2023屆北京市豐臺區(qū)高三年級上冊學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題【含答案】

2023屆北京市豐臺區(qū)高三上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題一、單選題1．已知全集，集合，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)補集概念求解即可.【詳解】因為，，所以或.故選：B2．已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】先化簡復(fù)數(shù)，求出共軛復(fù)數(shù)，即可得結(jié)論.【詳解】因為，所以，所以對應(yīng)的點為在第三象限，故選：C.3．在的展開式中，常數(shù)項為（

）A． B．24 C． D．48【答案】B【分析】利用二項展開式的通項公式求出展開式的通項，令的指數(shù)為求出，將的值代入通項求出展開式的常數(shù)項．【詳解】二項式展開式的通項為，令，解得，所以展開式的常數(shù)項為故選：B4．已知向量，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由可求出，再由充分性和必要性的定義即可得出答案.【詳解】若，則，解得：.所以，而推不出.故“”是“”的充分而不必要條件故選：A.5．下列函數(shù)是偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用函數(shù)奇偶性和在區(qū)間上單調(diào)遞增逐項分析.【詳解】選項A由令的定義域為，且，由函數(shù)為二次函數(shù)開口向下，對稱軸為軸，所以在單調(diào)遞減，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故A錯誤，由的定義域為，關(guān)于原點對稱且，所以為奇函數(shù)，故選項B錯誤，由的定義域為，且，所以為奇函數(shù)，故C錯誤，由的定義域為，且，所以為偶函數(shù)，，且，所以，因為，且，因為在上單調(diào)遞增，所以，，所以，故，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故選：D.6．已知拋物線過點，焦點為F．若點滿足，則m的值為（

）A．2 B． C．2或 D．或【答案】C【分析】由拋物線過點，可求出，即可表示出，再由，即可求出m的值.【詳解】因為拋物線過點，所以，所以拋物線，則，又因為，所以，解得：或.故選：C.7．已知函數(shù)，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象問題，結(jié)合圖象求得正確答案.【詳解】依題意，，由解得或畫出的圖象如下圖所示，由圖可知，不等式的解集是.故選：A8．設(shè)雙曲線的右焦點為F，過點F的直線l平行于雙曲線C的一條漸近線，與另一條漸近線交于點P，與雙曲線C交于點Q，若Q為線段的中點，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)題意得到直線，與另一條漸近線聯(lián)立得到，根據(jù)為線段的中點得到，再代入雙曲線方程求解即可.【詳解】由題知：，平行的一條漸近線為，則直線，，即.因為為線段的中點，所以.把代入得：，化簡得，即，則.故選：C9．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為3的正方形，平面，點M為底面上的動點，M到的距離記為d，若，則點M在底面正方形內(nèi)的軌跡的長度為（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】在平面中求得點的軌跡方程，從而求得軌跡的長度.【詳解】由于平面平面，所以，所以.在正方形中，建立平面直角坐標(biāo)系如下圖所示，，設(shè)，則，，，，所以點的軌跡是以為圓心，半徑為的圓.由令，解得，則，由于，所以，所以點的軌跡在底面正方形內(nèi)的長度是.故選：B10．市場占有率指在一定時期內(nèi)，企業(yè)所生產(chǎn)的產(chǎn)品在其市場的銷售量（或銷售額）占同類產(chǎn)品銷售量（或銷售額）的比重．一般來說，市場占有率會隨著市場的顧客流動而發(fā)生變化，如果市場的顧客流動趨向長期穩(wěn)定，那么經(jīng)過一段時期以后的市場占有率將會出現(xiàn)穩(wěn)定的平衡狀態(tài)（即顧客的流動，不會影響市場占有率），此時的市場占有率稱為“穩(wěn)定市場占有率”．有A，B，C三個企業(yè)都生產(chǎn)某產(chǎn)品，2022年第一季度它們的市場占有率分別為：40%，30%，30%．經(jīng)調(diào)查，2022年第二季度A，B，C三個企業(yè)之間的市場占有率轉(zhuǎn)移情況如下圖所示：若該產(chǎn)品以后每個季度的市場占有率轉(zhuǎn)移情況均與2022年第二季度相同，則當(dāng)市場出現(xiàn)穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，最終達到“穩(wěn)定市場占有率”時，A企業(yè)該產(chǎn)品的“穩(wěn)定市場占有率”為（

