2023年河北省衡水市重點高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.下列不等式正確的是()

A.sinl30>sin400>log34B.tan226<ln0.4<tan480

D

C.cos(-20)<sin65°<1g11D.tan410>sin80>log52

2.下圖是民航部門統(tǒng)計的某年春運期間，六個城市售出的往返機票的平均價格(單位元)，以及相比于上一年同期價

格變化幅度的數(shù)據(jù)統(tǒng)計圖，以下敘述不正確的是()

六個城市春運往返機票的平均價格和憎幅

300010.00%

2500

2000

1500

1OOO

500

北I京上W海廣州莘州天亭i重慶l

?I平均價橘——帽帽

A.深圳的變化幅度最小，北京的平均價格最高

B.天津的往返機票平均價格變化最大

C.上海和廣州的往返機票平均價格基本相當

D.相比于上一年同期，其中四個城市的往返機票平均價格在增加

3.已知集合4=,B={x|—lvx<0}則An^二()

2

A.{x|x<0}?llx<4

X|-1<X<一-D.{%|%>-1}

TT71

4.已知函數(shù)/(x)=sin2x+acos2x的圖象的一條對稱軸為x=一,將函數(shù).f(x)的圖象向右平行移動一個單位長度

124

后得到函數(shù)g(x)圖象，則函數(shù)g(x)的解析式為()

A.g(x)=2sin(2x-—)B.^(x)=2sin(2x+—)

TTrr

C.g(x)=2sin(2x---)D.g(x)=2sin(2x+—)

66

5.M是拋物線/=4x上一點，N是圓(x—Ip+Q—2)2=1關(guān)于直線x-y-l=O的對稱圓上的一點，貝！最

小值是()

A.乎-1B.V3-1C.272-1D.|

22

6.已知橢圓C:二+與=1的短軸長為2,焦距為2百，耳、E分別是橢圓的左、右焦點，若點尸為。上的任意一點,

ab

則網(wǎng)+向i的取值范圍為()

A.[1,2]B.C.[V2,4]D.[1,4]

2

7.已知點”(2,0),點尸在曲線,y2=4x上運動，點F為拋物線的焦點，則橫IP不M、\的最小值為()

A.GB.2(75-1)C.475D.4

22

8.設(shè)雙曲線C：二—二=1g>0力>0)的左右焦點分別為《，鳥，點E(0")(r>0).已知動點P在雙曲線C的右支

a"b~

上，且點P,￡K不共線.若APE"的周長的最小值為48,則雙曲線。的離心率6的取值范圍是()

9.已知拋物線y=心的焦點為尸，拋物線上任意一點P,且PQLy軸交y軸于點Q,則而?即的最小值為()

11

A.--B.--C.-1D.1

42

10.已知函數(shù)/(x)=x+"-",g(x)=ln(x+2)—4/r,其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，若存在實數(shù).%,使

/(%)—g(%)=3成立，則實數(shù)。的值為()

A.-In2-1B.-l+ln2C.-In2D.In2

11.已知集合4={聞/-31-4>0},3={目一1?1?3},貝!!(Q4)nB=()

A.(-1,3)B.[-1,3]

C.[-1,4]D.(—1,4)

-01

12.設(shè)a=log23,b=log46,c=5?則()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知多項式O+2)'"(x+l)"=4++…+滿足《)=4,6=16,貝!]/〃+〃=,

%+%+。2+…+??,+?=---------------

14.記實數(shù)西,々，…，X"中的最大數(shù)為max{xpX2,…，X"}，最小數(shù)為血成芭,馬,…,入“}.已知實數(shù)掇ky且三數(shù)能構(gòu)

成三角形的三邊長，若r=maxH，工)]minN，,)，],貝!|/的取值范圍是.

2

15.兩光滑的曲線相切，那么它們在公共點處的切線方向相同.如圖所示，一列圓C?:x(fl?>o,r?>o,

2

〃=1,2…)逐個外切，且均與曲線yr相切，若門=1,貝。尸___，rn=

16.已知復(fù)數(shù)zi=l-2i,Z2=a+2i(其中i是虛數(shù)單位，a￡R),若zi?Z2是純虛數(shù)，則〃的值為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

n

17.(12分)如圖，四棱錐七一/WC。中，平面ABC。，平面BCE,若NBCE=—,四邊形ABC。是平行四邊形,

2

且AE_LBD.

