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文檔簡(jiǎn)介
21.1一元二次方程教學(xué)目標(biāo);知識(shí)與技能;1.通過(guò)類(lèi)比一元一次方程,了解一元二次方程的概念及一般式ax2+bx+c=0(a≠0),分清二次項(xiàng)及其系數(shù)、一次項(xiàng)及其系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)等概念.2.了解一元二次方程的解的概念,會(huì)檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的解.過(guò)程與方法;通過(guò)豐富的實(shí)例,列出一元二次方程,讓學(xué)生體會(huì)一元二次方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型,培養(yǎng)學(xué)生初步形成模型思想,增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)。情感態(tài)度與價(jià)值觀;使學(xué)生經(jīng)歷類(lèi)比一元一次方程得到一元二次方程概念的過(guò)程,減少學(xué)生對(duì)新知識(shí)的陌生感,提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。重點(diǎn);通過(guò)類(lèi)比一元一次方程,了解一元二次方程的概念及一般式ax2+bx+c=0(a≠0)和一元二次方程的解等概念,并能用這些概念解決簡(jiǎn)單問(wèn)題.難點(diǎn);一元二次方程及其二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的識(shí)別.方法;探索歸納課型;新授課一、回顧舊知,啟發(fā)思維1.什么是方程?你能舉一個(gè)方程的例子嗎?2.下列哪些方程是一元一次方程?(1)2x-1;(2)mx+n=0;(3)eq\f(1,x)+1=0;(4)x2=1.3.什么是“元”?什么是“次”二、創(chuàng)設(shè)情境,導(dǎo)入新課師出示問(wèn)題1:如圖,有一塊矩形鐵皮,長(zhǎng)100cm,寬50cm,在它的四角各切去一個(gè)同樣的正方形,然后將四周突出部分折起,就能制作一個(gè)無(wú)蓋方盒,如果要制作的無(wú)蓋方盒的底面積為3600cm,那么鐵皮各角應(yīng)切去多大的正方形?設(shè)切去的正方形的邊長(zhǎng)為xcm,則盒底的長(zhǎng)為(100-2x)cm.根據(jù)方盒的底面積為3600cm2,得(100-2x)(50-2x)=3600.整理,得4x2-300x+1400=0.化簡(jiǎn),得X2-75x+350=0.師出示問(wèn)題2:要組織一次排球邀請(qǐng)賽,參賽的每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間都要比賽一場(chǎng).根據(jù)場(chǎng)地和時(shí)間等條件,賽程計(jì)劃安排7天,每天安排4場(chǎng)比賽,比賽組織者應(yīng)邀請(qǐng)多少個(gè)隊(duì)參賽?全部比賽的場(chǎng)數(shù)為4×7=28.設(shè)應(yīng)邀請(qǐng)x個(gè)隊(duì)參賽,每個(gè)隊(duì)要與其他(X-1)個(gè)隊(duì)各賽一場(chǎng),因?yàn)榧钻?duì)對(duì)乙隊(duì)的比賽和乙隊(duì)對(duì)甲隊(duì)的比賽是同一場(chǎng)比賽,所以全部比賽共x(x-1)場(chǎng),列方程x(x-1)=28整理,得x2-X=28化簡(jiǎn),得X2-X=56師生觀察,討論,交流,然后歸納一元二次方程的概念.①一元二次方程:只含有1個(gè)未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2,這樣的整式方程,叫做一元二次方程.②一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0),其中ax2是二次項(xiàng),a是二次項(xiàng)系數(shù);bx是一次項(xiàng),b是一次項(xiàng)系數(shù);c是常數(shù)項(xiàng).提出問(wèn)題:一元二次方程的一般形式有什么特點(diǎn)?等號(hào)的左、右分別是什么?為什么要限制a≠0,b,c可以為0嗎?2x2-x+1=0的一次項(xiàng)系數(shù)是1嗎?為什么?③一元二次方程的解(根):使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解(根).師生總結(jié):判斷一個(gè)數(shù)是否為方程的解的方法,可以將這個(gè)數(shù)代入方程,判斷方程左、右兩邊的值是否相等.三、例題精講教師出示例1在下列方程中,屬于一元二次方程的是______.(1)4x2=81;(2)2x2-1=3y;(3)eq\f(1,x2)+eq\f(1,x)=2;(4)2x2-2x(x+7)=0.師生共同完成,解題過(guò)程中明確判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程的依據(jù):(1)整式方程;(2)只含有一個(gè)未知數(shù);(3)含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2.注意有些方程化簡(jiǎn)前含有二次項(xiàng),但是化簡(jiǎn)后二次項(xiàng)系數(shù)為0,這樣的方程不是一元二次方程.例2課本第3頁(yè)例題.師生共同完成,可以采用學(xué)生口述,教師板書(shū)的方法。四、課堂練習(xí)1.若(a-1)x2+3ax-1=0是關(guān)于x的一元二次方程,那么a的取值范圍是______.2.將下列一元二次方程化為一般形式,并分別指出它們的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).(1)4x2=81;(2)(3x-2)(x+1)=8x-3.3.教材第4頁(yè)練習(xí)第2題.4.若-4是關(guān)于x的一元二次方程2x2+7x-k=0的一個(gè)根,則k的值為_(kāi)_____.答案:≠1;2.略;3.略;=4.學(xué)生獨(dú)立完成,全班交流。五、小結(jié)與作業(yè)小結(jié);我們學(xué)習(xí)了一元二次方程的哪些知識(shí)?一元二次方程的一般形式是什么?一般形式中有什么限制?你能解一元二次方程嗎?作業(yè);教材第4頁(yè)習(xí)題第1~7題板書(shū)設(shè)計(jì);一元二次方程的定義;只含有1個(gè)未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2,這樣的整式方程,叫做一元二次方程.一元二次方程的解(根):使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解(根)例1在下列方程中,屬于一元二次方程的是______.(1)4x2=81;(2)2x2-1=3y;(3)eq\f(1,x2)+eq\f(1,x)=2;(4)2x2-2x(x+7)=0.解;略課后反思:.分布有什么特點(diǎn)?與線段AB有什么關(guān)系?為什么?(3)作圓,使該圓經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)A,B,C三點(diǎn)(其中A,B,C三點(diǎn)不在同一直線上),你是如何做的?你能作出幾個(gè)這樣的圓?(老師在黑板上演示)(1)無(wú)數(shù)多個(gè)圓,如圖(1)所示.