2022屆北京市西城區(qū)普通高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型(B)

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"o

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先

劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知拋物線f=4y上一點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4,則點(diǎn)A到拋物線焦點(diǎn)的距離為()

A.2B.3C.4D.5

2.若函數(shù)/(幻=//-。恰有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是()

44

A.(-r-,+00)B.(0,—z-)C.(0,4e')D.(0,+oo)

ee

3.我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果，哥德巴赫猜想的內(nèi)容是：每個(gè)大于2的偶數(shù)都

可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和，例如：4=2+2,6=3+3,8=3+5,那么在不超過(guò)18的素?cái)?shù)中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的

數(shù)，其和等于16的概率為()

1212

A.—B.—C.—D.—

21211515

4.2021年部分省市將實(shí)行“3+1+2”的新高考模式，即語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)三科必選，物理、歷史二選一，化學(xué)、生物、

政治、地理四選二，若甲同學(xué)選科沒(méi)有偏好，且不受其他因素影響，則甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)的概率為

5.已知向量。=(T,2),b=(x,x-l),若值-2向)//.,則X=()

12-

A.-B.-C.1D.3

33

6.閱讀名著，品味人生，是中華民族的優(yōu)良傳統(tǒng).學(xué)生李華計(jì)劃在高一年級(jí)每周星期一至星期五的每天閱讀半個(gè)小時(shí)

中國(guó)四大名著：《紅樓夢(mèng)》、《三國(guó)演義》、《水滸傳》及《西游記》，其中每天閱讀一種，每種至少閱讀一次，則每周不

同的閱讀計(jì)劃共有()

A.120種B.240種C.480種D.600種

(a,a>b11

7.定義={,,,已知函數(shù)/(x)=-----—,g(x)=------—?則函數(shù)尸(x)=/(x)③g(x)的最小值

b,a<b2-sinx2-cos-x

為()

24

A.-B.1C.-D.2

33

8.某調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)全國(guó)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖，90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)

崗位分布條形圖，則下列結(jié)論中不正確的是()

注：9()后指1990年及以后出生，8()后指1980-1989年之間出生，80前指1979年及以前出生.

A.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后占一半以上

B.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)超過(guò)總?cè)藬?shù)的20%

C.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運(yùn)營(yíng)崗位的人數(shù)90后比80前多

D.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后比80后多

9.已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上,PA_L平面ABC,A46C是邊長(zhǎng)為2道的等邊三角形，若球。

的表面積為20〃，則直線PC與平面以3所成角的正切值為(

2出

V777.-----

4?I4

x-2,(x>10)

10.設(shè)f(x)=<，則了(5)=()

/[/(x+6)],(x<10)

A.10B.11C.12D.13

11.已知全集。=1^,集合M={x|-3vxvl},N={X\\X\^1}9則陰影部分表示的集合是()

A.[-1,1]B.(-3,1]C.(―,-3)U(一1,內(nèi))D.(-3,-1)

⑵已知6,居是雙曲線弓-小叱?！淖?、右焦點(diǎn)’A6是0的左、右頂點(diǎn)’點(diǎn)P在過(guò)A且斜率為當(dāng)

的直線上，△「/針為等腰三角形，ZABP=nO°,則。的漸近線方程為()

A.y=±LB.y=±2xC.y=+—xD.y=土瓜

23

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.函數(shù)/(x)=Y2x-sinx在0,|上的最小值和最大值分別是.

2

14.已知J；/公=〃,則(x+y+i)"展開(kāi)式中xy的系數(shù)為_(kāi)

15.已知a,尸弓,乃],cos(a+Q)=g,cos(/?—?)=一尚，貝!Jsin[a+：)=.

16.在AA3c中，24?=3AC,A￡>是NBAC的角平分線，設(shè)AO=加4C,則實(shí)數(shù)，〃的取值范圍是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)某學(xué)校為了解全校學(xué)生的體重情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人的體重?cái)?shù)據(jù)，得到如下頻率分布直

方圖，以樣本的頻率作為總體的概率.

