2023年高考數(shù)學一輪復習第10章計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布第1節(jié)分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理學案理北師大版

第一節(jié)分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理[考綱](教師用書獨具)1.理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理.2.能正確區(qū)分“類〞和“步〞，并能利用兩個原理解決一些簡單的實際問題．(對應學生用書第169頁)[根底知識填充]1．分類加法計數(shù)原理完成一件事，可以有n類方法，在第一類方法中有m1種方法，在第二類方法中有m2種方法，…，在第n類方法中有mn種方法．那么，完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種方法．(也稱加法原理)2．分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要經(jīng)過n個步驟，缺一不可，做第一步有m1種方法，做第二步有m2種方法，…，做第n步有mn種方法．那么，完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種方法．3．分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理，都涉及完成一件事的不同方法的種類．它們的區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理與分類有關，各種方法相互獨立，用其中的任何一種方法都可以完成這件事；分步乘法計數(shù)原理與分步有關，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了，這件事才算完成．[根本能力自測]1．(思考辨析)判斷以下結(jié)論的正誤．(正確的打“√〞，錯誤的打“×〞)(1)在分類加法計數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同．()(2)在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事．()(3)在分步乘法計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的．()(4)在分步乘法計數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個單獨的步驟都能完成這件事．()[答案](1)×(2)√(3)√(4)×2．(教材改編)從0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字中，任取兩個不同數(shù)字相加，其和為偶數(shù)的不同取法的種數(shù)有()A．30B．20C．10D．6D[從0,1,2,3,4,5六個數(shù)字中，任取兩數(shù)和為偶數(shù)可分為兩類：①取出的兩數(shù)都是偶數(shù)，共有3種方法；②取出的兩數(shù)都是奇數(shù)，共有3種方法，故由分類加法計數(shù)原理得共有N＝3＋3＝6種．]3．書架的第1層放有4本不同的語文書，第2層放有5本不同的數(shù)學書，第3層放有6本不同的體育書．從第1,2,3層分別各取1本書，那么不同的取法種數(shù)為()A．3 B．15C．21 D．120D[由分步乘法計數(shù)原理知，從第1,2,3層各取1本書，不同的取法種數(shù)為4×5×6＝120.應選D．]4．從集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取兩個互不相等的數(shù)a，b組成復數(shù)a＋bi，其中虛數(shù)有()A．30個 B．42個C．36個 D．35個C[∵a＋bi為虛數(shù)，∴b≠0，即b有6種取法，a有6種取法，由分步乘法計數(shù)原理知可以組成6×6＝36個虛數(shù)．]5．如圖10-1-1，從A城到B城有3條路；從B城到D城有4條路；從A城到C城有4條路；從C城到D城有5條路，那么某旅客從A城到D城共有________條不同的路線．圖10-1-132[不同路線共有3×4＋4×5＝32(條)．](對應學生用書第169頁)分類加法計數(shù)原理(1)某位同學逛書店，發(fā)現(xiàn)有三本喜歡的書，決定至少買其中一本，那么購置的方案有________種．(2)滿足a，b∈{－1,0,1,2}，且關于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實數(shù)解的有序數(shù)對(a，b)的個數(shù)為________．(1)7(2)13[(1)至少買其中一本的實質(zhì)是買一本或買兩本或買三本，故分三類完成．第一類：買一本有3種；第二類：買兩本有3種；第三類：買三本有1種．共有3＋3＋1＝7(種)買法．(2)①當a＝0時，有x＝－eq\f(b,2)，b＝－1,0,1,2，有4種可能；②當a≠0時，那么Δ＝4－4ab≥0，ab≤1，(ⅰ)當a＝－1時，b＝－1,0,1,2，有4種可能；(ⅱ)當a＝1時，b＝－1,0,1，有3種可能；(ⅲ)當a＝2時，b＝－1,0，有2種可能．所以有序數(shù)對(a，b)共有4＋4＋3＋2＝13個．][規(guī)律方法]應用分類加法計數(shù)原理應遵循的兩原那么1根據(jù)題目特點恰中選擇一個分類標準.2分類時應注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，且只能屬于某一類即標準明確，不重不漏.