(2)連接A,B,作AB的垂直平分線,則垂直平分線上的點(diǎn)到A,B的距離相等的都滿足條件,作出無(wú)數(shù)個(gè).其圓心分布在AB的中垂線上,與線段AB互相垂直,如圖(2)所示.(3)作法:①連接AB,BC;②分別作線段AB,BC的中垂線DE和FG,DE與FG相交于點(diǎn)O;③以O(shè)為圓心,以O(shè)A為半徑作圓,⊙O就是所要求作的圓,如圖(3)所示.在上面的作圖過(guò)程中,因?yàn)橹本€DE與FG只有一個(gè)交點(diǎn)O,并且點(diǎn)O到A,B,C三個(gè)點(diǎn)的距離相等(中垂線上的任一點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等),所以經(jīng)過(guò)A,B,C三點(diǎn)可以作一個(gè)圓,并且只能作一個(gè)圓.即不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.也就是,經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)可以作一個(gè)圓,這個(gè)圓叫做三角形的外接圓.外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn),叫做這個(gè)三角形的外心.下面我們來(lái)證明:經(jīng)過(guò)同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)不能作出一個(gè)圓.證明:如圖,假設(shè)過(guò)同一直線l上的A,B,C三點(diǎn)可以作一個(gè)圓,設(shè)這個(gè)圓的圓心為P,那么點(diǎn)P既在線段AB的垂直平分線l1,又在線段BC的垂直平分線l2,即點(diǎn)P為l1與l2交點(diǎn),而l1⊥l,l2⊥l,這與我們以前所學(xué)的“過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直”矛盾.所以,過(guò)同一直線上的三點(diǎn)不能作圓.上面的證明方法與我們前面所學(xué)的證明方法思路不同,它不是直接從命題的已知得出結(jié)論,而是假設(shè)命題的結(jié)論不成立(即假設(shè)過(guò)同一直線上的三點(diǎn)可以作一個(gè)圓),由此經(jīng)過(guò)推理得出矛盾,由矛盾斷定所作假設(shè)不正確,從而得到命題成立.這種證明方法叫做反證法.在某些情景下,反證法是很有效的證明方法.例某地出土一明代殘破圓形瓷盤(pán),如圖所示.為復(fù)制該瓷盤(pán)確定其圓心和半徑,請(qǐng)?jiān)趫D中用直尺和圓規(guī)畫(huà)出瓷盤(pán)的圓心.分析:圓心是一個(gè)點(diǎn),一個(gè)點(diǎn)可以由兩條直線交點(diǎn)而成,因此,只要在殘缺的圓盤(pán)上任取兩條線段,作線段的中垂線,交點(diǎn)就是我們所求的圓心.作法:(1)在殘缺的圓盤(pán)上任取三點(diǎn)連接成兩條線段;(2)作兩線段的中垂線,相交于一點(diǎn)O.則O就為所求的圓心.圖略.三、鞏固練習(xí)教材第95頁(yè)練習(xí)1,2,3.四、課堂小結(jié)(學(xué)生總結(jié),老師點(diǎn)評(píng))本節(jié)課應(yīng)掌握:1.點(diǎn)和圓的位置關(guān)系:設(shè)⊙O的半徑為r,點(diǎn)P到圓心的距離為d,則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(點(diǎn)P在圓外?d>r;,點(diǎn)P在圓上?d=r;,點(diǎn)P在圓內(nèi)?d<r.))2.不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.3.三角形外接圓和三角形外心的概念.4.反證法的證明思想.5.以上內(nèi)容的應(yīng)用.五、布置作業(yè)1.教材第101,102頁(yè)習(xí)題第1,7,8題.2.完成《探究在線·高效課堂》相關(guān)練習(xí).24.直線和圓的位置關(guān)系第1課時(shí)直線和圓的位置關(guān)系(1)了解直線和圓的位置關(guān)系的有關(guān)概念.(2)理解:設(shè)⊙O的半徑為r,直線l到圓心O的距離為d,則有:直線l和⊙O相交?d<r;直線l和⊙O相切?d=r;直線l和⊙O相離?d>r.重點(diǎn)理解直線和圓的三種位置關(guān)系.難點(diǎn)由上節(jié)課點(diǎn)和圓的位置關(guān)系遷移并導(dǎo)出直線和圓的三種位置關(guān)系.一、引入新課(老師口問(wèn),學(xué)生口答,老師并在黑板上板書(shū))同學(xué)們,我們前一節(jié)課已經(jīng)學(xué)到點(diǎn)和圓的位置關(guān)系.設(shè)⊙O的半徑為r,點(diǎn)P到圓心的距離OP=d.則有:點(diǎn)P在圓外?d>r,如圖(a)所示;點(diǎn)P在圓上?d=r,如圖(b)所示;點(diǎn)P在圓內(nèi)?d<r,如圖(c)所示.二、探索新知前面我們講了點(diǎn)和圓有這樣的位置關(guān)系,如果這個(gè)點(diǎn)P改為直線l呢?它是否和圓還有這三種關(guān)系呢?(學(xué)生活動(dòng))固定一個(gè)圓,把三角尺的邊緣移動(dòng),如果把這個(gè)邊緣看成一條直線,那么這條直線和圓有幾種位置關(guān)系?(老師口問(wèn),學(xué)生口答)直線和圓有三種位置關(guān)系:相交、相切和相離.(老師板書(shū))如圖所示:如圖(a),直線l和圓有兩個(gè)公共點(diǎn),這時(shí)我們就說(shuō)這條直線和圓相交,這條直線叫做圓的割線.如圖(b),直線l和圓有一個(gè)公共點(diǎn),這時(shí)我們說(shuō)這條直線和圓相切,這條直線叫做圓的切線,這個(gè)點(diǎn)叫做切點(diǎn).如圖(c),直線l和圓沒(méi)有公共點(diǎn),這時(shí)我們說(shuō)這條直線和圓相離.我們知道,點(diǎn)到直線l的距離是過(guò)一點(diǎn)向直線作垂線,該點(diǎn)到垂足D的距離,按照這個(gè)定義,作出圓心O到l的距離的三種情況.(學(xué)生分組活動(dòng)):設(shè)⊙O的半徑為r,圓心到直線l的距離為d,請(qǐng)模仿點(diǎn)和圓的位置關(guān)系,總結(jié)出什么結(jié)論?老師點(diǎn)評(píng):直線l和⊙O相交?d<r,如圖(a)所示;直線l和⊙O相切?d=r,如圖(b)所示;直線l和⊙O相離?d>r,如圖(c)所示.例如圖,已知Rt△ABC的斜邊AB=8cm,AC=4cm.(1)以點(diǎn)C為圓心作圓,當(dāng)半徑為多長(zhǎng)時(shí),直線AB與⊙C相切?(2)以點(diǎn)C為圓心,分別以2cm和4cm為半徑作兩個(gè)圓,這兩個(gè)圓與直線AB分別有怎樣的位置關(guān)系?解:(1)如圖,過(guò)C作CD⊥AB,垂足為D.在Rt△ABC中,BC=eq\r(82-42)=4eq\r(3).∴CD=eq\f(4\r(3)×4,8)=2eq\r(3),因此,當(dāng)半徑為2eq\r(3)cm時(shí),AB與⊙C相切.(2)由(1)可知,圓心C到直線AB的距離d=2eq\r(3)cm,所以當(dāng)r=2時(shí),d>r,⊙C與直線AB相離;當(dāng)r=4時(shí),d<r,⊙C與直線AB相交.三、鞏固練習(xí)教材第96頁(yè)練習(xí).四、課堂小結(jié)(學(xué)生歸納,總結(jié)發(fā)言,老師點(diǎn)評(píng))本節(jié)課應(yīng)掌握:1.直線和圓相交(割線)、直線和圓相切(切線、切點(diǎn))、直線和圓相離等概念.2.