2021-2022學年湖南省衡陽市祁東縣高一下學期期末數(shù)學試題【含答案】

2021-2022學年湖南省衡陽市祁東縣高一下學期期末數(shù)學試

題

一、單選題

1.復數(shù)2=（9-714在復平面內對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

A

【分析】根據(jù)復數(shù)的乘法運算算出z,然后可得答案.

【詳解】由題意得z=7+9i,所以z在復平面內對應的點位于第一象限.

故選：A

「V13

2.記的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若4,2a=3c,則

sinZ=（）

旦空空直

A.4B.8C.9D.9

B

【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關系以及正弦定理可求得sinN的值.

cosC=sinC=V1-cos2C=

【詳解】因為4,則C為銳角，且4,

..3.3百3石

sinJ=—sinC=—x——=---

因為2。=3。，由正弦定理可得2248.

故選:B.

3.已知某圓柱的高為5,底面半徑為百，則該圓柱的體積為（）

A.67rB.9兀

C.12兀D.15兀

D

【分析】直接利用圓柱的體積的公式求解.

【詳解】解：由題意得該圓柱的體積為萬,（^『.5=15〃

故選：D

4.如圖，在7x5正方形網(wǎng)格中，向量3,取滿足￡，石,則方-通+元=（）

A.2

-3a+—b3a--b

C.2D.2

【分析】由向量加減法運算法則，得到所求向量為反，再由向量減法的三角形法則,

以及向量數(shù)乘運算，計算答案.

AB-AD+BC=DB+BC=DC=-3a+-b

【詳解】由題意得2,

故選：C.

5.分別投擲兩枚質地均勻的骰子，設事件4="兩枚骰子的點數(shù)都是奇數(shù)”，事件

8="兩枚骰子的點數(shù)都是偶數(shù)“，事件C="兩枚骰子點數(shù)之和為奇數(shù)”，則事件4U8與

事件C()

A.不互斥B.互斥但不對立

C.互為對立D.以上說法都不對

C

【分析】由事件互斥與事件對立的定義即可判斷

【詳解】投擲兩枚質地均勻的骰子共有三種結果，一奇一偶，兩奇，兩偶，所以和事

件AUB與事件C互為對立

故選：C

6.一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為56,59,60,62,a,若這組數(shù)據(jù)的極差為7,

則這組數(shù)據(jù)的方差為()

A.30B.6C.25D.5

B

【分析】由極差定義求得。，再根據(jù)方差定義計算方差.

56+59+60+62+63”

---------------------------=60

【詳解】由題意得4=56+7=63,所以這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5

16+1+0+4+9/

------------=6

方差為5

故選：B.

7.甲、乙兩位同學暑假計劃從吉林省去河北省旅游，他們所搭乘動車的“3+2”座位車

廂如圖所示，若這兩位同學買到了同一排的座位，則他們的座位正好相鄰的概率為

()

2122

A.5B.2c.5D.10

D

【分析】根據(jù)給定條件，利用古典概率公式結合列舉法求解作答.

【詳解】設事件M為“他們的座位正好相鄰”，

甲乙二人買到同一排4B,C,D,式5個座位中的兩個形成的樣本空間為Q,

則。={/8,4（7,/。,工尸,8。,8/）,8尸,67）,。尸,￡）尸},共包含［（）個樣本點，

3

其中事件”={/8,8C,〃F},包含3個樣本點，則有"“）一而，

3

所以他們的座位正好相鄰的概率為1°.

故選：D

8.燈籠起源于中國的西漢時期，兩千多年來，每逢春節(jié)人們便會掛起象征美好團圓意

義的紅燈籠，營造一種喜慶的氛圍.如圖1,某球形燈籠的輪廓由三部分組成，上下

兩部分是兩個相同的圓柱的側面，中間是球面的一部分（除去兩個球冠）.如圖2,球

冠是由球面被一個平面截得的，垂直于截面的直徑被截得的部分叫做球冠的高，若球

冠所在球的半徑為R,球冠的高為/?,則球冠的面積5=2萬股.已知該燈籠的高為

46cm,圓柱的高為3cm,圓柱的底面圓直徑為30cm,則圍成該燈籠所需布料的面積為

)

圖2

A.2090^-cm2B.2180^-cm2C.2340萬cm?D.2430^cm

B

【分析】由勾股定理求出&,則〃=A-20=5cm,分別求出兩個球冠的表面積、燈籠

中間球面的表面積、上下兩個圓柱的側面積即可求出圍成該燈籠所需布料的面積.