(1)估計(jì)這100人體重?cái)?shù)據(jù)的平均值〃和樣本方差0?；(結(jié)果取整數(shù)，同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)

(2)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生，記X為體重在[55,65)的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(3)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，該校學(xué)生的體重丫近似服從正態(tài)分布N(〃Q2).若

P(〃-2b<Y<p+2cr)>0.9544,則認(rèn)為該校學(xué)生的體重是正常的.試判斷該校學(xué)生的體重是否正常?并說(shuō)明理由.

18.(12分)已知等差數(shù)列｛a,,｝滿(mǎn)足q=1,公差d>0,等比數(shù)列也｝滿(mǎn)足々=q,d=%，/=%.

(1)求數(shù)列｛&｝,｛2｝的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列｛c.｝滿(mǎn)足會(huì)+3+聲--+生=%+],求匕｝的前〃項(xiàng)和S“.

“1"2"3

19.(12分)追求人類(lèi)與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國(guó)特色社會(huì)主義生態(tài)文明的價(jià)值取向.為了改善空氣質(zhì)量，某城市環(huán)

保局隨機(jī)抽取了一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)(A。/)的檢測(cè)數(shù)據(jù)，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如表：

AQI[0,50](50,100](100,150](150,200](20(),250](250,300]

空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良輕度污染中度污染重度污染重度污染

天數(shù)61418272510

(1)從空氣質(zhì)量指數(shù)屬于［0,50］,(50,100］的天數(shù)中任取3天，求這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率；

0,9<x<100

(2)已知某企業(yè)每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失y(單位:元)與空氣質(zhì)量指數(shù)x的關(guān)系式為)，=<220,100<x<250,

1480,250<x<300

假設(shè)該企業(yè)所在地7月與8月每天空氣質(zhì)量為優(yōu)、良、輕度污染、中度污染、重度污染、嚴(yán)重污染的概率分別為

.9月每天的空氣質(zhì)量對(duì)應(yīng)的概率以表中IOO天的空氣質(zhì)量的頻率代替.

63612126

G)記該企業(yè)9月每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失為X元，求X的分布列；

(?)試問(wèn)該企業(yè)7月、8月、9月這三個(gè)月因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失總額的數(shù)學(xué)期望是否會(huì)超過(guò)2.88萬(wàn)元？說(shuō)明你

的理由.

20.(12分)如圖，四棱錐。的底面為直角梯形A8〃OC,ZABC=90°,AB=BC=\,CD=2,PC±

底面ABC。，且PC=0，E為CO的中點(diǎn).

(1)證明：BE±AP；

(2)設(shè)點(diǎn)M是線段BP上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線AM與直線OP所成的角最小時(shí)，求三棱錐P-的體積.

21.(12分)某商場(chǎng)為改進(jìn)服務(wù)質(zhì)量，在進(jìn)場(chǎng)購(gòu)物的顧客中隨機(jī)抽取了200人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查.調(diào)查后，就顧客“購(gòu)物體

驗(yàn)”的滿(mǎn)意度統(tǒng)計(jì)如下:

滿(mǎn)意不滿(mǎn)意

男4040

女8040

(1)是否有97.5%的把握認(rèn)為顧客購(gòu)物體驗(yàn)的滿(mǎn)意度與性別有關(guān)？

(2)若在購(gòu)物體驗(yàn)滿(mǎn)意的問(wèn)卷顧客中按照性別分層抽取了6人發(fā)放價(jià)值100元的購(gòu)物券.若在獲得了100元購(gòu)物券的6

人中隨機(jī)抽取2人贈(zèng)其紀(jì)念品，求獲得紀(jì)念品的2人中僅有1人是女顧客的概率.

