第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)12

第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)2.1概述2.2三種基本運(yùn)算2.3基本公式和常用公式2.4基本定理2.5邏輯函數(shù)及其表示方法2.6邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)方法2.7無(wú)關(guān)項(xiàng)邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)方法習(xí)題2.1概述1849年英國(guó)數(shù)學(xué)家喬治.布爾(GeorgeBoole)首先提出，用來(lái)描述客觀事物邏輯關(guān)系的數(shù)學(xué)方法——稱為布爾代數(shù)。布爾代數(shù)被廣泛用于開關(guān)電路和數(shù)字邏輯電路的分析與設(shè)計(jì)，所以也稱為開關(guān)代數(shù)或邏輯代數(shù)，處理二值邏輯問題。邏輯代數(shù)中用字母表示變量——邏輯變量，每個(gè)邏輯變量的取值只有兩種可能——0和1。它們也是邏輯代數(shù)中僅有的兩個(gè)常數(shù)。0和1只表示兩種不同的邏輯狀態(tài)，不表示數(shù)量大小。本章重點(diǎn)：邏輯關(guān)系的數(shù)學(xué)表示方式；邏輯運(yùn)算規(guī)則；用公式和卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)。2.2邏輯代數(shù)的三種基本運(yùn)算三種基本運(yùn)算是：與、或、非（反）1.與運(yùn)算該圖代表的與邏輯關(guān)系是：決定事件的全部條件都滿足時(shí)，事件才會(huì)發(fā)生（正）邏輯賦值/狀態(tài)賦值用1表示開關(guān)接通用1表示燈亮ABY000010100111Y=A·B=AB=A

and

B=A&B真值表-truetable2.或運(yùn)算該圖代表的或邏輯關(guān)系是：決定事件的全部條件只要有一個(gè)滿足時(shí)，事件就會(huì)發(fā)生ABY000011101111Y=A+B=A

or

B3.非邏輯該圖代表的非邏輯關(guān)系是：決定事件的條件滿足時(shí)，事件反而不發(fā)生AY0110AA+BA·B與Y=A·B或Y=A+B非Y=A'邏輯關(guān)系與集合概念的對(duì)應(yīng)A'4.一些常用的復(fù)合邏輯運(yùn)算用兩個(gè)以上基本運(yùn)算構(gòu)成的邏輯運(yùn)算。包括與非、或非、與或非、異或和同或運(yùn)算。ABCDY

00001000110010100110010010101101101011101000110011101011011011000110101110011110與或非邏輯:異或邏輯:同或邏輯:AB00010110010101⊙⊙2.3邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式2.3.1基本公式返回序號(hào)公式序號(hào)公式101′=0;0′=110A=0111+A=121A=A120+A=A3AA=A13A+A=A4AA′=014A+A′=15AB=BA15A+B=B+A6A(BC)=(AB)C16A+(B+C)=(A+B)+C7A(B+C)=AB+AC17A+BC=(A+B)(A+C)8(AB)′=A′+B′18(A+B)′=A′B′9(A′)′=A公式（17）分配律證明（真值表法）ABCBCA+BCA+BA+C(A+B)(A+C)0000000000100010010001000111111110001111101011111100111111111111A+BC=(A+B)(A+C)2.3.2若干常用公式序號(hào)公式21A+AB=A22A+A′B=A+B23AB+AB′=A24A(A+B)=A25AB+A′C+BC=AB+A′CAB+A′C+BCD=AB+A′C26A(AB)′=AB′;A′(AB)′=A′應(yīng)用舉例：

式（17）

A+BC=(A+B)(A+C) A+B(CD)=(A+B)(A+CD) =(A+B)(A+C)(A+D)2.4邏輯代數(shù)的基本定理2.4.1代入定理定理：在任何一個(gè)包含邏輯變量A的等式中，若以另外一個(gè)邏輯式代入式中所有A的位置，則等式仍然成立。2.4.2反演定理應(yīng)用:求反函數(shù)即Y→Yˊ或去掉多個(gè)變量上的非號(hào)要求運(yùn)算前后對(duì)應(yīng)變量運(yùn)算順序一致?。》駝t，錯(cuò)??！+?·，1?0，A?A’Y=A(B+C')+CDY'=(A'+B'C)(C'+D')=A'C'+A'D'+B'CC'+B'CD'=A'C'+A'D'+B'CD'2.4.3對(duì)偶定理例如：A(B+C)=AB+AC<=>A+BC=(A+B)(A+C)

