數(shù)學(xué)新設(shè)計(jì)人教A版必修三講義算法初步111

10/1111/11/1.1算法與程序框圖1.1.1算法的概念學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解算法的特征和含義，初步建立算法的概念(重點(diǎn)).2.會(huì)用自然語(yǔ)言表述簡(jiǎn)單的算法(難點(diǎn)).預(yù)習(xí)教材P2－4，完成下面問(wèn)題：知識(shí)點(diǎn)1算法的概念12世紀(jì)的算法是指用阿拉伯?dāng)?shù)字進(jìn)行算術(shù)運(yùn)算的過(guò)程數(shù)學(xué)中的算法通常是指按照一定規(guī)則解決某一類問(wèn)題的明確和有限的步驟現(xiàn)代算法通?？梢跃幊捎?jì)算機(jī)程序，讓計(jì)算機(jī)執(zhí)行并解決問(wèn)題【預(yù)習(xí)評(píng)價(jià)】下列說(shuō)法中不能看成算法的是()A.洗衣機(jī)的使用說(shuō)明書B.烹制紅燒肉的菜譜C.從山東濟(jì)南乘火車到北京，再?gòu)谋本┏孙w機(jī)到倫敦D.小明不會(huì)洗衣服解析只要按照步驟完成某一項(xiàng)任務(wù)就是一個(gè)算法，很明顯A，B，C都是按照步驟完成某項(xiàng)任務(wù)的，而D中僅僅說(shuō)明了一個(gè)事實(shí)，不是算法.答案D知識(shí)點(diǎn)2算法的特征1.有限性：一個(gè)算法的步驟序列是有限的，必須在有限的操作之后停止，不能是無(wú)限的.2.確定性：算法中的每一步應(yīng)該是確定的，并且能有效地執(zhí)行且得到確定的結(jié)果，而不應(yīng)當(dāng)模棱兩可.3.順序性與正確性：算法從初始步驟開始，分為若干明確的步驟，每一個(gè)步驟只能有一個(gè)確定的后續(xù)步驟，前一步是后一步的前提，只有執(zhí)行完前一步才能進(jìn)行下一步，并且每一步都準(zhǔn)確無(wú)誤，才能完成問(wèn)題.4.不唯一性：求解某一問(wèn)題的解法不一定是唯一的，對(duì)于同一個(gè)問(wèn)題可以有不同的算法.5.普遍性：很多具體的問(wèn)題，都可以設(shè)計(jì)合理的算法去解決，如計(jì)算器計(jì)算都要經(jīng)過(guò)有限、事先設(shè)計(jì)好的步驟加以解決.【預(yù)習(xí)評(píng)價(jià)】(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)一個(gè)算法可以無(wú)止境地算下去.()(2)一個(gè)程序的算法步驟是可逆的.()(3)算法執(zhí)行后可以不產(chǎn)生確定的結(jié)果.()提示(1)×一個(gè)算法的步驟是有限的，必須保證執(zhí)行有限步后結(jié)束；(2)×算法的步驟具有順序性，是不可逆的；(3)×一個(gè)算法得到有效地執(zhí)行后應(yīng)該得到確定的結(jié)果.題型一算法概念的正確理解【例1】(1)下列描述不能看作算法的是()A.泡茶需要溫杯、醒茶、沖泡這些步驟B.已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0，0)，B(2，1)，C(0，2)，設(shè)出圓的一般方程，利用待定系數(shù)法求出圓的方程C.解方程2x2＋x－1＝0D.利用公式S＝πr2，計(jì)算半徑為4的圓的面積，就是計(jì)算π×42解析算法是做一件事情的步驟或程序，不是指某一件事情，故選C.答案C(2)算法具有確定性，其確定性指的是()A.算法的步驟是有限的B.算法一定包含輸出C.算法的每個(gè)步驟是具體的，可操作的D.以上說(shuō)法都不正確解析由算法的概念可知，算法的步驟是具體的，可操作的，即算法具有確定性，故選C.答案C規(guī)律方法算法的判斷方法要判斷一個(gè)語(yǔ)段是不是算法，需要抓住以下兩點(diǎn)：(1)寫出的算法可以用于解決某一類問(wèn)題，并且能重復(fù)使用；(2)算法的過(guò)程或步驟必須是確定的且經(jīng)過(guò)有限步后能完成的.【訓(xùn)練1】下列說(shuō)法中是算法的有________(填序號(hào)).