初中數(shù)學(xué)浙教版九年級上冊第4章　相似三角形4．5　相似三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用(a)

相似三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用(二)1．△ABC與△DEF的相似比為1∶4，則△ABC與△DEF的周長比為(C)A.1∶2B.1∶3C.1∶4D.1∶2．已知△ABC的三邊長分別為4，2，3，△ABC與△A′B′C′相似，△A′B′C′的周長為15，則△A′B′C′的最大邊長為(C)A.4B.eq\f(12,5)C.eq\f(20,3)D.63．如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是邊長AB，BC，AC的中點(diǎn)，則△DEF與△ABC的面積之比為(A)A.1∶4B.1∶3C.1∶2D.1∶eq\r(2)(第3題)(第4題)4．如圖，D，E分別為△ABC的邊長AB，AC上的中點(diǎn)，則△ADE與四邊形BCED的面積的比為(B)A.1∶2B.1∶3C.1∶4D.1∶5．已知△ABC∽△A′B′C′，相似比為3∶4，且兩個三角形的面積之差為28，則△ABC的面積為__36__．6．如圖，點(diǎn)D，E分別在△ABC的邊AB，AC上，∠1＝∠B，AE＝EC＝4，BC＝10，AB＝12，則△ADE的周長為10．(第6題)7．如圖，在矩形ABCD中，F(xiàn)是DC上一點(diǎn)，BF⊥AC，垂足為E，eq\f(AD,AB)＝eq\f(1,2)，△CEF的面積為S1，△AEB的面積為S2，求eq\f(S1,S2)的值．(第7題)【解】∵eq\f(AD,AB)＝eq\f(1,2)，∴設(shè)AD＝BC＝a，則AB＝CD＝2a，∴AC＝eq\r(5)a.∵BF⊥AC，四邊形ABCD為矩形，∴易得△CBE∽△CAB，△AEB∽△ABC，∴BC2＝CE·AC，AB2＝AE·AC，∴a2＝CE·eq\r(5)a，(2a)2＝AE·eq\r(5)a，∴CE＝eq\f(\r(5)a,5)，AE＝eq\f(4\r(5)a,5)，∴eq\f(CE,AE)＝eq\f(1,4).易得△CEF∽△AEB，∴eq\f(S1,S2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(CE,AE)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,16).8．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在AB，AC，BC上，DE∥BC，EF∥AB.若eq\f(AE,CE)＝eq\f(2,3)，S△ABC＝25，求S?BFED.(第8題)【解】∵DE∥BC，EF∥AB，∴△ADE∽△ABC，△CEF∽△CAB.∴eq\f(S△ADE,S△ABC)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AE,AC)))eq\s\up12(2)，eq\f(S△CEF,S△ABC)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(CE,AC)))eq\s\up12(2).∵eq\f(AE,CE)＝eq\f(2,3)，∴eq\f(AE,AC)＝eq\f(2,5)，eq\f(CE,AC)＝eq\f(3,5).∵S△ABC＝25，∴S△ADE＝4，S△CEF＝9，∴S?BFED＝25－4－9＝12.9．如圖，D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，DE∥AC.若S△BDE∶S△CDE＝1∶3，則S△DOE∶S△AOC的值為(D)(第9題)A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,9)D.eq\f(1,16)【解】∵S△BDE∶S△CDE＝1∶3，∴BE∶EC＝1∶3，∴BE∶BC＝1∶4.∵DE∥AC，∴△DOE∽△AOC，△BDE∽△BAC，∴eq\f(DE,AC)＝eq\f(BE,BC)＝eq\f(1,4)，∴S△DOE∶S△AOC＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(DE,AC)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,16).10．如圖，把△ABC沿AB邊平移到△A′B′C′的位置，它們的重疊部分(即圖中陰影部分)的面積是△ABC面積的一半．若AB＝eq\r(2)，則此三角形移動的距離AA′＝eq\r(2)－1．(第10題)【解】設(shè)BC與A′C′交于點(diǎn)E.易知AC∥A′C′，∴△BEA′∽△BCA，∴S△BEA′∶S△BCA＝A′B2∶AB2＝1∶2.∵AB＝eq\r(2)，∴A′B＝1，∴AA′＝AB－A′B＝eq\r(2)－1.11．如圖，已知△ABC是面積為eq\r(3)的等邊三角形，△ABC∽△ADE，AB＝2AD，∠BAD＝45°，AC與DE交于點(diǎn)F，則△AEF的面積等于eq\f(3－\r(3),4)(結(jié)果保留根號).(第11題)【解】過點(diǎn)F作FG⊥AE于點(diǎn)G.∵△ABC∽△ADE，∴eq\f(S△ABC,S△ADE)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AB,AD)))eq\s\up12(2)＝4，∴S△ADE＝eq\f(\r(3),4)，∴正三角形ADE的邊長為1.∵∠EAD＝∠CAB＝60°，∴∠EAF＝∠BAD＝45°，∴FG＝AG.在Rt△EGF中，設(shè)EG＝x，則易得FG＝eq\r(3)x，∴eq\r(3)x＋x＝1，∴x＝eq\f(\r(3)－1,2)，∴FG＝eq\f(3－\r(3),2).∴S△AEF＝eq\f(1,2)AE·FG＝eq\f(3－\r(3),4).12．如圖，已知A是反比例函數(shù)y＝eq\f(\r(6),x)在第一象限分支上的一個動點(diǎn)，連結(jié)AO并延長交另一分支于點(diǎn)B，以AB為邊向右作等邊三角形ABC，點(diǎn)C在第四象限內(nèi)，且隨著點(diǎn)A的運(yùn)動，點(diǎn)C的位置也在不斷變化，但點(diǎn)C始終在反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)上運(yùn)動，則k的值是－3__eq\r(6)．