江蘇省南京市弘光中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

江蘇省南京市弘光中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知拋物線y2=2px（p＞0）與雙曲線=1（a＞0，b＞0）有相同的焦點(diǎn)F，點(diǎn)A是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且AF⊥x軸，則雙曲線的離心率為(

)A．+2 B．+1 C．+1 D．+1參考答案：D【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)；雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】求出拋物線與雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，將其代入雙曲線方程求出A的坐標(biāo)，將A代入拋物線方程求出雙曲線的三參數(shù)a，b，c的關(guān)系，則雙曲線的漸近線的斜率可求．【解答】解：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）；雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（c，0），∴p=2c，∵點(diǎn)A是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且AF⊥x軸，將x=c代入雙曲線方程得到A（c，），將A的坐標(biāo)代入拋物線方程得到=2pc，即4a4+4a2b2﹣b4=0．解得，∴，解得：．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查由圓錐曲線的方程求焦點(diǎn)坐標(biāo)、考查雙曲線中三參數(shù)的關(guān)系及由雙曲線方程求雙曲線的離心率，是中檔題．2.直線與圓的位置關(guān)系是(

)

A．相交

B．相離

C．相切

D．與、的取值有關(guān)參考答案：答案：A3.已知集合M={x|-3＜x＜1}，N={x|x≤3}，則集合{x|x≤-3或x≥1}=（）A.M∩N B.M∪N C. D.參考答案：C【分析】由題，先求出M∩N和M∪N，再求得?M（M∩N)和?M（M∪N)可得答案.【詳解】因?yàn)榧螹={x|-3＜x＜1}，N={x|x≤3}，所以M∩N={x|-3＜x＜1}，M∪N={x|x≤3}，則?M（M∩N）={x|x≤-3或x≥1}，?M（M∪N）={x|x＞3}，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交并補(bǔ)混合運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.4.如圖，圓O的內(nèi)接“五角星”與圓O交與點(diǎn)，記弧在圓O中所對(duì)的圓心角為，弧所對(duì)的圓心角為，則=

（

）

A．

B．

C．0

D．1參考答案：D5.已知橢圓C：，（a>b>0）的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx－ay+2ab=0相切，則C的離心率為A． B． C． D．

參考答案：A以線段為直徑的圓是，直線與圓相切，所以圓心到直線的距離，整理為，即，即，，故選A.

6.設(shè)球的半徑為時(shí)間t的函數(shù)。若球的體積以均勻速度c增長(zhǎng)，則球的表面積的增長(zhǎng)速度與球半徑(

)A．成正比，比例系數(shù)為C

B．成正比，比例系數(shù)為2CC．成反比，比例系數(shù)為C

D．成反比，比例系數(shù)為2C參考答案：D7.△ABC中，sinB·sinC=

，則△ABC的形狀為(

)A．直角三角形

B．等邊三角形

C．等腰三角形

D．等腰直角三角形參考答案：C8.在中，若，則有（）A．

B．

C．

D．參考答案：D9.已知設(shè)函數(shù)，則的最大值為（

）A．1

B．2

C．

D．4參考答案：C10.已知，若，使得，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是A．

B．

C．

D．

參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（13）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是

.參考答案：16π-1612.已知函數(shù)，若對(duì)，，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

.參考答案：略13.在△ABC中，b=2c，設(shè)角A的平分線長(zhǎng)為m，m=kc，則k的取值范圍是______．參考答案：(0,14.設(shè)為虛數(shù)單位，則=___．參考答案：115.設(shè)，且恒成立，則的最大值為__________。參考答案：416.在中，若，，，則的面積S＝_________參考答案：17.已知滿足，且目標(biāo)函數(shù)的最小值是5，則的最大值____.