設(shè)⊙O的半徑為r,直線l到圓心O的距離為d,則有:直線l和⊙O相交?d<r;直線l和⊙O相切?d=r;直線l和⊙O相離?d>r.五、布置作業(yè)1.教材第101頁(yè)習(xí)題第2題.2.完成《探究在線·高效課堂》相關(guān)練習(xí).第2課時(shí)切線的判定和性質(zhì)1.能用“數(shù)量關(guān)系”確定“位置關(guān)系”的方法推導(dǎo)切線的判定定理,能判定一條直線是否為圓的切線;能從逆向思維的角度理解切線的性質(zhì)定理.2.掌握切線的判定定理和性質(zhì)定理,并能運(yùn)用圓的切線的判定和性質(zhì)解決相關(guān)的計(jì)算與證明問(wèn)題.重點(diǎn)探索圓的切線的判定和性質(zhì),并能運(yùn)用它們解決與圓的切線相關(guān)的計(jì)算和證明等問(wèn)題.難點(diǎn)探索圓的切線的判定方法和解決相關(guān)問(wèn)題時(shí)怎樣添加輔助線.一、引入新課要求學(xué)生先在紙上畫(huà)⊙O和圓上一點(diǎn)A,然后思考:根據(jù)所學(xué)知識(shí),如何畫(huà)出這個(gè)圓過(guò)點(diǎn)A的一條切線?能畫(huà)幾條?有幾種畫(huà)法?你怎么確定你所畫(huà)的這條直線是⊙O的切線?二、探索新知(一)探索切線的判定定理1.如圖,在⊙O中,經(jīng)過(guò)半徑OA的外端點(diǎn)A作直線l⊥OA,則圓心O到直線l的距離是多少?2.思考:如果圓心到直線的距離等于半徑,那么直線和圓有何位置關(guān)系呢?你能發(fā)現(xiàn)此問(wèn)題和上節(jié)課所學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系嗎?3.教師引導(dǎo)學(xué)生探索得出切線的判定定理的內(nèi)容.要求學(xué)生嘗試用文字語(yǔ)言和幾何語(yǔ)言描述:文字語(yǔ)言描述:經(jīng)過(guò)______并且______的直線是圓的切線.幾何語(yǔ)言描述:如上圖,∵OC為半徑,且OC⊥AB,∴AB與⊙O相切于點(diǎn)C.引導(dǎo)學(xué)生觀察下面兩個(gè)圖形,發(fā)現(xiàn)直線l都不是圓的切線.所以,在理解切線的判定定理時(shí),應(yīng)注意兩個(gè)條件“經(jīng)過(guò)半徑外端”及“垂直于半徑”缺一不可.4.講解教材第98頁(yè)例1.請(qǐng)學(xué)生自己先尋找解題思路,教師引導(dǎo),然后小結(jié)解題基本模式.(二)探索切線的性質(zhì)定理1.教師引導(dǎo)學(xué)生思考:如圖,如果直線l是⊙O的切線,切點(diǎn)為A,那么半徑OA與直線l是不是一定垂直呢?教師提示學(xué)生:直接證明切線的性質(zhì)定理比較困難,可用反證法.假設(shè)半徑OA與l不垂直,如圖,過(guò)點(diǎn)O作OM⊥l,垂足為M,根據(jù)垂線段最短的性質(zhì)有______<______,∴直線l與⊙O______.這與已知直線l與⊙O相切矛盾,∴假設(shè)不正確.因此,半徑OA與直線l垂直.2.學(xué)生總結(jié)出切線的性質(zhì)定理:圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑.3.教師引導(dǎo)學(xué)生辨別切線的判定定理與性質(zhì)定理的區(qū)別與聯(lián)系.切線的判定定理是要在未知相切而要證明相切的情況下使用;切線的性質(zhì)定理是在已知相切而要推得一些其他的結(jié)論時(shí)使用.三、鞏固練習(xí)1.(1)下列直線是圓的切線的是()A.與圓有公共點(diǎn)的直線B.到圓心的距離等于半徑的直線C.垂直于圓的半徑的直線D.過(guò)圓的直徑外端點(diǎn)的直線(2)如圖,已知直線EF經(jīng)過(guò)⊙O上的點(diǎn)E,且OE=EF,若∠EOF=45°,則直線EF和⊙O的位置關(guān)系是______.第(2)題圖第(3)題圖(3)如圖,AB是⊙O的直徑,∠PAB=90°,連接PB交⊙O于點(diǎn)C,D是PA邊的中點(diǎn),連接CD.求證:CD是⊙O的切線.2、3見(jiàn)教材第98頁(yè)練習(xí)第1,2題.答案:1.(1)B;(2)相切;(3)提示:連接OC,OD;2、3.略.四、課堂小結(jié)1.知識(shí)總結(jié):兩個(gè)定理:切線的判定定理是______;切線的性質(zhì)定理是______.2.方法總結(jié):(1)證明切線的性質(zhì)定理所用的方法是反證法.(2)證明切線的方法:①當(dāng)直線和圓有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),把圓心和這個(gè)公共點(diǎn)連接起來(lái),然后證明直線垂直于這條半徑,簡(jiǎn)稱(chēng)“連半徑,證垂直”;②當(dāng)直線和圓的公共點(diǎn)沒(méi)有明確時(shí),可過(guò)圓心作直線的垂線,再證圓心到直線的距離等于半徑,簡(jiǎn)稱(chēng)“作垂直,證半徑”.(3)在運(yùn)用切線的性質(zhì)時(shí),連接圓心和切點(diǎn)是常作的輔助線,這樣可以產(chǎn)生半徑和垂直條件.五、布置作業(yè)1.教材第101頁(yè)習(xí)題第4~6題.2.完成《探究在線·高效課堂》相關(guān)練習(xí).第3課時(shí)切線長(zhǎng)定理及三角形的內(nèi)切圓了解切線長(zhǎng)的概念.理解切線長(zhǎng)定理,了解三角形的內(nèi)切圓和三角形的內(nèi)心的概念,熟練掌握它的應(yīng)用.復(fù)習(xí)圓與直線的位置關(guān)系和切線的判定定理、性質(zhì)定理知識(shí)遷移到切線長(zhǎng)的概念和切線長(zhǎng)定理,然后根據(jù)所學(xué)三角形角平分線的性質(zhì)給出三角形的內(nèi)切圓和三角形的內(nèi)心概念,最后應(yīng)用它們解決一些實(shí)際問(wèn)題.重點(diǎn)切線長(zhǎng)定理及其運(yùn)用.難點(diǎn)切線長(zhǎng)定理的導(dǎo)出及其證明和運(yùn)用切線長(zhǎng)定理解決一些實(shí)際問(wèn)題.一、引入新課1.已知△ABC,作三個(gè)內(nèi)角平分線,說(shuō)說(shuō)它具有什么性質(zhì)?2.點(diǎn)和圓有幾種位置關(guān)系?3.直線和圓有什么位置關(guān)系?切線的判定定理和性質(zhì)定理是什么?老師點(diǎn)評(píng):(1)在黑板上作出△ABC的三條角平分線,并口述其性質(zhì):①三條角平分線相交于一點(diǎn);②交點(diǎn)到三條邊的距離相等.(2)(口述)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有三種,點(diǎn)在圓內(nèi)?d<r;點(diǎn)在圓上?d=r;點(diǎn)在圓外?d>r.(3)(口述)直線和圓的位置關(guān)系同樣有三種:直線l和⊙O相交?d<r;直線l和⊙O相切?d=r;直線l和⊙O相離?d>r;切線的判定定理:經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于半徑的直線是圓的切線;切線的性質(zhì)定理:圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑.二、探索新知從上面的復(fù)習(xí),我們可以知道,過(guò)⊙O上任一點(diǎn)A都可以作一條切線,并且只有一條,根據(jù)下面提出的問(wèn)題操作思考并解決這個(gè)問(wèn)題.問(wèn)題:在你手中的紙上畫(huà)出⊙O,并畫(huà)出過(guò)A點(diǎn)的唯一切線PA,連接PO,沿著直線PO將紙對(duì)折,設(shè)圓上與點(diǎn)A重合的點(diǎn)為B,這時(shí),OB是⊙O的一條半徑嗎?PB是⊙O的切線嗎?