第八章理論力學(xué)

第八章剛體的平面運動一、剛體的簡單運動：1、剛體的平行移動；2、剛體的定軸轉(zhuǎn)動．二、剛體的復(fù)雜運動：除了簡單運動的剛體運動都屬于剛體的復(fù)雜運動；其中包括平面運動．三、本章研究的主要問題：1、平面運動剛體的整體運動；2、平面運動剛體上各點的運動．§8-1剛體平面運動的概述和運動分解一、平面運動：剛體的運動位于同一個平面內(nèi)、且既不是平動也不是定軸轉(zhuǎn)動的一般運動稱為平面運動．動畫庫\定塊機構(gòu).SWF

二、平面運動剛體的整體運動：1、在定坐標(biāo)系中研究平面運動剛體的整體運動：

在平面定坐標(biāo)系中，平面運動剛體的整體空間位置可以由剛體上任一點的坐標(biāo)、（此時剛體只能作繞該點的定軸轉(zhuǎn)動）及剛體上另一點與點的連線（因為剛體上任意兩點間的距離不會發(fā)生變化）相對點的轉(zhuǎn)角即可加以確定．1）平面運動剛體的運動方程：該點稱為平面運動剛體的基點，則剛體的平面運動可以由基點的運動和相對基點的運動確定．故：2）速度（略）：3）加速度（略）

：2、引入動坐標(biāo)系后研究平面運動剛體的整體運動：

1）在定坐標(biāo)系的基礎(chǔ)之上，引入動坐標(biāo)系：（1）在平面運動剛體上選擇一點（通常最好是運動已知的點）作為基點；（2）以基點為坐標(biāo)系的原點建立動坐標(biāo)系；（3）動坐標(biāo)系的運動狀態(tài)選擇為平動狀態(tài)；故：動坐標(biāo)系是一個建立在基點上的平動坐標(biāo)系；則其運動完全等同于基點的運動．

2）平面運動剛體整體運動的分解：絕對運動：剛體相對于定坐標(biāo)系的平面運動；牽連運動：動系相對于定系所作的完全等同于基點的平動運動．相對運動：剛體相對動系的運動（即剛體相對基點的定軸轉(zhuǎn)動）．

∵

絕對運動的運動方程為：

牽連運動的運動方程為：完全等同于基點的運動．

相對運動的運動方程為：相對于基點的轉(zhuǎn)動．∴

平面運動可以分解為平動和定軸轉(zhuǎn)動．3）選擇不同基點對平面運動分解結(jié)果產(chǎn)生的影響：在平面運動分解過程中（1）若選擇A點為基點：則此時平面運動可分解為隨A點的平動和相對A點的轉(zhuǎn)動．=+（2）若選擇B點為基點則此時平面運動分解為隨B點的平動和相對B點的轉(zhuǎn)動．=+由此可見：，；則得結(jié)論：剛體平面運動的整體運動進行分解時，其中隨基點的平動運動會隨基點的選擇不同而發(fā)生變化；而相對基點的轉(zhuǎn)動運動不會隨基點的選擇不同而發(fā)生變化；同時，剛體的整體運動描述（即其運動方程）會隨基點的選擇不同而不同．§8-2求平面圖形內(nèi)各點速度的基點法1、平面圖形內(nèi)各點的速度：即平面運動剛體上各點的速度．2、基點法：在平面運動剛體整體運動引入建立在基點上的平動坐標(biāo)系進行分析的基礎(chǔ)上，對平面運動剛體上各點的運動進行分析的方法．3、求平面圖形內(nèi)各點速度的基點法：1）定坐標(biāo)系：．2）動坐標(biāo)系：選擇剛體上運動已知的點為基點建立平動坐標(biāo)系．平面運動剛體的整體運動可分解為隨著基點的平動運動和相對基點的轉(zhuǎn)動運動；設(shè)基點的速度為，設(shè)剛體的角速度為．3）選剛體上的任一點為動點．4）分析動點的速度：絕對速度：相對定系運動的速度相對速度：相對動系運動的速度；由于動點是剛體上的一點，而在動系中剛體的整體運動是相對基點的轉(zhuǎn)動，其角速度為，所以動點的相對速度與剛體的整體運動量有一定的關(guān)系：