(I)求證：AB=AD;

(II)若點/在線段AE上，且EC//平面BDF,NBC￡>=60°,BC=CE,求二面角A—BE—。的余弦值.

18.（12分）已知直線/：丁=履+〃2與橢圓與+馬=1（。>8>0）恰有一個公共點P,/與圓/+>2="相交于A,B

a-b-

兩點.

（I）求攵與機的關(guān)系式；

（II）點。與點P關(guān)于坐標原點。對稱.若當左=-，時，AQA3的面積取到最大值公，求橢圓的離心率.

2

19.（12分）在四棱錐P-ABCD中，AB_LB4,AB〃C￡）,A8=，C￡）,z^PA。是等邊三角形，點M在棱PC上,

2

平面PAD_L平面ABCD.

（1）求證：平面PC￡>_L平面PAD；

（2）若4?=AD,求直線AM與平面PBC所成角的正弦值的最大值；

ANPMAN

（3）設(shè)直線AM與平面PQ相交于點N,若——=—,求——的值.

AMPCAM

20.（12分）班主任為了對本班學(xué)生的考試成績進行分析，決定從本班24名女同學(xué)，18名男同學(xué)中隨機抽取一個容量

為7的樣本進行分析.

（1）如果按照性別比例分層抽樣，可以得到多少個不同的樣本？（寫出算式即可，不必計算出結(jié)果）

（2）如果隨機抽取的7名同學(xué)的數(shù)學(xué)，物理成績（單位：分）對應(yīng)如下表：

學(xué)生序號i1234567

數(shù)學(xué)成績（60657075858790

物理成績V；70778085908693

①若規(guī)定85分以上（包括85分）為優(yōu)秀，從這7名同學(xué)中抽取3名同學(xué)，記3名同學(xué)中數(shù)學(xué)和物理成績均為優(yōu)秀的

人數(shù)為求4的分布列和數(shù)學(xué)期望；

②根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求物理成績）'關(guān)于數(shù)學(xué)成績x的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；若班上某位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績?yōu)?/p>

96分，預(yù)測該同學(xué)的物理成績?yōu)槎嗌俜郑?/p>

附：線性回歸方程y=fox+a，

Z（七一幻（乃一切

其中'T“----二-----,a=y-bx.

/=1

7_7__

￡（西-光）2Z（x,-x）（%-y）

Xy

i=\/=!

7683812526

22i

21.（12分）已知橢圓。：[+[=13＞。＞0）的焦點為《，F(xiàn)2,離心率為一，點尸為橢圓C上一動點，且耳居

??b~2

的面積最大值為6,。為坐標原點.

（1）求橢圓C的方程；

⑵設(shè)點N（z，%）為橢圓C上的兩個動點，當玉Z+M%為多少時，點。到直線MN的距離為定值.

22.（10分）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面A8CD為直角梯形，ABVAD,ZADC=45°,AD//BC,AD=2AB=2,

△AZ*為等邊三角形，平面底面ABC。，E為AD的中點.

（1）求證：平面平面尸CE；

（2）點尸在線段8上，且M=求平面24。與平面PM所成的銳二面角的余弦值.

1D2

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.D

【解析】

根據(jù)sin40'<1<logs4,ln0.4<O<tan226',cos(-20°)=sin7O>sin65',利用排除法，即可求解.

【詳解】

由sin40<1<log,4,In0.4<0<tan226,cos(-20)=cos20=sin70>sin65°,

可排除A、B、C選項，

又由tan410=tan50>1>sin80>^=log5y/5>log52,

所以tan410°>sin80>log52.

故選D.

【點睛】

本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及對數(shù)的比較大小問題，其中解答熟記三角函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解答

的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.D

【解析】

根據(jù)條形圖可折線圖所包含的數(shù)據(jù)對選項逐一分析，由此得出敘述不正確的選項.

【詳解】

對于A選項，根據(jù)折線圖可知深圳的變化幅度最小，根據(jù)條形圖可知北京的平均價格最高，所以A選項敘述正確.

對于B選項，根據(jù)折線圖可知天津的往返機票平均價格變化最大，所以B選項敘述正確.

