2021北京八中高一（下）期中數(shù)學(xué)（教師版）

12/122021北京八中高一（下）期中數(shù)學(xué)一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，將答案填在答題卡上）1．（4分）若，且，則角是A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角2．（4分）已知角終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，則的值為A． B． C．0 D．或3．（4分）若向量，，則與的夾角等于A． B． C． D．4．（4分）教室里有一把直尺，無(wú)論怎樣放置，地面上總有一直線與該直尺所在的直線保持A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．異面5．（4分），，的大小關(guān)系是A． B． C． D．6．（4分）使成立的的一個(gè)變化區(qū)間是A． B．， C．， D．，7．（4分）已知，且，則A． B． C． D．8．（4分）函數(shù)（其中，的圖象的一部分如圖所示，則A． B． C． D．9．（4分）在銳角中，設(shè)，．則，的大小關(guān)系為A． B． C． D．10．（4分）已知，則函數(shù)的值域是A．， B．， C．， D．，二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分.把答案填在答題卡的橫線上）11．（5分）．12．（5分）已知，則．13．（5分）在中，，，，則的長(zhǎng)是．14．（5分）已知向量，的夾角為，，，則．15．（5分）對(duì)于函數(shù)，給出下列四個(gè)命題：①函數(shù)為奇函數(shù)；②存在，使；③存在，使恒成立；④存在．使函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；其中正確的命題序號(hào)是．三、解答題（本大題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）16．已知，，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．17．已知函數(shù)．（Ⅰ）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）若，，求的最大值與最小值．18．的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，的面積為，求的周長(zhǎng)．19．如圖所示，在正方體中，、、、分別是、、、的中點(diǎn)．求證：（1）；（2）平面；（3）平面平面．20．已知函數(shù)，且滿(mǎn)足_______．（Ⅰ）求函數(shù)的解析式及最小正周期；（Ⅱ）若關(guān)于的方程在區(qū)間，上有兩個(gè)不同解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．從①的最大值為1，②的圖象與直線的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于，③的圖象過(guò)點(diǎn)這三個(gè)條件中選擇一個(gè)，補(bǔ)充在上面問(wèn)題中并作答．21．對(duì)于定義域分別是，的函數(shù)，，規(guī)定：函數(shù)．（Ⅰ）若函數(shù)，，，寫(xiě)出函數(shù)的解析式并求函數(shù)值域；（Ⅱ）若，其中是常數(shù)，且，，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)及一個(gè)的值，使得，并予以證明．

參考答案一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，將答案填在答題卡上）1．【分析】根據(jù)三角函數(shù)值的符號(hào)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：，是第三或第四象限或軸的非正半軸，，是第一或第四象限或軸的非負(fù)半軸，綜上是第四象限的角．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查角的象限的確定，根據(jù)三角函數(shù)值的符號(hào)關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．2．【分析】利用三角函數(shù)的定義，求出、，即可得到結(jié)論．【解答】解：角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，；，，，，；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的定義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．【分析】由已知中向量，，我們可以計(jì)算出與的坐標(biāo)，代入向量夾角公式即可得到答案．【解答】解：，，，，，，，，，，，，，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，其中利用公式，是利用向量求夾角的最常用的方法，一定要熟練掌握．4．【分析】由空間中直線與平面的位置關(guān)系結(jié)合線面垂直的性質(zhì)及三垂線定理分析得答案．【解答】解：①直尺所在直線與地面垂直時(shí)，地面上的所有直線都與直尺垂直，則底面上存在直線與直尺所在直線垂直；②直尺所在直線與地面不垂直時(shí)，直尺所在的直線必在地面上有一條投影線（直尺在底面上時(shí)投影線為直尺本身），在平面中一定存在與此投影線垂直的直線，由三垂線定理知，與投影垂直的直線一定與此斜線垂直，則地面上總有直線與直尺所在的直線垂直．綜上，直尺無(wú)論怎樣放置，在地面總有與直尺所在直線垂直的直線．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中直線與直線、直線與平面位置關(guān)系的判定及應(yīng)用，考查空間想象能力與思維能力，是中檔題．5．【分析】利用正切函數(shù)在上單調(diào)遞增的性質(zhì)即可得到答案．【解答】解：正切函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正切函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性質(zhì)，掌握性質(zhì)是解答的基礎(chǔ)，屬于基礎(chǔ)題．6．【分析】在單位圓中畫(huà)出角的三角函數(shù)線，根據(jù)三角函數(shù)線的大小確定角的范圍．【解答】解：如圖角的正弦線，余弦線分別是，，當(dāng)角的終邊與弧相交時(shí)，，此時(shí)，不等式的解集為，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)線，利用數(shù)形結(jié)合根據(jù)三角函數(shù)線的大小確定角的范圍．7．【分析】利用誘導(dǎo)公式即可得出．【解答】解：，，，，則，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．8．【分析】先利用圖象中求得函數(shù)的周期，求得，最后根據(jù)時(shí)取最大值，求得，即可得解．【解答】解：如圖根據(jù)函數(shù)的圖象可得：函數(shù)的周期為，又，，當(dāng)時(shí)取最大值，即，可得：，，，，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了由的部分圖象確定其解析式，考查了學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的運(yùn)用和圖象觀察能力，屬于基本知識(shí)的考查．9．【分析】運(yùn)用特殊值法，令，代入和的表達(dá)式，可分別求得和的值，則二者的大小可知．【解答】解：令，，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】考查了兩角和與差的余弦函數(shù)．