2021-2022學(xué)年杭州市下城區(qū)啟正中學(xué)初三數(shù)學(xué)第二學(xué)期開(kāi)學(xué)試卷及解析

2021-2022學(xué)年杭州市下城區(qū)啟正中學(xué)初三數(shù)學(xué)第二學(xué)期開(kāi)學(xué)試卷一.選擇題（共10小題）1．下列事件為必然事件的是（）A．明天要下雨B．a(chǎn)是實(shí)數(shù)，|a|≥0C．﹣3＜﹣4D．打開(kāi)電視機(jī)，正在播放新聞2．若2a＝3b，則＝（）A．B．﹣C．D．﹣3．下列兩個(gè)圖形一定是相似圖形的是（）A．菱形B．矩形C．等腰三角形D．等邊三角形4．一個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形中，一條邊所對(duì)的圓心角為72°，則該正多邊形的邊數(shù)是（）A．4B．5C．6D．75．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝10，則cosB的值是（）A．B．C．D．6．如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC分別交l1，l2，l3于點(diǎn)A，B，C，直線DF分別交l1，l2，l3于點(diǎn)D，E，F(xiàn)．若＝，則的值為（）A．7．已知點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AC＞BC，若AB＝2（）A．3﹣B．1+C．﹣1D．﹣2B．C．D．8．直角三角形的外接圓半徑為3，內(nèi)切圓半徑為1，則該直角三角形的周長(zhǎng)是（）A．12B．14C．16D．189．二次函數(shù)y＝ax2+（1﹣a）x+4﹣2a的圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（）A．與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)小于4B．對(duì)稱軸在直線x＝0.5左側(cè)C．與x軸正半軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于2D．拋物線一定經(jīng)過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)10．如圖，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，若∠BAC＝∠BDC，則下列結(jié)論中正確的是（）①；②△ABE與△DCE的周長(zhǎng)比③∠ADE＝∠ABC；；④S△ABE?S△DCE＝S△ADE?S△BCE．A．③④B．①②③C．①②④D．①②③④二.填空題（共6小題）11．已知△ABC∽△DEF，相似比為3，則它們的周長(zhǎng)之比是．12．一個(gè)僅裝有球的不透明布袋里共有4個(gè)球（只有顏色不同），其中3個(gè)是紅球，1個(gè)是黑球，是黑球的概率為．13．若扇形的面積為24π，圓心角為216°，則它的弧長(zhǎng)是．14．在同一平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象如圖所示，若兩個(gè)函數(shù)圖象上有三個(gè)不同的點(diǎn)A（x1，a），B（x2，a），C（x3，a），其中a為常數(shù)，令ω＝x1+x2+x3，則ω的值為．15．如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD＝1，CH⊥BD于H，連接OH，則OH＝．16．如圖，點(diǎn)A是拋物線y＝x2上不與原點(diǎn)O重合的動(dòng)點(diǎn)，AB⊥x軸于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B作OA的垂線并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)C，則線段OC的長(zhǎng)是，AC的最小值是．三.解答題（共7小題）17．在一次宣傳杭州亞運(yùn)會(huì)的有獎(jiǎng)競(jìng)猜活動(dòng)中，獲獎(jiǎng)?wù)邚姆庞兄挥蓄伾煌?個(gè)小球（1個(gè)黑球，1個(gè)白球，1個(gè)黃球）的不透明布袋中摸球，摸到一個(gè)白球獎(jiǎng)勵(lì)一個(gè)“琮琮”，摸到一個(gè)黃球獎(jiǎng)勵(lì)一個(gè)“蓮蓮”．一個(gè)獲獎(jiǎng)?wù)呦葟牟即腥我饷鲆磺?，再摸出一球，求得到一個(gè)“蓮蓮”和一個(gè)“琮琮”的概率．18．設(shè)二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3（a，b是常數(shù)，a≠0），部分對(duì)應(yīng)值如表：xy……﹣2﹣1012……50﹣3﹣4﹣3（1）試判斷該函數(shù)圖象的開(kāi)口方向．（2）當(dāng)x＝4時(shí)，求函數(shù)y的值．（3）根據(jù)你的解題經(jīng)驗(yàn)，直接寫出ax2+bx﹣3＜﹣3的解．19．