定義:對(duì)于任意一個(gè)邏輯式Y(jié)，若將其中所有的”+”和”·”互換，0和1互換，得到的結(jié)果就是Y的對(duì)偶式，記做YD，它們互為對(duì)偶式。對(duì)偶定理：若兩邏輯式相等，則它們的對(duì)偶式也相等。這就從分配律的第一個(gè)公式直接推出第二個(gè)公式。從對(duì)偶定理可看出，只要一個(gè)邏輯函數(shù)式的變量數(shù)不少于兩個(gè)（含反變量），它就一定存在對(duì)偶式。要求運(yùn)算前后對(duì)應(yīng)變量運(yùn)算順序一致?。》駝t，錯(cuò)！！2.5邏輯函數(shù)及其表示方法事物間的因果關(guān)系是一種邏輯關(guān)系，也是函數(shù)關(guān)系，所以稱為邏輯函數(shù)，具體說(shuō)是二值邏輯函數(shù)。如舉重裁判的例子：設(shè)有三個(gè)裁判，分別用A,B,C表示，其中A是主裁判。規(guī)定至少有兩個(gè)裁判確認(rèn)（其中必須包含主裁判）時(shí)，運(yùn)動(dòng)員的試舉才算成功。當(dāng)用Y表示舉重結(jié)果時(shí)，Y與A,B,C的邏輯關(guān)系可表示為：Y=A(B+C)2.5.1邏輯函數(shù)ABCY000000100100011010001011110111112.5.2邏輯函數(shù)的表示方法常用的有五種：真值表；邏輯函數(shù)式；邏輯圖；波形圖；卡諾圖。一、真值表舉重裁判的真值表：左側(cè)是輸入變量的所有取值組合，右側(cè)是輸出變量對(duì)應(yīng)數(shù)值是邏輯函數(shù)值。當(dāng)輸入變量個(gè)數(shù)為n時(shí)，真值表共有2n行。特點(diǎn)：描述邏輯問題方便；直觀；但較繁瑣。ABCY00000010010001101000101111011111二、函數(shù)式舉重裁判的函數(shù)式：Y=A(B+C)特點(diǎn)：便于運(yùn)算、化簡(jiǎn)；便于畫邏輯圖；不便從邏輯問題直接得到。三、邏輯(電路)圖舉重裁判函數(shù)的邏輯圖：特點(diǎn)：便于用電路實(shí)現(xiàn)。Y=A(B+C)五、各種表示方法間的相互轉(zhuǎn)換四、波形圖

