2022湖南省衡陽(yáng)市祁東縣羅云中學(xué)高二數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

2022湖南省衡陽(yáng)市祁東縣羅云中學(xué)高二數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.雙曲線(xiàn)：﹣=1的離心率為m，記函數(shù)y=x2與y=mx的圖象所圍成的陰影部分的面積為S（如圖所示），任取x∈[0，2]，y∈[0，4]，則點(diǎn)（x，y）恰好落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】根據(jù)雙曲線(xiàn)的性質(zhì)求出離心率m，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合積分的應(yīng)用求出陰影部分的面積，利用幾何概型的概率公式進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：由﹣=1得a2=4，b2=12，則c2=4+12=16，即a=2，c=4，則離心率為m===2，則直線(xiàn)y=mx=2x代入y=x2，得x2=2x，則x=0或x=2，則陰影部分的面積S=∫（2x﹣x2）dx=（x2﹣x3）|=4﹣=，∵x∈[0，2]，y∈[0，4]，∴對(duì)應(yīng)矩形的面積S=2×4=8，則則點(diǎn)（x，y）恰好落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率P==，故選：C2.已知點(diǎn)是直線(xiàn)上任意一點(diǎn)，以為焦點(diǎn)的橢圓過(guò)，記橢圓離心率關(guān)于的函數(shù)為，那么下列結(jié)論正確的是

（

）A．與一一對(duì)應(yīng)

B．函數(shù)無(wú)最小值，有最大值C．函數(shù)是增函數(shù)

D．函數(shù)有最小值，無(wú)最大值參考答案：B3.某年級(jí)共有210名同學(xué)參加數(shù)學(xué)期中考試，隨機(jī)抽取10名同學(xué)成績(jī)?nèi)缦拢撼煽?jī)（分）506173859094人數(shù)221212則總體標(biāo)準(zhǔn)差的點(diǎn)估計(jì)值為

（結(jié)果精確到0.01）.參考答案：17.60略4.用任意一個(gè)平面截一個(gè)幾何體，各個(gè)截面都是圓，則這個(gè)幾何體一定是（）A．圓柱 B．圓錐C．球體 D．圓柱、圓錐、球體的組合體參考答案：C【考點(diǎn)】平行投影及平行投影作圖法．【專(zhuān)題】常規(guī)題型；空間位置關(guān)系與距離．【分析】由各個(gè)截面都是圓知是球體．【解答】解：∵各個(gè)截面都是圓，∴這個(gè)幾何體一定是球體，故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了球的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題．5.若的大小關(guān)系(

)A．

B．

C．

D．與的取值有關(guān)參考答案：A略6.某公司準(zhǔn)備進(jìn)行兩種組合投資，穩(wěn)健型組合投資是由每份金融投資20萬(wàn)元，房地產(chǎn)投資30萬(wàn)元組成；進(jìn)取型組合投資是由每份金融投資40萬(wàn)元，房地產(chǎn)投資30萬(wàn)元組成。已知每份穩(wěn)健型組合投資每年可獲利10萬(wàn)元，每份進(jìn)取型組合投資每年可獲利15萬(wàn)元。若可作投資用的資金中，金融投資不超過(guò)160萬(wàn)元，房地產(chǎn)投資不超過(guò)180萬(wàn)元，要使一年獲利總額最多，則穩(wěn)健型組合投資與進(jìn)取型組合，合投資分別注入的份數(shù)分別為（

）A.x=4,y=2

B.x=3,y=3

C.x=5,y=1

D.x=5,y=2參考答案：A7.若直線(xiàn)平面內(nèi)兩條直線(xiàn)，則直線(xiàn)平面；則它和它的逆命題、否命題、逆否命題中真命題的個(gè)數(shù)是A．0

B．1

C．2

D．3參考答案：C8.過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)作直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于，、，兩點(diǎn)，若，則等于（

）

A．4p

B．5pC．6p

D．8p參考答案：A9.設(shè)m，n是兩條不同的直線(xiàn)，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：①若m⊥α，n∥α，則m⊥n

