投影變換(第二版)

機械與汽車工程學(xué)院畫法幾何及工程制圖

DescriptiveGeometryandEngineeringDrawing第3章投影變換§3.1投影變換的方法§3.2變換投影面法（換面法）§3.2旋轉(zhuǎn)法投影變換的目的xoxoxooooxxa'b'baa'b'c'cbakk'e'f'fea'd'c'b'cbadkk'm'ma'b'c'cbaa'b'k'l'c'd'dclabka'b'd'c'dcba實長實形距離距離實角交點將一般位置的空間幾何元素變換成特殊位置，達到簡化解題的目的。當(dāng)直線或平面相對于投影面平行或垂直時，其投影具有重影性，可以較容易求解空間線面的定位問題（交點和交線）和度量問題（實長、實形和傾角）?！?.1投影變換的方法投影變換的方法變換投影面法（簡稱換面法）VHXV1X1XHVX1V1§3.1投影變換的方法投影變換的方法變換投影面法（簡稱換面法）

幾何元素保持不動，改變投影面的位置，使新的投影面與幾何元素處于有利于解題的位置。處于有利解題的位置必須垂直原投影體系中一個不變的投影面換面法中新投影面的選擇條件§3.1投影變換的方法VHXV1X1XHVX1V1投影變換的方法旋轉(zhuǎn)法XHVVHX§3.1投影變換的方法

投影面保持不動，將幾何元素繞某一軸旋轉(zhuǎn)到相對于投影面處于有利于解題的位置。XHVVHX第3章投影變換§3.1投影變換的方法§3.2變換投影面法（換面法）§3.3旋轉(zhuǎn)法VHXAa

aXaV1X1a1

aX1X1V1Ha1

aX1Xa

a

aXVH§3.2變換投影面法變換V面－Z坐標(biāo)值不變一、換面法的基本規(guī)律點的一次變換——VHXBb

bXb變換H面－Y坐標(biāo)值不變X1X1bX1b1bX1H1VXb

b

bXVH§3.1變換投影面法-換面法的基本規(guī)律-點的一次變換一、換面法的基本規(guī)律點的一次變換——H1b1點的不變投影和新投影的連線垂直于新投影軸。垂直不變新投影到新投影軸的距離，等于原投影到原投影軸的距離。坐標(biāo)值不變

換面法的基本規(guī)律VHXV1X1Aa

a1

aX1aXaa1

X1V1HaX1Xa

a

aXVH§3.1變換投影面法-換面法的基本規(guī)律VHXAa

aXaV1a1

H2X1X2a2aX2aX1H2VIX2a2aX2a1

X1HV1Xa

a

aXaX1VH§3.1變換投影面法-換面法基本規(guī)律-點的二次變換不能同時變換兩投影面，每次只能變換一個，且要交替變換。過程重復(fù)，規(guī)律相同。點的二次變換——六個基本問題二、換面法的基本問題將投影面傾斜線變換成投影面平行線

將投影面平行線變換成投影面垂直線將投影面傾斜線變換成投影面垂直線將投影面傾斜面變換成投影面垂直面將投影面垂直面變換成投影面平行面將投影面傾斜面變換成投影面平行面§3.1變換投影面法X1Xa

a

aXVHb

bbXV1Ha1b1α將投影面傾斜線變換成投影面平行線（一次變換）

實長H面傾角§3.2變換投影面法-換面法的基本問題-將傾斜線變換成平行線變成正平線——變換V面Xa

a

VHb

ba1b1H1VX1β實長V面傾角變成水平線——變換H面將投影面傾斜線變換成投影面平行線（一次變換）

§3.2變換投影面法-換面法的基本問題-將傾斜線變換成平行線OZXYVABa’b’abX1a1b1aa'HVXbb'分析：AB為正平線，則設(shè)H1

面⊥AB。將投影面平行線變換成投影面垂直線（一次變換）

水平線——變成正垂線——變換V面OZXYVABa’b’abX1H1aa'HVXbb'X1V1H2a1b1

作圖要點：

X1⊥a’b’分析：a1b1AB為正平線，則設(shè)H1

面⊥AB。解題完畢將投影面傾斜線變換成投影面垂直線（二次變換）

Xa

VHb

a

bX1H1Va1b1H1V2X2a2’b2’變成正垂線——先變成水平線(換H面)——再變成正垂線(換V面)§3.2變換投影面法-換面法的基本問題-將傾斜線變換成垂直線將投影面傾斜線變換成投影面垂直線（二次變換）

