第三節(jié)矩陣的秩

第三節(jié)矩陣的秩第一頁，共十一頁，2022年，8月28日定義3.1(矩陣的秩定義一)行初等變換行階梯形矩陣行階梯形矩陣非零行的行數(shù)稱為矩陣A的行秩.例1求A和的行秩解:主元1主元2A的行秩的行秩第二頁，共十一頁，2022年，8月28日定義3.2A的行秩和列秩統(tǒng)稱為矩陣A的秩,記為:顯然,注:(1)增廣矩陣的秩行初等變換行階梯形矩陣非零行行數(shù)線性方程組的秩高斯消元法線性方程組中方程的實(shí)際個(gè)數(shù)n元線性方程組Ax=b,的行秩稱為A的列秩矩陣的行秩和列秩相等.第三頁，共十一頁，2022年，8月28日未知數(shù)個(gè)數(shù)基本變量個(gè)數(shù)自由變量個(gè)數(shù)自由變量個(gè)數(shù)方程個(gè)數(shù)=未知數(shù)個(gè)數(shù),唯一解,方程個(gè)數(shù)<未知數(shù)個(gè)數(shù),無窮多解.(2)若線性方程組的系數(shù)矩陣設(shè)方程組有解,方程組中方程個(gè)數(shù),未知數(shù)個(gè)數(shù),行階梯形矩陣非零行行數(shù)or方程組中所含方程實(shí)際個(gè)數(shù)or行階梯形矩陣主元個(gè)數(shù)or基本變量個(gè)數(shù)第四頁，共十一頁，2022年，8月28日定理3.1n元線性方程組Ax=b,(1)Ax=b無解(2)Ax=b有唯一解(3)Ax=b有無窮多解定理3.2n元齊次線性方程組Ax=0,(1)Ax=0只有零解(唯一解)(2)Ax=0有非零解(無窮多解)第五頁，共十一頁，2022年，8月28日例2假設(shè)一個(gè)經(jīng)濟(jì)由煤炭，電力，鋼鐵三部分組成，各部分的分配如圖，1973年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)得主列昂惕夫著名的“投入—產(chǎn)出”模型結(jié)論：存在各部門的總產(chǎn)出的平衡價(jià)格，使每個(gè)部門的總收入等于總支出，求平衡價(jià)格。煤炭電力鋼鐵第六頁，共十一頁，2022年，8月28日煤炭電力鋼鐵設(shè)x,y,z分別表示煤炭,電力,鋼鐵部門的年度總產(chǎn)出價(jià)格，解：平衡價(jià)格使得每部門的收入=支出鋼鐵電力煤炭第七頁，共十一頁，2022年，8月28日有非零解如果煤炭產(chǎn)出價(jià)格是9400萬元，電力8500萬元，鋼鐵1億元，每個(gè)部門都收支平衡。第八頁，共十一頁，2022年，8月28日二氧化碳和水，按照如下形式的一個(gè)方程式：使兩邊的碳，氫，氧原子數(shù)相等。例3化學(xué)方程式描述了化學(xué)反應(yīng)的物質(zhì)消耗和產(chǎn)生的數(shù)量。例如，當(dāng)丙烷氣體燃燒時(shí)，丙烷與氧結(jié)合生成在化學(xué)反應(yīng)中，原子既不會(huì)消失，也不會(huì)被創(chuàng)造，求解：碳(C)氫(H)氧(O)第九頁，共十一頁，2022年，8月28日有非零解第十頁，共十一頁，2022年，8月28日作業(yè)6頁1(3)(4)(7)277頁3(2)(5)1.假設(shè)一個(gè)經(jīng)濟(jì)由化工，能源，機(jī)械三部分組成，各部分化工能源機(jī)械的分配如圖，求平衡價(jià)格,使每個(gè)部門的總收入