第十五章1位移法a

第十五章

位移法

1主要內(nèi)容1位移法基本概念2位移法的基本結(jié)構(gòu)和基本未知量3等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程4位移法典型方程5直接利用平衡條件建立位移法方程6位移法與力法聯(lián)合應(yīng)用2§15.1位移法的基本概念

力法是分析超靜定結(jié)構(gòu)的最基本也是歷史最悠久的方法。它是以結(jié)構(gòu)的多余力作為基本未知量，首先根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件求出多余力，然后再求出其它反力、內(nèi)力和變形。

位移法是以結(jié)構(gòu)的結(jié)點位移作為基本未知量，以結(jié)點的平衡條件作為補充方程，首先求出結(jié)點位移，然后再求出其它反力、內(nèi)力。求解未知量的順序正相反。

作為入門，我們先看一個簡單的例子。以便更具體地了解位移法解題的基本思路。如圖示對稱桁架，承受對稱荷載Fp作用。由于對稱，結(jié)點B將僅有豎向位移。在位移法中，基本未知量為。取結(jié)點B為隔離體如圖(b)所示，設(shè)第i根桿的受拉力為FNi，由靜力平衡條件，得(a)圖(a)Fpii圖(b)Fp3另一方面，考慮任一根桿i，設(shè)其伸長量為ui，由幾何關(guān)系得iiui圖(c)(b)由虎克定律得圖(a)Fpii圖(b)Fp(a)

(c)則：(d)上式就是拉壓桿的剛度方程，它反映了桿端力FNi與桿端位移ui之間的關(guān)系。把(d)式代入(a)式得4(e)上式就是位移法的基本方程，它反映了結(jié)構(gòu)的結(jié)點位移與結(jié)構(gòu)的結(jié)點荷載之間的關(guān)系。由基本方程得(f)至此完成了位移法的關(guān)鍵一步，即在外荷載的作用下，結(jié)構(gòu)的結(jié)點位移求解。各桿的內(nèi)力也可以確定(g)5上面簡要地介紹了位移法解題的過程，其要點如下位移法的基本未知量是結(jié)點位移；位移法的基本方程實質(zhì)是結(jié)點沿基本未知量方向的平衡方程；求解基本方程后，即可求出各桿的內(nèi)力。6§15.2位移法的基本結(jié)構(gòu)和基本未知量

上節(jié)中以簡單桁架為例說明了位移法的基本要點，下面討論如何將位移法應(yīng)用于剛架計算。如圖(a)所示由兩根桿組成的剛架。Z112圖(b)Z1Fp31Z1圖(c)

如果能求出轉(zhuǎn)角Z1，則各桿（12桿、13桿）的內(nèi)力均可按前面的力法求得。因此，在位移法中，以結(jié)點位移Z作為基本未知量，并以單跨超靜定梁作為基本計算單元，由此可知，用位移法分析剛架時，需要解決下面三個問題：(1)位移法的基本未知量的數(shù)目（至少要求出多少個位移未知量）(2)單跨超靜定梁分析(3)相應(yīng)于基本未知量的位移法方程如何建立和求解。圖(a)123Fp7

在本節(jié)中，我們討論第一個問題，位移法的基本未知量的數(shù)目及相應(yīng)的位移法基本結(jié)構(gòu)。其它兩個問題，后面討論。

為了將原剛架的各桿變成單跨超靜定梁，可以在原剛架的結(jié)點上引入某些附加約束如：附加的剛臂（阻止結(jié)點轉(zhuǎn)動的約束）或附加鏈桿（阻止結(jié)點線位移的約束），使其變成固定端或鉸支端，所得的結(jié)構(gòu)即為位移法計算時的基本結(jié)構(gòu)。而結(jié)構(gòu)獨立的基本未知量數(shù)目等于把原結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變?yōu)榛窘Y(jié)構(gòu)時所附加的剛臂和附加鏈桿數(shù)目之和。這樣，在確定了基本結(jié)構(gòu)的同時，也就確定了位移法的基本未知量的數(shù)目。如：8附加剛臂一個基本未知量基本結(jié)構(gòu)附加鏈桿兩個基本未知量基本結(jié)構(gòu)三個基本未知量基本結(jié)構(gòu)9基本結(jié)構(gòu)三個基本未知量EAEA兩個基本未知量基本結(jié)構(gòu)若：EA=？0個基本未知量10