利用圖形的軸對(duì)稱(chēng)性,說(shuō)明圓中的PA與PB,∠APO與∠BPO有什么關(guān)系?學(xué)生分組討論,老師抽取3~4位同學(xué)回答這個(gè)問(wèn)題.老師點(diǎn)評(píng):OB與OA重疊,OA是半徑,OB也就是半徑了.又因?yàn)镺B是半徑,PB為OB的外端,又根據(jù)折疊后的角不變,所以PB是⊙O的又一條切線,根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì),我們很容易得到PA=PB,∠APO=∠BPO.我們把PA或PB的長(zhǎng),即經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線,這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng),叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng).從上面的操作我們可以得到:從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線,它們的切線長(zhǎng)相等,這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角.下面,我們給予邏輯證明.例1如圖,已知PA,PB是⊙O的兩條切線.求證:PA=PB,∠OPA=∠OPB.證明:∵PA,PB是⊙O的兩條切線.∴OA⊥AP,OB⊥BP,又OA=OB,OP=OP,∴Rt△AOP≌Rt△BOP,∴PA=PB,∠OPA=∠OPB.因此,我們得到切線長(zhǎng)定理:從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線,它們的切線長(zhǎng)相等,這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角.我們剛才已經(jīng)復(fù)習(xí)了三角形的三條角平分線交于一點(diǎn),并且這個(gè)點(diǎn)到三條邊的距離相等.(同剛才畫(huà)的圖)設(shè)交點(diǎn)為I,那么I到AB,AC,BC的距離相等,如圖所示,因此以點(diǎn)I為圓心,點(diǎn)I到BC的距離ID為半徑作圓,則⊙I與△ABC的三條邊都相切.與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓,內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn),叫做三角形的內(nèi)心.例2如圖,已知⊙O是△ABC的內(nèi)切圓,切點(diǎn)為D,E,F(xiàn),如果AE=2,CD=1,BF=3,且△ABC的面積為6.求內(nèi)切圓的半徑r.分析:直接求內(nèi)切圓的半徑有困難,由于面積是已知的,因此要轉(zhuǎn)化為面積法來(lái)求,就需添加輔助線,如果連接AO,BO,CO,就可把三角形ABC分為三塊,那么問(wèn)題就可解決了.解:連接AO,BO,CO,∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓且D,E,F(xiàn)是切點(diǎn).∴AF=AE=2,BD=BF=3,CE=CD=1,∴AB=5,BC=4,AC=3,又∵S△ABC=6,∴eq\f(1,2)(4+5+3)r=6,∴r=1.答:所求的內(nèi)切圓的半徑為1.三、鞏固練習(xí)教材第100頁(yè)練習(xí).四、課堂小結(jié)(學(xué)生歸納,老師點(diǎn)評(píng))本節(jié)課應(yīng)掌握:1.圓的切線長(zhǎng)概念;2.切線長(zhǎng)定理;3.三角形的內(nèi)切圓及內(nèi)心的概念.五、布置作業(yè)1.教材第102頁(yè)習(xí)題綜合運(yùn)用11,12題.2.完成《探究在線·高效課堂》相關(guān)練習(xí).24.3正多邊形和圓了解正多邊形和圓的有關(guān)概念;理解并掌握正多邊形半徑和邊長(zhǎng)、邊心距、中心角之間的關(guān)系,會(huì)應(yīng)用多邊形和圓的有關(guān)知識(shí)畫(huà)多邊形.復(fù)習(xí)正多邊形概念,讓學(xué)生盡可能講出生活中的多邊形,以此為引題引入正多邊形和圓這一節(jié)的內(nèi)容.重點(diǎn)講清正多邊形和圓的關(guān)系,正多邊形半徑、中心角、弦心距、邊長(zhǎng)之間的關(guān)系.難點(diǎn)通過(guò)例題使學(xué)生理解正多邊形半徑、中心角、弦心距、邊長(zhǎng)之間的關(guān)系.一、引入新課請(qǐng)同學(xué)們口答下面兩個(gè)問(wèn)題.1.什么叫正多邊形?2.從你身邊舉出兩三個(gè)正多邊形的實(shí)例,正多邊形具有軸對(duì)稱(chēng)、中心對(duì)稱(chēng)嗎?其對(duì)稱(chēng)軸有幾條,對(duì)稱(chēng)中心是哪一點(diǎn)?老師點(diǎn)評(píng):1.各邊相等,各角也相等的多邊形是正多邊形.2.實(shí)例略.正多邊形是軸對(duì)稱(chēng)圖形,對(duì)稱(chēng)軸有很多條,但不一定是中心對(duì)稱(chēng)圖形,正三角形、正五邊形就不是中心對(duì)稱(chēng)圖形.二、探索新知如果我們以正多邊形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的交點(diǎn)作為圓心,以點(diǎn)到頂點(diǎn)的連線為半徑,能夠作一個(gè)圓,很明顯,這個(gè)正多邊形的各個(gè)頂點(diǎn)都在這個(gè)圓上,如圖,正六邊形ABCDEF,連接AD,CF交于一點(diǎn),以O(shè)為圓心,OA為半徑作圓,那么B,C,D,E,F(xiàn)肯定都在這個(gè)圓上.因此,正多邊形和圓的關(guān)系十分密切,只要把一個(gè)圓分成相等的一些弧,就可以作出這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形,這個(gè)圓就是這個(gè)正多邊形的外接圓.我們以圓內(nèi)接正六邊形為例證明.如圖所示的圓,把⊙O分成相等的6段弧,依次連接各分點(diǎn)得到六邊ABCDEF,下面證明,它是正六邊形.∵AB=BC=CD=DE=EF=AF,∴eq\o(AB,\s\up8(︵))=eq\o(BC,\s\up8(︵))=eq\o(CD,\s\up8(︵))=eq\o(DE,\s\up8(︵))=eq\o(EF,\s\up8(︵))=eq\o(AF,\s\up8(︵)),又∵∠A=eq\f(1,2)eq\o(BCF,\s\up8(︵))的度數(shù)=eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up8(︵))+eq\o(CD,\s\up8(︵))+eq\o(DE,\s\up8(︵))+eq\o(EF,\s\up8(︵)))的度數(shù)=2eq\o(BC,\s\up8(︵))的度數(shù),∠B=eq\f(1,2)eq\o(CDA,\s\up8(︵))的度數(shù)=eq\f(1,2)(eq\o(CD,\s\up8(︵))+eq\o(DE,\s\up8(︵))+eq\o(EF,\s\up8(︵))+eq\o(FA,\s\up8(︵)))的度數(shù)=2eq\o(CD,\s\up8(︵))的度數(shù),∴∠A=∠B,同理可證:∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=∠A,又六邊形ABCDEF的頂點(diǎn)都在⊙O上,∴根據(jù)正多邊形的定義,各邊相等、各角相等,六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形,⊙O是正六邊形ABCDEF的外接圓.