（大?。?，方向：，指向：與轉(zhuǎn)向一致）牽連速度：動系上與動點重合的牽連點的絕對速度;而動系為平動運動，其整體運動等同于基點的運動，因此動點的牽連速度就等于基點的速度:則由點的速度合成定理得：即：平面圖形內(nèi)任一點的速度等于基點的速度與該點隨圖形繞基點轉(zhuǎn)動的速度的矢量和。這種以建立在基點上的平動坐標(biāo)系為基礎(chǔ)、對平面運動剛體的速度進行分析的方法稱為基點法．注意：（1）盡管平面運動整體運動的平動部分總是與基點的選擇有關(guān)，但剛體上任一點的運動卻與基點的選擇無關(guān)；這是因為無論整體運動的平動部分由哪個基點決定，剛體上各點的運動都可通過與基點的距離進行調(diào)整．（3）若將基點法用于兩種特殊情況，則可得求解平面運動的另外兩種方法：速度投影定理和速度瞬心法．（2）由于基點法既可求解平面運動剛體的整體運動又可求解剛體上各點的運動，因此它是求解平面運動的基本方法．此表達式中共包括六個因素，未知量可能是動點（即剛體上任一點）的速度大小和速度方向，以及剛體整體的轉(zhuǎn)動角速度；若已知四個因素，則可求解另外兩個因素．4、求平面運動剛體上各點速度的速度投影定理：若將基點法的速度合成關(guān)系向動點和基點的連線進行投影，則得基點法的特殊形式---速度投影定理：即該兩點的絕對速度在其連線上的投影應(yīng)保持相等；此關(guān)系說明了剛體上任意兩點間的距離是不會發(fā)生變化的．例8-1已知：橢圓規(guī)尺的A端以速度vA沿x

軸的負向運動，如圖所示，AB=l。求：B端的速度以及尺AB

的角速度。1、運動分析：

AB桿在平面內(nèi)運動，但既不是平動也不是定軸轉(zhuǎn)動，因此是一般的運動---即平面運動．解：2、速度分析：以基點法研究平面運動剛體的運動：選擇其上運動已知的點A為基點，則：

已知：如圖所示平面機構(gòu)中，AB=BD=DE=

l=300mm。在圖示位置時，BD∥AE，桿AB的角速度為

ω=5rad/s。動畫庫\雙搖桿機構(gòu).SWF求：此瞬時桿DE的角速度和桿BD中點C的速度。例8-21、運動分析：

AB、DE桿為定軸轉(zhuǎn)動剛體，BD桿為平面運動剛體．解：2、速度分析：從主動件入手逐步分析各桿的速度，其中對平面運動剛體采用基點法進行研究．若選擇BD桿上與主動件AB的連接點B為基點，則：

已知：如圖所示的平面機構(gòu)中，曲柄OA長100mm，

以角速度ω=2rad/s

轉(zhuǎn)動，連桿AB帶動搖桿CD，并拖動輪

E沿水平面純滾動，

CD=3CB，圖示位置時A，B，E三點恰在一水平線上，且CD⊥ED。求：此瞬時點E的速度。例8-31、運動分析：

OA、CD桿為定軸轉(zhuǎn)動剛體，AB、DE及圓輪為平面運動剛體．解：2、速度分析：從主動件入手逐步分析各桿的速度，其中對平面運動剛體采用速度投影定理進行研究．則：

即且對于DE桿§8-3求平面圖形內(nèi)各點速度的瞬心法1、瞬心：平面運動剛體上或其擴展部分，絕對速度為零的點稱為平面運動剛體的瞬心．2、定理：一般情況下,在每一瞬時,平面運動剛體上或其擴展部分都唯一地存在一個絕對速度為零的點，該點稱為平面運動剛體在該瞬時的瞬時速度中心，簡稱速度瞬心（或瞬心）．證明：若已知平面運動剛體上基點的速度和剛體的角速度；則由基點法可知，其上任一點的速度為：