(第12題)(第12題解)【解】∵反比例函數(shù)y＝eq\f(\r(6),x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴OA＝OB.連結(jié)OC，如解圖．∵△ABC是等邊三角形，OA＝OB，∴OC⊥AB，∠BAC＝60°.∴AC＝2OA.∴OC＝eq\r(3)OA.過點(diǎn)A作AE⊥y軸，垂足為E，過點(diǎn)C作CF⊥y軸，垂足為F.∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，∴∠AEO＝∠OFC＝90°，∴∠AOE＝90°－∠FOC＝∠OCF，∴△OFC∽△AEO，且相似比eq\f(OC,OA)＝eq\r(3)，∴eq\f(S△OFC,S△AEO)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(OC,OA)))eq\s\up12(2)＝3.設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a，b)．∵點(diǎn)A在雙曲線y＝eq\f(\r(6),x)上，∴S△AEO＝eq\f(1,2)ab＝eq\f(\r(6),2)，∴S△OFC＝eq\f(1,2)FC·OF＝eq\f(3\r(6),2).設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x，y)．∵點(diǎn)C在第四象限，∴FC＝x，OF＝－y.∴FC·OF＝x·(－y)＝－xy＝3eq\r(6).∵點(diǎn)C在雙曲線y＝eq\f(k,x)上，∴k＝xy＝－3eq\r(6).(第13題)13．如圖，在△ABC中，DE∥FG∥BC，并將△ABC分成面積分別為S1，S2，S3的三塊．若S1∶S2∶S3＝1∶4∶10，BC＝15，求DE，F(xiàn)G的長．【解】∵DE∥FG∥BC，∴△ADE∽△AFG∽△ABC，∴eq\f(S△ADE,S△ABC)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(DE,BC)))eq\s\up12(2)，eq\f(S△AFG,S△ABC)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(FG,BC)))eq\s\up12(2)，即eq\f(S1,S1＋S2＋S3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(DE,15)))eq\s\up12(2)，eq\f(S1＋S2,S1＋S2＋S3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(FG,15)))eq\s\up12(2).設(shè)S1＝k，則S2＝4k，S3＝10k，∴eq\f(S1,S1＋S2＋S3)＝eq\f(k,k＋4k＋10k)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(DE,15)))eq\s\up12(2)，eq\f(S1＋S2,S1＋S2＋S3)＝eq\f(k＋4k,k＋4k＋10k)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(FG,15)))eq\s\up12(2)，∴DE＝eq\r(15)，F(xiàn)G＝5eq\r(3).14．已知矩形ABCD的一條邊AD＝8，將矩形ABCD折疊，使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的點(diǎn)P處．(第14題)(1)如圖①，已知折痕與邊BC相交于點(diǎn)O.①求證：△OCP∽△PDA.②若△OCP與△PDA的面積之比為1∶4，求邊AB的長．(2)若圖①中的P恰好是CD邊的中點(diǎn)，求∠OAB的度數(shù)．(3)如圖②，在(1)的條件下，擦去折痕AO、線段OP，連結(jié)BP.動點(diǎn)M在線段AP上(點(diǎn)M不與點(diǎn)P，A重合)，動點(diǎn)N在線段AB的延長線上，且BN＝PM，連結(jié)MN交PB于點(diǎn)F，過點(diǎn)M作ME⊥BP于點(diǎn)E.試問：在點(diǎn)M，N移動的過程中，線段EF的長度是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明理由；若不變，請求出線段EF的長度．【解】(1)①∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC，DC＝AB，∠DAB＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.由折疊的性質(zhì)，得∠APO＝∠B＝∠C＝90°，∴∠POC＝90°－∠CPO＝∠APD.又∵∠C＝∠D，∴△OCP∽△PDA.②∵△OCP與△PDA的面積之比為1∶4，△OCP∽△PDA，∴eq\f(OC,PD)＝eq\f(OP,PA)＝eq\f(CP,DA)＝eq\r(\f(1,4))＝eq\f(1,2)，∴PD＝2OC，PA＝2OP，DA＝2CP.∵AD＝8，∴CP＝4，BC＝8.設(shè)OP＝x，則OB＝x，OC＝8－x.在Rt△PCO中，∵∠C＝90°，CP＝4，OP＝x，OC＝8－x，∴x2＝(8－x)2＋42，解得x＝5，∴AB＝AP＝2OP＝10，∴邊AB的長為10.(2)∵P是CD邊的中點(diǎn)，∴DP＝eq\f(1,2)DC.∵DC＝AB，AB＝AP，∴DP＝eq\f(1,2)AP.∵∠D＝90°，∴∠DAP＝30°.∵∠DAB＝90°，∠OAP＝∠OAB，∴∠OAB＝30°.(3)過點(diǎn)M作MQ∥AN交PB于點(diǎn)Q.∵AP＝AB，MQ∥AN，∴∠APB＝∠ABP，∠ABP＝∠MQP，∴∠APB＝∠MQP，∴MP＝MQ.∵M(jìn)E⊥PQ，∴PE＝QE＝eq\f(1,2)PQ.∵BN＝MP，MP＝MQ，∴BN＝MQ.∵M(jìn)Q∥AN，∴∠QMF＝∠B