模型離散模型

第一頁，共四十一頁，2022年，8月28日離散模型離散數(shù)：可數(shù)個有限數(shù)、自然數(shù)……概率統(tǒng)計：離散型、連續(xù)型模型：差分方程、整數(shù)規(guī)劃、圖論、……知識：離散數(shù)學集合、代數(shù)、圖論、邏輯第二頁，共四十一頁，2022年，8月28日一、層次分析法日常工作、生活中的決策問題：多種方案進行選擇多個旅游點的選擇；畢業(yè)生工作選擇；產(chǎn)品發(fā)展方向的選擇；選擇科研課題……比較判斷時：人的主觀選擇起相當大的作用各因素的重要性難以量化美國數(shù)學家T.L.Saaty于1970年代提出層次分析法

AHP(AnalyticHierarchyProcess)定性與定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化、層次化的分析方法背景第三頁，共四十一頁，2022年，8月28日1、模型一：旅游地選擇“五·一”出游：三個旅游點的資料P1景色優(yōu)美；但：旅游熱點，住宿條件較差,費用高P2交通方便，住宿條件好，價錢不貴；但景點一般P3景點不錯，住宿、花費都挺好，但：交通不方便選擇哪一個方案?景點旅游吃住費用交通P1P2P3拉薩、九寨、海南、澳洲……目標旅游地選擇標準景點、交通、費用、條件……方案分析第四頁，共四十一頁，2022年，8月28日2、基本原理將決策問題分為3個層次：目標層O，準則層C，方案層P；每層有若干元素，各層元素用直線相連重要性：用權(quán)重表示兩兩比較確定各準則對目標的權(quán)重——重要性百分比各方案對每一準則的權(quán)重綜合各組權(quán)重：確定各方案對目標的權(quán)重旅游地選擇景點旅游吃住費用交通P1P2P3目標層準則層方案層第五頁，共四十一頁，2022年，8月28日基本步驟→遞節(jié)層次結(jié)構(gòu)最上層——目標層中間層——準則層最下層——方案層例：景點旅游吃住費用交通P1P2P3（1）確定層次準則1決策目標準則2子準則層方案1方案2第六頁，共四十一頁，2022年，8月28日（2）構(gòu)造兩兩比較矩陣定性→量化:兩兩比較C1OCiCjCn某層n個元素上層元素取元素Ci,Cj比較→量化aij→Ci,Cj對O的權(quán)重比較下層元素對上層元素的影響比較尺度:aij

1同等3稍強5強7很強9絕對強中間值2468且aji=1/aji

第七頁，共四十一頁，2022年，8月28日兩兩比較矩陣

A=(aij)n×n也稱為正互反矩陣。如模型1建立層次分析模型：第二層對第一層進行C52=10次比較例:P1:P2=3P2:P4=2另:可推得:P1:P4=6

但:P1:P4=5

說明什么?景點旅游吃住費用交通P1P2P3這一點稱為比較判斷矩陣的不一致性第八頁，共四十一頁，2022年，8月28日理論分析i與j比較j與k比較i與j比較A=(aij)n×n:aij×ajk=aik一致性矩陣一致性指標

-------允許范圍否aij×ajk≈aik第九頁，共四十一頁，2022年，8月28日（3）計算權(quán)重向量若元素C1,C2,……,Cn對O的重要性量化比較→權(quán)重令其為(w1,w2,……,wn)則:比較矩陣為C1OCiCjCnA=(aij)n:aij×ajk≈aik反過來？由判斷矩陣計算被比較元素對于該準則的相對權(quán)重進行判斷矩陣的一致性檢驗(w1,w2,……,wn)第十頁，共四十一頁，2022年，8月28日當A=(aij)n

：一致

權(quán)重向量：W=(w1,w2,……,wn)T

則：近似有于是得:計算權(quán)向量方法特點:1、R(A)=1,=n2、AW特征值、向量定義=nW第十一頁，共四十一頁，2022年，8月28日計算權(quán)向量方法特征根法求A的最大正特征根求A的對應于的特征向量(w1,w2,……,wn)Matlab命令:[V,D]=eig（A）sum模型一l01.mMatlab得:λ=4.2137W=[0.49690.25130.13860.1132]景色吃住費用交通第十二頁，共四十一頁，2022年，8月28日另有近似算法：和法將A的每一列向量歸一化 c將bij按行求和得 將ci歸一化得W=(w1,w2,……,wn) 最大特征值 第十三頁，共四十一頁，2022年，8月28日當A’不一致時,>n記A’=A+,則由A’W=W或AW+W=nW+(-n)W即:當(-n)很小時,A’與A的不一致誤差很小于是有:（4）一致性檢驗N3456789RI0.580.901.121.241.321.411.45當CR<0.1時,通過一致性檢驗一致性指標CI=(-n)/(n-1)隨機一致性指標RI表一致性比率CR=CI/RI第十四頁，共四十一頁，2022年，8月28日模型一一致性檢驗