對于C選項，根據(jù)條形圖可知上海和廣州的往返機票平均價格基本相當，所以C選項敘述正確.

對于D選項，根據(jù)折線圖可知相比于上一年同期，除了深圳外，另外五個城市的往返機票平均價格在增加，故D選項

敘述錯誤.

故選：D

【點睛】

本小題主要考查根據(jù)條形圖和折線圖進行數(shù)據(jù)分析，屬于基礎(chǔ)題.

3.C

【解析】

由題意和交集的運算直接求出An8.

【詳解】

V集合A={x[x<-g1,B={x|-l<x<0}

4nB={x|-1<x<——j,.

故選:C.

【點睛】

本題考查了集合的交集運算.集合進行交并補運算時，常借助數(shù)軸求解.注意端點處是實心圓還是空心圓.

4.C

【解析】

7T

根據(jù)輔助角公式化簡三角函數(shù)式，結(jié)合X=一為函數(shù)"X)的一條對稱軸可求得。，代入輔助角公式得/*)的解析式.

12

根據(jù)三角函數(shù)圖像平移變換，即可求得函數(shù)g(x)的解析式.

【詳解】

函數(shù)/(x)=sin2x+acos2x,

由輔助角公式化簡可得/(x)=Jl+標sin(2x+6),tan(9=a,

7F

因為x=—為函數(shù)/(X)=sin2x+acos2x圖象的一條對稱軸，

12

代入可得sin2x^1-j+6!cos^2x^^=±Vl+a2,

即;+*a=±"+Q化簡可解得(a—G『=0,

即a=>/3，

所以/(x)=sin2x+bcos2x

=25m(2工+?)

TT

將函數(shù)/(X)的圖象向右平行移動。個單位長度可得g(x),

4

貝Ug(x)=2sin[2(x—]=2sin(2x-/,

故選：C.

【點睛】

本題考查了輔助角化簡三角函數(shù)式的應(yīng)用，三角函數(shù)對稱軸的應(yīng)用，三角函數(shù)圖像平移變換的應(yīng)用，屬于中檔題.

5.C

【解析】

求出點(1,2)關(guān)于直線x-y-l=O的對稱點C的坐標，進而可得出圓(x-l)2+(y-2)2=l關(guān)于直線x-y-1=0的

對稱圓C的方程，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出的最小值，由此可得出|W|m,n=|MC|n.n-l,即可得解.

【詳解】

如下圖所示：

設(shè)點(1,2)關(guān)于直線x-y—1=0的對稱點為點。(。力)，

。+1b+2

22-[a-b-3=0[a=3/、

則八c，整理得,八，解得，C，即點c(3,o),

i7

-b---2=-1ia+b-3=0ib=0'

、。一1

所以，圓(x—iy+(y—2)2=l關(guān)于直線x-y-l=O的對稱圓c的方程為(x—3『+y2=i,

設(shè)點"3，）''則|"C|=J己■一3+丁=J依-、+9=,1（/一4）+8'

當。=±2時，|困取最小值么份,因此，|即==|“?；暌?=20-1.

故選：C.

【點睛】

本題考查拋物線上一點到圓上一點最值的計算，同時也考查了兩圓關(guān)于直線對稱性的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等

題.

【解析】

先求出橢圓方程，再利用橢圓的定義得到怛制+忙用|=4,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求14怛制歸用區(qū)4,從而可得

11

-------1-------

1^1M的取值范圍.

【詳解】

2

由題設(shè)有8=1,C=6,故。=2,故橢圓C:二+f=i,

4

因為點P為C上的任意一點，故|p用+|「用=4.

1I1歸耳|+|「閭4一4

乂町||*|明冏—附『

\PF2\\PF{\\PF2\|（4

因為2-若4|/￥；|<2+6,故14|P娟（4-怛用）44,

所以141閥---r+I1-圈-----r—4

故選：D.

【點睛】

22

本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，一般地，如果橢圓c：*■+方=i（a>匕>0）的左、右焦點分別是6、丹，點P為。上的

任意一點，則有|P制+歸6|=2。，我們常用這個性質(zhì)來考慮與焦點三角形有關(guān)的問題，本題屬于基礎(chǔ)題.

