2023屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用考點規(guī)范練15導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值文新人教A版

考點標準練15導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值根底穩(wěn)固1.函數(shù)f(x)=(x-3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.(-∞,2) B.(0,3)C.(1,4) D.(2,+∞)2.函數(shù)f(x)=x3-3x2+x的極大值點為m,極小值點為n,那么m+n=()A.0 B.2 C.-4 D.-23.定義域為R的可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x),滿足f(x)<f'(x),且f(0)=2,那么不等式f(x)>2ex的解集為()A.(-∞,0) B.(-∞,2)C.(0,+∞) D.(2,+∞)4.(2023浙江,7)函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖象如下圖,那么函數(shù)y=f(x)的圖象可能是()5.函數(shù)f(x)=-x2+4x-3lnx在區(qū)間[t,t+1]上不單調(diào),那么t的取值范圍是.

6.假設(shè)函數(shù)g(x)=lnx+ax2+bx,且g(x)的圖象在點(1,g(1))處的切線與x軸平行.(1)確定a與b的關(guān)系;(2)假設(shè)a≥0,試討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性.7.函數(shù)f(x)=(a>0)的導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的兩個零點為-3和0.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)假設(shè)f(x)的極小值為-e3,求f(x)的極大值及f(x)在區(qū)間[-5,+∞)內(nèi)的最大值.8.(2023安徽馬鞍山一模)函數(shù)f(x)=xex-a(a∈R).(1)當(dāng)a=1時,求函數(shù)f(x)的極值;(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.9.設(shè)函數(shù)f(x)=(a∈R).(1)假設(shè)f(x)在x=0處取得極值,確定a的值,并求此時曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;(2)假設(shè)f(x)在區(qū)間[3,+∞)內(nèi)為減函數(shù),求a的取值范圍.能力提升10.函數(shù)y=f(x)對任意的x∈滿足f'(x)cosx+f(x)sinx>0(其中f'(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)),那么以下不等式成立的是()A.<fB.<fC.f(0)>2D.f(0)>11.設(shè)函數(shù)f'(x)是奇函數(shù)f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù),f(-1)=0,當(dāng)x>0時,xf'(x)-f(x)<0,那么使得f(x)>0成立的x的取值范圍是.

12.(2023福建福州一模)函數(shù)f(x)=alnx+x2-ax(a∈R).(1)假設(shè)x=3是f(x)的極值點,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)求g(x)=f(x)-2x在區(qū)間[1,e]上的最小值h(a).13.函數(shù)f(x)=x3-ax-b,x∈R,其中a,b∈R.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)假設(shè)f(x)存在極值點x0,且f(x1)=f(x0),其中x1≠x0,求證:x1+2x0=0;(3)設(shè)a>0,函數(shù)g(x)=|f(x)|,求證:g(x)在區(qū)間[-1,1]上的最大值不小于.高考預(yù)測14.函數(shù)f(x)=alnx-ax-3(a∈R).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)假設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖象在點(2,f(2))處的切線的傾斜角為45°,對于任意的t∈[1,2],函數(shù)g(x)=x3+x2·在區(qū)間(t,3)內(nèi)總不是單調(diào)函數(shù),求m的取值范圍.答案：1.D解析:函數(shù)f(x)=(x-3)ex的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=[(x-3)ex]'=ex+(x-3)ex=(x-2)ex.由函數(shù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系,得當(dāng)f'(x)>0時,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,此時由不等式f'(x)=(x-2)ex>0,解得x>2.2.B解析:因為函數(shù)f(x)=x3-3x2+x的極大值點為m,極小值點為n,所以m,n為f'(x)=3x2-6x+1=0的兩根.由根與系數(shù)的關(guān)系可知m+n=-=2.3.C解析:設(shè)g(x)=,那么g'(x)=.∵f(x)<f'(x),∴g'(x)>0,即函數(shù)g(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增.∵f(0)=2,∴g(0)=f(0)=2,∴不等式f(x)>2ex等價于g(x)>g(0).∵函數(shù)g(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增.