第五講冪級數(shù)(一)

第二、三節(jié)一、函數(shù)項級數(shù)的概念

二、冪級數(shù)及其收斂性三、冪級數(shù)的性質(zhì)函數(shù)項級數(shù)與冪級數(shù)

第四章一、函數(shù)項級數(shù)的概念(1)設為定義在區(qū)間I上的函數(shù)項級數(shù).(2)對若常數(shù)項級數(shù)所有收斂點的全體稱為其收斂域X;若常數(shù)項級數(shù)為定義在區(qū)間I上的函數(shù),稱收斂,發(fā)散,為其收斂點，

為其發(fā)散點,所有發(fā)散點的全體稱為其發(fā)散域

.為級數(shù)的和函數(shù)

,并寫成(4)若用令余項則在收斂域上有表示函數(shù)項級數(shù)前n

項的和,即(3)在收斂域X上,函數(shù)項級數(shù)的和是

x

的函數(shù)稱它二、函數(shù)項級數(shù)的收斂域1.借助于已有級數(shù)（幾何級數(shù)，p級數(shù)）斂散性例１.

求級數(shù)的收斂域。解：它的收斂域是區(qū)間有和函數(shù)上面級數(shù)可看成以為公比的等比級數(shù)。又如,

級數(shù)級數(shù)發(fā)散;所以級數(shù)的收斂域僅為2.借助于數(shù)項級數(shù)，利用比值（根值）法求

利用比值（根值）法判別絕對值級數(shù)發(fā)散，則原級數(shù)也發(fā)散的性質(zhì)。設為正項級數(shù),且則(1)當(2)當時,級數(shù)收斂;或時,級數(shù)發(fā)散.(3)當時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。步驟：1.用比值（根值）法求；2.解不等式求出的收斂區(qū)間3.考查時，級數(shù)的斂散性；4.寫出的收斂域。例2.

求級數(shù)的收斂域。解：解不等式原級數(shù)化為令得收斂；原級數(shù)化為令收斂；原級數(shù)收斂域是練習：

求級數(shù)的收斂域。#20140303012.借助于數(shù)項級數(shù)，利用比值（根值）法求1.借助于已有數(shù)項級數(shù)（幾何級數(shù)，p級數(shù)）斂散性一般函數(shù)項級數(shù)收斂域求法三、冪級數(shù)及其收斂性

(1)形如的函數(shù)項級數(shù)稱為冪級數(shù),其中數(shù)列為冪級數(shù)的系數(shù)

.稱令則冪級數(shù)化為不失一般性，下面討論冪級數(shù)(2)冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域任何冪級數(shù)在0都收斂。由例1知其收斂域是一個區(qū)間。定理1.(Abel定理)

若冪級數(shù)則對滿足不等式的一切x

冪級數(shù)都絕對收斂.在的一切x,該冪級數(shù)也發(fā)散.點發(fā)散,則對滿足不等式發(fā)散發(fā)散收斂收斂發(fā)散阿貝爾(1802–1829)挪威數(shù)學家,近代數(shù)學發(fā)展的先驅(qū)者.他在22歲時就解決了用根式解5次方程的不可能性問題

,他還研究了更廣的一并稱之為阿貝爾群.在級數(shù)研究中,他得

到了一些判斂準則及冪級數(shù)求和定理.論的奠基人之一,他的一系列工作為橢圓函數(shù)研究開拓了道路.數(shù)學家們工作150年.類代數(shù)方程,他是橢圓函數(shù)C.埃爾米特曾說:阿貝爾留下的思想可供后人發(fā)現(xiàn)這是一類交換群,證:

設收斂,則必有于是存在常數(shù)M>0,使當時,收斂,故原冪級數(shù)絕對收斂.也收斂,下面用反證法證之.假設有一點滿足且使級數(shù)收斂,級數(shù)在點的x,原冪級數(shù)也發(fā)散

.

則對一切滿足不等式則由前可知也應收斂,與所設矛盾。證畢設發(fā)散,界點

因此，當我們從原點出發(fā)，沿數(shù)軸向兩方走，后來遇到的全部是發(fā)散點.起初只遇到收斂點，討論：在界點處函數(shù)項級數(shù)斂散性正確描述是（）答：在界點處級數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散，在兩個界點處的斂散性未必相同，要單獨討論.(a)在界點處函數(shù)項級數(shù)斂散性相同，且都發(fā)散(b)在界點處函數(shù)項級數(shù)斂散性不同，且必有一個發(fā)散(c)在界點處函數(shù)項級數(shù)斂散性不同，但不能絕對收斂(d)在界點處函數(shù)項級數(shù)斂散性絕對收斂，條件收斂，發(fā)散均可能#2015031301定義1若冪級數(shù)在這個R稱為冪級數(shù)的收斂半徑，而把開區(qū)間（-R,R）稱為收斂區(qū)間。冪級數(shù)在(－∞,+∞)收斂，規(guī)定R=0；冪級數(shù)僅在x=0收斂，R=

。(1)冪級數(shù)的收斂域是區(qū)間；(2)冪級數(shù)在(a,b)內(nèi)收斂，在(a,b)外發(fā)散，例3.

設在處收斂，則此級數(shù)在處收斂性如何？（A）條件收斂（B）絕對收斂（C）發(fā)散（D）太難確定了#2014030302例3.

設在處收斂，則此級數(shù)在處收斂性如何？解:

令設級數(shù)的收斂半徑為R。收斂，由阿貝爾定理1.

已知處條件收斂,問該級數(shù)收斂半徑性質(zhì)為思考#2014030303冪級數(shù)由它的系數(shù)數(shù)列所確定，故其收斂半徑R也應由唯一確定定理2.

若的系數(shù)滿足1)當≠0時,2)當＝0時,3)當＝∞時,則證:1)若≠0,則根據(jù)比值審斂法可知:當原級數(shù)收斂;當原級數(shù)發(fā)散.即時,即時,因此級數(shù)的收斂半徑2)若則根據(jù)比值審斂法可知,絕對收斂,3)若則對除x=0以外的一切x原級發(fā)散,對任意

x原級數(shù)因此因此注意（1）缺項的冪級數(shù)不能直接用此定理解決：（ii）用一般級數(shù)收斂域求法（i）作變換（2）也可以由根值法求收斂半徑對端點

x=－1,

的收斂半徑及收斂域.解:對端點x=1,級數(shù)為交錯級數(shù)收斂;

級數(shù)為發(fā)散.故收斂域為例1.求冪級數(shù)

例2.的收斂半徑.解:

級數(shù)缺少奇次冪項,不能直接應用定理2,審斂法求收斂半徑.時級數(shù)收斂時級數(shù)發(fā)散故收斂半徑為故直接由比值例3.的收斂域.#2014030501例3.的收斂域.解:

令級數(shù)變?yōu)楫攖=2

時,級數(shù)為此級數(shù)發(fā)散;當t=–2

時,級數(shù)為此級數(shù)條件收斂;因此級數(shù)的收斂域為故原級數(shù)的收斂域為即2.

在冪級數(shù)中,n

為奇數(shù)n

為偶數(shù)它的收斂半徑?思考#20140303042.

在冪級數(shù)中,n

為奇數(shù)n

為偶數(shù)能否確定它的收斂半徑不存在?答:

不能.