【解析】

如圖所示：過點P作PN垂直準線于N,交y軸于。，則|P尸|—1=|PN|-1=|PQ|,設(shè)P（x,y）,x>Q,則

2

"\PMI=x+f4利用均值不等式得到答案.

【詳解】

如圖所示：過點P作PN垂直準線于N,交y軸于Q,則|PR|—1=|PN|-1=|PQ|,

1PMi2_|PM「_(x_2,+y2_(x-2?+4x4

設(shè)尸(x,y),%>(),則=x+—>4

|PF|-1一\PQ\一x~~x

4

當工=一，即x=2時等號成立.

x

本題考查了拋物線中距離的最值問題，意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.

8.A

【解析】

依題意可得C&PEF?=PE+PF?+EF?=PE+PF?+ERN2PF、-2a=4h

即可得到2。+4人＞2（。+c）,從而求出雙曲線的離心率的取值范圍；

【詳解】

解：依題意可得如下圖象，CSPEF2=PE+PF2+EF2=PE+PF2+EFt

=PE+PFX+EF1-2a

>2PF1-2a=4b

2尸耳=2。+4/?>2(。+。)

所以2Z?>c

貝!14cn-4a2>c2

所以3c2>4/

所以/哈彳

【點睛】

本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于中檔題.

9.A

【解析】

設(shè)點則點Q（O,y）,F（1,O）,利用向量數(shù)量積的坐標運算可得尸。?尸尸=上（/-2『-,利用二次函

數(shù)的性質(zhì)可得最值.

【詳解】

解：設(shè)點P,則點Q（O,y）,F（1,O）,

I47

???而?o],而）],

44

——?——■(y2fy21yty2iy1

PQPF=上,0-1--,-v=-^-=—z(y22-2)——，

(4只4116416V'4

當y2=2時，麗.所取最小值，最小值為-；.

故選：A.

【點睛】

本題考查拋物線背景下的向量的坐標運算，考查學(xué)生的計算能力，是基礎(chǔ)題.

10.A

【解析】

令f(x)-g(x)=x+exa-In(x+1)+4ea'x,

Az1x+1

令y=x-In(x+1),y'=l----------=--------,

x+2x+2

故y=x-In(x+1)在(-1,-1)上是減函數(shù)，(-1,+oo)上是增函數(shù)，

故當x=-l時，y有最小值-1-0=-1,

而ex-a+4ear%,(當且僅當e、<=4ea?x,即乂=2+加1時，等號成立)；

故f(x)-g(x)>3(當且僅當?shù)忍柾瑫r成立時，等號成立)；

x=a+lnl=-1,BPa=-1-Ini.故選：A.

11.B

【解析】

先由丁一31一4>0得工>4或xv—l,再計算(44)(13即可.

【詳解】

由X2一3%—4>0得x>4或％<—1,

A=(-OO,-1)<J(4,+OO),^4=[-1,4],

又8={x|—"x<3},.?.04加3=[-1,3].

故選：B

【點睛】

本題主要考查了集合的交集，補集的運算，考查學(xué)生的運算求解能力.

12.A

【解析】

先利用換底公式將對數(shù)都化為以2為底,利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可比較凡"再由中間值1可得三者的大小關(guān)系.

【詳解】

01

6r=log23e(l,2),b=log46=log2V6e(l,log23),c=5^(0,1),因此a>b>c,故選：A.

【點睛】

本題主要考查了利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小,屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.572

【解析】

:多項式(x+2)”'(x+l)"=ao+qx+qV+…+%,+“廿+"滿足&=4，q=16

???令x=0,得2"'X1"=4=4,則川=2

A(%+2廣(x+1)”=(x2+4x+4)(%+1)"

???該多項式的一次項系數(shù)為4cT+4C：TT=16

?「〃一1

1,51

:.n=3

:.m+n=5

令x=1,得(1+2)2x(1+1)?=%+4+%H-----1-cim+n=72

故答案為5,72

14.口,1)

【解析】

l<x<y

①當y<一時，￡=上，作出可行區(qū)域［y<x+l,因拋物線y=/與直線夕=》及y=K+l在第一象限內(nèi)的交點分

X2

y<x

別是a,1)和(i+、63+、6),從而

222

l<x<y

{y<x+l,因拋物線y=V與直線y=x及y=x+l在第一象限內(nèi)的交點分

別是（1,1）和（1+、傷2±罵，從而iq<i+、5

222

綜上所述，，的取值范圍是也上手）.