Xa

a

VHb

bX1V1Ha1b1V1H2X2a2b2變成鉛垂線——先變成正平線(換V面)——再變成鉛垂線(換H面)§3.2變換投影面法-換面法的基本問題-將傾斜線變換成垂直線將投影面傾斜面變換成投影面垂直面（一次變換）

Xa

a

VHb

bc

cd

dHV1X1a1

c1

d1

b1

α1H面傾角變成正垂面----將水平線變成正垂線(變換V面)變換原理:將傾斜面內(nèi)一條投影面平行線變換為投影面垂直線，即可將傾斜面變換成投影面垂直面?！?.2變換投影面法-換面法的基本問題-將傾斜面變換成垂直面e

eXa

a

VHbc

cb

c1a1e1b1β1X1H1VV面傾角變成鉛垂面----將正平線變成鉛垂線(變換H面)將投影面傾斜面變換成投影面垂直面（一次變換）

§3.2變換投影面法-換面法的基本問題-將傾斜面變換成垂直面將投影面垂直面變換成投影面平行面（一次變換）

Xa

a

VHbc

cb

X1HV1a1

c1

b1

實形變換過程：根據(jù)平行面投影特性取新投影軸平行垂直面的積聚性投影，作出平行面。將鉛垂面變成正平面——變換V面§3.2變換投影面法-換面法的基本問題-將垂直面變換成平行面將投影面垂直面變換成投影面平行面（一次變換）

ac

Xa'

VHb'c'b

X1H1Va1

c1

b1

實形將正垂面變成水平面——變換H面§3.2變換投影面法-換面法的基本問題-將傾垂直面變換成平行面將投影面傾斜面變換成投影面平行面（二次變換）

e

eXa

a

VHbc

cb

X1H1Vc1a1e1b1H1V2X2a2

b2

c2

e2

實形變換過程：先變成投影面垂直面，再根據(jù)平行面投影特性取新投影軸平行垂直面的積聚性投影，作出平行面。變成正平面變成鉛垂面(變正平線為鉛垂線)正平面一次變換換H面二次變換換V面§3.2變換投影面法-換面法的基本問題-將傾斜面變換成平行面將投影面傾斜面變換成投影面平行面（二次變換）

e'Xa

a'

VHb'c

c'b

X1HV1c1’a1’

e1’b1’V1H2X2a2

b2c2

e2

實形變成水平面變成正垂面(變水平線為正垂線)水平面一次變換換V面二次變換換H面§3.2變換投影面法-換面法的基本問題-將傾斜面變換成平行面e作圖：1.使X1∥a’b’,求新投影。3.使X2⊥a1b1，求距離DK。aa’dd’b’

bxox1x2a1b1a2’b2’d1d2’k1k2’√$$--==2.求距離的投影k1d1。＞＞√DK4.返回DK

的投影。k’k例1:換面法求點D到AB直線的距離。ADV2KBDKa’2b’2d’2三、換面法的應(yīng)用分析：將平面ABC變換為投影面垂直面，再利用重影性法即可求出交點。k11’H1VX1b1a1c1e1f1k1k’abca’b’c’Xefe’f’[例題]求直線EF與平面ABC的交點，并判別可見性?！?.2變換投影面法-換面法的應(yīng)用分析：將三角形ABC變?yōu)橥队懊嫫叫忻妫纯汕蟪鐾饨訄A圓心。k11’H1VX1a1b1c1H1V2X2a2’b2’c2’k2’k1k’abca’b’c’X[例題]作出三角形ABC外接圓圓心K的投影?！?.2變換投影面法-換面法的應(yīng)用作圖步驟及分析：1、過B點作一平面垂直BG2、求該平面與EF交點A3、求正方形邊長AB并在BG上取BC（=AB）得C點4、由正方形特性求出其投影也可由換面法求作（將BG變換為投影面垂直線）b2ee’ff’b

b’

g

g’