附表及公式：

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K>k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k°2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

22.(10分)已知函數(shù)，(x)=111%+以2-3彳(々^R)

(1)函數(shù)/(X)在點(diǎn)(L/⑴)處的切線方程為y=-2,求函數(shù)的極值；

(2)當(dāng)4=1時(shí)，對(duì)于任意aw當(dāng)々＞用時(shí)，不等式/(%)—/(工2)＞磯濘。恒成立，求出實(shí)數(shù)，”的

取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.D

【解析】

試題分析：拋物線f=4)，焦點(diǎn)在y軸上，開(kāi)口向上，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),準(zhǔn)線方程為y=-l,因?yàn)辄c(diǎn)A的縱坐

標(biāo)為4,所以點(diǎn)A到拋物線準(zhǔn)線的距離為4+1=5,因?yàn)閽佄锞€上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，所以點(diǎn)A與

拋物線焦點(diǎn)的距離為5.

考點(diǎn)：本小題主要考查應(yīng)用拋物線定義和拋物線上點(diǎn)的性質(zhì)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.

點(diǎn)評(píng)：拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，這條性質(zhì)在解題時(shí)經(jīng)常用到，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.

2.B

【解析】

求導(dǎo)函數(shù)，求出函數(shù)的極值，利用函數(shù)/(x)=Y/-a恰有三個(gè)零點(diǎn)，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【詳解】

函數(shù)y=x1ex的導(dǎo)數(shù)為y'=2xex+x1ex=xex(x+2),

令y'=0,貝!Jx=O或一2,

—2<x<0上單調(diào)遞減，(-8,-2),(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以0或-2是函數(shù)y的極值點(diǎn)，

,4

函數(shù)的極值為：/(0)=0,/(-2)=4e-2=—,

e-

4

函數(shù)/(元)=1/一。恰有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是：(0，r).

e

故選B.

【點(diǎn)睛】

該題考查的是有關(guān)結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，來(lái)確定參數(shù)的取值范圍的問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，注意應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象

的走向，利用數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象間交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題，難度不大.

3.B

【解析】

先求出從不超過(guò)18的素?cái)?shù)中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)的所有可能結(jié)果，然后再求出其和等于16的結(jié)果，根據(jù)等可能事

件的概率公式可求.

【詳解】

解：不超過(guò)18的素?cái)?shù)有2,3,5,7,11,13,17共7個(gè)，從中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)共有=21,

其和等于16的結(jié)果(3,13),(5,11)共2種等可能的結(jié)果，

2

故概率「=3.

21

故選：B.

【點(diǎn)睛】

古典概型要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個(gè)數(shù)，本題不可以列舉出所有事件但可以用分步計(jì)數(shù)得到，屬于基礎(chǔ)

題.

4.B

【解析】

甲同學(xué)所有的選擇方案共有12種，甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)后，只需在生物、政治、地理三科中再選擇一

31

科即可，共有=3種選擇方案，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式，可得甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)的概率尸=;=1，

故選B.

5.A

【解析】

利用平面向量平行的坐標(biāo)條件得到參數(shù)x的值.

【詳解】

由題意得，5-2"=(2+X,X-5),

,：｛h-2a^lla,

2(2+x)+x-5=0,

解得X=；.

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量平行定理，考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

6.B

【解析】

首先將五天進(jìn)行分組，再對(duì)名著進(jìn)行分配，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理求得結(jié)果.

【詳解】

空G=io種分組方法;

將周一至周五分為4組，每組至少1天，共有:

將四大名著安排到4組中，每組1種名著，共有：閻=24種分配方法；

由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得不同的閱讀計(jì)劃共有：10*24=240種

本題正確選項(xiàng)：B

【點(diǎn)睛】

本題考查排列組合中的分組分配問(wèn)題，涉及到分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，易錯(cuò)點(diǎn)是忽略分組中涉及到的平均分組問(wèn)題.

7.A

【解析】

根據(jù)分段函數(shù)的定義得F(x)>/(X),F(x)>g(x),則2F(%)>/(%)+g(x)，再根據(jù)基本不等式構(gòu)造出相應(yīng)的所需的

形式，可求得函數(shù)的最小值.