考點：不等式、簡單線性規(guī)劃.

15.-n

4

【解析】

第一空：將圓G：尤2+（丁一4『=1與y=f聯(lián)立，利用△=（）計算即可；

第二空：找到兩外切的圓的圓心與半徑的關(guān)系4=4,1+*+小再將C：尤2+（y—4）2=記與y=x2聯(lián)立，得到

4=Y+1，與4=4-++rn結(jié)合可得力為等差數(shù)列，進而可得%.

【詳解】

當打=1時，圓G：%2+（y-0］）-=1,

2

與y=%2聯(lián)立消去〉得y2_（2al-Qy+a,-1=0,

則△=（24—1）2_4（42_1）=0,解得4=：；

由圖可知當〃之2時，=?！癬|+乙”1+〃①，

22

將C,,:x+（y-an）=￡與y=/聯(lián)立消去>■得

22

y-（2an-l）y+an-^^0,

則△=（2a,_l）2_4（a,2_6）=o,

整理得an=Y+；,代入①得%：+；=+1小+小

整理得/一*=1,

貝!Irn=rx+^n-\）=n.

故答案為：y;〃.

4

【點睛】

本題是拋物線與圓的關(guān)系背景下的數(shù)列題，關(guān)鍵是找到圓心和半徑的關(guān)系，建立遞推式，由遞推式求通項公式，綜合

性較強，是一道難度較大的題目.

16.-1

【解析】

。+4=0

由題意z/z,=a+4+(2—2a)i,令1°°八即可得解.

2—2。00

【詳解】

Vzi=l-2i,Z2=a+li,

：.Z1-z2=(1-2i)(a+2i)=a+4+(2-2a)i,

a+4=0

又Z?Z2是純虛數(shù)，.CC，解得：?=-l.

2-2。HO

故答案為：-1.

【點睛】

本題考查了復(fù)數(shù)的概念和運算，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(I)見解析(II)

7

【解析】

(I)推導(dǎo)出BCJ_CE,從而EC_L平面A3CD,進而ECYBD,再由BDVAE,得平面

AEC,從而5D_LAC,進而四邊形ABCD是菱形，由此能證明AB=AD.

(D)設(shè)AC與8。的交點為G,推導(dǎo)出EC〃尸G,取BC的中點為O,連結(jié)則OO_L5C,以0為坐標原點，以過點0

且與CE平行的直線為x軸，以BC為y軸，。。為z軸，建立

空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A-BF-D的余弦值.

【詳解】

(I)證明：NBCE=—，即8CJ_CE,

2

因為平面ABCD±平面BCE,

所以EC,平面ABCD,

所以ECJ_30,

因為班)_LA￡，

所以80,平面A￡C,

所以3OLAC,

因為四邊形ABCD是平行四邊形，

所以四邊形ABC。是菱形，

故AB=AD；

解法一：（II）設(shè)AC與BO的交點為G,

因為EC//平面8D產(chǎn)，

平面AECI平面尸于/G,

所以EC//FG,

因為G是AC中點，

所以尸是4E的中點，

因為NBC￡>=60°,

取8C的中點為。，連接”>,

則OhBC,

因為平面ABCD±平面BCE,

所以0。，面8EC,

以。為坐標原點，以過點。且與CE平行的直線為x軸，以8c所在直線為y軸，以8所在直線為二軸建立空間直角

坐標系.不妨設(shè)AB=2,則6（0,-1,0）,A（0,-2,V3）,。（0,0,@,F1,—,BF=,

\/\7

麗=（0,-1,⑹,麗=（0,1洞,

設(shè)平面AB尸的法向量勺=（ApX，zJ,

.1,6_n

則/+萬％Tz,-，?。?卜6,百」），

-yt+V3z,=0

同理可得平面￡出尸的法向量后=（0,6,-1）,

設(shè)平面ABF與平面DBF的夾角為。,

?n2_2_幣

因為cos（勺,%）=南K亍

所以二面角4—3尸—。的余弦值為立.