∴x>0,∴不等式的解集為(0,+∞),應(yīng)選C.4.D解析:設(shè)導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的三個零點分別為x1,x2,x3,且x1<0<x2<x3.所以在區(qū)間(-∞,x1)和(x2,x3)內(nèi),f'(x)<0,f(x)是減函數(shù),在區(qū)間(x1,x2)和(x3,+∞)內(nèi),f'(x)>0,f(x)是增函數(shù),所以函數(shù)y=f(x)的圖象可能為D,應(yīng)選D.5.(0,1)∪(2,3)解析:由題意知f'(x)=-x+4-=-.由f'(x)=0得x1=1,x2=3,可知1,3是函數(shù)f(x)的兩個極值點.那么只要這兩個極值點有一個在區(qū)間(t,t+1)內(nèi),函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+1]上就不單調(diào),由t<1<t+1或t<3<t+1,得0<t<1或2<t<3.6.解:(1)因為g(x)=lnx+ax2+bx,所以g'(x)=+2ax+b,由題意,得g'(1)=1+2a+b=0,所以2a+b=-(2)當(dāng)a=0時,g'(x)=-,由g'(x)>0解得0<x<1,由g'(x)<0解得x>1,即函數(shù)g(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.當(dāng)a>0時,令g'(x)=0,得x=1或x=,假設(shè)<1,即a>,那么由g'(x)>0解得x>1或0<x<,由g'(x)<0解得<x<1,即函數(shù)g(x)在,(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減;假設(shè)>1,即0<a<,那么由g'(x)>0解得x>或0<x<1,由g'(x)<0解得1<x<,即函數(shù)g(x)在(0,1),內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減;假設(shè)=1,即a=,那么在(0,+∞)上恒有g(shù)'(x)≥0,即函數(shù)g(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.綜上可得:當(dāng)a=0時,函數(shù)g(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減;當(dāng)0<a<時,函數(shù)g(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減,在內(nèi)單調(diào)遞增;當(dāng)a=時,函數(shù)g(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增;當(dāng)a>時,函數(shù)g(x)在內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減,在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.7.解:(1)因為f(x)=,所以f'(x)=,設(shè)g(x)=-ax2+(2a-b)因為a>0,所以由題意知:當(dāng)-3<x<0時,g(x)>0,即f'(x)>0;當(dāng)x<-3或x>0時,g(x)<0,即f'(x)<0.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-3,0),單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,-3),(0,+∞).(2)由(1)知,x=-3是f(x)的極小值點,故有=-e3.結(jié)合g(0)=b-c=0,g(-3)=-9a-3(2a-b)+b-c=0,解得a=1,b=5,c=5,所以f(x因為f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-3,0),單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,-3),(0,+∞),所以f(0)=5為函數(shù)f(x)的極大值,且f(x)在區(qū)間[-5,+∞)內(nèi)的最大值為f(-5)和f(0)中的最大者.而f(-5)==5e5>5=f(0),所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[-5,+∞)內(nèi)的最大值是5e5.8.解:(1)當(dāng)a=1時,f(x)=xex-,f'(x)=ex+xex-(x+1)=(x+1)(ex-1),令f'(x)=0,得x=-1或x=0.x(-∞,-1)-1(-1,0)0(0,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗↘↗當(dāng)x=-1時,f(x)有極大值f(-1)=;當(dāng)x=0時,f(x)有極小值f(0)=0.(2)f'(x)=ex+xex-a(x+1)=(x+1)(ex-a),當(dāng)a≤0時,ex-a>0,由f'(x)>0得x>-1,即在區(qū)間(-1,+∞)內(nèi),函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;由f'(x)<0得x<-1,即在區(qū)間(-∞,-1)內(nèi),函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.當(dāng)a>0時,令f'(x)=0,得x=-1或x=lna.①當(dāng)lna=-1,即a=e-1時,無論x>-1或x<-1,均有f'(x)>0,又f'(-1)=0,即在R上,f'(x)≥0,從而函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增.②當(dāng)lna<-1,即0<a<e-1時,由f'(x)=(x+1)(ex-a)>0?x>-1或x<lna時,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;由f'(x)=(x+1)(ex-a)<0?lna<x<-1時,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.