【詳解】

依題意得尸(x)N/(x),F(x)>g(x),則2P(x)2/(x)+g(x),

111

112sin99

/(x)+g(x)=--------;~3--1-------—=-+-———)^-x)+(2-cos?x)]

2-sin~x2-cos-x32-sin-x2-cos'x

1-2-cos2x2-sin%、、1小~2-cos2x2—sin2%_4(當(dāng)且僅當(dāng)2-cosax_2-sin?x

=-(2+-+-———)>-(2+2.,即

32-sin-x2-cos-x32-sin2x2-COS2X32-sin2x2-cos2x

sii?x=cos2x=g時(shí)“=”成立.此時(shí),/(x)=g(x)=|■，二2F(x)F(x)的最小值為|-,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查求分段函數(shù)的最值，關(guān)鍵在于根據(jù)分段函數(shù)的定義得出2f'(%)N/(x)+g(x),再由基本不等式求得最值，屬

于中檔題.

8.D

【解析】

根據(jù)兩個(gè)圖形的數(shù)據(jù)進(jìn)行觀察比較，即可判斷各選項(xiàng)的真假.

【詳解】

在A中，由整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分別餅狀圖得到互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后占56%,所以是正確的；

在B中，由整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分別餅狀圖，90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布條形圖得到：

56%X39.6%=22.176%>20%,互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)技術(shù)崗位的人數(shù)超過(guò)總?cè)藬?shù)的20%,所以是正確的；

在C中，由整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分別餅狀圖，90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分別條形圖得到：

13.7%X39.6%=9.52%>3%,互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從事運(yùn)營(yíng)崗位的人數(shù)90后比80后多，所以是正確的；

在D中，互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后所占比例為56%x39.6%=22.176%<41%,所以不能判斷互聯(lián)網(wǎng)

行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后比80后多.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了命題的真假判定，以及統(tǒng)計(jì)圖表中餅狀圖和條形圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算

能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.C

【解析】

設(shè)。為中點(diǎn),先證明CD，平面卜48,得出NCPO為所求角，利用勾股定理計(jì)算申,9,8,得出結(jié)論.

【詳解】

B

設(shè)。E分別是AB,BC的中點(diǎn)AEDCD=E

?.?Q4,平面ABC:.PA±CD

???MBC是等邊三角形:.CDA.AB

又24045=4

\CC>A平面Q43；.NCPr>為PC與平面Q45所成的角

?.?AABC是邊長(zhǎng)為26的等邊三角形

2

:.CD=AE=3,AF=—AE=2且尸為八鉆C所在截面圓的圓心

3

???球。的表面積為207，球。的半徑。4=石

：.0F=yl0^-AF2=1

?.9，平面ABC:.PA=2OF=2

：.PD=yJp/C+AD2=S

本題正確選項(xiàng)：C

【點(diǎn)睛】

本題考查了棱錐與外接球的位置關(guān)系問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠通過(guò)垂直關(guān)系得到直線與平面所求角，再利用球心位置來(lái)求解

出線段長(zhǎng)，屬于中檔題.

10.B

【解析】

根據(jù)題中給出的分段函數(shù)，只要將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求XN10內(nèi)的函數(shù)值，代入即可求出其值.

【詳解】

Jx-2（x>10）

j/［〃x+6）］（xV10）'

?v（5）=/ir（i）］

=/（9）=/［/-（15）］

=f（13）=1.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了分段函數(shù)中求函數(shù)的值，屬于基礎(chǔ)題.

11.D

【解析】

先求出集合N的補(bǔ)集電N,再求出集合"與葉N的交集，即為所求陰影部分表示的集合.