為了今后學(xué)習(xí)和應(yīng)用的方便,我們把一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)多邊形的中心.外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角.中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.三、例題精講例1已知正六邊形ABCDEF,如圖所示,其外接圓的半徑是a,求正六邊形的周長(zhǎng)和面積.分析:要求正六邊形的周長(zhǎng),只要求AB的長(zhǎng),已知條件是外接圓半徑,因此邊長(zhǎng)應(yīng)與半徑掛上鉤,由此連接OA,過(guò)O點(diǎn)作OM⊥AB垂足為M,在Rt△AOM中便可求得AM,又應(yīng)用垂徑定理可求得AB的長(zhǎng).正六邊形的面積是由六塊正三角形面積組成的.解:如圖所示,由于ABCDEF是正六邊形,所以它的中心角等于eq\f(360°,6)=60°,△OBA是等邊三角形,從而正六邊形的邊長(zhǎng)等于它的半徑.因此,所求的正六邊形的周長(zhǎng)為6a.在Rt△OAM中,OA=a,AM=eq\f(1,2)AB=eq\f(1,2)a,利用勾股定理,可得邊心距OM=eq\r(a2-(\f(1,2)a)2)=eq\f(1,2)eq\r(3)a,∴所求正六邊形的面積=6×eq\f(1,2)×AB×OM=6×eq\f(1,2)×a×eq\f(\r(3),2)a=eq\f(3,2)eq\r(3)a2.現(xiàn)在我們利用正多邊形的概念和性質(zhì)來(lái)畫(huà)正多邊形.例2作邊長(zhǎng)為eq\r(2)cm的正方形.分析:首先應(yīng)明確邊長(zhǎng)為eq\r(2)cm的正方形的外接圓半徑為1cm,先作半徑為1cm的⊙O,再根據(jù)正多邊形的畫(huà)法畫(huà)出正方形即可.解:作法:(1)作半徑為1cm的⊙O;(2)過(guò)點(diǎn)O作直徑AC⊥BD;(3)順次連接AB,BC,CD,DA,則四邊形ABCD就是所求作的正方形,如圖所示.四、鞏固練習(xí)教材第108頁(yè)習(xí)題第1,2,3題.五、課堂小結(jié)(學(xué)生小結(jié),老師點(diǎn)評(píng))本節(jié)課應(yīng)掌握:1.正多邊形和圓的有關(guān)概念:正多邊形的中心,正多邊形的半徑,正多邊形的中心角,正多邊的邊心距.2.正多邊形的半徑、正多邊形的中心角、邊長(zhǎng)、正多邊形的邊心距之間的關(guān)系.3.畫(huà)正多邊形的方法.4.運(yùn)用以上的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題.六、布置作業(yè)1.教材第108-109頁(yè)習(xí)題第4,6,8題.2.完成《探究在線·高效課堂》相關(guān)練習(xí).24.4弧長(zhǎng)和扇形面積第1課時(shí)弧長(zhǎng)和扇形面積1.理解弧長(zhǎng)與圓周長(zhǎng)的關(guān)系,能用比例的方法推導(dǎo)弧長(zhǎng)公式,并能利用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行相關(guān)計(jì)算.2.類(lèi)比推導(dǎo)弧長(zhǎng)公式的方法推導(dǎo)扇形面積公式,并能利用扇形面積公式進(jìn)行相關(guān)計(jì)算.重點(diǎn)弧長(zhǎng)和扇形面積公式的推導(dǎo)過(guò)程以及公式的應(yīng)用.難點(diǎn)類(lèi)比弧長(zhǎng)公式的推導(dǎo)來(lái)獲得扇形面積公式的推導(dǎo)過(guò)程.一、引入新課這是章前圖中的車(chē)輪的一部分,如果一只螞蟻從點(diǎn)O出發(fā),爬到A處,再沿弧AB爬到B處,最后回到點(diǎn)O處,若車(chē)輪半徑OA長(zhǎng)60cm,∠AOB=108°,你能算出螞蟻所走的路程嗎?這就涉及到計(jì)算弧長(zhǎng)的問(wèn)題,也是本節(jié)課要研究的第一問(wèn)題.二、探索新知思考:1.弧是圓的一部分,想一想,如何計(jì)算圓周長(zhǎng)?2.圓周長(zhǎng)可以看作多少度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)?3.1°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是多少?2°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是多少?3°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是多少?n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)又是多少呢?4.推導(dǎo)出弧長(zhǎng)公式l=eq\f(nπR,180),強(qiáng)調(diào)n表示1°的圓心角的倍數(shù),n不帶單位,180也如此.5.對(duì)于公式l=eq\f(nπR,180),當(dāng)R一定時(shí),你能從函數(shù)的角度來(lái)理解弧長(zhǎng)l和圓心角n的關(guān)系嗎?(一)達(dá)標(biāo)檢測(cè)11.學(xué)生運(yùn)用公式計(jì)算活動(dòng)1中的問(wèn)題.2.解決教材第111頁(yè)的例1.3.完成教材第113頁(yè)的練習(xí)第1,2題.4.在半徑為12的⊙O中,60°圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是()A.6πB.4πC.2πD.π答案:(二)自主探究1.觀察問(wèn)題1中螞蟻所圍成的圖形是什么?請(qǐng)學(xué)生獨(dú)立閱讀教材第112頁(yè)第1自然段.2.我們知道弧是圓的一部分,所以我們把弧長(zhǎng)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓周長(zhǎng)的問(wèn)題來(lái)解決.那么扇形呢?你能類(lèi)比弧長(zhǎng)的推導(dǎo)方式求出扇形的面積公式嗎?3.比較弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式,請(qǐng)推導(dǎo)出扇形面積和對(duì)應(yīng)弧長(zhǎng)的關(guān)系.(三)反饋新知1.已知扇形的半徑為3cm,面積為3πcm2,則扇形的圓心角是______°,扇形的弧長(zhǎng)是______cm.(結(jié)果保留π)(答案:120,2π)2.師生共同完成教材第112頁(yè)例2.3.完成教材第113頁(yè)練習(xí)第3題.4.如圖,已知扇形的圓心角是直角,半徑是2,則圖中陰影部分的面積是______.(結(jié)果不計(jì)算近似值)(答案:π-2)5.方法小結(jié):?jiǎn)栴}1:求一個(gè)圖形的面積,而這個(gè)圖形是未知圖形時(shí),我們應(yīng)該把未知圖形化為什么圖形呢?問(wèn)題2:通過(guò)以前的學(xué)習(xí),我們又是通過(guò)什么方式把未知圖形化為已知圖形的呢?(四)達(dá)標(biāo)檢測(cè)21.120°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是12πcm,則此弧所在圓的半徑是______.2.如圖,在4×4的方格中(共有16個(gè)方格),每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形.O,A,B分別是小正方形的頂點(diǎn),則扇形OAB的弧長(zhǎng)等于______.