7

z

解法二：（ID設(shè)AC與8。的交點為G,

因為ECV/平面平面AECI平面「于FG,

所以EC//FG,

因為G是AC中點，

所以F是AE的中點，

因為ACLBO,AC±FG,

所以ACJ_平面8。尸，

所以AC_L3/，

取3尸中點〃，連接GH、AH,

因為FG=BG,

所以GH上BF,

故.平面AHG,

所以即/4"6是二面角4一3/一￡）的平面角,

不妨設(shè)AB=2,

因為AG=,GH->

2

在心AAG”中，tanZAHG=76?

所以COS/AHG=Y7,所以二面角A-6/一。的余弦值為立.

77

E

【點睛】

本題考查求空間角中的二面角的余弦值，還考查由空間中線面關(guān)系進而證明線線相等，屬于中檔題.

18.(I)n^=a2k2+b2(IDe=

4

【解析】

(I)聯(lián)立直線與橢圓的方程，根據(jù)判別式等于0,即可求出結(jié)果；

(II)因點Q與點尸關(guān)于坐標原點。對稱，可得AQAB的面積是Aaw的面積的兩倍，再由當人=-2時，AOS的

2

2

面積取到最大值幺，可得O4_LOB,進而可得原點。到直線/的距離，再由點到直線的距離公式，以及(I)的結(jié)果,

2

即可求解.

【詳解】

y=kx+m,

22,得（"左卜+。

(I)由《xy2+/2+2/^^2（m2-62）=0,

b+F=1

貝！J△=（2a7/n）--4（a%2-\-b'^a2（nr-b'^-0

化簡整理，得機2=//+廿；

(II)因點。與點尸關(guān)于坐標原點。對稱，故AQAB的面積是A0LB的面積的兩倍.

所以當Z=-J■時，八。鉆的面積取到最大值三，此時OALOB,

22

從而原點。到直線I的距離。=/，

p,網(wǎng)口m2a2

又1=十==，故f—=一

止+1k2+l2

.八、?crk~+b2a2?,,,2b2

再由（I）,得---------=一，則n女2=]一__

k2+12a2

2

PI1在，2i1b3

又k=一二,故Q=]---,即==一Bn,

2a24a2&

11

L2c,b5HnV10

從而e———1—-——?即e=----

a2a284

【點睛】

本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系，以及橢圓的簡單性質(zhì)，通常需要聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達定理、判別式

等求解，屬于中檔試題.

19.(1)證明見解析(2)士叵(3)-

19AM2

【解析】

(1)取中點為0,連接尸。，由等邊三角形性質(zhì)可得P01AD,再由面面垂直的性質(zhì)可得P01OC,根據(jù)平行直線

的性質(zhì)可得CD1PA，進而求證；

(2)以。為原點，過。作AB的平行線OF，分別以,OF,OP分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系，設(shè)

AB=AD=2,由點M在棱PC上，可設(shè)OM=(l-t)OP+tOC=(T,4f,V3(l-r)),rG[0,1]，即可得到麗7，再求得平

面PBC的法向量，進而利用數(shù)量積求解；

(3)設(shè)AE>=2,￡>C=A,則=%定,麗=人麗？,求得41/，而了，即可求得點N的坐標，再由

AMPC

DN與平面PBD的法向量垂直，進而求解.

【詳解】

(1)證明:取AO中點為。，連接P。，

因為△PA。是等邊三角形，所以POLAD,

因為平面R4O1平面ABCD且相交于AO,所以P。，平面ABCD，所以PO_L，

因為AB〃CD,AB_LPA,所以CD，PA,

因為POClPA=P,在平面PAD內(nèi),所以。_L平面,

所以平面PC。，平面PA。.

(2)以。為原點，過。作AB的平行線OF，分別以。4,OF,OP分別為1軸,》軸，二軸建立空間直角坐標系，設(shè)

AB=AD=2,則41,0,0),8(1,2,0),C(-1,4,0),P(0,0,回

因為M在棱PC上河設(shè)OM^(1-t)OP+tOC=(T,4r,73(1-0)Je[0,l],

所以說=(T—1,47,百(1T)),

設(shè)平面PBC的法向量為n=(x,y,z),因為EC=(-2,2,0),定=(—1,4,-73),

=

"—?rcc八x1

n-BC—0—2x+2y=0一

所以＜—,，即＜r，令x=l,可得＜y=l，即〃

n-PC=0l-x+4y-yj3z=0

[z=\j3

I.-IAM,n1

設(shè)直線AM與平面PBC所成角為凡所以sin?=|cos＜AM,n＞\==*⑸2_心，

可知當r=’時,sin。取最大值獨瓦.