[跟蹤訓練]橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1的焦點在x軸上，且m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，那么這樣的橢圓的個數(shù)為________.【導學號：79140337】10[因為焦點在x軸上，所以m>n.以m的值為標準分類，可分為四類：第一類，m＝5時，使m>n，n有4種選擇；第二類，m＝4時，使m>n，n有3種選擇；第三類，m＝3時，使m>n，n有2種選擇；第四類，m＝2時，使m>n，n有1種選擇．由分類加法原理知，符合條件的橢圓共有4＋3＋2＋1＝10個．]分步乘法計數(shù)原理(1)(2023·全國卷Ⅱ)如圖10-1-2，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，那么小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()圖10-1-2A．24 B．18C．12 D．9(2)從－1,0,1,2這四個數(shù)中選三個不同的數(shù)作為函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的系數(shù)，那么可組成________個不同的二次函數(shù)，其中偶函數(shù)有________個(用數(shù)字作答)．(1)B(2)186[(1)分兩步，第一步，從E→F，有6條可以選擇的最短路徑；第二步，從F→G，有3條可以選擇的最短路徑．由分步乘法計數(shù)原理可知有6×3＝18條可以選擇的最短路程．(2)一個二次函數(shù)對應著a，b，c(a≠0)的一組取值，a的取法有3種，b的取法有3種，c的取法有2種，由分步乘法計數(shù)原理知共有3×3×2＝18(個)二次函數(shù)．假設二次函數(shù)為偶函數(shù)，那么b＝0，同上可知共有3×2＝6(個)偶函數(shù)．][規(guī)律方法]利用分步乘法計數(shù)原理應注意以下三點1要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的.2各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步驟都完成才算完成這件事.3對完成每一步的不同方法數(shù)要根據(jù)條件準確確定.[跟蹤訓練](1)(2023·北京西城區(qū)二模)大廈一層有A，B，C，D四部電梯，3人在一層乘坐電梯上樓，其中2人恰好乘坐同一部電梯，那么不同的乘坐方式有________種(用數(shù)字作答)．(2)設集合A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，定義A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，那么A*B中元素的個數(shù)為________．(1)36(2)10[(1)從3人中選擇兩人同乘一部電梯有Ceq\o\al(2,3)＝3種選擇，這兩人乘坐的電梯有4種選擇，最后1個乘坐的電梯有3種選擇，所以不同的乘坐方式有3×4×3＝36種．(2)易知A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}，所以x有2種取法，y有5種取法，由分步乘法計數(shù)原理，A*B的元素有2×5＝10個．]兩個計數(shù)原理的綜合應用(1)(2023·鄭州第二次質(zhì)量預測)將數(shù)字“124467”重新排列后得到不同的偶數(shù)個數(shù)為()A．72 B．120C．192 D．240(2)如圖10-1-3所示的五個區(qū)域中，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，要求每一個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，那么不同的涂色方法種數(shù)為()圖10-1-3A．24 B．48C．72 D．96(1)D(2)C[(1)個位數(shù)字是2或6時，不同的偶數(shù)個數(shù)為Ceq\o\al(1,2)·eq\f(A\o\al(5,5),2)＝120；個位數(shù)字是4，不同的偶數(shù)個數(shù)為Aeq\o\al(5,5)＝120，那么不同的偶數(shù)共有120＋120＝240個，應選D．(2)分兩種情況：①A，C不同色，先涂A有4種，C有3種，E有2種，B，D有1種，有4×3×2＝24(種)涂法．②A，C同色，先涂A有4種，E有3種，C有1種，B，D各有2種，有4×3×2×2＝48(種)涂法．故共有24＋48＝72種涂色方法．][規(guī)律方法]與兩個計數(shù)原理有關問題的解題策略1在綜合應用兩個原理解決問題時，一般是先分類再分步，但在分步時可能又會用到分類加法計數(shù)原理.2對于較復雜的兩個原理綜合應用的問題，可恰當?shù)禺嫵鍪疽鈭D或列出表格，化抽象為直觀.[跟蹤訓練](1)如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對〞．在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“正交線面對〞的個數(shù)是()A．48 B．18C．24 D．36(2)(2023·杭州調(diào)研)集合M＝{1,2,3,4}，集合A，B為集合M的非空子集，假設對任意x∈A，y∈B，x<y恒成立，那么稱(A，B)為集合M的一個“子集對〞，那么集合M的“子集對〞共有________個.【導學號：79140338】(1)D(2)17[(1)分類討論：第一類，對于每一條棱，都可以與兩個面構(gòu)成“正交線面對〞，這樣的“正交線面對〞有2×12＝24(個)；第二類，對于每一條面對角線，都可以