③當(dāng)lna>-1,即a>e-1時,由f'(x)=(x+1)(ex-a)>0?x>lna或x<-1時,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;由f'(x)=(x+1)(ex-a)<0?-1<x<lna時,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.9.解:(1)對f(x)求導(dǎo)得f'(x)=.因為f(x)在x=0處取得極值,所以f'(0)=0,即a=0.當(dāng)a=0時,f(x)=,f'(x)=,故f(1)=,f'(1)=,從而f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y-(x-1),化簡得3x-ey=0.(2)由(1)知f'(x)=.令g(x)=-3x2+(6-a)x+a,由g(x)=0解得x1=,x2=.當(dāng)x<x1時,g(x)<0,即f'(x)<0,故f(x)為減函數(shù);當(dāng)x1<x<x2時,g(x)>0,即f'(x)>0,故f(x)為增函數(shù);當(dāng)x>x2時,g(x)<0,即f'(x)<0,故f(x)為減函數(shù).由f(x)在區(qū)間[3,+∞)內(nèi)為減函數(shù),知x2=≤3,解得a≥-,故a的取值范圍為.10.A解析:構(gòu)造函數(shù)g(x)=,那么g'(x)=[f'(x)cosx+f(x)sinx].∵對任意的x∈滿足f'(x)cosx+f(x)sinx>0,∴g'(x)>0,即函數(shù)g(x)在內(nèi)單調(diào)遞增.∴g<g,即.∴<f.故A正確.11.(-∞,-1)∪(0,1)解析:當(dāng)x>0時,令F(x)=,那么F'(x)=<0,∴當(dāng)x>0時,F(x)=為減函數(shù).∵f(x)為奇函數(shù),且由f(-1)=0,得f(1)=0,故F(1)=0.在區(qū)間(0,1)內(nèi),F(x)>0;在(1,+∞)內(nèi),F(x)<0,即當(dāng)0<x<1時,f(x)>0;當(dāng)x>1時,f(x)<0.又f(x)為奇函數(shù),∴當(dāng)x∈(-∞,-1)時,f(x)>0;當(dāng)x∈(-1,0)時,f(x)<0.綜上可知,f(x)>0的解集為(-∞,-1)∪(0,1).12.解:(1)f'(x)=+2x-a(x>0).∵x=3是函數(shù)f(x)的一個極值點,∴f'(3)=+6-a=0,解得a=9,∴f'(x)=,∴當(dāng)0<x<或x>3時,f'(x)>0;當(dāng)<x<3時,f'(x)<0,∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,(3,+∞);f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)g(x)=alnx+x2-ax-2x,x∈[1,e],g'(x)=.①當(dāng)≤1,即a≤2時,g(x)在區(qū)間[1,e]上遞增,g(x)min=g(1)=-a-1;②當(dāng)1<<e,即2<a<2e時,g(x)在區(qū)間內(nèi)遞減,在區(qū)間上遞增,故g(x)min=g=aln-a;③當(dāng)≥e,即a≥2e時,g(x)在區(qū)間[1,e]上遞減,故g(x)min=g(e)=a(1-e)+e(e-2).綜上,h(a)=13.(1)解:由f(x)=x3-ax-b,可得f'(x)=3x2-a.下面分兩種情況討論:①當(dāng)a≤0時,有f'(x)=3x2-a≥0恒成立.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,+∞).②當(dāng)a>0時,令f'(x)=0,解得x=,或x=-.當(dāng)x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如下表:x-f'(x)+0-0+f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)證明:因為f(x)存在極值點,所以由(1)知a>0,且x0≠0.由題意,得f'(x0)=3-a=0,即,進而f(x0)=-ax0-b=-x0-b.又f(-2x0)=-8+2ax0-b=-x0+2ax0-b=-x0-b=f(x0),且-2x0≠x0,由題意及(1)知,存在唯一實數(shù)x1滿足f(x1)=f(x0),且x1≠x0,因此x1=-2x0.所以x1+2x0=0.(3)證明:設(shè)g(x)在區(qū)間[-1,1]上的最大值為M,max{x,y}表示x,y兩數(shù)的最大值.下面分三種情況討論:①當(dāng)a≥3時,-≤-1<1≤,由(1)知,f(x)在區(qū)間[-1,1]上單調(diào)遞減,所以f(x)在區(qū)間[-1,1]上的取值范圍為[f(1),f(-1)],因此M=max{|f(1)|,|f(-1)|}=max{|1-a-b|,|-1+a-b|}=max{|a-1+b|,|a-1-b|}=所以M=a-1+|b|≥2.②當(dāng)≤a<3時,-≤-1<-<1≤,由(1)和(2)知f(-1)≥f=f,f(1)≤f=f,所以f(x)在區(qū)間[-1,1]上的取值范圍為,因此M=max=max=max=+|b|≥.③當(dāng)0<a<時,-1<-<1,由(1)和(2)知f(-1)<f=f,f(1)>f=f,所以f(x)在區(qū)間[-1,1]上的取值范圍為[f(-1),f(1)],因此M=max{|f(-1)|,|f(1)|}=max{|-1+a-b|,|1-a-b|}=max{|1-a+b|,|1-a-b|}=1-a+|b|>.綜上所述,當(dāng)a>0時,g(x)在區(qū)間[-1,1]上的最大值不小于.14.解:(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),且f'(x)=.當(dāng)a>0時,f(x)的遞增區(qū)間為(0,1),遞減區(qū)間為(1,+∞);當(dāng)a<0時,f(x)的遞增區(qū)間為(1,+∞),遞減區(qū)間