高、低電平表示的變量取值按時(shí)間順序排列起來(lái)畫成時(shí)間波形。主要用于描述時(shí)序邏輯。真值表函數(shù)式邏輯圖波形圖在黑板上練習(xí)一、最小項(xiàng)最小項(xiàng)ABC對(duì)應(yīng)十進(jìn)制數(shù)編號(hào)0000m00011m10102m20113m31004m41015m51106m61117m71.最小項(xiàng)此時(shí)AB’、A都不是最小項(xiàng)m:min-term2.5.3邏輯函數(shù)式的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式邏輯函數(shù)式的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式分別是標(biāo)準(zhǔn)與或式（乘項(xiàng)之和、SOP-SumOfProduct）和標(biāo)準(zhǔn)或與式（和項(xiàng)之積、POS-ProductOfSum），重點(diǎn)介紹標(biāo)準(zhǔn)與或式及相關(guān)的最小項(xiàng)。2.最小項(xiàng)的性質(zhì)：（1）僅有一組取值組合對(duì)應(yīng)最小項(xiàng)的值為1；（2）全體最小項(xiàng)之和恒為1；（3）任意兩個(gè)最小項(xiàng)之積恒為0；（4）兩個(gè)邏輯相鄰的最小項(xiàng)之和可合并成一項(xiàng)，且消去一對(duì)因子.兩個(gè)與項(xiàng)（包括最小項(xiàng)）只有一個(gè)變量不相同，稱邏輯相鄰。例：ABC和ABC’是邏輯相鄰的最小項(xiàng)，相加時(shí)會(huì)消去變量C即ABC+ABC’=AB卡諾圖就是利用最小項(xiàng)的這一性質(zhì)化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的。標(biāo)準(zhǔn)與或式指最小項(xiàng)之和的表示形式。真值表求出邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或式。ABC.AB’C=0以舉重裁判邏輯為例。Y=1對(duì)應(yīng)m5、m6、m7三個(gè)最小項(xiàng)，故有：Y=AB’C+ABC’+ABC簡(jiǎn)寫成Y=m5+m6+m7或?qū)懗蓪⒎菢?biāo)準(zhǔn)形式化成標(biāo)準(zhǔn)形式規(guī)律：Y=AB+AC=AB(C+C’)+AC(B+B’)=ABC+ABC’+AB’C少1個(gè)變量，化成2個(gè)最小項(xiàng)之和；少2個(gè)變量，化成4個(gè)最小項(xiàng)之和；少n個(gè)變量，化成2n個(gè)最小項(xiàng)之和!ABCY00000010010001101000101111011111二、邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)之和標(biāo)準(zhǔn)形式標(biāo)準(zhǔn)與或式指最小項(xiàng)之和的表示形式。<=>3.最大項(xiàng)取值對(duì)應(yīng)的最大項(xiàng)ABC十進(jìn)制數(shù)編號(hào)1117M7=m7’=(ABC)’1106M61015M51004M40113M30102M20011M10000M0三、邏輯函數(shù)的最大項(xiàng)之積標(biāo)準(zhǔn)形式根據(jù)反演定理,得ABCY000000100100011010001011110111112.6邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法2.6.1公式化簡(jiǎn)法邏輯函數(shù)式有多種形式，如與或式，或與式，與非與非式等等。與或式使用最多，因此我們只討論與或式的最簡(jiǎn)標(biāo)準(zhǔn)：與項(xiàng)/乘積項(xiàng)數(shù)量最少；在滿足1項(xiàng)的前提下，每個(gè)與項(xiàng)包含的變量個(gè)數(shù)最少。AB+A’C

與或式=((AB)’(A’C)’)’

與非與非式=(A’+B)(A+C)

或與式=((A+B)’+(A+C)’)’

或非或非式=(AB’+A’C’)’

與或非式先與門后或門用與非門實(shí)現(xiàn)電路先或門后與門用或非門實(shí)現(xiàn)電路用與或非門實(shí)現(xiàn)電路常用公式3.Y=A’BC’+AC’+B’C’=A’BC’+(A’B)’C’=C’1.Y=AB+A(C’+D)B=AB2.Y=AC+A’D+C’D=AC+(AC)’D=AC+D4.Y=AC+AD’+(C+D)’=AC+AD’+C’D’=AC+C’D’5.Y=AB’+A’B+BC’+B’C=AB’+A’B+BC’+B’C+AC’=A’B+B’C+AC’或Y=AB’+A’B+BC’+B’C+A’C=AB’+BC’+A’C化簡(jiǎn)結(jié)果不一定是唯一的！1.A+A’B=A+

B2.AB+A’C+BC=AB+AC常用公式函數(shù)式中的任一與項(xiàng)都可重復(fù)使用，A＋A＝A=A’B+BC=A’BC’+A’BC+ABC+A’BC6.Y=A’BC’+A’BC+ABC7.Y=((AB’)’C+C’D)’A’=(AB’C+AB’D’+C’D’).A’=A’C’D’Y=AC+B’C+BD’+CD’+A(B+C’)+A’BCD’+AB’DE(B’C)’=B’C+BD’+A當(dāng)有長(zhǎng)非號(hào)時(shí)，一般先化簡(jiǎn)非號(hào)下的式子，然后脫掉非號(hào)；但有時(shí)可先化去非號(hào)，再化簡(jiǎn)；應(yīng)靈活運(yùn)用。8.1.A+A’B=A+