對(duì)于選擇題和填空題來(lái)說(shuō)，用特殊值法有時(shí)更便捷．10．【分析】把的表達(dá)式轉(zhuǎn)化成關(guān)于的函數(shù)可解決此題．【解答】解：，，．，，，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)、函數(shù)思想、配方法，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題．二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分.把答案填在答題卡的橫線上）11．【分析】根據(jù)可以得到答案．【解答】解：故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查弧度和角度的互化．12．【分析】將已知等式兩邊平方，利用完全平方公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡(jiǎn)，再利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)即可求出的值．【解答】解：將兩邊平方得：，．故答案為：【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二倍角的正弦函數(shù)公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．13．【分析】由同角三角函數(shù)關(guān)系式得，由正弦定理得，由此能求出．【解答】解：在中，，，，，解得．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線段長(zhǎng)的求法，考查同角三角函數(shù)關(guān)系式、正弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是中檔題．14．【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積求出模長(zhǎng)即可．【解答】解：【解法一】向量，的夾角為，且，，，．【解法二】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，如圖所示；結(jié)合圖形；在中，由余弦定理得，即．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)利用數(shù)量積求出模長(zhǎng)，是基礎(chǔ)題．15．【分析】直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用判斷①②③④的結(jié)論．【解答】解：函數(shù)，對(duì)于①，函數(shù)，故函數(shù)不為奇函數(shù)，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，由于，由于，所以，故，由于，故②正確；對(duì)于③，，所以，故函數(shù)的最小正周期為，由于，所以，所以函數(shù)的周期為，故③錯(cuò)誤．對(duì)于④，存在，，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，故④正確；故答案為：②④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題（本大題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）16．【分析】（Ⅰ）由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求，的值，利用兩角和的正切函數(shù)公式即可得解．（Ⅱ）利用倍角公式化簡(jiǎn)后，代入即可求值得解．【解答】解：（Ⅰ），，且．，，．（Ⅱ）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角和的正切函數(shù)公式，倍角公式的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．17．【分析】（Ⅰ）先結(jié)合二倍角公式，輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后結(jié)合正弦函數(shù)的周期公式及單調(diào)性可求；（Ⅱ）由的范圍及正弦函數(shù)的性質(zhì)即可直接求解．【解答】解：（Ⅰ）；所以，令，，解得，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；（Ⅱ）由，得，所以，，所以，即函數(shù)的值域，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二倍角公式，輔助角公式在三角化簡(jiǎn)中的應(yīng)用，還考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．18．【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，根據(jù)不為0求出的值，即可確定出的度數(shù)；（2）利用余弦定理列出關(guān)系式，利用三角形面積公式列出關(guān)系式，求出的值，即可求的周長(zhǎng)．【解答】解：（Ⅰ）在中，，已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)得：，整理得：，即，；（Ⅱ）由余弦定理得，，，，，，的周長(zhǎng)為．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了正弦、余弦定理，三角形的面積公式，以及三角函數(shù)的恒等變形，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．19．【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接、，四邊則是平行四邊形，即可證明；（2）取的中點(diǎn)，易證四邊形為平行四邊形，故有，從而證明平面．（3）由正方體得，由四邊形是平行四邊形，可得，可證平面平面．【解答】證明：（1）取的中點(diǎn)，連接、，四邊則是平行四邊形，．又，．（2）取的中點(diǎn)，連接、，則，．又，，，，四邊形是平行四邊形，．又平面，平面．（3）由（1）知，又，、平面，、平面，且，，平面平面．【點(diǎn)評(píng)】本題考查證面面平行、線面平行的方法，直線與平面平行的判定、性質(zhì)的應(yīng)用，取的中點(diǎn)，是解題的突破口．20．【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式和誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)函數(shù)，若滿(mǎn)足①，利用最大值求出的值，寫(xiě)出的解析式，求出最小正周期；（Ⅱ）令求得方程的解，根據(jù)方程在區(qū)間，上有兩個(gè)不同解找出這兩個(gè)解，從而寫(xiě)出實(shí)數(shù)的取值范圍．若滿(mǎn)足②，利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)列出方程求得的值，以下解法均相同．若滿(mǎn)足③，利用的圖象過(guò)點(diǎn)，代入求出的值，以下解法均相同．【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)，若滿(mǎn)足①的最大值為1，則，解得，所以；的最小正周期為；（Ⅱ）令，得，解得，；即，；若關(guān)于的方程在區(qū)間，上有兩個(gè)不同解，則或；所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，．若滿(mǎn)足②的圖象與直線的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于，且的最小正周期為，所以，解得；以下解法均相同．若滿(mǎn)足③的圖象過(guò)點(diǎn)，則，解得；以下解法均相同．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用三角函數(shù)的基