②若α∥β，β∥γ，m⊥α，則m⊥γ③若m∥α，n∥α，則m∥n

④若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β其中正確命題的序號(hào)是（）A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④參考答案：A【考點(diǎn)】空間中直線(xiàn)與平面之間的位置關(guān)系；命題的真假判斷與應(yīng)用；空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)之間的位置關(guān)系；平面與平面之間的位置關(guān)系．【分析】根據(jù)線(xiàn)面平行性質(zhì)定理，結(jié)合線(xiàn)面垂直的定義，可得①是真命題；根據(jù)面面平行的性質(zhì)結(jié)合線(xiàn)面垂直的性質(zhì)，可得②是真命題；在正方體中舉出反例，可得平行于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)不一定平行，垂直于同一個(gè)平面和兩個(gè)平面也不一定平行，可得③④不正確．由此可得本題的答案．【解答】解：對(duì)于①，因?yàn)閚∥α，所以經(jīng)過(guò)n作平面β，使β∩α=l，可得n∥l，又因?yàn)閙⊥α，l?α，所以m⊥l，結(jié)合n∥l得m⊥n．由此可得①是真命題；對(duì)于②，因?yàn)棣痢桅虑姚隆桅?，所以α∥γ，結(jié)合m⊥α，可得m⊥γ，故②是真命題；對(duì)于③，設(shè)直線(xiàn)m、n是位于正方體上底面所在平面內(nèi)的相交直線(xiàn)，而平面α是正方體下底面所在的平面，則有m∥α且n∥α成立，但不能推出m∥n，故③不正確；對(duì)于④，設(shè)平面α、β、γ是位于正方體經(jīng)過(guò)同一個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)面，則有α⊥γ且β⊥γ，但是α⊥β，推不出α∥β，故④不正確．綜上所述，其中正確命題的序號(hào)是①和②故選：A10.用數(shù)學(xué)歸納法證明“42n﹣1+3n+1（n∈N*）能被13整除”的第二步中，當(dāng)n=k+1時(shí)為了使用歸納假設(shè)，對(duì)42k+1+3k+2變形正確的是（）A．16（42k﹣1+3k+1）﹣13×3k+1B．4×42k+9×3kC．（42k﹣1+3k+1）+15×42k﹣1+2×3k+1D．3（42k﹣1+3k+1）﹣13×42k﹣1參考答案：A【考點(diǎn)】RG：數(shù)學(xué)歸納法．【分析】本題考查的數(shù)學(xué)歸納法的步驟，為了使用已知結(jié)論對(duì)42k+1+3k+2進(jìn)行論證，在分解的過(guò)程中一定要分析出含42k﹣1+3k+1的情況．【解答】解：假設(shè)n=k時(shí)命題成立．即：42k﹣1+3k+1被13整除．當(dāng)n=k+1時(shí)，42k+1+3k+2=16×42k﹣1+3×3k+1=16（42k﹣1+3k+1）﹣13×3k+1．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】數(shù)學(xué)歸納法常常用來(lái)證明一個(gè)與自然數(shù)集N相關(guān)的性質(zhì)，其步驟為：設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1）（奠基）P（n）在n=1時(shí)成立；2）（歸納）在P（k）（k為任意自然數(shù)）成立的假設(shè)下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對(duì)一切自然數(shù)n都成立．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.觀察下列等式：…，由此推測(cè)第n個(gè)等式為。（不必化簡(jiǎn)結(jié)果）參考答案：略12.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)極坐標(biāo)系中，直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為ρsin(θ+)=2，則極點(diǎn)在直線(xiàn)l上的射影的極坐標(biāo)是

.參考答案：極點(diǎn)在直線(xiàn)上的射影是直線(xiàn)上取得最小值的點(diǎn),把變形為,可知,當(dāng)時(shí),取得最小值2.13.已知函數(shù)的圖像與軸沒(méi)有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是__________(用區(qū)間表示）。參考答案：（-1，3）14.方程|x|＋|y|＝1所表示的圖形的面積為