X1’2’12aa’B3’GCcc’dd’HV1X1g1’b1’f1’e1’a1’H2V1X2g2b2e2f2a2c1’[例題]求作正方形ABCD，使頂點A在直線EF上，頂點C在直線BG上?！?.2變換投影面法-換面法的應(yīng)用[例題]在直線EF上找一點K，使其與平面ABC相距50mm。50mmabca’b’c’efe’f’X1’12A。3。3’3454’5’k’kH1VX1PHa1b1c1f1e1k150mm§3.2變換投影面法-換面法的應(yīng)用第3章投影變換§3.1投影變換的方法§3.2變換投影面法（換面法）§3.3旋轉(zhuǎn)法VHP§3.3旋轉(zhuǎn)法O1O2a1aAA1θθa1aa1aθa1aOVHXO2O1O一、旋轉(zhuǎn)法的基本規(guī)律點繞垂直于投影面的軸旋轉(zhuǎn)§3.3旋轉(zhuǎn)法-旋轉(zhuǎn)法基本規(guī)律-點的旋轉(zhuǎn)變換a1aa1aθVHXO2O1OVHPO1O2a1aAA1θθa1aO旋轉(zhuǎn)法的基本規(guī)律當(dāng)點繞垂直于投影面的軸旋轉(zhuǎn)時，它的運動軌跡在軸所垂直的投影面上的投影為一個圓，而在軸所平行的投影面上的投影為一平行于投影軸的直線?！?.3旋轉(zhuǎn)法-旋轉(zhuǎn)法基本規(guī)律-直線、平面的旋轉(zhuǎn)變換Xba1aa1aθbbBa1aAA1θθba1aHVX直線繞垂直于投影面的軸旋轉(zhuǎn)當(dāng)直線繞過一端點且垂直某投影面的軸旋轉(zhuǎn)時，它與軸所垂直的投影面的傾角保持不變，而在軸所垂直的投影面上的投影也保持不變。當(dāng)平面繞垂直某投影面的軸旋轉(zhuǎn)時，其上各點均繞同一軸、按同方向、旋轉(zhuǎn)同一角度，因此平面對該投影面的傾角保持不變，在該投影面上的投影形狀也保持不變。平面繞垂直于投影面的軸旋轉(zhuǎn)四個基本問題把投影面傾斜線旋轉(zhuǎn)為投影面平行線把投影面傾斜線旋轉(zhuǎn)為投影面垂直線把投影面傾斜面旋轉(zhuǎn)為投影面垂直面把投影面傾斜面旋轉(zhuǎn)為投影面平行面二、旋轉(zhuǎn)法的基本問題§3.3旋轉(zhuǎn)法(一)把投影面傾斜線旋轉(zhuǎn)為投影面平行線（一次旋轉(zhuǎn)）投影面傾斜線——旋轉(zhuǎn)為正平線——繞鉛垂軸投影面傾斜線——旋轉(zhuǎn)為水平線——繞正垂軸b1’b1a1’a1a’b’abXab§3.3旋轉(zhuǎn)法-旋轉(zhuǎn)法的基本問題-把傾斜線旋轉(zhuǎn)為平行線(二)把投影面傾斜線旋轉(zhuǎn)為投影面垂直線（二次旋轉(zhuǎn)）轉(zhuǎn)成正垂線——先轉(zhuǎn)成水平線(正垂軸)——再轉(zhuǎn)成正垂線(鉛垂軸)轉(zhuǎn)成鉛垂線——先轉(zhuǎn)成正平線(鉛垂軸)——再轉(zhuǎn)成鉛垂線(正垂軸)a2b1’a2’b1a1’a1b2b2’a’b’abXab§3.3旋轉(zhuǎn)法-旋轉(zhuǎn)法的基本問題-把傾斜線旋轉(zhuǎn)為垂直線（三）把投影面傾斜面旋轉(zhuǎn)為投影面垂直面