(結(jié)果保留根號(hào)及π)3.如圖,矩形ABCD中,AB=1,AD=eq\r(2),以AD的長(zhǎng)為半徑的⊙A交BC邊于點(diǎn)E,則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_____.答案:cm;\r(2)π;\r(2)-eq\f(1,2)-eq\f(1,4)π.三、課堂小結(jié)1.弧長(zhǎng)公式是什么?扇形的面積公式呢?是怎樣推導(dǎo)出來(lái)的?如何理解這兩個(gè)公式?這兩個(gè)公式有什么作用?這兩個(gè)公式有什么聯(lián)系?2.在解決部分與整體關(guān)系的問(wèn)題時(shí),我們應(yīng)學(xué)會(huì)用什么方法去解決?3.解決不規(guī)則圖形的面積問(wèn)題時(shí),我們應(yīng)用什么數(shù)學(xué)思想去添加輔助線?四、布置作業(yè)1.教材第115-116頁(yè)習(xí)題第1題的(1),(2)題,第2~8題.2.完成《探究在線·高效課堂》相關(guān)練習(xí).第2課時(shí)圓錐的側(cè)面積和全面積了解圓錐母線的概念,理解圓錐側(cè)面積計(jì)算公式,理解圓錐全面積的計(jì)算方法,并會(huì)應(yīng)用公式解決問(wèn)題.通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境和復(fù)習(xí)扇形面積的計(jì)算方法探索圓錐側(cè)面積和全面積的計(jì)算公式以及應(yīng)用它解決現(xiàn)實(shí)生活中的一些實(shí)際問(wèn)題.重點(diǎn)圓錐側(cè)面積和全面積的計(jì)算公式.難點(diǎn)探索兩個(gè)公式的由來(lái).一、引入新課1.什么是n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)和扇形面積的計(jì)算公式,并請(qǐng)講講它們的異同點(diǎn).2.問(wèn)題1:一種太空囊的示意圖如圖所示,太空囊的外表面須作特別處理,以承受重返地球大氣層時(shí)與空氣摩擦后產(chǎn)生的高熱,那么該太空囊要接受防高熱處理的面積應(yīng)由幾部分組成的.老師點(diǎn)評(píng):(1)n°圓心角所對(duì)弧長(zhǎng):l=eq\f(nπR,180),S扇形=eq\f(nπR2,360),公式中沒(méi)有n°,而是n;弧長(zhǎng)公式中是R,分母是180;而扇形面積公式中是R2,分母是360,兩者要記清,不能混淆.(2)太空囊要接受熱處理的面積應(yīng)由三部分組成:圓錐的側(cè)面積,圓柱的側(cè)面積和底圓的面積.這三部分中,第二部分和第三部分我們已經(jīng)學(xué)過(guò),會(huì)求出其面積,但圓錐的側(cè)面積,到目前為止,如何求,我們是無(wú)能為力,下面我們來(lái)探究它.二、探索新知我們學(xué)過(guò)圓柱的側(cè)面積是沿著它的母線展開(kāi)成長(zhǎng)方形,同樣道理,我們也把連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓上任意一點(diǎn)的線段叫做圓錐的母線.(學(xué)生分組討論,提問(wèn)兩三位同學(xué))問(wèn)題2:與圓柱的側(cè)面積求法一樣,沿母錐一條母線將圓錐側(cè)面剪開(kāi)并展平,容易得到,圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形,設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l,底面圓的半徑為r,如圖所示,那么這個(gè)扇形的半徑為_(kāi)_____,扇形的弧長(zhǎng)為_(kāi)_____,因此圓錐的側(cè)面積為_(kāi)_____,圓錐的全面積為_(kāi)_____.老師點(diǎn)評(píng):很顯然,扇形的半徑就是圓錐的母線,扇形的弧長(zhǎng)就是圓錐底面圓的周長(zhǎng).因此,要求圓錐的側(cè)面積就是求展開(kāi)圖扇形面積S=eq\f(nπl(wèi)2,360),其中n可由2πr=eq\f(nπl(wèi),180)求得:n=eq\f(360r,l),∴扇形面積S=eq\f(\f(360r,l)πl(wèi)2,360)=πrl;全面積是由側(cè)面積和底面圓的面積組成的,所以全面積=πrl+πr2.三、例題精講例1圣誕節(jié)將近,某家商店正在制作圣誕節(jié)的圓錐形紙帽,已知紙帽的底面周長(zhǎng)為58cm,高為20cm,要制作20頂這樣的紙帽至少要用多少紙?(結(jié)果精確到cm2)分析:要計(jì)算制作20頂這樣的紙帽至少要用多少紙,只要計(jì)算紙帽的側(cè)面積即可.解:設(shè)紙帽的底面半徑為rcm,母線長(zhǎng)為lcm,則r=eq\f(58,2π),l=eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(58,2π)))\s\up12(2)+202)≈,S紙帽側(cè)=πrl≈eq\f(1,2)×58×=(cm2),638.87×20=(cm2),所以,至少需要cm2的紙.例2已知扇形的圓心角為120°,面積為300πcm2.(1)求扇形的弧長(zhǎng);(2)若將此扇形卷成一個(gè)圓錐,則這個(gè)圓錐的軸截面面積為多少?分析:(1)由S扇形=eq\f(nπR2,360)求出R,再代入l=eq\f(nπR,180)求得.(2)若將此扇形卷成一個(gè)圓錐,扇形的弧長(zhǎng)就是圓錐底面圓的周長(zhǎng),就可求圓的半徑,其截面是一個(gè)以直徑為底,圓錐母線為腰的等腰三角形.解:(1)如圖所示:∵300π=eq\f(120πR2,360),∴R=30,∴弧長(zhǎng)l=eq\f(120×π×30,180)=20π(cm).(2)如圖所示:∵20π=2πr,∴r=10,R=30,AD=eq\r(900-100)=20eq\r(2),∴S軸截面=eq\f(1,2)×BC×AD=eq\f(1,2)×2×10×20eq\r(2)=200eq\r(2)(cm2),因此,扇形的弧長(zhǎng)是20πcm,卷成圓錐的軸截面是200eq\r(2)cm2.四、鞏固練習(xí)教材第114頁(yè)練習(xí)1,2.五、課堂小結(jié)(學(xué)生歸納,老師點(diǎn)評(píng))本節(jié)課應(yīng)掌握:1.什么叫圓錐的母線.2.會(huì)推導(dǎo)圓錐的側(cè)面積和全面積公式并能靈活應(yīng)用它們解決問(wèn)題.六、布置作業(yè)1.教材第115~116頁(yè)習(xí)題第9,10題.2.完成《探究在線·高效課堂》相關(guān)練習(xí).第二十五章概率初步25.1隨機(jī)事件與概率25.隨機(jī)事件了解必然發(fā)生的事件、不可能發(fā)生的事件、隨機(jī)事件的特點(diǎn).了解隨機(jī)事件發(fā)生的可能性是有大有小的,不同的隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小不同.重點(diǎn)隨機(jī)事件的特點(diǎn).難點(diǎn)判斷現(xiàn)實(shí)生活中哪些事件是隨機(jī)事件.一、引入新課分析說(shuō)明下列事件能否一定發(fā)生:①今天不上課;②煮熟的鴨子飛了;③明天地球還在轉(zhuǎn)動(dòng);④木材燃燒會(huì)放出熱量;⑤擲一枚硬幣,出現(xiàn)正面朝上.二、探索新知1.提出問(wèn)題教師事先準(zhǔn)備的三個(gè)袋子中分別裝有10個(gè)白色的乒乓球;5個(gè)白色的乒乓球和5個(gè)黃色的乒乓球;10個(gè)黃色的乒乓球,分組討論從這三個(gè)袋子里摸出黃色乒乓球的情況.