①?gòu)纳虾５嚼_旅游，先坐飛機(jī)，再坐客車；②解一元一次不等式的步驟是去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1；③求以A(1，1)，B(－1，－2)兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段AB的中垂線方程，可先求出AB中點(diǎn)坐標(biāo)，再求kAB及中垂線的斜率，最后用點(diǎn)斜式方程求得線段AB的中垂線方程；④求1×2×3×4的值，先計(jì)算1×2＝2，再計(jì)算2×3＝6，6×4＝24，得最終結(jié)果為24；⑤eq\f(1,2)x＞2x＋4.解析①說(shuō)明了從上海到拉薩的行程安排.②給出了解一元一次不等式這類問(wèn)題的解法.③給出了求線段的中垂線的方法及步驟.④給出了求1×2×3×4的值的過(guò)程并得出結(jié)果.⑤沒(méi)有說(shuō)明如何去解.故①②③④都是算法.答案①②③④題型二算法的設(shè)計(jì)與應(yīng)用【例2】給出求解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝7，,4x＋5y＝11))的一個(gè)算法.解方法一用代入消元法第一步，由2x＋y＝7得y＝7－2x.第二步，將y＝7－2x代入4x＋5y＝11，得4x＋5(7－2x)＝11，解得x＝4.第三步，將x＝4代入方程y＝7－2x，解得y＝－1.第四步，輸出方程組的解為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－1.))方法二用加減消元法第一步，方程2x＋y＝7兩邊都乘以5得，10x＋5y＝35.第二步，將第一步所得的方程與方程4x＋5y＝11作差，消去y得6x＝24，解得x＝4.第三步，將x＝4代入方程2x＋y＝7，解得y＝－1.第四步，輸出方程組的解為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4,y＝－1.))規(guī)律方法設(shè)計(jì)算法的四個(gè)步驟【訓(xùn)練2】設(shè)計(jì)一個(gè)算法，判斷35是否為質(zhì)數(shù).解第一步，用2除35，得到余數(shù)1，所以2不能整除35.第二步，用3除35，得到余數(shù)2，所以3不能整除35.第三步，用4除35，得到余數(shù)3，所以4不能整除35.第四步，用5除35，得到余數(shù)0，所以5能整除35.因此，35不是質(zhì)數(shù).題型三算法的應(yīng)用【例3】一位商人有9枚銀元，其中有1枚略輕的是假銀元，你能用天平(無(wú)砝碼)將假銀元找出來(lái)嗎？解方法一算法如下第一步，任取2枚銀元分別放在天平的兩邊，若天平左、右不平衡，則輕的一枚就是假銀元，若天平平衡，則進(jìn)行第二步.第二步，取下右邊的銀元放在一邊，然后把剩下的7枚銀元依次放在右邊進(jìn)行稱量，直到天平不平衡，偏輕的那一枚就是假銀元.方法二算法如下第一步，把9枚銀元平均分成3組，每組3枚.第二步，先將其中兩組放在天平的兩邊，若天平不平衡，則假銀元就在輕的那一組；否則假銀元在未稱量的那一組.第三步，取出含假銀元的那一組，從中任取2枚銀元放在天平左、右兩邊稱量，若天平不平衡，則假銀元在輕的那一邊；若天平平衡，則未稱量的那一枚是假銀元.規(guī)律方法實(shí)際問(wèn)題算法的設(shè)計(jì)技巧(1)弄清題目中所給要求.(2)建立過(guò)程模型.(3)根據(jù)過(guò)程模型建立算法步驟，必要時(shí)由變量進(jìn)行判斷.【訓(xùn)練3】某鐵路客運(yùn)部門規(guī)定甲、乙兩地之間旅客托運(yùn)行李的費(fèi)用為C＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0.53×W（W≤50），,50×0.53＋（W－50）×0.85（W>50），))其中W(單位：kg)為行李的質(zhì)量.請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)計(jì)算托運(yùn)費(fèi)C(單位：元)的算法.解第一步，輸入行李的質(zhì)量W.第二步，若W≤50，則C＝0.53×W；否則，C＝50×0.53＋(W－50)×0.85.第三步，輸出托運(yùn)費(fèi)C.