．ks5u參考答案：2略15.已知，則的值等于

▲

．參考答案：16.sin14°cos16°+cos14°sin16°的值等于__________．參考答案：考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù)．專(zhuān)題：計(jì)算題．分析：本題可用兩角和的正弦函數(shù)對(duì)sin14°cos16°+cos14°sin16°，再利用特殊角的三角函數(shù)求值解答： 解：由題意sin14°cos16°+cos14°sin16°=sin30°=故答案為：．點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與并的正弦函數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟記兩角和與差的正弦函數(shù)公式，及特殊角的三角函數(shù)值，本題是基本公式考查題．17.若命題p：?x∈R，x2+x﹣1≥0，則￢p：．參考答案：?x∈R，x2+x﹣1＜0【考點(diǎn)】特稱(chēng)命題．【專(zhuān)題】簡(jiǎn)易邏輯．【分析】根據(jù)特稱(chēng)命題的否定是全程命題，寫(xiě)出命題p的否定￢p即可．【解答】解：根據(jù)特稱(chēng)命題的否定是全程命題，得命題p：?x∈R，x2+x﹣1≥0，的否定是￢p：?x∈R，x2+x﹣1＜0．故答案為：?x∈R，x2+x﹣1＜0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，且過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）已知直線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn)，求（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積取最大值時(shí)直線(xiàn)的方程.參考答案：（1）依題意得解得

所以橢圓的方程為.（2）聯(lián)立消去并整理得，設(shè)，則，，所以，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.所以，令，則，故當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，解得.即的面積取最大值時(shí)直線(xiàn)的方程為.19.（本小題滿(mǎn)分12分）某陶瓷廠準(zhǔn)備燒制甲、乙、丙三件不同的工藝品，制作過(guò)程必須先后經(jīng)過(guò)兩次燒制，當(dāng)?shù)谝淮螣坪细窈蠓娇蛇M(jìn)入第二次燒制，兩次燒制過(guò)程相互獨(dú)立．根據(jù)該廠現(xiàn)有的技術(shù)水平，經(jīng)過(guò)第一次燒制后，甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為，，，經(jīng)過(guò)第二次燒制后，甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為，，．（1）求第一次燒制后恰有一件產(chǎn)品合格的概率；（2）經(jīng)過(guò)前后兩次燒制后，合格工藝品的個(gè)數(shù)為，求隨機(jī)變量的期望．參考答案：解：分別記甲、乙、丙經(jīng)第一次燒制后合格為事件，，，（1）設(shè)表示第一次燒制后恰好有一件合格，則．…………6分（2）解法一：因?yàn)槊考に嚻方?jīng)過(guò)兩次燒制后合格的概率均為，所以，………10分

故．…12分解法二：分別記甲、乙、丙經(jīng)過(guò)兩次燒制后合格為事件，則，所以，

，，

．

……10分于是，．

…………12分略20.已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，短軸長(zhǎng)為4．（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）直線(xiàn)x=2與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，A、B是橢圓O上位于直線(xiàn)PQ兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，且直線(xiàn)AB的斜率為．①求四邊形APBQ面積的最大值；②設(shè)直線(xiàn)PA的斜率為k1，直線(xiàn)PB的斜率為k2，判斷k1+k2的值是否為常數(shù)，并說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】（Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為，由短軸長(zhǎng)可得b值，根據(jù)離心率為及a2=b2+c2，得a值；（Ⅱ）①設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線(xiàn)AB的方程為y=x+t，代入得x的二次方程，四邊形APBQ的面積S==．，而|PQ|易求，代入韋達(dá)定理即可求得S的表達(dá)式，由表達(dá)式即可求得S的最大值；②直線(xiàn)PA的斜率，直線(xiàn)PB的斜率，代入韋達(dá)定理即可求得k1+k2的值；【解答】解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為．由已知b=2，離心率e=，a2=b2+c2，得a=4，所以，橢圓C的方程為．（Ⅱ）①由（Ⅰ）可求得點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)為P（2，3），Q（2，﹣3），則|PQ|=6，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線(xiàn)AB的方程為y=x+t，代入，得：x2+tx+t2﹣12=0．由△＞0，解得﹣4＜t＜4，由根與系數(shù)的關(guān)系得，四邊形APBQ的面積，故當(dāng)t=0時(shí)，；②由題意知，直線(xiàn)PA的斜率，直線(xiàn)PB的斜率，則==，由①知，可得，所以k1+k2的值為常數(shù)0．21.已知復(fù)數(shù)z=bi（b∈R），是實(shí)數(shù)，i是虛數(shù)單位．（1）求復(fù)數(shù)z；（2）若復(fù)數(shù)（m+z）2所表示的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．參考答案：略22.（12分）已知命題p：實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足x2-5ax+4a2＜0，其中a＞0，命題q：實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足．

（Ⅰ）若a=1，且p∧q為真，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；（Ⅱ）若￢p是￢q的充分不必