如圖，在△ABC中，AD是角平分線，且滿足∠ADE＝∠B．（1）證明：△ADB∽△AED．（2）若AE＝3，AD＝5，求AB的長(zhǎng)．20．如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)E在⊙O上的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作直線CD⊥AE于D（1）試判斷直線CD與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若AD＝2，AC＝，求AB的長(zhǎng)．21．如圖，某小區(qū)有一塊靠墻（墻的長(zhǎng)度不限）的矩形空地ABCD，用總長(zhǎng)為100m的籬笆圍成四塊矩形花圃（靠墻一側(cè)不用籬笆，籬笆的厚度不計(jì)）．（1）若四塊矩形花圃的面積相等，求證：AE＝3BE；（2）在（1）的條件下，設(shè)BC的長(zhǎng)度為xm2，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．22．已知二次函數(shù)y＝x2+2bx+c（1）若b＝c，是否存在實(shí)數(shù)x，使得相應(yīng)的y的值為1？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若b＝c﹣2，y在﹣2≤x≤2上的最小值是﹣3，求b的值．23．已知，如圖，⊙O中兩條弦AB，且AB＝CD．（1）求證：；（2）若∠AEC＝80°，求∠A的度數(shù)；（3）過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AD于點(diǎn)H，交CD于點(diǎn)G，若AE＝2BE參考答案與試題解析一.選擇題（共10小題）1．【解答】解：A．明天要下雨，故A不符合題意；B．a(chǎn)是實(shí)數(shù)，這是必然事件；C．﹣3＜﹣4，故C不符合題意；D．打開(kāi)電視機(jī)，這是隨機(jī)事件；故選：B．2．【解答】解：∵2a＝3b，∴＝．故選：A．3．【解答】解：A、兩個(gè)菱形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，不一定是相似圖形；B、兩個(gè)矩形的對(duì)應(yīng)角相等，不一定是相似圖形；C、兩等腰三角形不一定相似；D、兩個(gè)等邊三角形一定相似；故選：D．4．【解答】解：設(shè)正多邊形的邊數(shù)為n．由題意可得：∴n＝5，＝72°，故選：B．5．【解答】解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝10，∴cosB＝＝＝，故選：D．6．【解答】解：∵＝，＝，∵l1∥l7∥l3，∴∴＝＝．故選：B．7．【解答】解：∵點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AC＞BC，∴AC＝AB＝，∴BC＝AB﹣AC＝3﹣故選：A．，8．【解答】解：如圖，設(shè)⊙I切AB于E，切AC于D，IF，則∠CDI＝∠C＝∠CFI＝90°，ID＝IF＝1，∴四邊形CDIF是正方形，∴CD＝CF＝1，由切線長(zhǎng)定理得：AD＝AE，BE＝BF，∵直角三角形的外接圓半徑為5，內(nèi)切圓半徑為1，∴AB＝6＝AE+BE＝BF+AD，即△ABC的周長(zhǎng)是AC+BC+AB＝AD+CD+CF+BF+AB＝4+1+1+4＝14，故選：B．9．【解答】解：由圖象知，拋物線開(kāi)口向下，∴a＜0，令x＝0，則y＝7﹣2a＞4，∴拋物線與y軸的交點(diǎn)大于3，故A錯(cuò)誤；二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x＝∵a＜3，，∴＞，故對(duì)稱軸在x＝2.5右側(cè)，故B錯(cuò)誤；取a＝﹣1，拋物線為y＝﹣x4+2x+6，其與x軸正半軸的交點(diǎn)為：x＝＝1+，故C錯(cuò)誤；y＝ax6+（1﹣a）x+4﹣3a＝a（x2﹣x﹣2）+x+5，令x2﹣x﹣2＝4，解得：x＝2或x＝﹣1，當(dāng)x＝7時(shí)，y＝6，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝3，∴拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，6）和（﹣4，故D正確．故選：D．10．【解答】解：①∵∠BAC＝∠BDC，∠AEB＝∠DEC，∴△AEB∽△DEC，∴；故①正確；②∵△AEB∽△DEC，∴△ABE與△DCE的周長(zhǎng)比③∵∠BAC＝∠BDC，∴A，B，C，D共圓，∴∠ADE＝∠ACB，；故②正確；如果∠ADE＝∠ABC，∴∠ABC＝∠ACB，但這兩個(gè)角不一定相等，故③錯(cuò)誤；④假設(shè)S△ABE?S△DCE＝S△ADE?S△BCE．∴＝，∵△ABE和△ADE共高，∴＝，∵△BCE和△DCE共高，∴∴＝＝，，故④正確．∴結(jié)論中正確的是①②④，故選：C．二.填空題（共6小題）11．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比為3，∴它們的周長(zhǎng)之比為3，故答案為：3．