2022年暑假初升高數(shù)學(xué)第2講：集合的表示方法（學(xué)生版）

2022年暑假初升高數(shù)學(xué)第2講:集合的表示

方法

學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)

1.掌握集合的兩種表示方法.（重1借.助空集，區(qū)間的概念，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的素

點(diǎn)）養(yǎng).

2.掌握區(qū)間的概念及表示方2.通過學(xué)習(xí)集合的兩種表示方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)

法.（重點(diǎn)）運(yùn)算的素養(yǎng).

」新知皿探二

i.集合的表示方法

（1）列舉法：把集合中的元素出來（相鄰元素之間用逗號(hào)分隔），并寫

在大括號(hào)內(nèi)，以此來表示集合的方法叫做列舉法.

思考1：觀察下列集合：

（1）中國古代四大發(fā)明組成的集合；

（2）20的所有正因數(shù)組成的集合.

問題1：上述兩個(gè)集合中的元素能一一列舉出來嗎？

提示：能.（1）中的元素為：造紙術(shù)、印刷術(shù)、指南針、火藥；（2）中的元素

為:1,2,4,5,10,20.

問題2：如何表示上述兩個(gè)集合？

提示：用列舉法表示.

（2）描述法：一般地，如果屬于集合A的任意一個(gè)元素x都具有性質(zhì)p（x）,而

不屬于集合A的元素都不具有這個(gè)性質(zhì)，則性質(zhì)p（?稱為集合A的一個(gè)特征性

質(zhì).此時(shí)，集合A可以用它的特征性質(zhì)p（x）表示為12W1.這種表示集合的方

法，稱為特征性質(zhì)描述法，簡稱為描述法.

思考2：觀察下列集合：

（1）不等式x-223的解集；

（2）函數(shù)y=f—1的圖像上的所有點(diǎn).

問題1：這兩個(gè)集合能用列舉法表示嗎？

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提ZF：不能.

問題2：如何表示這兩個(gè)集合？

提ZF：利用描述法.

2.區(qū)間的概念

設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且aVb：

(1)集合IxlaWxW6可簡寫為與，山,并稱為閉區(qū)間；

⑵集合[xkz<xV(可簡寫為(a,b),并稱為開區(qū)間；

(3)集合{x|aW九V/?}可簡寫為&3，集合{x|“V九W/?}可簡寫為④_0,并都

稱為半開半閉區(qū)間；

(4)用“+8”表示正無窮大,用“一8”表示負(fù)無窮大,實(shí)數(shù)集R可以用

區(qū)間表示為(一8,十8).

(5)滿足不等式x>a和xWb,x<Z?的實(shí)數(shù)x的集

合用區(qū)間分別表示為及，+8),3，+8),(—8,(—8,b).

1.下列判斷錯(cuò)誤的是()

A.方程r=9的解集可以用列舉法表示，也可以用描述法表示

B.不大于2020的自然數(shù)構(gòu)成的集合是無限集

C.集合A=x+=0是空集

D.[xIA2=0}={0}

2.把集合{期?—3x+2=0}用列舉法表示為()

A.{x=l,尤=2}B.{x|x=l,x=2}

C.{1—3x+2=0}D.{1,2}

3.用區(qū)間表示下列數(shù)集.

(l){4x22}=；(2){x|3VxW4}=.

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4.用描述法表示下列集合：

(1)正偶數(shù)集；

(2)平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸上的點(diǎn)組成的集合.

合作探究。提素養(yǎng)

HEZUOTANJIU丁ISUYANG

4聲型1用列舉法表示集合

【例1】(1)若集合A={(1,2),(3,4)},則集合A中元素的個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

(2)用列舉法表示下列集合.

①不大于10的非負(fù)偶數(shù)組成的集合；

②方程N(yùn)=x的所有實(shí)數(shù)解組成的集合；

③直線y=2x+1與y軸的交點(diǎn)所組成的集合；

x+y=1,

④方程組,的解.

X—y=-1

規(guī)律方法

用列舉法表示集合的步驟

(1)求出集合的元素；

(2)把元素一一列舉出來，且相同元素只能列舉一次;

(3)用大括號(hào)括起來.

