杭州市重點(diǎn)中學(xué)2023年高三一診考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，則（）A．4 B．3 C．2 D．12．已知向量，且，則等于（）A．4 B．3 C．2 D．13．已知集合，，則A． B． C． D．4．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．已知函數(shù)，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．6．已知定義在上的偶函數(shù)滿足，且在區(qū)間上是減函數(shù)，令，則的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．7．已知的值域?yàn)椋?dāng)正數(shù)a，b滿足時(shí)，則的最小值為（）A． B．5 C． D．98．已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是①函數(shù)的最小正周期為；②函數(shù)的圖象是軸對(duì)稱圖形；③函數(shù)的極大值為；④函數(shù)的最小值為．A．①③ B．②④C．②③ D．②③④9．已知平面，，直線滿足，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．即不充分也不必要條件10．設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，且，則點(diǎn)的軌跡方程是（）A． B．C． D．11．函數(shù)的部分圖像大致為（）A． B．C． D．12．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，將這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)擺放成如圖所示的數(shù)陣.記為數(shù)陣從左至右的列，從上到下的行共個(gè)數(shù)的和，則數(shù)列的前2020項(xiàng)和為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知角的終邊過(guò)點(diǎn)，則______.14．已知是拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)作直線與相交于兩點(diǎn)，且在第一象限，若，則直線的斜率是_________．15．如圖，在平面四邊形中，點(diǎn)，是橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，，記和的面積分別為，，則______.16．若函數(shù)（）的圖象與直線相切，則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；(2)若直線與曲線，的交點(diǎn)分別為、（、異于原點(diǎn)），當(dāng)斜率時(shí)，求的最小值.18．（12分）某客戶準(zhǔn)備在家中安裝一套凈水系統(tǒng)，該系統(tǒng)為二級(jí)過(guò)濾，使用壽命為十年如圖所示兩個(gè)二級(jí)過(guò)濾器采用并聯(lián)安裝，再與一級(jí)過(guò)濾器串聯(lián)安裝.其中每一級(jí)過(guò)濾都由核心部件濾芯來(lái)實(shí)現(xiàn)在使用過(guò)程中，一級(jí)濾芯和二級(jí)濾芯都需要不定期更換（每個(gè)濾芯是否需要更換相互獨(dú)立）.若客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時(shí)購(gòu)買濾芯，則一級(jí)濾芯每個(gè)160元，二級(jí)濾芯每個(gè)80元.若客戶在使用過(guò)程中單獨(dú)購(gòu)買濾芯則一級(jí)濾芯每個(gè)400元，二級(jí)濾芯每個(gè)200元.現(xiàn)需決策安裝凈水系統(tǒng)的同時(shí)購(gòu)買濾芯的數(shù)量，為此參考了根據(jù)100套該款凈水系統(tǒng)在十年使用期內(nèi)更換濾芯的相關(guān)數(shù)據(jù)制成的圖表，其中表1是根據(jù)100個(gè)一級(jí)過(guò)濾器更換的濾芯個(gè)數(shù)制成的頻數(shù)分布表，圖2是根據(jù)200個(gè)二級(jí)過(guò)濾器更換的濾芯個(gè)數(shù)制成的條形圖.表1：一級(jí)濾芯更換頻數(shù)分布表一級(jí)濾芯更換的個(gè)數(shù)89頻數(shù)6040圖2：二級(jí)濾芯更換頻數(shù)條形圖以100個(gè)一級(jí)過(guò)濾器更換濾芯的頻率代替1個(gè)一級(jí)過(guò)濾器更換濾芯發(fā)生的概率，以200個(gè)二級(jí)過(guò)濾器更換濾芯的頻率代替1個(gè)二級(jí)過(guò)濾器更換濾芯發(fā)生的概率.（1）求一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級(jí)濾芯總個(gè)數(shù)恰好為16的概率；（2）記表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的二級(jí)濾芯總數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）記分別表示該客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時(shí)購(gòu)買的一級(jí)濾芯和二級(jí)濾芯的個(gè)數(shù).若，且，以該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購(gòu)買各級(jí)濾芯所需總費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，試確定的值.19．（12分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)在處的切線方程（2）設(shè)函數(shù)，對(duì)于任意，恒成立，求的取值范圍.20．（12分）如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)P，Q分別為，的中點(diǎn).求證：（1）PQ平面；（2）平面.21．（12分）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，,已知，.（1）求；（2）若的面積，求.22．（10分）選修4-5：不等式選講設(shè)函數(shù)f(x)=|x-a|,a<0．（1）證明:f(x)+f(-1（2）若不等式f(x)+f(2x)<12的解集非空，求