B2.AB+A’C+BC=AB+AC2.6.2邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法一、邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法1.表示最小項(xiàng)的卡諾圖卡諾圖是用來(lái)化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的。由英國(guó)工程師Karnaugh首先提出的，也稱卡諾圖為K圖。1010110100ABCm0m1m3m2m6m7m5m4ABCAB’C’AB’CABC’A’BC’三變量卡諾圖幾何相鄰=邏輯相鄰四變量卡諾圖1011010010110100ABCDm0m1m3m2m6m7m5m4m12m13m15m14m10m11m9m8DAA’B’CD’A’BCD’ABCD’AB’CD’卡諾圖上每個(gè)變量取1和取0的方格數(shù)各占總格數(shù)的一半。所以卡諾圖還有另一種標(biāo)法：BC2.用卡諾圖表示邏輯函數(shù)顯然，只要在每個(gè)小方格里填上函數(shù)值（0或1）即可。具體操作還要分兩種情況：第一種，已知邏輯函數(shù)的真值表；第二種，已知邏輯函數(shù)的函數(shù)式；(1)已知真值表真值表和卡諾圖有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，可直接填。如舉重裁判：我們已知道它的真值表中包含5，6，7號(hào)三個(gè)最小項(xiàng)，故1010110100ABC由于函數(shù)值只有0，1兩種取值，故可將0省略。00000111ABCY000000100100011010001011110111111010110100ABC111<=>1)當(dāng)已知最小項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)形式時(shí)，與1中情況相同。如:Y=m5+m6+m72)當(dāng)已知一般與或式時(shí)，可將其化成最小項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)形式。如：Y=AB+AC=AB(C+C’)+AC(B+B’)=ABC+ABC’+ABC+AB’C=AB’C+ABC’+ABC也可直接將每個(gè)與項(xiàng)填進(jìn)卡諾圖：與項(xiàng)AB填入A、B都等于1的方格,即6號(hào)和7號(hào)最小項(xiàng)。少1個(gè)變量的與項(xiàng)，在卡諾圖上占2個(gè)相鄰的小方格。(2)已知函數(shù)式1010110100ABC1111011010010110100ABCD我們?cè)谒淖兞靠ㄖZ圖上作進(jìn)一步研究。1111與項(xiàng)AB少兩個(gè)變量，用AB(C+C’)(D+D’)方法可得，它包含4個(gè)最小項(xiàng)，編號(hào)是12，13，14，15，它們組成一個(gè)矩形。1111與項(xiàng)A少3個(gè)變量，用A(B+B’)(C+C’)(D+D’)方法可得，它包含8個(gè)最小項(xiàng)，編號(hào)是8，9，10，11，12，13，14，15，它們組成一個(gè)矩形。結(jié)論:與項(xiàng)少n個(gè)變量，在卡諾圖上占2n個(gè)的小方格，且組成矩形！2.6.2二、用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)——圖形法化簡(jiǎn)1.合并最小項(xiàng)的規(guī)律1011010010110100ABCD11111111與項(xiàng)少n個(gè)變量，在卡諾圖上占2n個(gè)的小方格，且組成矩形。反過(guò)來(lái)用：卡諾圖上合并組成矩形的2n或N個(gè)小方格，得到的與項(xiàng)少n個(gè)變量。紅框合并2個(gè)最小項(xiàng)，對(duì)應(yīng)與項(xiàng)ABC,相對(duì)于最小項(xiàng)少1(n)個(gè)變量籃（綠）框合并4個(gè)最小項(xiàng)，對(duì)應(yīng)與項(xiàng)AB’（AC’）少2(n)個(gè)變量。紫框合并8個(gè)最小項(xiàng)，對(duì)應(yīng)與項(xiàng)A少3(n)個(gè)變量。幾何相鄰和邏輯相鄰一致！1011010010110100ABCDm0m1m3m2m6m7m5m4m12m13m15m14m10m11m9m81011010010110100ABCD111111圖中黑框?qū)?yīng)與項(xiàng)A’B’D’。圖中籃框?qū)?yīng)與項(xiàng)AD’。圖中紅框?qū)?yīng)與項(xiàng)B’D’。11圖中紫框?qū)?yīng)與項(xiàng)D’。1.在包含所有最小項(xiàng)的前提下，“圈”越少越好化簡(jiǎn)的原則是：2.在每個(gè)圈中包含的最小項(xiàng)的個(gè)數(shù)為2n個(gè)的前提下，圈越大越好3.每個(gè)圈至少要包含一個(gè)只被自己包含的最小項(xiàng)2.卡諾圖化簡(jiǎn)的步驟(1)將邏輯函數(shù)化成與或式，然后畫出其卡諾圖；(2)按最簡(jiǎn)原則畫出必要的圈；(3)求出每個(gè)圈對(duì)應(yīng)的與項(xiàng)，然后相加。1011010010110100ABCD舉例說(shuō)明：Y=(A+B)CD’+((A+B)(A’+B’+C+D))’=ACD’+BCD’+A’B’+ABC’D’11111111最簡(jiǎn)與或式為：Y=CD’+A’B’+ABD’1可重復(fù)使用要圈兩個(gè)11010110100ABC111111圈黑圈，得：Y=AB’+BC’+A’C圈籃圈，得：Y=A’B+B’C+AC’2.Y(A,B,C,D)=m1+m5+m6+m7+m11+m12+m13+m151011010010110100ABCD11111111顯然，紫圈是多余的，所以，畫完圈后注意檢查。