CIA=(-n)/(n-1)=0.0712；

RIA=0.9CRA=CI/RI

=0.0791<0.1

通過一致性檢驗即:此家庭對景吃費行的權(quán)重為0.49690.25130.13860.1132λ=4.2137W=[0.49690.25130.13860.1132]T景點旅游吃住費用交通P1P2P3第十五頁，共四十一頁，2022年，8月28日（5）組合權(quán)向量及一致性檢驗計算各層元素對于系統(tǒng)目標的總排序權(quán)重,并進行排序組合權(quán)向量:底層→頂層權(quán)準則1決策目標準則2子準則層方案1方案2W(2)W1(3),W2(3)……

Wn(3)W(3)方案對決策的權(quán)重第十六頁，共四十一頁，2022年，8月28日求組合權(quán)向量方法用第i層權(quán)重向量準則1決策準則2方案1方案2準則s方案nii-1i+1第i+1層對i－1層的組合權(quán)向量W(2)W1(3),W2(3)……

Wn(3)W(3)對下層權(quán)重向量加權(quán)平均第十七頁，共四十一頁，2022年，8月28日求組合權(quán)向量方法準則1決策準則2方案1方案2準則s方案n2層對1層:W(2)

歸一化3層對2層:W1(3),W2(3)……Wn(3)

→矩陣

X(3)則:3層對1層組合權(quán)向量為

W(3)=X(3)W(2)準則方案準則對決策方案對決策第十八頁，共四十一頁，2022年，8月28日組合一致性檢驗下層一致性指標一致性指標CI=(-n)/(n-1)隨機一致性指標RI表一致性比率CR=CI/RI2層對1層:CR(2)

=CI(2)

/RI(2)

3層對2層:CI1(3),CI2(3),…,CIn(3);

RI1(3),RI2(3),…,RIn(3)令:CI(3)=(CI1(3),CI2(3),…,CIn(3))W(2)RI(3)=(RI1(3),RI2(3),…,RIn(3))W(2)一致性比率CR(3)=CR(2)+(CI(3)/RI(3))一致性檢驗CR(3)<0.1第i層權(quán)重向量：加權(quán)平均組合一致性比率：CRi+1——兩層相加第i+1層對i－1層的一致指標CIi+1和RIi+1第十九頁，共四十一頁，2022年，8月28日模型一

景點旅游吃住費用交通P1P2P3兩兩比較矩陣第二十頁，共四十一頁，2022年，8月28日特征值特征向量λ=3.002，W1=[0.60260.08230.3150]λ=3.080，W2=[0.07020.37070.5590]λ=3.094，W3=[0.09890.36430.5368]λ=3.065，W4=[0.27900.64910.0719]λ=4.2137,WA=[0.49690.25130.13860.1132]組合權(quán)向量：W(3)=(W1,W2，W3，W4)W=W(3)W(2)W=[0.36240.25800.3796]Tl02.mMatlab計算第二十一頁，共四十一頁，2022年，8月28日一致性檢驗：CI1=0.002/2=0.001;CI2=0.04;CI3=0.047;CI4=0.0325CR1=0.001/0.58=0.0017;CR2=0.069;CR3=0.081;CR4=0.056;CIA=0.0155/3=0.0712；CRA=0.0712/0.9=0.0792未通過一致性檢驗相對一致性指標均<0.1，通過一致性檢驗。組合一致性：CI(3)=(CI1(3),CI2(3),…,CIn(3))W(2)=0.0208RI(3)=(RI1(3),RI2(3),…,RIn(3))W(2)=0.0358一致性比率CR(3)=CR(2)+(CI(3)/RI(3))=0.1150>0.1另：A=[1234;1/2122;1/31/211;1/41/211];第二十二頁，共四十一頁，2022年，8月28日答案組合權(quán)向量W(3)=[.3617,.2538,.3845]TA、B、C三個旅游點相對旅游目標來說綜合打分結(jié)果是：

P3點為首選，P1次之，P2點應予以淘汰。MathematicModeling第二十三頁，共四十一頁，2022年，8月28日小結(jié):建立層次結(jié)構(gòu)用比例尺度構(gòu)造對比矩陣

A=(aij)n×n計算權(quán)向量(特征向量法),

,(w1,w2,……,wn)

并做一致性檢驗

CI=(-n)/(n-1),RI,CR=CI/RI<0.1計算組合權(quán)向量,W(3)=(W1(3),W2(3)……Wn(3))W(2)

