乘除不同的是，它作用的整個事件序列上，運算結(jié)果是另外一個事件序列，其定義：BYt=Yt-1滯后算子的性質(zhì)1.B(BYt)=B(Yt-1)=Yt-2,2.B(aYt)=aBYt,3.B(Xt+Yt)=BXt+BYt,4.BC=C,5.1Yt=Yt,6.||<1例題1.(1-aB)(1-bB)Yt整理后結(jié)果是什么？2.把AR(2)模型用滯后算子表示。3.整理練習（下列模型記號B寫出）1.2.3.考慮

的平穩(wěn)性方法：用滯后算子考慮平穩(wěn)性稱為特征方程。平穩(wěn)條件：該方程的根都在單位圓外。單位圓外的含義：根是實數(shù)時，它的絕對值大于1，根是復數(shù)時，模大于1.考慮

的平穩(wěn)性考慮特征方程，得到AR(2)特征方程的根>1,AR(2)存在平穩(wěn)解。平穩(wěn)性成立當且僅當差分法1.隨機游走：即

表示差分算子或差分，就是Xt與其前一期值的差，從統(tǒng)計上說，差分結(jié)果所得到的序列就是逐期增長量。一階差分：二階差分：注意：差分的次數(shù)就是差分的階數(shù)，k階差分，可以記為例時刻t12345678910序列Xt12345678910Xt/1111111112Xt//00000000注：差分可以使非平穩(wěn)序列轉(zhuǎn)換成為平穩(wěn)序列線性差分方程為什么要了解線性差分方程？任何一個ARMA模型都是一個線性差分方程。ARMA模型的性質(zhì)往往取決于差分方程根的性質(zhì)。常系數(shù)差分方程N階差分方程：其中為系統(tǒng)參數(shù)的函數(shù)，當

為常數(shù)時，即為常系數(shù)n階差分方程。U（k）是離散序列，也叫驅(qū)動函數(shù)。Y(k)是系統(tǒng)的響應。

n階齊次差分方程如何求解？1.求出相應的齊次方程的通解；2.求出一個原方程的特解；3.原方程的解=通解+特解。具體做法：1.設(shè)，代入到n階齊次差分方程，必有2.得到特征方程3.求出n個特征根λ1，λ2，…，λn，4.求出通解注：λi既可能是實數(shù)，也可能是負數(shù)。若

是復數(shù)就應該成對出現(xiàn)；若λi=λj， i≠j時，表示差分方程有重根。5.求特解。一般令y(k)=i常數(shù)就可以了。例1.非齊次差分方程求解差分方程y(k+1)-ay(k)=b.解：1.令 2.得到特征根λ=a， 3.齊次差分通解為 4.求特解，令y(k)=d,得d=b/(1-a)， 5.原方程的通解為二階非齊次差分方程差分方程y(k+2)-3y(k+1)+2y(k)=3^k解：1.齊次方程通解λ1=1，λ2=2；2.通解3.特解，令，得C=1/2。

特解為4.原方程的通解為

二階齊次方程解差分方程y(k+2)-6y(k+1)+9y(k)=01.有重根λ1=λ2=3，2.通解注意：當n階齊次差分方程存在l個相等的實根，設(shè)λ1=λ2=…=λl,而λl+1，λl+2，…，λn為兩不相等的實根，則方程的通解注意滯后算子得到的特征多項式和差分方程得到的特征多項式有什么聯(lián)系？在AR(2)中如何用差分方程？注意到AR(2)中自相關(guān)函數(shù)遞推關(guān)系：特征方程，根1.都是實根且不相等

指數(shù)衰減(Damp阻尼)2.都是復數(shù)，震蕩衰減，振幅周期性減小像正弦波 3.相等

結(jié)論：AR(2)過程的自相關(guān)函數(shù)是指數(shù)衰減的，逐漸趨于0的。

AR(p)模型其中獨立同分布，并獨立于AR(p)平穩(wěn)條件特征方程

的根在單位圓外。Or的根在單位圓內(nèi)。AR(p)的參數(shù)特征滿足以上差分方程，當

的根不同時，有例題考慮平穩(wěn)性1，2.3.滑動平均過程MovingAverageProcess1.MA（1）模型：其中是白噪聲(ori.i.d.)，即注：MA模型總是平穩(wěn)的，因為它是白噪聲序列的有限線性組合。參數(shù)特征1.均值函數(shù)2.自協(xié)方差函數(shù)=0