超靜定結(jié)構(gòu)計算的總原則:

欲求超靜定結(jié)構(gòu)先取一個基本體系,然后讓基本體系在受力方面和變形方面與原結(jié)構(gòu)完全一樣。

力法的特點：基本未知量——多余未知力基本體系——靜定結(jié)構(gòu)基本方程——位移條件（變形協(xié)調(diào)條件）

位移法的特點：基本未知量——

基本體系——

基本方程——

獨立結(jié)點位移平衡條件？一組單跨超靜定梁11基本未知量的選取2、結(jié)構(gòu)獨立線位移：（1）忽略軸向力產(chǎn)生的軸向變形---變形后的曲桿與原直桿等長；（2）變形后的曲桿長度與其弦等長。上面兩個假設(shè)導(dǎo)致桿件變形后兩個端點距離保持不變。

CDABCD12每個結(jié)點有兩個線位移，為了減少未知量，引入與實際相符的兩個假設(shè)：1、結(jié)點角位移數(shù)：結(jié)構(gòu)上可動剛結(jié)點數(shù)即為位移法計算的結(jié)點角位移數(shù)。12線位移數(shù)也可以用幾何方法確定。140

將結(jié)構(gòu)中所有剛結(jié)點和固定支座，代之以鉸結(jié)點和鉸支座，分析新體系的幾何構(gòu)造性質(zhì)，若為幾何可變體系，則通過增加支座鏈桿使其變?yōu)闊o多余聯(lián)系的幾何不變體系，所需增加的鏈桿數(shù)，即為原結(jié)構(gòu)位移法計算時的線位移數(shù)。13§15.5等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程（物理方程）

前面曾提到，位移法分析剛架的基本計算單元為單跨超靜定梁，因此，需事先知道這種梁在桿端位移和荷載作用下的桿端內(nèi)力情況。1桿端位移引起的桿端力

如圖(a)所示兩端固定梁AB，已知A端位移是vA、A，B端位移是vB、B，求該梁的桿端力MAB、QAB、MBA、QBA。圖中的位移方向均為正方向。把變形分解，首先考慮桿端彎矩作用下的桿端轉(zhuǎn)角，如圖(b)所示。(a)上式中，稱為桿的線剛度。其次，因桿端線位移引起的桿端轉(zhuǎn)角為(b)圖(a)ABxyAvABvBA’B’vAvB’’MABFQABFQBAMBAMABMBA圖(b)14則桿端的最終轉(zhuǎn)角為(c)由上式解得(d)由靜力平衡條件可求得桿端剪力為(e)為了便于后面應(yīng)用，下面討論在B端具有不同支承條件時的桿端位移與桿端力的關(guān)系。15(1)B端為鉸支，如圖(c)所示FQAB圖(c)ABxyMABFQBA此時，在(c)的第一式中，令得由平衡條件得(h)(f)(c)16(e)(d)(2)B端為定向支承，如圖(d)所示。

圖(d)ABxyMABMBA此時，,且在(e)的得由(d)式得(i)172荷載引起的桿端力

書中P117179頁表7-1給出了常見約束情況下荷載引起的桿端彎矩（順時針為正）和桿端剪力（對桿內(nèi)任一點產(chǎn)生順時針矩的為正）的大小，使用時可直接查表（該表是用前面的力法求得的）桿端彎矩用MFAB、MFBA表示；桿端剪力用FFQAB、FFQBA表示。如：ABMABMBAFQABFQBAFpa/2a/2183等截面單跨超靜定梁的轉(zhuǎn)角位移方程

若等截面梁同時承受已知的桿端位移和荷載共同作用，則由疊加原理易求得最終的桿端力為(1)兩端為固定

(17-1)這就是兩端固定等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程。ABxMABMBAFQABFQBAy19(2)A端為固定，B端鉸支