參考答案：10略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)f(x)=+lnx．（a∈R）（Ⅰ）若函數(shù)在區(qū)間[，e]上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（Ⅱ）試討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（Ⅰ）由題意可知f′（x）=﹣+≤0，a≥，則構(gòu)造輔助函數(shù)，求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得最大值，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍；（Ⅱ）方法1：構(gòu)造輔助函數(shù)，g（x）=，求導(dǎo)g′（x）=，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得g（x）最小值，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及極值的判斷求得函數(shù)的f（x）的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；方法2：分類討論，根據(jù)當(dāng)a≤1時(shí)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性f（x）在區(qū)間（0，+∞）遞增，f（x）無(wú)極值，當(dāng)a＞1時(shí)，構(gòu)造輔助函數(shù)，求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與極值的關(guān)系，即可求得f（x）的極值個(gè)數(shù)．【解答】解：（Ⅰ）由題意可知：對(duì)?x∈，f′（x）=﹣+≤0，即a≥，對(duì)?x∈恒成立，令g（x）=，求導(dǎo)g′（x）=，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＜0，當(dāng)x＞1，g′（x）＞0，∴函數(shù)g（x）在[，1]上單調(diào)遞減，在（1，e]上單調(diào)遞增，∴g（）=，g（e）=ee﹣1，由ee﹣1＞，∴在區(qū)間上g（x）max=ee﹣1，∴a≥ee﹣1，（Ⅱ）解法1：由f′（x）=﹣+==，g（x）=，g′（x）=，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＜0，當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＞0，∴函數(shù)g（x）在（0，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增，g（x）min=g（1）=e，當(dāng)a≤e時(shí)，g（x）≥a恒成立，f′（x）≥0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）單調(diào)遞增，f（x）無(wú)極值點(diǎn)，當(dāng)a＞e時(shí)，g（x）min≥g（1）=e＜a，故存在x1∈（0，1）和x2∈（1，+∞），使得g（x1）=g（x2）=a，當(dāng)0＜x＜x1，f′（x）＞0，當(dāng)x1＜x＜x2時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x＞x2，f′（x）＞0，∴函數(shù)f（x）在（x1，x2）單調(diào)遞減，在（0，x1）和（x2，+∞），∴x1為函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)，x2為函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)，綜上可知；a≤e時(shí)，函數(shù)f（x）無(wú)極值點(diǎn)，當(dāng)a＞e時(shí)，函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)．方法2：f′（x）=，設(shè)h（x）=ex﹣ax（x＞0），則h（x）=ex﹣a，由x＞0，ex＞1，（1）當(dāng)a≤1時(shí)，h′（x）＞0，h（x）遞增，h（x）＞h（0）=1，則f′（x）＞0，f（x）遞增，f（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)無(wú)極值；（2）當(dāng)a＞1時(shí)，由h′（x）=ex﹣a＞0，則x＞lna，可知h（x）在（0，lna）內(nèi)遞減，在（lna，+∞）單調(diào)遞增，∴h（x）max=h（lna）=a（1﹣lna），①當(dāng)1＜a≤e時(shí)，h（x）＞h（x）min≥0，則f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，f（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)無(wú)極值；②當(dāng)a＞e時(shí)，h（x）min＜0，又h（0）＞0，x很大時(shí)，h（x）＞0，∴存在x1∈（0，lna），x2∈（lna，+∞），使得h（x1）=0，h（x2）=0，即f′（x1）=0，f′（x2）=0，可知在x1，x1兩邊f(xié)′（x）符號(hào)相反，∴函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，綜上可知；a≤e時(shí)，函數(shù)f（x）無(wú)極值點(diǎn)，當(dāng)a＞e時(shí)，函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)．19.已知函數(shù).（1）若關(guān)于x的方程在上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）是否存在實(shí)數(shù)t使得總成立？若存在，求實(shí)數(shù)t的值；若不存在，說(shuō)明理由.參考答案：（1）；（2）存在實(shí)數(shù)滿足題意.【詳解】（1）由得：設(shè)，則令，得，，列表得：

x12

-0+

h(x)極小值m-2+ln2

∴當(dāng)時(shí)，的極小值為，又，∵方程在上給有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故即解得：.（2）存在，理由如下：等價(jià)于，或令，則，，①若，當(dāng)時(shí)，，，所以：當(dāng)時(shí)，，，所以，所以在單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，從而在上單調(diào)遞增，又，所以或即.②若，因?yàn)樵谶f增且，當(dāng)時(shí)，，所以存在，使得，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，在上遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，從而在上遞減，又，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不恒成立；③若，同理可得不恒成立.綜上所述，存在實(shí)數(shù).【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.20.已知，其中，.(1)若，，求不等式的解集；(2)若是，，1中最大的一個(gè)，妝時(shí)，求證：.

參考答案：(1)由題意可得，去絕對(duì)值，化簡(jiǎn)可得或，且，所以原不等式的解集是.(2)∵，為，，1中最大的，∴，∴.21.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)向量，，．（1）若，求的值；（2）設(shè)，，且，求的值．參考答案：（1）因?yàn)椋?，，所以，且?/p>

……3分

因?yàn)椋?，即a2??2ab??b2??1，

所以，即．

……6分

（2）因?yàn)?，所以?/p>

依題意，．

……8分因?yàn)椋裕?/p>

化簡(jiǎn)得，，所以．

……12分

因?yàn)?，所以?/p>

所以，即．

……14分22.已知橢圓C:()的離心率為,點(diǎn)(1,)在橢圓C上.(Ⅰ)求橢圓C的方程;(Ⅱ)若橢圓C的兩條切線交于點(diǎn)M(4,),其中,切點(diǎn)分別是A、B,試?yán)媒Y(jié)論:在橢圓上的點(diǎn)()處的橢圓切線方程是,證明直線AB恒過(guò)橢圓的右焦點(diǎn);(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下，試探究的值是否恒為常數(shù),若是,求出此常數(shù);若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.參考答案：解:(Ⅰ)