(k>1).MA(1)模型的有限記憶性MA(2)模型可以計算出，一般滑動平均過程MA(q)模型其中是白噪聲，即同樣對于MA(q)序列，只與其前q個延遲值線性相關(guān)，從而它是有限記憶的。MA模型中心化MA(q)模型：非中心化MA(q)模型：兩者之間的變換：Yt=Xt-μMA(∞)系數(shù)之和必須絕對收斂，這樣才可以保證MA(∞)均方收斂到一個隨機變量利用有限記憶性來預測模型具有有限記憶性，它的點預測就會很快達到序列的均值。例子某個產(chǎn)科醫(yī)院，設(shè)是在第t天新住院的病員人數(shù)，而且假定某天住院人數(shù)與第二天住院人數(shù)無關(guān)的，再假設(shè)10%病人住院一天，50%病人住院兩天，30%病人住院三天，10%病人住院四天，那么第七天住院的病人數(shù)Xt表達式？ARMA(p,q)模型（自回歸滑動平均）意義：有限的參數(shù)來表示高階的AR和MA過程。模型：用滯后算子來表示：參數(shù)特征1.特征方程2.平穩(wěn)條件：平穩(wěn)性只考慮AR部分，不需要考慮MA部分。自相關(guān)系數(shù)拖尾。ARMA(1,1)1.2.3.注意與AR(1)的不同模型的傳遞形式和可逆性傳遞性--用一個MA模型來逼近Xt的行為。AR(1)模型

設(shè)則有遞推容易得到，可檢驗該式為差分方程的解。

一階非齊次差分方程對的分析1.為驅(qū)動函數(shù)t的一個線性組合，或者說系統(tǒng)是如何記憶擾動的。2.------格林函數(shù)Gj(GreenFunction)3.結(jié)論：AR(1)模型可以用一個無限階的MA來逼近。1.AR(1)模型的格林函數(shù)(注意：此處的格林函數(shù)的求法不一定有迭代法，還可以考慮用滯后算子來求得)2.MA(1)模型的格林函數(shù)ARMA模型的傳遞性

ARMA模型：即可逆形式可逆形式—用過去的Xt的一個線性組合來逼近系統(tǒng)現(xiàn)在時刻的行為。即

系數(shù)Ij稱為逆函數(shù)。注：如果一個過程可以用一個無限階的自回歸模型逼近，即你函數(shù)存在，稱過程具有可逆性。ARMA模型可逆性即模型可逆的判斷標準ARMA模型特征方程得到的根在單位圓外，稱模型可逆。結(jié)論：格林函數(shù)的平穩(wěn)性僅與AR模型的特征根有關(guān)，而逆函數(shù)的可逆性僅與MA的特征根有關(guān)系。判斷模型的可逆性例1：例2：練習：1.2.AR(1)模型的可逆性1.模型

顯然，注意：AR(1)的格林函數(shù)

可見，Gj是由算子求得，AR(1)的逆函數(shù)Ij的算子是。同樣可以考慮AR(2)模型。MA(1)模型的逆函數(shù)1.MA(1)模型有即可以得出顯然，只有|1|<1時才有意義。所以由此得出MA(1)可逆性條件為|1|<1。回憶下MA(1)的格林函數(shù)格林函數(shù)和逆函數(shù)的關(guān)系格林函數(shù)逆函數(shù)AR(1)MA(1)結(jié)論：AR(1)的Gj與MA(1)的Ij形式一致，只是符號相反，參數(shù)互換，即可根據(jù)Gj求得Ij，就是用-Ij代替Gj，用1代替?1.AR、MA、ARMA之間相互轉(zhuǎn)換條件：平穩(wěn)可逆AR(p)--------MA(∞);MA(q)--------AR(∞);ARMA(p,q)-------MA(∞)---------AR(∞)小結(jié)：1.系統(tǒng)具有平穩(wěn)性，說明系統(tǒng)對某一時刻進入的擾動的記憶逐漸衰減，時間越遠，它的影響作用就越小，逐漸被完全忘掉；2.可逆性表示某一時刻的系統(tǒng)響應對后繼時刻的響應影響呈遞減狀態(tài)，離該時刻時間越遠，影響作用越小。MA(q)AR(p)ARMA(p,q)