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列公式直接計(jì)算得到答案.【詳解】由成等比數(shù)列得，即，已知，解得.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列的基本量的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.2、D【解析】

由已知結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解．【詳解】因?yàn)?，且，，則．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量垂直的坐標(biāo)表示，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題．3、C【解析】分析：根據(jù)集合可直接求解.詳解：,,故選C點(diǎn)睛：集合題也是每年高考的必考內(nèi)容，一般以客觀題形式出現(xiàn)，一般解決此類問(wèn)題時(shí)要先將參與運(yùn)算的集合化為最簡(jiǎn)形式，如果是“離散型”集合可采用Venn圖法解決，若是“連續(xù)型”集合則可借助不等式進(jìn)行運(yùn)算.4、D【解析】

由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求出，再寫出其共軛復(fù)數(shù)，得共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)．得結(jié)論．【詳解】，，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，在第四象限．故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查共軛復(fù)數(shù)的概念，考查復(fù)數(shù)的幾何意義．掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．5、B【解析】

根據(jù)所給函數(shù)解析式，畫出函數(shù)圖像.結(jié)合圖像，分段討論函數(shù)的零點(diǎn)情況：易知為的一個(gè)零點(diǎn)；對(duì)于當(dāng)時(shí)，由代入解析式解方程可求得零點(diǎn)，結(jié)合即可求得的范圍；對(duì)于當(dāng)時(shí)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可判斷的范圍.綜合后可得的范圍.【詳解】根據(jù)題意，畫出函數(shù)圖像如下圖所示：函數(shù)的零點(diǎn)，即.由圖像可知，，所以是的一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，若，則，即，所以，解得；當(dāng)時(shí)，，則，且若在時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)，則，綜上可得，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的畫法，函數(shù)零點(diǎn)定義及應(yīng)用，根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，導(dǎo)數(shù)的幾何意義應(yīng)用，屬于中檔題.6、C【解析】

可設(shè)，根據(jù)在上為偶函數(shù)及便可得到：，可設(shè)，，且，根據(jù)在上是減函數(shù)便可得出，從而得出在上單調(diào)遞增，再根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算得到、、的大小關(guān)系，從而得到的大小關(guān)系.【詳解】解：因?yàn)?，即，又，設(shè)，根據(jù)條件，，；若，，且，則：；在上是減函數(shù)；；；在上是增函數(shù)；所以，故選：C【點(diǎn)睛】考查偶函數(shù)的定義，減函數(shù)及增函數(shù)的定義，根據(jù)單調(diào)性定義判斷一個(gè)函數(shù)單調(diào)性的方法和過(guò)程：設(shè)，通過(guò)條件比較與，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題.7、A【解析】

利用的值域?yàn)?求出m,再變形,利用1的代換,即可求出的最小值.【詳解】解：∵的值域?yàn)?∴,∴,∴,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),∴的最小值為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)數(shù)復(fù)合函數(shù)的值域運(yùn)用,同時(shí)也考查了基本不等式中“1的運(yùn)用”,屬于中檔題.8、D【解析】

因?yàn)?，所以①不正確；因?yàn)?，所以，，所以，所以函?shù)的圖象是軸對(duì)稱圖形，②正確；易知函數(shù)的最小正周期為，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以只需研究函數(shù)在上的極大值與最小值即可．當(dāng)時(shí)，，且，令，得，可知函數(shù)在處取得極大值為，③正確；因?yàn)椋?，所以函?shù)的最小值為，④正確．故選D．9、A【解析】

，是相交平面，直線平面，則“”“”，反之，直線滿足，則或//或平面，即可判斷出結(jié)論．【詳解】解：已知直線平面，則“”“”，反之，直線滿足，則或//或平面，“”是“”的充分不必要條件．故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了線面和面面垂直的判定與性質(zhì)定理、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力．10、A【解析】