［詳解］由題意得<2),得火=25cm,A-25-20=5cm,

2

所以兩個球冠的表面積之和為2s=4兀Rh=5OO^cm,

燈籠中間球面的表面積為4萬尸-500萬=2000萬cm?.

因為上下兩個圓柱的側面積之和為2x3(hrx3=180^-cm2,

所以圍成該燈籠所需布料的面積為2000萬+180%=2180^-cm2.

故選：B.

二、多選題

9.如圖，四邊形/BCD的斜二測直觀圖為等腰梯形HB'C'D,已知H8'=2C'D'=4,

A.A'D'=72

B.BC=2>/2

C.四邊形48CD的周長為6+2及+2打

D.四邊形/BCD的面積為6及

ACD

【分析】利用斜二測畫法的規(guī)則，逐個求解邊長，根據(jù)選項可得答案.

【詳解】由已知等腰梯形中，/。才8'=45。,48'=2。'￡)'=4,所以0。'=收，

71

由斜二測畫法得，在原圖直角梯形/8CD中，AB=2CD=4,"O=2&.乙BAD=2,

易得BC=2百,

2+4*2后_6五

所以四邊形/8CQ的周長為6+20+2月，面積為丁、~.

故選：ACD.

C.|2z「Z2|=37D.4+2Z2的共扼復數(shù)為2-3i

AD

【分析】先由4+的為純虛數(shù)，2仔2<0,求出。，6的值，然后逐個分析判斷即可

【詳解】由4+z2=(a+2)+3+l)i為純虛數(shù)，得。=-2,且必-1,

由NR?=(a+i)(2+bi)=2。一b+(ab+2)i<0

得時=-2,且24”<0,得6=1,

所以|24-Z2|=|-6+i|=歷,Z|+2Z2=2+3i的共軌復數(shù)為2-3i,

所以AD正確，BC錯誤，

故選：AD

11.從參加安全知識競賽的學生中隨機抽出40名學生，將其成績(均為整數(shù))整理后

畫出的頻率分布直方圖如圖所示.已知65分以下的學生共16人，則下列說法正確的

是()

b

0.025

A.a=0.015

B.這40名學生的平均成績約為66分

C.根據(jù)此頻率分布直方圖可計算出這40名學生成績的中位數(shù)約為70分

D.根據(jù)此頻率分布直方圖可計算出這40名學生成績的上四分位數(shù)約為77分

ABD

【分析】A.根據(jù)65分以下的學生共16人求解判斷；B.利用平均數(shù)公式求解判斷；C.利

用中位數(shù)公式求解判斷D.利用四分位數(shù)定義求解判斷.

【詳解】由題意得l°(2a+°?°l)x4°=16,得a=o.oi5,A正確；

由10伍+0.025+0.005)x40=24,得b=0.03,

所以40名學生的平均成績約為40X0.1+50X0.15+60X0.15+70X

0.3+80x0.25+90x0.05=66分，g正確.

設這40名學生成績的中位數(shù)為x分，

則0.1+0.15+0.15+0.03(x-65)=0.5,得x=68.3,C錯誤;

設這40名學生成績的上四分位數(shù)為y分，則°」+°」5+0.15+0.3+0.025&-75)=0.75,

得夕=77,口正確.

故選：ABD

12.如圖，在棱長為2的正方體"88一"4G。中，E是棱42的中點，過G"作正

方體的截面夕交棱"4于尸，則()

A.當時，截面為等腰梯形

B.當1<4尸<2時，截面為六邊形

C.當“尸=2時，截面面積為2幾

2?3ri---3-2-7--1-3-

D.當,-2時，截面。與平面8CC4所成的銳二面角的正切值為3

ACD

【分析】當"尸=1時，易得截面為四邊形EF2G,可判斷A；當1<4尸<2時，

AB,8c上（不含端點）各有一個截點，所以截面為五邊形，可判斷B；當4/=2時,

設8c的中點為“，易得截面為四邊形"EG”,求出截面的面積可判斷C；如圖，過

尸作尸垂直”R于點P,延長FE,DR交于點0,過R作AO垂直于點0,求出

截面a與平面8CG與所成的銳二面角的大小等于平面瓦7G與平面所成的銳二

面角，/"QG即所求的銳二面角，求出tan'AOG即可判斷口.