自相

q步截尾拖尾拖尾關(guān)函數(shù)問題：AR模型和ARMA模型的自相關(guān)函數(shù)都是拖尾，又該如何區(qū)分？？？例：AR(1)模型Xt，Xt-2相關(guān)嗎？答：Xt，Xt-2相關(guān)。因為他們都與Xt-1相關(guān)。若去掉Xt-1的影響，他們之間關(guān)系如何來刻畫？偏相關(guān)函數(shù)定義為消除中間介入變量Xt-1,Xt-2…Xt-k+1的影響后Xt和Xt-k的相關(guān)系數(shù)函數(shù)，記為MA（q）AR（p）ARMA（p，q）自相關(guān)函數(shù)q步截尾P步截尾拖尾偏相關(guān)函數(shù)拖尾拖尾拖尾如何求解？利用Yule-Walker求解其中稱為Xt的偏相關(guān)系數(shù)。Yule-Walker方程展開：例：計算AR(2)的偏相關(guān)系數(shù)解：由Yule-Walker方程，得

AR(p)模型平穩(wěn)時序模型的建立要求：1.熟悉建立平穩(wěn)時序模型的具體步驟；

2.掌握模型的識別、定階、及其適應性檢驗方法； 3.了解模型參數(shù)估計的基本思想。ARMA模型中心化問題

注意：前面我們討論的都是0均值的。如果過程的均值未知，如何處理？處理方法：1.用樣本均值作為過程均值的估計，建模前用樣本數(shù)據(jù)減去其均值，然后對所得到的零均值序列建模；2.把過程均值當作另外一個未知參數(shù)進行估計。模型的識別1.樣本自相關(guān)函數(shù)已知一組長度為T的樣本，估計自相關(guān)函數(shù)1)隨機過程的均值2)自協(xié)方差函數(shù)例：有長度為10的一個樣本47,64,23,71,38,64,55,41,59,48，計算樣本自相關(guān)系數(shù)ρ。具體解法見書本P.93純隨機性檢驗定義：純隨機性檢驗，又稱白噪聲檢驗，是檢驗時間序列觀察值之間是否具有相關(guān)性.Bartlett定理：如果一個時間序列是純隨機的，得到一個觀察期數(shù)為n

的觀察序列，那么該序列的延遲非零期的樣本自相關(guān)系數(shù)若，則自相關(guān)系數(shù)為零的可能性是95%，可認為數(shù)據(jù)是不相關(guān)的.檢驗統(tǒng)計量：

Q統(tǒng)計量：Box和Pierce共同推導出原假設(shè)：延遲期數(shù)小于或等于m的序列值之間相互獨立結(jié)論：當Q<χ21-α(k)時，接受原假設(shè)，認為序列{Xt}是獨立的，不用進行建模了。當統(tǒng)計量的相伴概率p>0.05時，接受原假設(shè)；當p<0.05時，拒絕原假設(shè)，{Xt}是平穩(wěn)非白噪聲序列，嘗試建立ARMA模型。一般取k≈

N/10,.純隨機性檢驗模型模型方程自相關(guān)系數(shù)偏相關(guān)系數(shù)AR(p)Φ(B)Xt=εt拖尾p步截尾MA(q)Xt=?(B)εtq步截尾拖尾ARMA(p,q)Φ(B)Xt=?(B)εt拖尾拖尾對ARMA模型的初步識別模型識別的基本原則模型定階的困難由于樣本的隨機性，樣本的相關(guān)系數(shù)不會呈現(xiàn)出理論截尾的完美情況，本應截尾的或會呈現(xiàn)出小值振蕩的情況。由于平穩(wěn)時間序列通常都具有短期相關(guān)性，隨著延遲階數(shù)k→∞，與都會衰減至零值附近作小值波動。當或在延遲若干階之后衰減為小值波動時，什么情況下該看作為相關(guān)系數(shù)截尾，什么情況下該看作拖尾呢？Bartlett定理：零均值的平穩(wěn)時間序列Xt：若自相關(guān)系數(shù)q步截尾，則若偏相關(guān)系數(shù)p步截尾，則95％的置信區(qū)間：模型定階的經(jīng)驗方法：利用2倍標準差輔助判斷模型識別模型定階經(jīng)驗方法如果樣本自(偏)相關(guān)系數(shù)在最初的d階明顯大于2倍標準差范圍，而后幾乎95％的自(偏)相關(guān)系數(shù)都落在2倍標準差的范圍以內(nèi)，而且由非零自相關(guān)系數(shù)衰減為在零附近小值波動的過程非常突然。這時通常視為自(偏)相關(guān)系數(shù)截尾，截尾階數(shù)為d。如果有超過5%的樣本自(偏)相關(guān)系數(shù)都落入2倍標準差的范圍之外，或者是由顯著非零的自(偏)相關(guān)系數(shù)衰減為小值波動的過程比較緩慢或者非常連續(xù)，這時通常視為自(偏)相關(guān)系數(shù)拖尾。例：下面一組數(shù)據(jù)計算出來的自相關(guān)系數(shù)，該樣本長度等于64，i123450.830.710.570.210.15例：樣本容量n=100，偏自相關(guān)系數(shù)如下：k1,2,3,4,5,0.680.31-0.10.02-0.166,7,8,9,100.02-0.170.04-0.070.09