其中隨的變化呈線性變化規(guī)律，而剛體及其擴展部分上的所有點是連續(xù)分布的，因此由圖可見，當(dāng)點在的垂線上時，總有一點，其，即：于是點的絕對速度應(yīng)為：則：任一瞬時剛體上總有一個點的絕對速度等于零，即有一個瞬心．證畢．3、求平面運動剛體內(nèi)各點速度的瞬心法：將基點法中的基點選在瞬心上，則由得：其中，則：即：平面運動剛體內(nèi)任意點的速度大小等于該點隨剛體相對瞬心做瞬時轉(zhuǎn)動時的回轉(zhuǎn)半徑與剛體的角速度的乘積，方向與垂直，指向與轉(zhuǎn)向一致----求平面運動剛體上一點速度的瞬心法．因此，平面運動可以看成為由一系列連續(xù)繞速度瞬心作瞬時轉(zhuǎn)動的運動形成的一種運動。4、瞬心位置的確定方法：1）當(dāng)平面運動剛體沿一固定面做只滾不滑運動時，平面運動剛體的瞬心為其與固定面的接觸點．2）當(dāng)已知剛體上兩點的絕對速度的方向，且∥，則平面運動剛體的瞬心在兩個速度垂線的交點上．3）當(dāng)已知剛體上兩點的絕對速度的大小和方向，且∥，則平面運動剛體的瞬心必在連線與速度矢和的端點連線的交點上，且：4）當(dāng)已知剛體上兩點的絕對速度的方向，且∥，則平面運動剛體的瞬心在兩點速度垂線的交點上，即無窮遠處；因此此時剛體做瞬時平動，且有：5、平面運動剛體速度分析的三種方法---速度基點法、速度投影定理和速度瞬心法的比較：1）基點法：優(yōu)越性：可以求解平面運動剛體的整體運動角速度、也可以求解平面運動剛體上各個點的速度，因此是平面運動剛體速度分析比較全面的一種方法．不足之處：關(guān)系較復(fù)雜；2）速度投影定理優(yōu)越性：關(guān)系比較簡單．不足之處：只能求一個未知量，不是分析平面運動剛體速度的一種全面的方法．3）速度瞬心法優(yōu)越性：全面、關(guān)系比較簡單．不足之處：需建立在瞬心能夠找到的基礎(chǔ)上．因此：三種方法中，相對而言，速度瞬心法是最理想的方法，但當(dāng)速度瞬心找不到時，仍需使用最基本的方法---基點法．已知：橢圓規(guī)尺的A端以速度vA沿x軸的負向運動，如圖所示，AB=l。求：用瞬心法求端的速度以及尺的角速度．例8-4解：1、運動分析：

AB為平面運動剛體;2、速度分析：使用速度瞬心法：由平面運動剛體瞬心位置的確定方法可知，速度瞬心為點C；因為已知，因此可以確定剛體的角速度轉(zhuǎn)向應(yīng)如圖所示，且的方向亦應(yīng)如圖所示；則由瞬心法得知：已知：礦石軋碎機的活動夾板長600mm，由曲柄OE借連桿組帶動，使它繞A軸擺動，如圖所示．曲柄長

，

角速度為

．連桿組由桿，和

組成，桿BG和GD各長500mm．求：當(dāng)機構(gòu)在圖示位置時，夾板AB的角速度．例8-5解:

1、運動分析：

AB、OE、GD為定軸轉(zhuǎn)動剛體；BG、GE

為平面運動剛體；2、速度分析：由主動件開始逐步向從動件過渡進行運動分析，且得各平面運動剛體的速度瞬心位置、各桿的角速度轉(zhuǎn)向及相應(yīng)各點的速度方向如圖所示；并且由主動件已知的運動量可求得從動件及相應(yīng)各點的運動量：§8-4用基點法求平面圖形內(nèi)各點的加速度由于加速度不易使用加速度投影定理及加速度瞬心法進行分析，因此加速度一般是采用加速度基點法進行分析：1、求平面運動剛體內(nèi)各點加速度的基點法：1）定坐標(biāo)系：．2）動坐標(biāo)系：選擇剛體上運動已知的點為基點建立平動坐標(biāo)系．平面運動剛體的整體運動可分解為隨著基點的平動運動和相對基點的轉(zhuǎn)動運動；設(shè)基點的加速度為，設(shè)剛體的角速度為、角加速度為．3）選剛體上的任一點為動點．4）分析動點的加速度：絕對加速度：相對定系運動的加速度．相對加速度：相對動系運動的加速度；由于動點是剛體上的一點，而在動系中剛體的整體運動是相對基點的轉(zhuǎn)動，其角速度為、角加速度為，所以動點的相對加速度與剛體的整體運動量、有一定的關(guān)系：

牽連加速度：動系上與動點重合的牽連點的絕對加速度;而動系為平動運動，其整體運動等同于基點的運動，因此動點的牽連加速度就等于基點的加速度:則由牽連運動為平移時點的加速度合成定理：得：此表達式可能出現(xiàn)的未知量有動點（即剛體上任一點）的加速度大小和方向，以及剛體整體的轉(zhuǎn)動角加速度；由于加速度涉及到的分量比較多，因此加速度求解一般采用解析法．√√√√因此，求平面運動剛體內(nèi)各點加速度的基點法為：平面圖形內(nèi)任一點的加速度等于基點的加速度與該點隨圖形繞基點轉(zhuǎn)動的切向加速度和法向加速度的矢量和。已知：如圖所示，在外嚙合行星齒輪機構(gòu)中，曲柄O1O=l，以勻角速度繞轉(zhuǎn)動。大齒輪固定，行星輪半徑為，在大輪上只滾不滑。設(shè)A和

是行星輪緣上的兩點，求：點A和