學(xué)生積極參加,通過(guò)操作和觀察,歸納猜測(cè)出在第1個(gè)袋子中摸出黃色球是不可能的,在第2個(gè)袋子中能否摸出黃色球是不確定的,在第3個(gè)袋子中摸出黃色球是必然的.2.概念得出從上面的事件可看出,對(duì)于任何事件發(fā)生的可能性有三種情況:(1)必然事件:在一定條件下必然要發(fā)生的事件;(2)不可能事件:在一定條件下不可能發(fā)生的事件;(3)隨機(jī)事件:在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件.3.隨機(jī)事件發(fā)生的可能性有大小袋子中有4個(gè)黑球,2個(gè)白球,這些球的形狀、大小、質(zhì)地等完全相同,在看不到球的情況下,隨機(jī)地從袋子中摸出一個(gè)球.(1)是白球還是黑球?(2)經(jīng)過(guò)多次試驗(yàn),摸出的黑球和白球哪個(gè)次數(shù)多?說(shuō)明了什么問(wèn)題?結(jié)論:一般地,隨機(jī)事件發(fā)生的可能性有大小,不同的隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小有可能不同.三、鞏固練習(xí)教材第128頁(yè)練習(xí).四、課堂小結(jié)(學(xué)生歸納,老師點(diǎn)評(píng))本節(jié)課應(yīng)掌握:(1)必然事件,不可能事件,隨機(jī)事件的概念.(2)一般地,隨機(jī)事件發(fā)生的可能性是有大小的,不同的隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小有可能不同.五、布置作業(yè)1.教材第129頁(yè)練習(xí)1,2.2.完成《探究在線·高效課堂》相關(guān)練習(xí).25.概率1.在具體情境中了解概率的意義,體會(huì)事件發(fā)生的可能性大小與概率的值的關(guān)系.2.理解概率的定義及計(jì)算公式P(A)=eq\f(m,n),明確概率的取值范圍,能求簡(jiǎn)單的等可能性事件的概率.重點(diǎn)在具體情境中了解概率的意義,理解概率定義及計(jì)算公式P(A)=eq\f(m,n).難點(diǎn)了解概率的定義,理解概率計(jì)算的兩個(gè)前提條件.一、引入新課(1)事件可以分為哪幾類(lèi)?什么是隨機(jī)事件?隨機(jī)事件發(fā)生的可能性一樣嗎?(2)在同樣的條件下,某一隨機(jī)事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生,那么它發(fā)生的可能性究竟有多大?能否用數(shù)值進(jìn)行刻畫(huà)呢?這節(jié)課我們就來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題.二、探索新知(一)試驗(yàn)活動(dòng)試驗(yàn)1:每位學(xué)生拿出課前準(zhǔn)備好的分別標(biāo)有1,2,3,4,5號(hào)的5根紙簽,從中隨機(jī)地抽取一根,觀察上面的數(shù)字,看看有幾種可能.(如此多次重復(fù))試驗(yàn)2:教師隨意拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,請(qǐng)學(xué)生觀察骰子向上一面的點(diǎn)數(shù),看看有幾種不同的可能.(如此可重復(fù)多次)(1)試驗(yàn)1中共出現(xiàn)了幾種可能的結(jié)果?你認(rèn)為這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性大小相等嗎?如果相等,你認(rèn)為它們的可能性各為多少?(2)試驗(yàn)2中共出現(xiàn)了幾種可能的結(jié)果?你認(rèn)為這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性大小相等嗎?如果相等,你認(rèn)為它們的可能性各為多少?(二)引出概率1.從數(shù)量上刻畫(huà)一個(gè)隨機(jī)事件A發(fā)生的可能性的大小,我們把它叫做這個(gè)隨機(jī)事件A的概率,記為P(A).2.概率計(jì)算必須滿足的兩個(gè)前提條件:(1)每一次試驗(yàn)中,可能出現(xiàn)的結(jié)果只有有限個(gè);(2)每一次試驗(yàn)中,各種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等.3.一般地,如果在一次試驗(yàn)中,有n種可能的結(jié)果,并且它們發(fā)生的可能性都相等,事件A包含其中的m種結(jié)果,那么事件A發(fā)生的概率P(A)=______.4.隨機(jī)事件A發(fā)生的概率的取值范圍是______,如果A是必然發(fā)生的事件,那么P(A)=______,如果A是不可能發(fā)生的事件,那么P(A)=______.(三)例題精講例1下列事件中哪些是等可能性事件,哪些不是?(1)運(yùn)動(dòng)員射擊一次中靶心與不中靶心;(2)隨意拋擲一枚硬幣反面向上與正面向上;(3)隨意拋擲一只可樂(lè)紙杯杯口朝上,或杯底朝上,或橫臥;(4)分別從寫(xiě)有1,3,5,7,9中一個(gè)數(shù)的五張卡片中任抽1張結(jié)果是1,或3,或5,或7,或9.答案:(1)不是等可能事件;(2)是等可能事件;(3)不是等可能事件;(4)是等可能事件.例2學(xué)生自己閱讀教材第131頁(yè)~132頁(yè)例1及解答過(guò)程.例3教師引導(dǎo)學(xué)生分析講解教材第132頁(yè)例2.想一想:把此題(1)和(3)兩問(wèn)及答案聯(lián)系起來(lái),你有什么發(fā)現(xiàn)?例4教師引導(dǎo)學(xué)生分析講解教材第133頁(yè)例3.(四)過(guò)關(guān)練習(xí)教材第133頁(yè)練習(xí)第1~3題.補(bǔ)充:1.袋子中裝有5個(gè)紅球3個(gè)綠球,這些球除了顏色外都相同.從袋子中隨機(jī)地摸出一個(gè)球,它是紅色與它是綠色的可能性相等嗎??jī)烧叩母怕史謩e是多少?2.一個(gè)質(zhì)地均勻的小正方體骰子,六個(gè)面分別標(biāo)有數(shù)字1,2,2,3,4,4,擲骰子后,觀察向上一面的數(shù)字.(1)出現(xiàn)數(shù)字1的概率是多少?(2)出現(xiàn)的數(shù)字是偶數(shù)的概率是多少?(3)哪兩個(gè)數(shù)字出現(xiàn)的概率相等?分別是多少?答案:1.摸到紅色球與摸到綠色球的可能性不相等,P(摸到紅球)=eq\f(5,8),P(摸到綠球)=eq\f(3,8);2.(1)eq\f(1,6);(2)eq\f(2,3);(3)數(shù)字1和3出現(xiàn)的概率相同,都是eq\f(1,6),數(shù)字2和4出現(xiàn)的概率相同,都是eq\f(1,3).三、課堂小結(jié)1.隨機(jī)事件概率的意義,等可能性事件的概率計(jì)算公式P(A)=eq\f(m,n).2.概率計(jì)算的兩個(gè)前提條件:可能出現(xiàn)的結(jié)果只有有限個(gè);各種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同.四、布置作業(yè)1.教材第134頁(yè)~135頁(yè)習(xí)題第3~6題.2.完成《探究在線·高效課堂》相關(guān)練習(xí).25.2用列舉法求概率第1課時(shí)用列表法求概率1.掌握用列舉法求事件概率的一般方法.2.結(jié)合具體情境進(jìn)行一步體會(huì)如何評(píng)判某件事情的合理性.3.通過(guò)用列舉法求簡(jiǎn)單事件的概率的學(xué)習(xí),使學(xué)生在具體情境中分析事件,計(jì)算其發(fā)生的概率,解決實(shí)際問(wèn)題.4.會(huì)利用列表法列舉所有可能的結(jié)果,并用列表法求概率.