(17-2)這就是A端為固定、B端鉸支等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程。(3)A端為固定，B端定向FQABABxyMABFQBAABxyMABMBA(17-3)這就是A端為固定、B端定向等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程。20位移法要點：1）位移法的基本未知量是結(jié)點位移；2）位移法以單根桿件為計算單元；3）根據(jù)平衡條件建立以結(jié)點位移為基本未知量的基本方程。4）先將結(jié)構(gòu)拆成桿件，再將桿件搭成結(jié)構(gòu)。這就將復(fù)雜結(jié)構(gòu)的計算問題轉(zhuǎn)換為簡單的桿件分析與綜合問題。位移法計算剛架時的特點：1）基本未知量是結(jié)點位移；2）計算單元是一組單跨超靜定梁；3）位移法方程是根據(jù)平衡條件建立的。應(yīng)用位移法求解剛架需要解決三個問題：①單跨超靜定梁的內(nèi)力分析；②位移法基本未知量的確定；③位移法方程的建立與求解。①把結(jié)構(gòu)拆成桿件（物理條件）②把桿件裝成結(jié)構(gòu)（變形協(xié)調(diào)、平衡）21由單位桿端位移引起的桿端力稱為形常數(shù)。單跨超靜定梁簡圖MABMBAQAB=QBA4i2iθ=1ABAB1AB10ABθ=13i0ABθ=1i－i022由跨間荷載引起的載常數(shù)單跨超靜定梁簡圖mABmBAAB↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qABPAB↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qABl/2l/2P23↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓12kN/m25kN.m32kN4m4m2m2mABCDE2EIEIEIEI2i=111直接平衡法的計算步驟：1）確定位移法的基本未知量。（鉸結(jié)點、鉸支座的轉(zhuǎn)角，定向支座的側(cè)移不作為基本未知量）。2）由轉(zhuǎn)角位移方程列桿端彎矩表達式。3）由平衡條件列位移法方程。4）解方程，求結(jié)點位移。5）將結(jié)點位移代回桿端彎矩表達式，求出桿端彎矩。6）校核（平衡條件）24§15.4位移法典型方程1無側(cè)移剛架的計算

指無結(jié)點線位移（不包括支座處）的剛架。

無側(cè)移剛架：首先我們來分析最簡單的無側(cè)移剛架位移法典型方程的建立。a/2EI2EI1Fpa/2a圖(a)Z1Fp1圖(b)基本結(jié)構(gòu)=

FpR1p1圖(c)約束結(jié)點+R11圖(d)放松結(jié)點1Z1

顯然位移法的基本未知量僅有一個，1號結(jié)點的轉(zhuǎn)角Z1。在1號結(jié)點引入剛臂得位移法基本結(jié)構(gòu)如圖(b)所示。第一步：約束剛臂使沿Z1方向上無轉(zhuǎn)動，在荷載的作用下，此時附加剛臂上將產(chǎn)生反力矩R1p，如圖(c)所示。第二步：使基本結(jié)構(gòu)的1結(jié)點發(fā)生與原結(jié)構(gòu)相同的轉(zhuǎn)角Z1，此時附加剛臂上的力矩為R11，如圖(d)所示。應(yīng)用疊加原理，(c)+(d)，則剛臂上的約束力矩為25設(shè)：沿Z1方向上單位轉(zhuǎn)角時，剛臂上的力矩為r11，則代入(a)式得(a)(17-4)這就是一個基本未知量時的位移法典型方程。r1111Z1Fp1圖(b)基本結(jié)構(gòu)=FpR1p1圖(c)約束結(jié)點+R11圖(d)放松結(jié)點1Z126對于本題：圖(e)圖32EI/a4EI/a2EI/a4EI/ar1132EI/aFpR1p1圖(f)Mp圖3Fpa/16R1p-3Fpa/16代入典型方程得求出結(jié)點1的轉(zhuǎn)角后，任一截面的內(nèi)力和反力由疊加原理得(17-5)27例1如圖示兩跨連續(xù)梁，做M圖(EI=常數(shù))。解：一個基本未知量Z1圖(b)基本結(jié)構(gòu)位移法基本方程為設(shè)q=2kN/mFp=20kNABC圖(a)3m3m6m圖(c)

圖4i2i3i∵圖(d)Mp圖15159930∴28由得最終M圖如圖(e)所示。圖(e)M圖(kN.m)11.5793016.71圖(c)

圖4i2i3i圖(d)Mp圖1515993011.5793016.71圖(e)M圖(kN.m)29例

用位移法計算圖示連續(xù)梁，EI=常數(shù)。解：（1）有一個基本未知量，基本體系如圖（2）位移法方程2i3i（3）求系數(shù)項和自由項4i（4）求解位移法方程（5）作內(nèi)力圖作Q圖2位移法典型方程的一般形式