【詳解】當"尸=1時，易得截面為四邊形EF8G,

o

易證EF//8G,且EF_QBCI,BF=EG,所以截面為等腰梯形，A正確.

當1<4尸<2時，的8c上（不含端點）各有一個截點，所以截面為五邊形，B錯

誤.

當4尸=2時，設8c的中點為易得截面為四邊形附“，易得"M=CM=若,

?、區(qū)4M*/

A2x—x2>/3x>/5-3=276

G=273,所以四邊形'EG”的面積為2,c正確.

如圖，過尸作EP垂直于點P,延長FE,DD、交于點0,過A作。。垂直EO于

點0,因為平面平面8CC百，所以截面a與平面所成的銳二面角的大

小等于平面EFG與平面所成的銳二面角的大小.因為GA1平面所

3

以所以eoc唧所求的銳二面角.易得DQ-'P-],FO=屈，由

C.D.2g

D}QFPFP3

sinZFOP=DtQ=—DtO=^tan/0G=

~Dp~~FOF0。市:丁

,得,13,所以D

正確.

故選：ACD.

三、填空題

1+i

13.2^3i=.

15.5.1

----1---]--1----

13131313

【分析】利用復數(shù)的除法化簡可得結果.

1+i_（l+i）（2+3i）_15

--------------------------1---1

【詳解】由題意可得2-3]（2-3i）（2+3i）1313

----1---1

故答案為.1313

14.駕照考試一共有四個科目：科目一（駕駛員理論考試）、科目二（場地駕駛技能考

試）、科目三（道路駕駛技能考試）、科目四（安全文明駕駛常識考試）.只有四個科目

都通過才能取得駕照.若某學員四個科目通過的概率依次是0?9、0.8、0.8、0.9,且

每個科目是否通過相互之間沒有影響，則該學員拿到駕照的概率為.

324

0.5184625

【分析】利用獨立事件的概率乘法公式計算可得結果.

【詳解】由題意得，該學員拿到駕照的概率為0?9X0.8X0.8X0.9=0.5184.

故答案為.°$184

15.剪紙藝術是一種中國傳統(tǒng)的民間工藝，它源遠流長，經久不衰，已成為世界藝術

寶庫中的一種珍藏.某學校為了豐富學生的課外活動，組織了剪紙比賽，小明同學在

觀看了2022年北京冬奧會的節(jié)目《雪花》之后，被舞臺上一片片漂亮的“雪花”所吸引,

決定用作品“雪花”參加剪紙比賽.小明的參賽作品“雪花”如圖1所示，它的平面圖可

簡化為圖2的平面圖形，該平面圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，其中，

P為該平面圖形上的一個動點（含邊界），六邊形48CQEF為正六邊形，

DC=4CK=4JK=8,CK1JK,△〃/?/為等邊三角形，則/8/P的最大值為

112+16616百+112

【分析】由題意可知萬?萬可以是還與開在刀上投影向量的數(shù)量積.結合圖形可

知當戶與/重合時，取到最大值.

【詳解】前?萬可以是在與萬在荏上投影向量的數(shù)量積.如圖，把題中圖2的平

面圖形順時針旋轉30°,設正六邊形/88E尸的中心為°,

連接C”,CJ,連接我/,交HJ于點、L,易得0,C在尸/上，HJ1C1.

過/作垂足為點M,過C作CN_LZ8,垂足為點N.

r-ZLCJ=—

由題意得C〃=G7=2應，12,所以CL=C7cos4c7r

HJ=2HL=2CJsinZZ.CJ=2（73+1）

所以2,所以C/=2+2j3.易證四邊形CMW為矩形，

所以MN=C7=2+26,易得斯-萬叱一4,

所以AM=AB+BN+NM=14+26.

所以當尸與/重合時,超方］=同西=8X"+26）=112+166

故112+166

四、雙空題

16.記“8C的內角4,B,C的對邊分別為a,b,c,若2兒os"=asin8,且

6=2,'=石，則5114=,8c邊上的高為.

也26生后

55,55?

【分析】化簡26cosN=asin8得到tanZ=2,再利用余弦定理求出°=石，設8c邊

上的高為人利用三角形的面積公式得解.