問題：如何ARMA(p,q)的中p和q？定階的方法：殘差方差圖定階法F-檢驗定階法最佳準則函數(shù)法AIC準則BIC準則模型的定階由于自相關(guān)函數(shù)(ACF)和偏相關(guān)函數(shù)(PACF)定階法具有很強的主觀性，是一種較為粗略的方法，而最佳準則函數(shù)定階法則可以幫助我們在一些所選的模型中選擇相對最優(yōu)的模型。最佳準則函數(shù)法，即確定出一個準則函數(shù)。建模時按照信息準則函數(shù)的取值確定模型的優(yōu)劣，以決定取舍，使準則函數(shù)達到極小的是最佳模型。分類：AIC準則法BIC準則法最佳準則函數(shù)法AIC準則用于ARMA模型的定階對于中心化的ARMA(p,q)模型：N為樣本容量對于非中心化的ARMA(p,q)模型：BIC準則AIC準則是樣本容量N的線性函數(shù)，在N→∞時不收斂于真實模型，它通常比真實模型所含的未知參數(shù)要多，是過相容的。為了彌補AIC準則的不足，Akaike于1976年提出BIC準則，而Schwartz在1978年根據(jù)Bayes理論也得出同樣的判別標準，稱為SC準則。理論上已證明，SC準則是最優(yōu)模型的真實階數(shù)的相合估計。AIC與BIC準則對于中心化的ARMA(p,q)模型：N為樣本容量

判斷滯后長度的準則是p和q的函數(shù)，給定他們的值，可以得到一個AIC，開始時，AIC值隨著p和q的增加而減小，但是由于樣本長度有限，p和q越大，估計精度越低噪聲項方差的估計值增加，由此AIC值又增加，所以選擇使得AIC和BIC最小的p和q。定階的步驟：1.給定滯后長度的上限P和Q；2.對長度p=0,1,2，…,P，q=0,1,…,Q,分別估計模型ARMA(p,q)，利用估計結(jié)果可以計算噪聲項方差估計值；3.代入公式，計算出AIC,BIC；4.求出最小值對應的p，q作為ARMA模型的階數(shù)。

選擇滯后長度存在缺陷：1)選擇不同的準則具有主觀任意性，有時候不同的準則會得出矛盾的結(jié)論；2)選擇方法是確定一個滯后長度的上限p和q，如果實際的滯后長度大于P或q，那么我們就無法得出正確的滯后長度。例子見書本P97～P98。模型參數(shù)的估計階數(shù)確定后，

估計模型：1.矩估計：與隨機過程理論相結(jié)合；2.極大似然估計：是估計ARMA模型的標準方法；3.最小二乘估計：回歸模型

矩估計注：模型不含常數(shù)項，若均值不為零，只要所有數(shù)據(jù)減去樣本均值即可。AR(1)模型：易知

我們利用樣本自相關(guān)系數(shù)來估計總體自相關(guān)系數(shù)，得AR(p)模型:需要估計的參數(shù)共p+1個Yule-Walker方程：展開利用矩陣簡化計算最后利用解出滑動平均過程的矩估計MA(1)過程：令，問題準換為求解一個關(guān)于的二次方程。1)若|1|<0.5,韋達定理，只有一個解滿足可逆條件||<1可逆解討論：若1=±0.5，存在唯一解；若|1|

