離中趨勢測量法

離中趨勢測量法第一頁，共二十三頁，2022年，8月28日所謂離中趨勢，是指數(shù)列中各變量值之間的差距和離散程度。離勢小，平均數(shù)的代表性高；離勢大，平均數(shù)代表性低。

例如有A、B、C、D四組學生各5人的成績?nèi)缦拢?/p>

A組：60，60，60，60，60

B組：58，59，60，61，62

C組：40，50，60，70，80

D組：80，80，80，80，80

數(shù)據(jù)顯示，平均數(shù)相同，離勢可能不同；平均數(shù)不同，離勢可能相同。2023/2/16第二頁，共二十三頁，2022年，8月28日變異指標如按數(shù)量關(guān)系來分有以下兩類；凡用絕對數(shù)來表達的變異指標，統(tǒng)稱絕對離勢;凡用相對數(shù)來表達的變異指標，統(tǒng)稱相對離勢;主要有極差、平均差、四分位差、標準差等。主要有異眾比率、標準差系數(shù)、平均差系數(shù)和一些常用的偏態(tài)系數(shù)。

變異指標用以反映總體各單位標志值的變動范圍或參差程度，與平均指標相對應，從另一個側(cè)面反映了總體的特征。

2023/2/16第三頁，共二十三頁，2022年，8月28日第一節(jié)全距與四分位差1.全距(Range)

R=Xmax–Xmin

[例]求74，84，69，91，87，74，69這些數(shù)字的全距。

[解]把數(shù)字按順序重新排列：69，69，74，74，84，87，91，顯然有

R=Xmax–Xmin

＝91—69＝22全距（R）：最大值和最小值之差。也叫極差。全距越大，表示變動越大。2023/2/16第四頁，共二十三頁，2022年，8月28日運用上述方法計算左邊數(shù)列的全距對分組資料，不能確知最大值和最小值，求全距：（1）用組值最大組的組中值減去最小組的組中值（2）用組值最大組的上限減去最小組的下限（3）用組值最大組的組中值減去最小組的下限；或最大組的上限減去最小組的組中值2023/2/16第五頁，共二十三頁，2022年，8月28日優(yōu)點：缺點：計算簡單、直觀。（1）受極端值影響大；（2）沒有量度中間各個單位間的差異性，數(shù)據(jù)利用率低，信息喪失嚴重；（3）受抽樣變動影響大，大樣本全距比小樣本全距大。2023/2/16第六頁，共二十三頁，2022年，8月28日2.四分位差(Quartiledeviation)

第三四分位數(shù)和第一四分位數(shù)的半距。避免全距受極端值影響大的缺點。求下列兩組成績的四分位差：A:788082858987908679888481B:5568788899100989085838481請大家計算一下，看能否算對2023/2/16第七頁，共二十三頁，2022年，8月28日第二節(jié)平均差(Meanabsolutedeviation)要測定變量值的離中趨勢，尤其是要測定各變量值相對于平均數(shù)的差異情況，一個很自然的想法就是計算各變量值與算術(shù)平均數(shù)的離差。平均差是離差絕對值的算術(shù)平均數(shù)。（meandeviation)1.對于未分組資料

A·D=

2.對于分組資料A·D=3.平均差的性質(zhì)

在受抽樣變動、極端值影響，處理不確定組距方面均同于算術(shù)平均數(shù)；不適于代數(shù)運算，其理論意義不易闡述。2023/2/16第八頁，共二十三頁，2022年，8月28日

[例1]試分別以算術(shù)平均數(shù)為基準，求85，69，69，74，87，91，74這些數(shù)字的平均差。

[例2]試以算術(shù)平均數(shù)為基準，求下表所示數(shù)據(jù)的平均差。

計算左邊數(shù)列的平均差2023/2/16第九頁，共二十三頁，2022年，8月28日第三節(jié)標準差（standarddeviation)