1019

(3)設(shè)=2,DC=〃"則有P(0,0,6),C(-1,m,0),得正=(一1，加，一百)，

ANPM____—?—?___.____廠

設(shè)——=——二%,那么PM=ZPC,AN=ZAM,所以=(一女,"北一，3公，

AMPC

所以“(一女,〃派,6(1-4)).

因為A(l,0,0),所以麗7=(-左-1,mk,同-k)),

因為楙=%而-所以菽=(一七2一%加公,百口1一行)，

所以N(—k2-k+l,mk-k(l-k)).

又因為。(―1,0,0),8卜，3，°］，所以麗=(一攵2-左+2,加左2,有女(］_6)，

PD=(-1,0,-73),麗=(2,￡,O］，設(shè)平面PDB的法向量為m=(x,y,z),

X二—yfi

\m-PD=0卜-6z=0/_4石

則｛，即｛m，令工=-6,可得〈丁=-----，即玩=-v3,----』

tnDB=02x+—y=0加(加

-2z=1

因為N在平面PDB內(nèi)，所以DN1所斯以DNm=Q,

所以一百(一％2—攵+2)+迪?/??/+百％(1—左)=0,即2二+左一1=0,

【點睛】

本題考查面面垂直的證明,考查空間向量法求線面成角，考查運算能力與空間想象能力.

20.(1)不同的樣本的個數(shù)為?；??！?/p>

9

(2)①分布列見解析，E^)=-.

②線性回歸方程為y=0.65x+33.60.可預(yù)測該同學(xué)的物理成績?yōu)?6分.

【解析】

(1)按比例抽取即可，再用乘法原理計算不同的樣本數(shù).

(2)7名學(xué)生中物理和數(shù)學(xué)都優(yōu)秀的有3名學(xué)生，任取3名學(xué)生，都優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)二服從超幾何分布，故可得其概

率分布列及其數(shù)學(xué)期望.而線性回歸方程的計算可用給出的公式計算，并利用得到的回歸方程預(yù)測該同學(xué)的物理成績.

【詳解】

(1)依據(jù)分層抽樣的方法，24名女同學(xué)中應(yīng)抽取的人數(shù)為，x24=4名，

42

7

18名男同學(xué)中應(yīng)抽取的人數(shù)為一xl8=3名，

42

故不同的樣本的個數(shù)為C2G〉

(2)①..町名同學(xué)中數(shù)學(xué)和物理成績均為優(yōu)秀的人數(shù)為3名，

二4的取值為0,1,2,3.

???尸《=0)=尋啥尸修=1)=等=]

P(一)=等二,。(一吟」

...J的分布列為

40123

418121

P

35353535

.L,八八4,18c12cl9

:.E(J)=0x--F1x---F2x---F3x—=-?

v7353535357

GOA

②???/?=|^|PO,65,==83-0.65x76=33.60.

???線性回歸方程為y=0.65x+33.60.

當x=96時，y=0.65x96+33.60=96.

可預(yù)測該同學(xué)的物理成績?yōu)?6分.

【點睛】

在計算離散型隨機變量的概率時，注意利用常見的概率分布列來簡化計算(如二項分布、超幾何分布等).

21.(1)—+^-=1；(2)當西工,+弘必=。時，點0到直線MN的距離為定值豆

437

【解析】

(1)斗心的面積最大時，尸是短軸端點，由此可得比=JL再由離心率及可得從而得橢圓

方程；

(2)在直線MN斜率存在時，設(shè)其方程為、=丘+加，現(xiàn)橢圓方程聯(lián)立消元()')后應(yīng)用韋達定理得%+%2，%1%2,

注意/>0,一是計算為/+必必，二是計算原點到直線MN的距離，兩者比較可得結(jié)論.

【詳解】

(1)因為尸在橢圓上，當P是短軸端點時，P到x軸距離最大，此時APK與面積最大，所以