課堂達(dá)標(biāo)1.下面四種敘述能稱為算法的是()A.在家里一般是媽媽做飯B.做米飯需要刷鍋、淘米、添水、加熱這些步驟C.在野外做飯叫野炊D.做飯必須要有米解析算法是解決一類問(wèn)題的程序或步驟，A，C，D均不符合.答案B2.下列有關(guān)“算法”的說(shuō)法不正確的是()A.算法是解決問(wèn)題的方法和步驟B.算法的每一個(gè)步驟和次序應(yīng)當(dāng)是確定的C.算法在執(zhí)行有限個(gè)步驟后必須結(jié)束D.算法是能夠在計(jì)算機(jī)上運(yùn)行的程序語(yǔ)言解析因?yàn)樗惴ㄊ菫榻鉀Q問(wèn)題而設(shè)計(jì)的一系列可操作或可計(jì)算的步驟，通過(guò)這些步驟能夠有效地解決問(wèn)題.算法具有有限性、確定性、有序性、可行性、有輸出等特征，因此A，B，C正確，而算法只有用計(jì)算機(jī)能夠接受的“語(yǔ)言”準(zhǔn)確的描述出來(lái)，才能夠在計(jì)算機(jī)上運(yùn)行，而一般用自然語(yǔ)言描述的算法是不能夠在計(jì)算機(jī)上運(yùn)行的程序語(yǔ)言.答案D3.對(duì)于一般的二元一次方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1x＋b1y＝c1，,a2x＋b2y＝c2，))在寫解此方程組的算法時(shí)，需要注意的是()A.a1≠0 B.a2≠0C.a1b2－a2b1≠0 D.a1b1－a2b2≠0解析給方程a1x＋b1y＝c1兩邊乘以a2，得a1a2x＋b1a2y＝c1a2，給方程a2x＋b2y＝c2兩邊乘以a1，得a1a2x＋b2a1y＝c2a1，兩式相減得b1a2y－b2a1y＝c1a2－c2a1，即(a1b2－a2b1)y＝a1c2－a2c1，若使方程組有唯一解，則需a1b2－a2b1≠0.答案C4.已知直角三角形兩直角邊長(zhǎng)為a，b，求斜邊長(zhǎng)c的一個(gè)算法分下列三步：①計(jì)算c＝eq\r(a2＋b2)；②輸入直角三角形兩直角邊長(zhǎng)a，b的值；③輸出斜邊長(zhǎng)c的值.其中正確的順序是________.解析算法的步驟是有先后順序的，第一步是輸入，最后一步是輸出，中間的步驟是賦值、計(jì)算.答案②①③5.設(shè)計(jì)一個(gè)算法，求1＋2＋3＋4＋5的值.解算法如下：第一步，計(jì)算1＋2，得到3；第二步，計(jì)算3＋3，得到6；第三步，計(jì)算6＋4，得到10；第四步，計(jì)算10＋5，得到15.課堂小結(jié)1.算法的特點(diǎn)：有限性、確定性、順序性與正確性、不唯一性、普遍性.2.算法設(shè)計(jì)的要求：(1)寫出的算法必須能夠解決一類問(wèn)題，并且能夠重復(fù)使用.(2)要使算法盡量簡(jiǎn)單，步驟盡量少.(3)要保證算法正確，且算法步驟能夠一步一步執(zhí)行，在有限步后能得到結(jié)果.基礎(chǔ)過(guò)關(guān)1.下列可以看成算法的是()A.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，課前預(yù)習(xí)，課上認(rèn)真聽講并記好筆記，課下先復(fù)習(xí)再做作業(yè)，之后做適當(dāng)?shù)木毩?xí)題B.今天餐廳的飯真好吃C.這道數(shù)學(xué)題難做D.方程2x2－x＋1＝0無(wú)實(shí)數(shù)根解析A是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)步驟，所以是算法.答案A2.給出下面一個(gè)算法：第一步，給出三個(gè)數(shù)x，y，z.第二步，計(jì)算M＝x＋y＋z.第三步，計(jì)算N＝eq\f(1,3)M.第四步，得出每次計(jì)算結(jié)果.則上述算法是()A.求和 B.求余數(shù)C.求平均數(shù) D.先求和再求平均數(shù)解析由算法過(guò)程可知M為三數(shù)之和，N為這三個(gè)數(shù)的平均數(shù)，由于得出每次計(jì)算的結(jié)果，故選D.答案D3.使用計(jì)算機(jī)解題的步驟由以下哪幾部分構(gòu)成：①尋找解題方法；②調(diào)試運(yùn)行；③設(shè)計(jì)正確算法；④正確理解題意；⑤編寫程序.正確的順序?yàn)?)A.④①③②⑤ B.④①③⑤②C.