做組合一致性檢驗

CR(3)=CR(2)+(CI(3)/RI(3))決策準則1決策目標準則2子準則層方案1方案2第二十四頁，共四十一頁，2022年，8月28日3、模型二足球隊實力排序世界杯——6月12日九八：三十二只勁旅逐鹿法蘭西球賽的勝?。簩嵙?、運氣、發(fā)揮……英格蘭與阿根廷的相遇讓人惋惜上屆冠軍巴西與無冕之王荷蘭的比賽被稱為提前上演的冠亞軍決賽同為戰(zhàn)平的比利時和智利命運卻不同···········有人認為：偶然性是足球更具魅力社會學、心理學→不討論實力水平→排序第二十五頁，共四十一頁，2022年，8月28日應用層次分析法建立層次結(jié)構(gòu)：兩層→只在一層比較構(gòu)造對比矩陣：64場比賽結(jié)果A=(aij)32×32aij為球隊Ti與球隊Tj的實力標尺（i、j=1，2……32分別代表巴西、英格蘭········）則：aij0aji=1/aij（aij≠0）aij=1aij=0（Ti與Tj成績殘缺）層次分析法理論第二十六頁，共四十一頁，2022年，8月28日構(gòu)造？令：Ti與Tj戰(zhàn)平Ti靠點球大戰(zhàn)戰(zhàn)勝TjTi靠金球戰(zhàn)勝TjTi九十分鐘比賽中凈勝Tj隊k球（1k6）Ti凈勝Tj隊6球以上1同等3稍強5強7很強9絕對強殘缺判斷矩陣：層次分析法理論第二十七頁，共四十一頁，2022年，8月28日求解：主特征根、主特征向量matlab得：一致性檢驗一致性指標通過檢驗第二十八頁，共四十一頁，2022年，8月28日結(jié)果分析計算結(jié)果實力排序：法國巴西

挪威意大利丹麥摩洛哥巴拉圭尼日利亞西班牙克羅地亞阿根廷蘇格蘭荷蘭智利南非保加利亞沙特奧地利喀麥隆羅馬尼亞比利時英格蘭牙買加德國墨西哥日本南斯拉夫哥倫比亞韓國突尼斯伊朗美國國際足聯(lián)的排序法國巴西克羅地亞荷蘭阿根廷意大利德國丹麥英格蘭南斯拉夫羅馬尼亞尼日利亞墨西哥巴拉圭挪威智利西班牙摩洛哥比利時伊朗哥倫比亞牙買加奧地利南非喀麥隆突尼斯蘇格蘭沙特保加利亞韓國日本美國挪威：戰(zhàn)勝實力強勁的巴西，與意大利戰(zhàn)平伊朗：被認為是表現(xiàn)最好的亞洲隊，但輸給德國、南斯拉夫，以小比分贏美國應對排名影響不大亞洲隊？第二十九頁，共四十一頁，2022年，8月28日關(guān)于中國足球········第三十頁，共四十一頁，2022年，8月28日二、公平的席位分配問題提出：分配代表席位比例加慣例某校甲系乙系丙系共200人100604020席1064調(diào)整1036334人數(shù)比例51.331.51720席實際分配21席實際分配10.36.33.4106410.8156.6153.571173公平席位分配第三十一頁，共四十一頁，2022年，8月28日原因20個,丙多占0.621個,不充分的席位都在增加問題:分配不公某校甲系乙系丙系共200人1036334人數(shù)比例51.331.51720席10.36.33.4實際分配106421席10.8156.6153.57實際分配1173公平席位分配第三十二頁，共四十一頁，2022年，8月28日模型構(gòu)造符號假設不公平例：120:10100:10→2另：1020:101000:10→2改進1、衡量公平分配席位的指標←確立兩方：甲A乙B人數(shù)：p1p2席位：n1n2每席代表人數(shù)：p1/n1?p2/

n2程度絕對不公平值公平席位分配第三十三頁，共四十一頁，2022年，8月28日

改進對A相對不公平值對B例：120:10100:10→2→0.2另：1020:101000:10→2→0.02目標：rA,rB

盡量小絕對不公平值基數(shù)公平席位分配第三十四頁，共四十一頁，2022年，8月28日假設A,B占有n1,n2

席→加1席不妨設p1/n1>p2/n2←代表指數(shù)則

p1/(n1+1)>p2/n2--Ap1/(n1+1)<p2/n2

對B不公平值(相對)rB(n1+1,n2)=-12、確定分配方案公平席位分配

p1/n1>p2/(n2+1)

對A

不公平值(相對)rA(n1,n2+1)=-1第三十五頁，共四十一頁，2022年，8月28日

比較不公平值(相對)對BrB(n1+1,n2)=-1對ArA(n1,n2+1)=-1?小判別法：Q值法?小條件1與此式等價推廣公平席位分配?大第三十六頁，共四十一頁，2022年，8月28日模型求解：各系人數(shù)：甲103、乙63、丙34分3席：n1=1n2=1n3=1應用Q值法分4、5、······、18席

19席：n1=10n2=6n3=3第20席：Q1=1032/(10×11)=96.4Q2=632/(6×7)=94.5Q3=342/(3×4)=96.3則分配：n1=11n2=6n3=3第21席：Q1=80.4Q2=94.5Q3=96.3則分配：n1=11n2=6n3=4應用Q值法?公平n1=10n2=6n3=4公平席位分配第三十七頁，共四十一頁，2022年，8月28日進一步的討論Q值方法比“比例加慣例”方法更公平嗎？席位分配的理想化準則已知:m方人數(shù)分別為