對于具有n個基本未知量的剛架，用完全相同的方法，可以得到相應(yīng)的n個基本未知量的典型方程為(17-7)寫成矩陣的形式為(17-8)上式中，{Z}為結(jié)點位移列向量；{Rp}為荷載列向量；[r]為剛度系數(shù)矩陣。32注意：(1)rij的物理意義為沿第j個位移Zj方向上單位位移（其余的位移分量全為零）時，在Zi方向上所產(chǎn)生的約束反力；(2)

rij=

rji

滿足反力互等定理；(3)

rii>0。33例2如圖示剛架，做M圖。解：基本未知量2個，基本結(jié)構(gòu)如圖(b)所示。位移法典型方程為令：i=EI/l

Fp圖(b)基本結(jié)構(gòu)5Fp

Z1

Z2

Fp=2kN圖(a)EIEIEI

EI=

kM

l=4m

l/2

l/2

llABCDE5Fp

圖(e)Mp圖0.57.57.5R1p

R2p

求系數(shù)已知：EI=常數(shù)，34代入典型方程得圖(c)圖r11

r21

圖(d)

圖4i2ir12

r22

2i4i4i2i3i3i解之得；疊加法求任一截面的彎矩35最終M圖如圖(f)所示。圖(f)M圖（kN.m）0.0950.050.170.190.367.647.6410圖(c)圖2i4i4i2i3i3i圖(d)

圖4i2i圖(e)Mp圖0.57.57.5ABCDE；0.0950.050.170.190.367.647.6410圖(f)M圖（kN.m）36qll/2l/2EI=常數(shù)qllqlqlZ1Z2=1R2R1R1=0R2=0Z1=1r12r21r22r11qlqlR1PR2PM2MPM1r11r12R1Pr21r22R2P例37例1.作M圖ll/2lllEI1.5EIEIEIZ1Z2R2R1R1=0R2=0解:38ll/2lllEI1.5EIEIEIZ1Z2R2R1Z1=1r11r21M1Z2=1r22r12M2R1PR2PMPr11r12R1Pr21r22R2P39ll/2lllEI1.5EIEIEIZ1=1r11r21M1Z2=1r22r12M2R1PR2PMPM校核平衡條件40例2.作M圖Z2R2R1=0R2=0解:lEIPllEIEI2EIR1Z1Pr21r11Z1=1Z2=1r22r12R2PR1PP3i/l12i/l12i/l3i/lM18i4i3iM2MPr11r12R1PPr21r22R2P0.24Pl0.13Pl0.39PlM41例3.作M圖，EI=常數(shù)R1=0解:PllllZ1R1PM14iZ1=1r112i3iiMPR1PPPlr11R1PPM42例4.作M圖，EI=常數(shù)R1=0解:R2=0PlllPllllPPZ2Z143R1=0解:PlllPZ2Z1M1r11Z1=1r21M211=+R2PPR1PMPR2=0r22r12AR2PAPr12r22Z2=144例5.作M圖解:PlllEIlEIEIEIEIPZ2Z1Z1=1M1M2Z2=1r11r21r22PMP45作M圖，EI=常數(shù)R1=0練習(xí)1:M14iZ1=1r112i3iir11llllZ1R1PMPR1PM46作M圖，EI=常數(shù)R1=0練習(xí)2:Plllll/2l/2lP/2P/2P/2Z1=1M1MPP/2Z147作M圖R1=0練習(xí)3:lllEIEI2EIZ1M16i/lZ1=1MP481)建立位移法基本體系,列出典型方程EI=常數(shù)練習(xí)4:llllZ4Z2Z3Z12)求出典型方程中系數(shù)r14,r32,R4P。492)求出典型方程中系數(shù)r14,r32,R4P。Z4Z2Z3Z13i/lZ4=1r146i/l3i/l6i/lM4R4P=-ql/23ir324i3i6i/lM2Z2=12ir14=-3i/lR4PMPr32=2i5016.7211.57915159F1P159F1P=15－9=6Δ1=12i4i3ik114i

3i

k11=4i+3i=7i30M