12．【解答】解：因?yàn)榇又泄灿?個(gè)球，其中黑球只有1個(gè)，所以從中任意摸出一個(gè)球，是黑球的概率為，故答案為：．13．【解答】解：設(shè)扇形的半徑為R，弧長(zhǎng)為l，∵扇形的面積為24π，圓心角為216°，∴＝24π，解得：R＝2（負(fù)數(shù)舍去），∴×l＝24π，π，解得：l＝即它的弧長(zhǎng)是故答案為：π，π．14．【解答】解：設(shè)A（x1，a），B（x2，a）在二次函數(shù)y＝x8的圖象上，∵二次函數(shù)y＝x2的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，∴當(dāng)y＝a時(shí)，x1、x2關(guān)于y軸對(duì)稱，所以x1+x2＝8，∵C（x3，a）在反比例函數(shù)的圖象上，∴當(dāng)y＝a時(shí)，x3＝，因此ω＝x1+x2+x2＝．故答案為：．15．【解答】解：在BD上截取BE＝CH，連接CO，∵∠ACB＝90°，CH⊥BD，∵AC＝BC＝3，CD＝1，∴BD＝，∴△CDH∽△BDC，∴，∴CH＝，∵△ACB是等腰直角三角形，點(diǎn)O是AB中點(diǎn)，∴AO＝OB＝OC，∠A＝∠ACO＝∠BCO＝∠ABC＝45°，∴∠OCH+∠DCH＝45°，∠ABD+∠DBC＝45°，∵∠DCH＝∠CBD，∴∠OCH＝∠ABD，在△CHO與△BEO中，∴△CHO≌△BEO，，∴OE＝OH，∠BOE＝∠HOC，∵OC⊥BO，∴∠EOH＝90°，即△HOE是等腰直角三角形，∵EH＝BD﹣DH﹣CH＝﹣﹣＝，∴OH＝EH×＝，故答案為：．16．【解答】解：設(shè)點(diǎn)A（a，a8），則點(diǎn)B坐標(biāo)為（a，∴OB＝|a|，AB＝a7，∵∠AOB+∠OBC＝90°，∠OBC+∠BCO＝90°，∴∠AOB＝∠BCO，∴△AOB∽△BCO，∴，∴OB2＝CO?AB，即a2＝a2?CO，解得CO＝6，∴C（0，8），∵AC5＝（xc﹣xA）2+（yC﹣yA）2＝a7+a4﹣6a2+64＝（a8﹣64a2）+64＝（a6﹣32）2+48，∴當(dāng)a2＝32時(shí)，AC4＝48為最小值，即AC＝4故答案為：2，4．．三.解答題（共7小題）17．【解答】解：畫(huà)樹(shù)狀圖如下：共有6種等可能的結(jié)果，其中得到一個(gè)“蓮蓮”和一個(gè)“琮琮”的結(jié)果有2種，∴得到一個(gè)“蓮蓮”和一個(gè)“琮琮”的概率為＝．18．【解答】解：（1）∵圖象經(jīng)過(guò)（0，﹣3），﹣6），∴圖象對(duì)稱軸為直線x＝由表格可得，x＜1時(shí)，＝1，∴拋物線圖象開(kāi)口向上；、（2）∵（﹣5，5）關(guān)于直線x＝1的對(duì)稱點(diǎn)是（4，∴x＝4時(shí)，函數(shù)y的值為5；（3）∵拋物線開(kāi)口向上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，（2，∴當(dāng)0＜x＜8時(shí)，ax2+bx﹣3＜﹣7，故ax2+bx﹣3＜﹣8的解為0＜x＜2．19．【解答】（1）證明：∵AD是∠BAC的角平分線，∴∠BAD＝∠EAD．∵∠ADE＝∠B，∴△ADB∽△AED．（2）解：∵△ADB∽△AED，∴，∵AE＝3，AD＝5，∴，∴AB＝．20．【解答】解：（1）相切，連接OC，∵C為的中點(diǎn)，∴∠1＝∠2，∵OA＝OC，∴∠5＝∠ACO，∴∠2＝∠ACO，∴AD∥OC，∵CD⊥AD，∴OC⊥CD，∴直線CD與⊙O相切；（2）方法1：連接CE，∵AD＝2，AC＝∵∠ADC＝90°，∴CD＝，＝，∵CD是⊙O的切線，∴CD2＝AD?DE，∴DE＝4，∴CE＝＝，∵C為的中點(diǎn)，∴BC＝CE＝，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴AB＝＝3．方法2：∵∠DCA＝∠B，易得△ADC∽△ACB，∴＝，∴AB＝4．21．【解答】解：（1）證明：∵矩形MEFN與矩形EBCF面積相等，∴ME＝BE，AM＝GH．∵四塊矩形花圃的面積相等，即S矩形AMND＝2S矩形MEFN，∴AM＝2ME，∴AE＝5BE；（2）∵籬笆總長(zhǎng)為100m，∴2AB+GH+3BC＝100，即，∴．設(shè)BC的長(zhǎng)度為xm，矩形區(qū)域ABCD的面積為ym8，則，∵，∴BE＝10﹣x＞4，解得x＜，∴（0＜x＜）．22．【解答】解：（1）由y＝1得x2+6bx+c＝1，∴x2+6bx+c﹣1＝0∵△＝6b2﹣4b+8＝（2b﹣1）7+3＞0，則存在兩個(gè)實(shí)數(shù)，使得相應(yīng)的y＝7；（2）由b＝c﹣2，則拋物線可化為y＝x2+8bx+b+2，其對(duì)稱軸為直線x＝﹣b，①當(dāng)x＝﹣b≤﹣2時(shí)，則有拋物線在x＝﹣4時(shí)取最小值為﹣3﹣3＝（﹣7）2+2×（﹣7）b+b+2，解得b＝3；②當(dāng)x＝﹣b≥8時(shí)，則有拋物線在x＝2時(shí)取最小值為﹣3﹣2＝22+5×2b+b+2，解得b＝﹣，舍去，③當(dāng)﹣2＜﹣b＜2時(shí)，則＝﹣62﹣b﹣5＝7，解得：