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1.已知集合4={—2,—1,0,1,2,3},對(duì)任意有同68,且8中只有4

個(gè)元素，求集合B.

立型2用描述法表示集合

[例2]試分別用列舉法和描述法表示下列集合：

(1)方程/-2=0的所有實(shí)數(shù)根組成的集合；

⑵由大于10小于20的所有整數(shù)組成的集合.

?律方法

集合中的元素具有無序性、互異性，所以用列舉法表示集合時(shí)不必考慮元素

的順序，且元素不能重復(fù)，元素與元素之間要用“，”隔開；用描述法表示集合

時(shí)，要注意代表元素是什么，從而理解集合的含義，區(qū)分兩集合是不是相等的集

合.

Q跟蹤訓(xùn)練

2.用描述法表示下列集合：

(1)方程f+V—?+Gy+NnO的解集；

(2)二次函數(shù)—10圖像上的所有點(diǎn)組成的集合.

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類型3/集合的表示法的應(yīng)用

角度一方程、不等式問題

【例3】若集合A=｛x|o?+ax—1=0｝只有一個(gè)元素，則。=()

A.-4B.OC.4D.0或一4

?律方法

在集合的表示方法中，經(jīng)常利用核心素養(yǎng)中的邏輯推理，通過對(duì)元素個(gè)數(shù)與

特性的驗(yàn)證分析，探索參數(shù)的取值范圍.

軟跟蹤訓(xùn)氟

3.若集合人=3加+奴+1=0,xGR｝不含有任何元素，則實(shí)數(shù)。的取值

范圍是.

角度二對(duì)參數(shù)分類討論問題

【例4】已知集合a^R｝.

(1)若A中有且只有一個(gè)元素，求a的取值集合.

(2)若A中至多有一個(gè)元素，求。的取值范圍.

規(guī)律方法

識(shí)別集合含義的兩個(gè)步驟

(1)一看代表元素：例如｛x|p(x)｝表示數(shù)集，｛(x,y)|y=p(x)｝表示點(diǎn)集.

(2)二看條件：即看代表元素滿足什么條件(公共特性).

提醒：一般地，集合｛刈⑶=0｝表示方程段)=0的解集；，｛刈口)>0｝表示不

等式,兀勸>0的解集；，｛x[y=*x)｝表示y="x)中x的取值的集合；，(y|y=/(x)｝表

示y=/(x)中y的取值的集合.

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領(lǐng)遇奧0糠

4.若A={x|af+2x+l=0,a￡R}=0,求a的取值范圍.

6課堂gZ]

1.。與{0}的區(qū)別

(1)0是不含任何元素的集合；

(2){0}是含有一個(gè)元素的集合.

2.在用列舉法表示集合時(shí)應(yīng)注意：

(1)元素間用分隔號(hào)“，”；

(2)元素不重復(fù)；

(3)元素?zé)o順序；

(4)列舉法可表示有限集，也可以表示無限集，若元素個(gè)數(shù)比較少用列舉法

比較簡單；若集合中的元素較多或無限，但出現(xiàn)一定的規(guī)律性，在不發(fā)生誤解的

情況下，也可以用列舉法表示.

3.在用描述法表示集合時(shí)應(yīng)注意：

(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是數(shù)、還是有序?qū)崝?shù)對(duì)(點(diǎn))、

還是集合或其他形式；

(2)(元素具有怎樣的屬性)當(dāng)題目中用了其他字母來描述元素所具有的屬性

時(shí)，要去偽存真，不能被表面的字母形式所迷惑.

4.關(guān)于無窮大的兩點(diǎn)說明

(1)8是一個(gè)符號(hào)，而不是一個(gè)數(shù)；

(2)以“一8”或“十8”為區(qū)間的一端時(shí)，這一端必須用小括號(hào).

當(dāng)堂達(dá)標(biāo)。曲5H基

DAZGTAZGDABIACGUSHUANCJI

1.下列說法正確的是()

A.0￡0B.。={0}

C.。中元素的個(gè)數(shù)為0D.。沒有子集

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2.已知集合4={0,1,2},則集合8={x-y|xeA,yCA}中元素的個(gè)數(shù)是()

A.1B.3

C.5