當(dāng)最簡(jiǎn)式不唯一時(shí)，畫圈的方案也不唯一.1.Y=AB’+A’B+BC’+B’C3.Y=AD’+BC’D+ABC+A’C’D’+A’B’D’11011010010110100ABCD111111111=AB+BC’+B’D’4.Y=A’C’D’+CD’+AD+AB+AB’C’1011010010110100ABCD111111111111這種情況可通過(guò)圈0求Y’來(lái)解決：Y’=A’DY=A+D’2.7具有無(wú)關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn)2.7.1無(wú)關(guān)項(xiàng)無(wú)關(guān)項(xiàng)是約束項(xiàng)和任意項(xiàng)的總稱。1.約束項(xiàng):取值組合不可能出現(xiàn)的最小項(xiàng)例如，四舍五入函數(shù):用A,B,C,D組成8421編碼表示十進(jìn)制數(shù),當(dāng)該數(shù)大于4時(shí)輸出為1ABCDY

000000001000100001100100001011011010111110001100111010X1011X1100X1101X1110X1111X1010~1111六個(gè)值不可能出現(xiàn)；即m10～m15是約束項(xiàng)；在真值表和卡諾圖中都用X表示。在函數(shù)式中約束項(xiàng)的表示方法：m10+m11+m12+m13+m14+m15=0約束項(xiàng)之和等于0為約束條件d:don’tcares四舍五入函數(shù)表示為:約束條件AB+AC=0或2.任意項(xiàng):是最小項(xiàng),若使其值為1時(shí),函數(shù)值可為0也可為1,并不影響電路的功能,則稱該為任意項(xiàng)。任意項(xiàng)很少遇到,這里不作討論。2.7.2約束項(xiàng)在化簡(jiǎn)中的應(yīng)用1011010010110100ABCD11111XXXXXX！！注意：有約束項(xiàng)時(shí)，一定要用卡諾圖化簡(jiǎn)。不要用公式法，除非變量太多，無(wú)法用卡諾圖化簡(jiǎn)。1.Y(ABCD)=m1+m7+m8約束條件為:m3+m5+m9+m10+m12+m14+m15=0Y(ABCD)=AD’+A’D2.Y=A’CD’+A’BC’D’+AB’C’D’約束條件為:AB+AC=0Y=AD’+BD’+CD’注意:被圈進(jìn)去的約束項(xiàng)的值為1,未圈進(jìn)去的約束項(xiàng)的值為0。1011010010110100ABCD111XXXXXXX1011010010110100ABCD1111XXXXXX習(xí)題解答[題2.10]求最小項(xiàng)之和(1)Y=A’BC+AC+B’C=A’BC+ABC+AB’C+A’B’C[題2.12]用與非門