設(shè)坐標(biāo)，根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算表示出，從而可利用表示出；由坐標(biāo)運(yùn)算表示出，代入整理可得所求的軌跡方程.【詳解】設(shè)，，其中，，即關(guān)于軸對(duì)稱故選：【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求解，涉及到平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算；關(guān)鍵是利用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示出變量，根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可整理得軌跡方程.11、A【解析】

根據(jù)函數(shù)解析式，可知的定義域?yàn)?，通過(guò)定義法判斷函數(shù)的奇偶性，得出，則為偶函數(shù)，可排除選項(xiàng)，觀察選項(xiàng)的圖象，可知代入，解得，排除選項(xiàng)，即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)?，所以的定義域?yàn)椋瑒t，∴為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，排除選項(xiàng)，且當(dāng)時(shí)，，排除選項(xiàng)，所以正確.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)解析式識(shí)別函數(shù)圖象，利用函數(shù)的奇偶性和特殊值法進(jìn)行排除.12、D【解析】

由題意，設(shè)每一行的和為，可得，繼而可求解，表示，裂項(xiàng)相消即可求解.【詳解】由題意，設(shè)每一行的和為故因此：故故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列型數(shù)陣的求和，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，兩角和差正弦公式，求得的值．【詳解】解：∵角的終邊過(guò)點(diǎn)，∴，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，兩角和差正弦公式，屬于基礎(chǔ)題．14、【解析】

作出準(zhǔn)線，過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，利用拋物線的定義把拋物線點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，利用平面幾何知識(shí)計(jì)算出直線的斜率．【詳解】設(shè)是準(zhǔn)線，過(guò)作于，過(guò)作于，過(guò)作于，如圖，則，，∵，∴，∴，∴，，∴，∴直線斜率為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題，解題關(guān)鍵是利用拋物線的定義，把拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，用平面幾何方法求解．15、【解析】

依題意易得A、B、C、D四點(diǎn)共圓且圓心在x軸上，然后設(shè)出圓心，由圓的方程與橢圓方程聯(lián)立得到B的橫坐標(biāo)，進(jìn)一步得到D橫坐標(biāo)，再由計(jì)算比值即可.【詳解】因?yàn)?，所以A、B、C、D四點(diǎn)共圓，直徑為，又A、C關(guān)于x軸對(duì)稱，所以圓心E在x軸上，設(shè)圓心E為，則圓的方程為，聯(lián)立橢圓方程消y得，解得，故B的橫坐標(biāo)為，又B、D中點(diǎn)是E，所以D的橫坐標(biāo)為，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓中的四點(diǎn)共圓及三角形面積之比的問(wèn)題，考查學(xué)生基本計(jì)算能力及轉(zhuǎn)化與化歸思想，本題關(guān)鍵是求出B、D橫坐標(biāo)，是一道有區(qū)分度的壓軸填空題.16、2【解析】

設(shè)切點(diǎn)由已知可得,即可解得所求.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，即，又?所以，即，.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力,難度較易.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）的極坐標(biāo)方程為；曲線的直角坐標(biāo)方程.（2）【解析】

(1)消去參數(shù)，可得曲線的直角坐標(biāo)方程，再利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，即可求解.(2)解法1：設(shè)直線的傾斜角為，把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通坐標(biāo)方程，求得，再把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通坐標(biāo)方程，得，得出，利用基本不等式，即可求解；解法2：設(shè)直線的極坐標(biāo)方程為，分別代入曲線，的極坐標(biāo)方程，得，，得出，即可基本不等式，即可求解.【詳解】(1)由題曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消去參數(shù)，可得曲線的直角坐標(biāo)方程為，即，則曲線的極坐標(biāo)方程為，即，又因?yàn)榍€的極坐標(biāo)方程為，即，根據(jù)，代入即可求解曲線的直角坐標(biāo)方程.(2)解法1：設(shè)直線的傾斜角為，則直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通坐標(biāo)方程得：，解得，，，把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通坐標(biāo)方程得：，解得，，，，，即，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故的最小值為.解法2：設(shè)直線的極坐標(biāo)方程為），代入曲線的極坐標(biāo)方程，得，，把直線的參數(shù)方程代入曲線的極坐標(biāo)方程得：，，即，，曲線的參，即，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故的最小值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了參數(shù)方程與普通方程，以及極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程點(diǎn)互化，以及直線參數(shù)方程的應(yīng)用和極坐標(biāo)方程的應(yīng)用，其中解答中熟記互化公式，合理應(yīng)用直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）0.024；（2）分布列見解析，；（3）【解析】