【詳解】解：由題意得2sin8cos4=sin"sin8,得tan/=2,

所以A為銳角，

..275.V5

sinJ=---,cosA=——

所以55,

由余弦定理〃=62+C2-26CCOS/=4,得竊=石.

S=—ftcsin^=—ah

設8c邊上的高為九ARC則22,

,6csin44后

h=---------=------

得a5

26475

故5,5.

五、解答題

17.已知點4(2,-1),B(3,1),C(1,-2).

(1)求向量方與灰夾角的余弦值：

⑵若向量方■[■(荏+'而，求實數(shù)r的值.

3>/10

⑴一句

5

t=-

⑵3

【分析】(1)利用向量的夾角公式進行求解.

(2)利用向量垂直的充要條件進行求解.

【詳解】(1)因為點N(2,-1),B(3,1),C(1,-2),

所以荏=(3,1)-(2,-1)=(1,2),

^C=(l,-2)-(2,-1)=(-1,-1)

3V10

cos(AB,AC)=AB-AC

10

所以I萬H瑟I

(2)因為點4(2,-1),B(3,1),C(1,-2),

所以您=(3,1)-(2,-1)=(1,2),

^C=(l,-2)-(2,-1)=(-1,-1)

所以方+，就=(l,2)+?-l,-l)=(lT,2-f)

乂因為AB-L(,AB+tAO

所以Z8,(48+f/C)=l—1+4—2/=0,

_5

解得

18.如圖，在四棱錐P-48CZ)中，底面/8CO是正方形，△P/8為正三角形，且平面

PABL]^ABCD,AD=2,。為4c與8。的交點.

(1)求四棱錐P—ABCD的體積;

(2)證明CCP°.

4G

(1)3

(2)證明見解析

【分析】(1)作N8中點E,連接PE,得PEL4B,由已知面面垂直得到線面垂直，從

而得到PE為錐體的高，用體積公式計算即可.

(2)連接OE,證平面PE。，得到N81P。，由線線平行證得CD_LP。.

【詳解】(1)解：取48的中點E,連接PE.

p

?：APAB為正三角形，PE工4B

?平面尸底面Z8C￡>,且平面尸/BPI底面/8CO=/8,PEu平面p/g

??.PE1底面ABCD

Vp.BCD=jx2x2xJ4-1=

z-ZIDCZ./33

(2)證明：連接OE

???底面/8CO是正方形，.=

■：PE,E0u平面PEO.PECE°=E,又PE_L4B

.?./8±平面PEO.

又尸。u平面PE。

...AB1PO

...ABUCD...CD1PO

19.記A48c的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c,已知.

在①2cos2c-8cos(1+8)+5=0,②sin?A+sin2B+sinsinB=sin2c這兩個條件中

任選一個，補充在上面的橫線上，并解答下列問題.

(1)求C的大??；

⑵若A/8C的面積為百，且c=E,求“8C的周長.

27r

(1)T

(2)372+714

【分析】(1)選①，由誘導公式以及二倍角的余弦公式可得出關于cosC的二次方程,

求出cosC的值，結合角C的取值范圍可求得角C的值；

選②，由正弦定理邊角互化結合余弦定理可求得cosC的值，結合角C的取值范圍可

求得角C的值；

(2)利用三角形的面積公式可求得必的值，再利用余弦定理可求得的值，進而

可求得△4BC的周長.

【詳解】⑴解：選擇①，因為2cos2。-8cos(4+8)+5=0,即

2(2cos2C-1)-8cos(^--C)+5=0

即4cos2C+8cosC+3=0,即Gcos。+1)QcosC+3)=。，

「2乃

cosC=——C=——

,??O<c<%,則-1<COSC<1,得2,即3.

選擇②，由sin?/+sin28+sinZsinB=sin2C及正弦定理可得/+b2+ab=c2,

222

「a+b-c1

,,,cosC=---------------=—

即。-+從-/=-血所以2ab2,

C=—

因為0<C<),即3.

—a/>sinC=^-ab-G

(2)解：由A/8C的面積24,得仍=4.

由3=/+/-2abcosc,得14=4?+b2+ab,

得(a+b)2=18,即q+6=30,故“8C的周長為3&+9.

20.某農戶從一批待售的蘋果中隨機抽取100個，對樣本中每個蘋果稱重，數(shù)據(jù)如下

表.