>0.5,不存在實數(shù)解。極大似然估計(MaximumLikelihoodEstimation)略殘差的計算檢驗

估計好模型后，需要檢驗模型是否充分描述了數(shù)據(jù)：1.所有的系數(shù)是否顯著的不等于0；2.殘差是否為白噪聲；3.預測是否準確；4.是否有大的擬合度和小的AIC,BIC；5.是否有更加簡單的模型；6.是否有直觀意義和經(jīng)濟理論基礎(chǔ)。好模型的標準：1.每個系數(shù)都顯著的不等于0；2.參數(shù)是白噪聲過程；3.預測比其他模型準確；4.擬合優(yōu)度大，AIC，BIC?。?.沒有公共因子，不可以簡化；6.有直觀意義和經(jīng)濟理論基礎(chǔ)。診斷檢驗目的：

殘差是否是白噪聲過程。1.計算出，觀察它的樣本自相關(guān)系數(shù)和樣本偏相關(guān)系數(shù)是否在置信區(qū)間內(nèi)；2.Box-PierceQ檢驗的檢驗步驟：1)計算統(tǒng)計量樣本相關(guān)系數(shù)m主觀給定，可令m=T^{1/2}或m=\sqrt{T}樣本長度2)當原假設(shè)成立時，3）查=0.05,0.01的臨界值若Q檢驗的優(yōu)點把前m個自相關(guān)系數(shù)平方，避免了正負自相關(guān)系數(shù)加起來為0。如果殘差是白噪聲，那么自相關(guān)系數(shù)等于0，Q統(tǒng)計量應該接近于0；反之，如果Q接近于0，其中每一個一定都不大。Q檢驗使用的是漸近分布的臨界值而不是它真實分布的臨界值。Ljung和Box(1978)當原假設(shè)成立時，Q檢驗的缺點經(jīng)常不能拒絕原假設(shè)，把非白噪聲誤認為白噪聲。原因：兩種統(tǒng)計量的分布未知，是漸近分布，只是用卡方分布漸近。真實值<卡方分布的臨界值檢驗Q檢驗圖示真實臨界值計算值卡方分布臨界例：對某時間序列(N=80)擬合ARMA(2,1)模型，得到殘差自相關(guān)如下，試檢驗模型的適應性(=0.05).K12340.10.080.090.04K5678-0.130.050.02-0.06

解：卡方檢驗表明擬合ARMA(2,1)模型是適宜的。

預測復習條件期望：1.X和Y聯(lián)合密度函數(shù)f(x,y),記X的邊際概率密度函數(shù)為f(x),那么給定X=x時，Y的條件概率密度函數(shù)為條件期望

性質(zhì)：預測預測就是根據(jù)過去和現(xiàn)在的樣本值對未知時刻的取值進行估計。假設(shè)目前的時刻為t時刻，已知時刻t之前所有的取值。目的：預測Xt+l的取值，l>0，稱為l-步預測，用表示預測值。預測誤差：預測誤差的均方值：最小均方誤差最小均方誤差：假設(shè)預測函數(shù)是線性的，即根據(jù)ARMA模型，在t+1時刻，成立在給定，1-步預測，結(jié)論：殘差下表大于t時，殘差估計值是未知的，用期望值0來代替，下標介于1到t之間時，可以根據(jù)觀測數(shù)據(jù)計算出殘差的估計值。2-步預測一般預測公式：這里，具體做法：

先寫出Xt+l的表達式，當j>0,用0代替t+j；當j<0,用估計的殘差代替t+j。例子AR(1)1)用t+1代替t，2)1-步預測，3)2-步預測，

L-步預測：當，預測值趨于均值0.MA(1)-----解決滑動平均模型產(chǎn)生的問題1-步預測，2-步預測，

ARMA模型預測ARMA模型Xt+l可以表示為l=1時，求條件期望其中可以得到t需要遞推計算的，但是實際數(shù)據(jù)有限，過于靠前的t-j是未知的。因此我們往往給定初始值，取以前某時刻

t-j=0，即假定，這樣就可以遞推出t。

關(guān)于時間序列條件期望作業(yè)1.現(xiàn)在及過去的條件期望是其本身；2.現(xiàn)在及過去擾動的條件期望是零；3.未來擾動的條件期望是零；4.未來取值的條件期望是其預測值。例已知求解：所以預測的均方誤差預測誤差在AR(1)模型下，

所以可以將白噪聲重釋為一步向前預測誤差序列。

另模型若求t=60做超前1步，超前2步預測。解：所以預測值的適時修正事實上，以時刻t為原點得到的的預測