（1）由題意可知，若一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級(jí)濾芯總個(gè)數(shù)恰好為16，則該套凈水系統(tǒng)中一個(gè)一級(jí)過(guò)濾器需要更換8個(gè)濾芯，兩個(gè)二級(jí)過(guò)濾器均需要更換4個(gè)濾芯，而由一級(jí)濾芯更換頻數(shù)分布表和二級(jí)濾芯更換頻數(shù)條形圖可知，一級(jí)過(guò)濾器需要更換8個(gè)濾芯的概率為0.6，二級(jí)過(guò)濾器需要更換4個(gè)濾芯的概率為0.2，再由乘法原理可求出概率；（2）由二級(jí)濾芯更換頻數(shù)條形圖可知，一個(gè)二級(jí)過(guò)濾器需要更換濾芯的個(gè)數(shù)為4，5，6的概率分別為0.2，0.4，0.4，而的可能取值為8，9，10，11，12，然后求出概率，可得到的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）由，且，可知若，則，或若，則，再分別計(jì)算兩種情況下的所需總費(fèi)用的期望值比較大小即可.【詳解】（1）由題意知，若一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級(jí)濾芯總個(gè)數(shù)恰好為16，則該套凈水系統(tǒng)中一個(gè)一級(jí)過(guò)濾器需要更換8個(gè)濾芯，兩個(gè)二級(jí)過(guò)濾器均需要更換4個(gè)濾芯，設(shè)“一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級(jí)濾芯總個(gè)數(shù)恰好為16”為事件，因?yàn)橐粋€(gè)一級(jí)過(guò)濾器需要更換8個(gè)濾芯的概率為0.6，二級(jí)過(guò)濾器需要更換4個(gè)濾芯的概率為0.2，所以.（2）由柱狀圖知，一個(gè)二級(jí)過(guò)濾器需要更換濾芯的個(gè)數(shù)為4，5，6的概率分別為0.2，0.4，0.4，由題意的可能取值為8，9，10，11，12，從而，，.所以的分布列為891011120.040.160.320.320.16（個(gè)）.或用分?jǐn)?shù)表示也可以為89101112（個(gè)）.（3）解法一：記表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購(gòu)買各級(jí)濾芯所需總費(fèi)用（單位：元）因?yàn)椋遥?°若，則，（元）；2°若，則，（元）.因?yàn)?，故選擇方案：.解法二：記分別表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購(gòu)買一級(jí)濾芯和二級(jí)濾芯所需費(fèi)用（單位：元）1°若，則，的分布列為128016800.60.488010800.840.16該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購(gòu)買的各級(jí)濾芯所需總費(fèi)用為（元）；2°若，則，的分布列為800100012000.520.320.16（元）.因?yàn)樗赃x擇方案：.【點(diǎn)睛】此題考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法及應(yīng)用，考查古典概型，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.19、（1）；（2）【解析】

（1）求出，即可求出切線的點(diǎn)斜式方程，整理即可；（2）的取值范圍滿足，，求出，當(dāng)時(shí)求出，的解，得到單調(diào)區(qū)間，極小值最小值即可.【詳解】（1）由于，此時(shí)切點(diǎn)坐標(biāo)為所以切線方程為.（2）由已知，故.由于，故，設(shè)由于在單調(diào)遞增同時(shí)時(shí)，，時(shí)，，故存在使得且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，也是最小值，故由于，所以，.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、不等式恒成立問(wèn)題，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求最值是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于中檔題.20、（1）見解析（2）見解析【解析】

（1）取的中點(diǎn)D，連結(jié)，.根據(jù)線面平行的判定定理即得；（2）先證，，和都是平面內(nèi)的直線且交于點(diǎn)，由（1）得，再結(jié)合線面垂直的判定定理即得.【詳解】（1）取的中點(diǎn)D，連結(jié)，.在中，P，D分別為，中點(diǎn)，，且.在直三棱柱中，，.Q為棱的中點(diǎn)，，且.，.四邊形為平行四邊形，從而.又平面，平面，平面.（2）在直三棱柱中，平面.又平面，.，D為中點(diǎn)，.由（1）知，，.又，平面，平面，平面.【點(diǎn)睛】本題考查線面平