[0.0[0.0[0.1[0.1[0.1[0.

質量(單位：千克)

個數(shù)10102040155

若將這批蘋果按質量大小進行分級，質量不小于0.12千克的蘋果為一級果；質量不小

于0.1千克且小于0.12千克的蘋果為二級果；質量在0.1千克以下的蘋果為三級果.

(1)從樣本中按等級進行分層抽樣，隨機抽取5個蘋果放入袋子，現(xiàn)采用不放回方式從

袋子中依次隨機取出2個蘋果，求第二次取到二級果的概率.

(2)若將這批蘋果按等級出售，一級果的售價為10元/千克；二級果的售價為8元/千克;

三級果的售價為6元/千克.經估算，這批蘋果有個，求該批蘋果的銷售收入約為多少

元.(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)

3

(1)5

⑵元

【分析】(1)根據(jù)分層抽樣得定義分別求出三種等級得果子得個數(shù)，然后利用列舉法

結合古典概型即可得出答案；

(2)先分別求出三個等級果子得個數(shù)，然后再求出三個等級果子得質量，從而可得出

答案.

【詳解】(1)解：由分層抽樣法的定義知，從樣本中按照等級分層抽樣，隨機抽取的5

個蘋果中，一級果有1個，記為力,二級果有3個，記為4，B2,打，三級果有1個,

記為C,

依次不放回地取出2個，包含20個基本事件：(4,用)，(力，B?),(出與)，

(A,C),(5',A),B\B"用居，,o,(%z),5i,

斗鳥，(52,C),(4,Z),B3B\,B3B2,(約，C),(C,N),

(C,Bl),(C,%,c4),

記“第二次取到二級果”為事件M,則事件M包含12個基本事件，

所以''205,

3

所以第二次取到二級果的概率為《；

(2)解：由樣本知，這批蘋果中一級果占20%,二級果占60%,三級果占20%,

所以個蘋果中一級果有30000個，二級果有90000個，三級果有30000個，

一級果的質量約為(0.125x15+0.135x5)+20x30000=3825千克

二級果的質量約為(°，1°，x2°+115x40)+60x90000=10050千克，

總售價約為3825x10+10050x8+2700x6=l34850元,

所以該批蘋果的銷售收人約為元.

21.如圖，四棱柱"88-44GA的底面48cD為正方形，。為8。的中點，4°1

44=24B=4

底ABCD,

⑴求證：平面48。||平面8百.

(2)求直線與平面BDD向所成角的正弦值.

(1)證明見解析

V7

⑵8

【分析】(1)由四棱柱的性質和已知可證得四邊形44co為平行四邊形，則

4°1產0,由線面平行的判定可得4。II平面C0￡,同理可證得481|平面CDS,從

而由面面平行的判定定理可證得結論，

(2)連接4G,交B自于3,連接°a,可證得8OJ■平面4。0,在平面4。。內作

A<E1O<°,垂足為&連接8E,則/"田￡就是直線48與平面8。。4所成的角，再

由已知求出4瓦/田，從而可求出結果

【詳解】(1)證明：因為四棱柱的底面48C。為正方形，

所以A\B\=AB,AB||CD,AB=CD,

所以4%,CDAB,=CD,

所以四邊形48co為平行四邊形，

所以他科c

又4。a平面?！?

所以4。II平面8百，

同理4,平面。￡.

又A[DoA[B=4

所以平面48。||平面

(2)解：如圖，連接4G,交3Q于q,連接?！恪?/p>

則BA_L4G,

又㈣IBQ,

所以8"4cL即8"401.

因為4°，底面/8C￡),BDu底面4BCD,

所以40_LB。，又4Qic4Q=4,

所以8OJ.平面400,

在平面40。內作4E，00,垂足為E,則BC4E,

又0QcBD=。,所以平面BO￡)￡,

連接8￡,則/"/E就是直線與平面80。百所成的角，設為火

因為"4=248=4,//8C=90°,

所以4Q=&,40=至

40-40,_VuxV2_V7

/itLL-=-------

在RS400中，42.

在RS408中，4B=』3+OB2=而區(qū)=4

sin”姮色

所以A'B8.

V7

故直線48與平面8OD4所成角的正弦值為8

22.甲，乙兩人進行圍棋比賽，采取積分制，規(guī)則如下：每勝1局得1分，負1局或

平局都不得分，積分先達到2