）A．45% B．48% C．50% D．52%【答案】D【分析】根據(jù)市場占有率轉(zhuǎn)移情況求得正確答案.【詳解】最終達到“穩(wěn)定市場占有率”時，A企業(yè)該產(chǎn)品的“穩(wěn)定市場占有率”為：.故選：D二、填空題11．函數(shù)的定義域是___________．【答案】且【分析】根據(jù)題意得到求解即可.【詳解】由題知：且.故答案為：且.12．已知集合，，若為2個元素組成的集合，則實數(shù)m的取值范圍是___________．【答案】【分析】集合表示直線上的點，集合表示圓上的點，根據(jù)直線和圓相交計算得到范圍.【詳解】集合表示直線上的點，集合表示圓上的點，圓心為，半徑，為2個元素組成的集合，故直線和圓相交，即，解得.故答案為：13．已知函數(shù)，若，且在區(qū)間上有最小值無最大值，則___________．【答案】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的對稱性、最值求得正確答案.【詳解】由于若，且在區(qū)間上有最小值無最大值，，則，所以，，由于，所以的值為.故答案為：14．已知函數(shù)存在兩個極值點，給出下列四個結(jié)論：①函數(shù)有零點；

②a的取值范圍是；③；

④．其中所有正確結(jié)論的序號是___________．【答案】①④【分析】求出函數(shù)定義域以及導(dǎo)函數(shù).由可說明①正確；由已知，有兩個不同的正數(shù)解，根據(jù)二次函數(shù)根的分布即可求出的范圍，判斷②；根據(jù)求根公式，解出，結(jié)合②中解出的的范圍，可得到，即③錯誤；根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合③的解析，可得，即④正確.【詳解】由已知可得，定義域為，.對于①，因為，所以1是函數(shù)的一個零點，故①正確；對于②，因為函數(shù)存在兩個極值點，所以有兩個不同的正數(shù)解，即方程有兩個不同的正數(shù)解，則應(yīng)滿足，解得，故②錯誤；對于③，解方程可得，，因為，所以，由②知，所以，所以，故③錯誤；對于④，由可得，即，所以，所以在上單調(diào)遞增；解可得，或，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減.由③知，所以，故④正確.故答案為：①④.三、雙空題15．在等差數(shù)列中，公差d不為0，，且成等比數(shù)列，則___________；當(dāng)___________時，數(shù)列的前n項和有最大值．【答案】