各變量值對其算術(shù)平均數(shù)的離差平方的算術(shù)平均數(shù)的平方根，均方差，又稱用S表示。

即克服平均差帶有絕對值的缺點，又保留其綜合平均的優(yōu)點。1.對于未分組資科

2023/2/16第十頁，共二十三頁，2022年，8月28日

求72、81、86、69、57這些數(shù)字的標準差。2023/2/16第十一頁，共二十三頁，2022年，8月28日2.對于分組資料

計算左邊數(shù)列的標準差2023/2/16第十二頁，共二十三頁，2022年，8月28日

計算左邊數(shù)列的標準差

[例]調(diào)查大一男生60人的身高情況如下表所示，求他們身高的標準差。2023/2/16第十三頁，共二十三頁，2022年，8月28日

[解]因為是分組資料，計算標準差運用加權(quán)式，并參見下表2023/2/16第十四頁，共二十三頁，2022年，8月28日標準差是反映總體各單位標志值的離散狀況和差異程度的最佳測度。（1）以算術(shù)平均數(shù)為基準計算的標準差比以其他任何數(shù)值為基準計算的標準差要小?！白钚《朔健毙再|(zhì)——各變量值對算術(shù)平均數(shù)的離差的平方和，必定小于他們對任何其他數(shù)偏差的平方和。（2）它將總體中各單位標志值的差異全包括在內(nèi)，受抽樣變動影響小。但在受極端值影響以及處理不確定組距方面，缺點同算術(shù)平均數(shù)。值得注意的是，在推論統(tǒng)計中我們將發(fā)現(xiàn)，方差是比標準差更有理論價值的概念。所謂方差，即標準差的平方，它直接寫成。也常被稱為變異數(shù)。3.標準差的性質(zhì)2023/2/16第十五頁，共二十三頁，2022年，8月28日4.標準分(standardscore)

以離差和標準差的比值來測定變量與的相對位置。使原來不能直接比較的離差標準化，可以相互比較，加、減、平均。

（1）Z是和X一一對應的變量值；（2）Z分數(shù)沒有單位，是一個不受原資料單位影響的相對數(shù)，所以可以用于不同單位資料的比較；（3）Z分數(shù)實際表達了變量值距總體均值有幾個標準差。2023/2/16第十六頁，共二十三頁，2022年，8月28日

Z分數(shù)也有標準正態(tài)變量之稱。按Z值大小編制出的正態(tài)分布表，其用途十分廣泛。

Z分數(shù)的性質(zhì)：Z分數(shù)之和等于0Z分數(shù)的算術(shù)平均數(shù)等于0Z分數(shù)的標準差等于1，方差也等于12023/2/16第十七頁，共二十三頁，2022年，8月28日第四節(jié)相對離勢上述各種反映離中趨勢的變異指標，都具有和原資料相同的計算單位，稱絕對離勢。但欲比較具有不同單位的資料的參差程度，或比較單位雖相同而均值不相同的資料的參差程度，離勢的絕對指標則很可能導致某些錯誤結(jié)論。所以，我們還得了解和學習相對離勢。

1.變異系數(shù)

絕對離勢統(tǒng)計量與其算術(shù)平均數(shù)的比率，用V

表示。變異系數(shù)是最具有代表性的相對離勢。

2023/2/16第十八頁，共二十三頁，2022年，8月28日全距系數(shù)全距系數(shù)是眾數(shù)據(jù)的全距與其算術(shù)平均數(shù)之比，其計算公式是平均差系數(shù)平均差系數(shù)是眾數(shù)據(jù)的平均差與其算術(shù)平均數(shù)之比，其計算公式是標準差系數(shù)

標準差系數(shù)是眾數(shù)據(jù)的標準差與其算術(shù)平均數(shù)之比，其計算公式是2023/2/16第十九頁，共二十三頁，2022年，8月28日

2.異眾比率

所謂異眾比率，是指非眾數(shù)的頻數(shù)與總體單位數(shù)的比值，用V·R來表示

其中：為眾數(shù)的頻數(shù)；是總體單位數(shù)

異眾比率能表明眾數(shù)所不能代表的那一部分變量值在總體中的比重。2023/2/16第二十頁，共二十三頁，2022年，8月28日

例1：某項調(diào)查發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)今三口之家的家庭最多（32%），求異眾比率。某開發(fā)商根據(jù)這一報導，將房屋的戶型大部分都設計為適合三口之家居住的樣式和面積，你認為如何呢？例2：設為測體重，得到成人組和嬰兒組各100人的兩個抽樣總體。成人組平均體重為65千克，全距為10千克；嬰兒組平均體重為4千克，全距為2.5千克。能否認為成人組體重的離勢比嬰兒組體重的離勢大？

例3：對一個群體測量身高和體重，平均身高為170.2厘米，身高標準差為5.30厘米；平均體重為70千克，體重標準差為4.77千克。比較身高和體重的離散程度。2023/2/16第二十一頁，共二十三頁，2022年，8月28日3.偏態(tài)系數(shù)我們在前面討論統(tǒng)計圖時已經(jīng)對頻數(shù)分布的正態(tài)和偏態(tài)有所認識。我們又看到了算術(shù)平均數(shù)與中位數(shù)、眾數(shù)之間存在的關(guān)系：當總體呈對稱分布時，、、三者完全相等；當總體呈不對稱的偏態(tài)分布時，它們之間存在著數(shù)量(位置)的差異。因此，偏態(tài)可由與的差來表示，即

為了使不同數(shù)列的偏態(tài)值可比，同樣可計算偏態(tài)的相對數(shù)，即偏態(tài)系數(shù)，