④③②①⑤ D.④①②③⑤解析根據(jù)題意知，應(yīng)先進(jìn)行④，然后是①，再就是③⑤，最后是②，故順序是④①③⑤②.答案B4.如下算法：第一步，輸入x的值.第二步，若x≥0，計(jì)算y＝x，否則進(jìn)行下一步.第三步，計(jì)算y＝x2.第四步，輸出y的值.若輸出的y值為9，則x＝________.解析由題意得，當(dāng)x≥0時(shí)，y＝x＝9；當(dāng)x<0時(shí)，y＝x2＝9，即x＝－3(x＝3舍去)，故x＝9或－3.答案9或－35.下面給出了解決問(wèn)題的算法：第一步：輸入x.第二步：若x≤1，則y＝2x－1，否則y＝x2＋3.第三步：輸出y.(1)這個(gè)算法解決的問(wèn)題是________；(2)當(dāng)輸入的x值為________時(shí)，輸入值與輸出值相等.解析由算法過(guò)程知這個(gè)算法解決的問(wèn)題是求分段函數(shù)y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1（x≤1）,x2＋3（x>1）))的函數(shù)值，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤1，,2x－1＝x))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>1，,x2＋3＝x))解得x＝1.答案(1)求分段函數(shù)y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1（x≤1），,x2＋3（x>1）))的函數(shù)值(2)16.寫出解方程x2－2x－3＝0的一個(gè)算法.解方法一第一步：移項(xiàng)得x2－2x＝3.①第二步：①式兩邊同加1，并配方得(x－1)2＝4.②第三步：②式兩邊開方，得x－1＝±2.③第四步：解③得x＝3或x＝－1.方法二第一步：計(jì)算出一元二次方程的判別式的值，并判斷其符號(hào)，顯然Δ＝22＋4×3＝16>0.第二步：將a＝1，b＝－2，c＝－3代入求根公式x1，2＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)得，x1＝3或x2＝－1.7.某人帶著一只狼和一只羊及一捆青菜過(guò)河，只有一條船，船僅可載重此人和狼、羊及青菜中的一種，沒(méi)有人在的時(shí)候，狼會(huì)吃羊，羊會(huì)吃青菜.請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)安全過(guò)河的算法.解第一步，人帶羊過(guò)河.第二步，人自己返回.第三步，人帶青菜過(guò)河.第四步，人帶羊返回.第五步，人帶狼過(guò)河.第六步，人自己返回.第七步，人帶羊過(guò)河.能力提升8.結(jié)合下面的算法：第一步，輸入x.第二步，判斷x是否小于0，若是，則輸出x＋2，否則執(zhí)行第三步.第三步，輸出x－1.當(dāng)輸入的x的值分別為－1，0，1時(shí)，輸出的結(jié)果分別為()A.－1，0，1 B.－1，1，0C.1，－1，0 D.0，－1，1解析根據(jù)x值與0的關(guān)系，選擇執(zhí)行不同的步驟，當(dāng)x的值分別為－1，0，1時(shí)，輸出的結(jié)果應(yīng)分別為1，－1，0，故選C.答案C9.小明中午放學(xué)回家自己煮面條吃，有下面幾道工序：①洗鍋、盛水2分鐘；②洗菜6分鐘；③準(zhǔn)備面條及佐料2分鐘；④用鍋把水燒開10分鐘；⑤煮面條和菜共3分鐘.以上各道工序，除了④之外，一次只能進(jìn)行一道工序.小明要將面條煮好，最少要用()A.13分鐘 B.14分鐘C.15分鐘 D.23分鐘解析第一步，洗鍋盛水花2分鐘；第二步，用鍋把水燒開10分鐘，同時(shí)洗菜6分鐘、準(zhǔn)備面條及佐料2分鐘，總計(jì)10分鐘.第三步，用燒開的水煮面條和菜要3分鐘.總計(jì)共用2＋10＋3＝15分鐘.答案C10.如圖所示，漢諾塔問(wèn)題是指有3根桿子A，B，C，桿子上有若干碟子，把所有的碟子從B桿移動(dòng)到A桿上，每次只能移動(dòng)一個(gè)碟子，大的碟子不能疊在小的碟子上面.把B桿上的3個(gè)碟子全部移動(dòng)到A桿上，最少需要移動(dòng)的次數(shù)是________.解析直接進(jìn)行分析，將最小的碟子命