【分析】根據(jù)等比數(shù)列得到，解得，再計算，，得到答案.【詳解】成等比數(shù)列，故，即，解得或（舍）.，,，，故時，有最大值.故答案為：；四、解答題16．如圖，已知正方體中，點是棱的中點．(1)求證：平面；(2)若點F是線段的中點，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接交于，連接，證明即可.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，計算各點坐標(biāo)，平面的法向量為，根據(jù)向量的夾角公式計算得到答案.【詳解】（1）如圖所示：連接交于，連接，是中點，是的中點，故，平面且平面，故平面；（2）以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)正方形邊長為，則，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取得到，.直線與平面所成角的正弦值為.17．在中，．(1)求A；(2)若，從下列三個條件中選出一個條件作為已知，使得存在且唯一確定，求的面積．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】(1)或；(2)答案見解析.【分析】（1）由正弦定理邊化角可得，即可求出結(jié)果；（2）若選①：根據(jù)已知可得為鈍角，則為銳角，，三角形唯一，根據(jù)兩角和的正弦公式可求出，根據(jù)正弦定理求出的值，根據(jù)即可求出面積；若選②：根據(jù)正弦定理可求出，為直角，三角形唯一確定，可求出，即可求出；若選③：由，可知或，有兩解.【詳解】（1）由可得，.因為，所以，又，所以或.（2）若選①：.因為，所以為鈍角，為銳角，又，又，所以，即，所以存在且唯一確定.則，由可得..根據(jù)正弦定理可得，，所以；若選②：.因為，所以，由正弦定理可得，，因為，所以，所以存在且唯一確定.則，所以，；若選③：.因為，所以，此時或，所以，此時存在但不唯一.18．非物質(zhì)文化遺產(chǎn)（簡稱“非遺”）是優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的重要組成部分，是一個國家和民族歷史文化成就的重要標(biāo)志．隨著短視頻這一新興媒介形態(tài)的興起，非遺傳播獲得廣闊的平臺，非遺文化迎來了發(fā)展的春天．為研究非遺短視頻受眾的年齡結(jié)構(gòu)，現(xiàn)從各短視頻平臺隨機調(diào)查了1000名非遺短視頻粉絲，記錄他們的年齡，將數(shù)據(jù)分成6組：，并整理得到如下頻率分布直方圖：(1)求a的值；(2)從所有非遺短視頻粉絲中隨機抽取2人，記取出的2人中年齡不超過40歲的人數(shù)為X，用頻率估計概率，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)在頻率分布直方圖中，用每一個小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)作為該組粉絲年齡的平均數(shù)，估計非遺短視頻粉絲年齡的平均數(shù)為m，若中位數(shù)的估計值為n，寫出m與n的大小關(guān)系．（結(jié)論不要求證明）【答案】(1)(2)分布列詳見解析，(3)【分析】（1）根據(jù)頻率之和為求得.（2）根據(jù)二項分布的知識求得分布列以及數(shù)學(xué)期望.（3）根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)的求法求得，并比較出兩者的大小關(guān)系.【詳解】（1），解得.（2）不超過40歲的人的頻率為，所以，的可能取值為，，，，所以的分布列為：所以.（3）歲.，所以.19．已知橢圓過點，離心率為．(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)點，直線與橢圓E的另一個交點為C，O為坐標(biāo)原點，B為橢圓E的右頂點．記直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)過點和離心率計算得到橢圓方程.（2）計算直線方程，聯(lián)立方程得到點坐標(biāo)，再計算，，相乘得到答案.【詳解】（1）橢圓過點，離心率為，故，，，，橢圓方程為.（2），直線：，聯(lián)立方程，得到，方程的一個解為，故另外一個解為.當(dāng)時，，即，，，，，得證20．已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；(3)證明函數(shù)只有一個零點．【答案】(1)(2)(3)見解析【分析】（1）對求導(dǎo)，求出，由點斜式方程即可求出答案；（2）令，，得出在的單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，再比較的大小，即可得出答案.（3）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，借助零點存在性定理，討論，和時，的正負，即可得出證明.【詳解】（1）的定義域為，故，，所以曲線在點處的切線方程為：，化簡得：（2）令，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，且，，所以由零點存在定理可知，在區(qū)間存在唯一的，使又當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又因為所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為.（3），，若，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，，結(jié)合零點存在定理可知，在區(qū)間有且僅有一個零點，若，則，則，若，因為，所以，綜上，函數(shù)在有且僅有一個零點.【點睛】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點，一方面利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，借助零點存在性定理判斷；另一方面，也可將零點問題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題，利用數(shù)形結(jié)合判斷.21．設(shè)為正實數(shù)，若各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足：，都有．則稱數(shù)列為數(shù)列．(1)判斷以下兩個數(shù)列是否為數(shù)列：數(shù)列：3，5，8，13，21；數(shù)列：，，5，10．(2)若數(shù)列滿足且，是否存在正實數(shù)，使得數(shù)列是數(shù)列？若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由．(3)若各項均為整數(shù)的數(shù)列是數(shù)列，且的前項和為150，求的最小值及取得最小值時的所有可能取值．【答案】(1)數(shù)列是，數(shù)列不是；(2)不存在，理由見解析；(3)答案見解析.【分析】（1）根據(jù)定義驗證是否恒成立，即可判斷；（2）假設(shè)存在，則由已知可推得.當(dāng)時，，這與假設(shè)矛盾，所以不存在；（3）根據(jù)已知推出，進而推出，，，，相加可推得.根據(jù)基本式，結(jié)合題意可得的最小值不小于30.進而得出的范圍，得到所有可能的整數(shù)解.分情況討論，得出數(shù)列，即可得到的所以可能的取值.【詳解】（1）根據(jù)定義，數(shù)列應(yīng)滿足，都有，即恒成立.對于數(shù)列：有，，，均滿足，所以數(shù)列是數(shù)列；對于數(shù)列，因為不滿足，所以數(shù)列不是數(shù)列.（2）不存在正實數(shù)，使得數(shù)列是數(shù)列.說明理由如下：假設(shè)存在正實數(shù)，使得數(shù)列是數(shù)列，則，都有，即恒