重點(diǎn)繼續(xù)用P(A)=eq\f(m,n)求概率.難點(diǎn)用P(A)=eq\f(m,n)解決實(shí)際問(wèn)題.一、引入新課同學(xué)們完成下面幾個(gè)問(wèn)題:(1)概率公式是什么?(2)求概率的步驟?學(xué)生回答或展示:[教師點(diǎn)評(píng)](1)略;(2)求概率的步驟:第一步:判斷是否符合用P(A)=eq\f(m,n)的條件:①一次試驗(yàn)中,可能出現(xiàn)的結(jié)果為有限多個(gè);②一次試驗(yàn)中,各結(jié)果發(fā)生的可能性相等.第二步:求總結(jié)果n,第三步:求事件A的可能結(jié)果m.第四步:P(A)=eq\f(m,n).二、探索新知探究一:用概率公式求概率例1某展覽會(huì)門(mén)票的價(jià)格如下表所示:門(mén)票價(jià)格一覽表指定日普通票200元平日優(yōu)惠票100元……某旅行社準(zhǔn)備了1300元,全部用來(lái)購(gòu)買(mǎi)指定日普通票和平日優(yōu)惠票,且每種票至少買(mǎi)一張.(1)有多少種購(gòu)票方案?列舉所有可能結(jié)果.(2)如果從上述方案中任意選一種方案購(gòu)票,求恰好買(mǎi)到11張門(mén)票的概率.分析:由總金額限定了門(mén)票的張數(shù).解:(1)有6種購(gòu)票方案:購(gòu)票方案指定日普通票張數(shù)平日優(yōu)惠票張數(shù)一111二29三37四45五53六61(2)恰好選到11張門(mén)票的概率是eq\f(1,6).探究二:用列舉法求概率例2張華的哥哥在西寧工作,今年“十一”期間,她想讓哥哥買(mǎi)幾本科技書(shū),于是發(fā)短信給哥哥,可一時(shí)記不清哥哥手機(jī)號(hào)碼后三位數(shù)的順序,只記得是0,2,8三個(gè)數(shù)字,則張華一次發(fā)短信成功的概率是()\f(1,6)\f(1,3)\f(1,9)\f(1,2)分析:對(duì)于試驗(yàn)結(jié)果是有限個(gè),且試驗(yàn)結(jié)果不是太多,我們可列舉出所有可能的結(jié)果,求出事件A所包含的結(jié)果數(shù).本題中0,2,8三個(gè)數(shù)字排列的順序有六種情況:028,082,208,280,802,820.其中只有一種是正確的,因此一次發(fā)短信成功的概率為eq\f(1,6),故正確答案為A.探究三:用列表法求概率提出問(wèn)題:例3(補(bǔ)充):為活躍聯(lián)歡晚會(huì)的氣氛,組織者設(shè)計(jì)了以下轉(zhuǎn)盤(pán)游戲:A、B兩個(gè)帶指針的轉(zhuǎn)盤(pán)分別被分成三個(gè)面積相等的扇形,轉(zhuǎn)盤(pán)A上的數(shù)字分別是1,6,8,轉(zhuǎn)盤(pán)B上的數(shù)字分別是4,5,7(兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)除表面數(shù)字不同外,其他完全相同).每次選擇2名同學(xué)分別撥動(dòng)A、B兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)上的指針,使之產(chǎn)生旋轉(zhuǎn),指針停止后所指數(shù)字較大的一方為獲勝者,負(fù)者則表演一個(gè)節(jié)目(若箭頭恰好停留在分界線上,則重轉(zhuǎn)一次).作為游戲者,你會(huì)選擇哪個(gè)裝置呢?并請(qǐng)說(shuō)明理由.上面問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成:“停止轉(zhuǎn)動(dòng)后,哪個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)指針?biāo)笖?shù)字較大的可能性更大呢?”轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題就成了比較兩轉(zhuǎn)盤(pán)上的數(shù)哪個(gè)大的情況多,也就是組合后的概率問(wèn)題.分析:(1)由于事件的隨機(jī)性,我們必須考慮事件發(fā)生概率的大?。紫纫龑?dǎo)學(xué)生觀看轉(zhuǎn)盤(pán)動(dòng)畫(huà),同學(xué)們會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)游戲涉及A、B兩轉(zhuǎn)盤(pán),即涉及2個(gè)因素,與前面所講授單轉(zhuǎn)盤(pán)概率問(wèn)題(教材132頁(yè)例2)相比,可能產(chǎn)生的結(jié)果數(shù)目增多了,列舉時(shí)很容易造成重復(fù)或遺漏.怎樣避免這個(gè)問(wèn)題呢?(2)列表解決BA4571(1,4)(1,5)(1,7)6(6,4)(6,5)(6,7)8(8,4)(8,5)(8,7)從表中可以發(fā)現(xiàn):A盤(pán)數(shù)字大于B盤(pán)數(shù)字的結(jié)果共有5種.∴P(A數(shù)較大)=eq\f(5,9),P(B數(shù)較大)=eq\f(4,9),∴P(A數(shù)較大)>P(B數(shù)較大),∴選擇A轉(zhuǎn)盤(pán)獲勝的可能性較大.出示教材第136-137頁(yè)中的例2:(教師提出問(wèn)題,師生共同分析后,由學(xué)生列表完成)(1)有多少種可能?試列舉出來(lái).(2)引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)表格列出所有可能的結(jié)果.(3)用列表列舉法有什么優(yōu)點(diǎn)?簡(jiǎn)要分析,引導(dǎo)學(xué)生列表,求出概率并根據(jù)學(xué)生口述板書(shū)出例2過(guò)程.學(xué)生理解,熟悉方法,掌握如何找出每個(gè)事件中的各種可能.(1)閱讀理解題目弄清要求(題目長(zhǎng),要讀懂題意);(2)討論交流,分析實(shí)質(zhì),理解教師引導(dǎo);(3)師生共同分析(學(xué)生分析,教師講評(píng)引導(dǎo)方式),求出概率并比較,說(shuō)明.學(xué)生嘗試獨(dú)立列表并完成.列表列舉出所有可能,并求出每個(gè)事件中包含的結(jié)果,求出概率.三、鞏固練習(xí)教材第138頁(yè)練習(xí)第1,2題.四、課堂小結(jié)這節(jié)課你學(xué)到了什么?還有哪些疑惑?在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上,教師點(diǎn)評(píng):①用“列舉法”求概率的兩個(gè)條件;②用“列舉法”求概率的方法P(A)=eq\f(m,n)(其中n是結(jié)果總數(shù),m是事件A的結(jié)果數(shù));用列表法求含兩個(gè)元素的概率的方法.五、布置作業(yè)1.教材第139頁(yè)習(xí)題第1題,140頁(yè)第2、4題,141頁(yè)第9題.2.完成《探究在線·高效課堂》相關(guān)練習(xí).第2課時(shí)用樹(shù)狀圖法求概率1.進(jìn)一步理解“列舉法”的條件和解題方法,并靈活應(yīng)用它解決一些實(shí)際問(wèn)題.2.會(huì)用樹(shù)狀圖求出一次試驗(yàn)中涉及3個(gè)或更多個(gè)因素時(shí),不重不漏地求出所有機(jī)會(huì)均等的結(jié)果,從而正確地計(jì)算出隨機(jī)事件的概率.重點(diǎn)理解列舉法和樹(shù)狀圖法求概率的理論依據(jù),會(huì)用樹(shù)狀圖法求概率.難點(diǎn)用樹(shù)狀圖法求較復(fù)雜問(wèn)題的概
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