【詳解】

由U=R,N={x||x|,,1},可得名N={x[x<-1或x>1},

又A/={x|-3<x<l}

所以"c,N={x|—3cxe-1}.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了韋恩圖表示集合，集合的交集和補(bǔ)集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

12.D

【解析】

根據(jù)為等腰三角形，乙鉆。=120。可求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，又由的斜率為且可得出a，c關(guān)系，即可求出漸

4

近線斜率得解.

【詳解】

所以|PB|=|AB|=2a,ZP5M=60°,

:,xp=|-cos60°4-a=2^,yp=|-sin60°=V36r,

_V3￡-0_V3

/.2a=c

:.3a2=b2>

解得2=百，

a

所以雙曲線的漸近線方程為y=土瓜，

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

it近兀410兀

824

【解析】

求導(dǎo)，研究函數(shù)單調(diào)性，分析，即得解

【詳解】

由題意得，f(x)=1—cosx.

77TT

令小解得a"’引

令八x)(°'解得0,,x<R

TC(717C

.../(x)在0,-上遞減，在二，彳遞增.

4J142

7t上的最小值和最大值分別是也巴-亞，叵-1.

故f(x)在區(qū)間o,-

2824

故答案為：叵V2

8

【點(diǎn)睛】

本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)最值的求解中的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題

14.1.

【解析】

由題意求定積分得到〃的值，再根據(jù)乘方的意義，排列組合數(shù)的計(jì)算公式，求出展開(kāi)式中Yy的系數(shù).

【詳解】

02

,已知辦=一=4=〃，貝?。▁+y+1）"=（x+y+l）4,

24

它表示4個(gè)因式（X+J+1）的乘積.

故其中有2個(gè)因式取x,一個(gè)因式取剩下的一個(gè)因式取1,可得一），的項(xiàng).

故展開(kāi)式中的，的系數(shù)C>C；C；=12.

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查求定積分，乘方的意義，排列組合數(shù)的計(jì)算公式，屬于中檔題.

33

15.——

65

【解析】

由已知利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式可求得sin（a+Q）,sin];?-的值，由兩角差的正弦公式即可計(jì)算得

sin。+7的直

【詳解】

3冗\(yùn)45

,:a，pG，COS(￡+/7)=《,cos囁

4)131

3萬(wàn)n3萬(wàn)

:.a+/3e,24B-涓

5'彳

i3

sin(a+/)=-J]-cos~(a+尸)=—,

1-cos2(月一？12

13

??.sin(a+4

=smin+

I4J

341233

=sin(a+P)cos(-cos(a+P)sin(￡_fJ=x-X=-----

51365

故答案為：-六33

65

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角差的正弦公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.

16?年

【解析】

6

設(shè)=3/,AC=2f,/BAD=ACAD=a，由S^+S=S^,用面積公式表示面積可得到m=一cosa,

BADACADBAC5

利用即得解.

【詳解】

設(shè)A8=3f,AC=2t,/BAD=/CAD=a,

由S^BAD+SMAD=SABAC得：

--3z-2mt?sina+』?2,?2mt?sin^=—?-2/?sin2a,

222

化簡(jiǎn)得機(jī)=mcosa,

由于a,

故機(jī)

故答案為：fo,—J

【點(diǎn)睛】

本題考查了解三角形綜合，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸，綜合分析，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(1)60；25(2)見(jiàn)解析，2.1(3)可以認(rèn)為該校學(xué)生的體重是正常的.見(jiàn)解析

【解析】

(1)根據(jù)頻率分布直方圖可求出平均值〃和樣本方差

(2)由題意知X服從二項(xiàng)分布3(3,().7),分別求出P(X=0),P(X=1),P(X=2),P(X=3),進(jìn)而可求

出分布列以及數(shù)學(xué)期望；

(3)由第一問(wèn)可知丫服從正態(tài)分布N(60,25),繼而可求出P(50<Y<70)的值，從而可判斷.

【詳解】

解：⑴

w=(47.5+72.5)x0.004x5+(52.5+67.5)x0.026x5+(57.5+62.5)x0.07x5=60

/=[(60-47.5)2+(72.5—60『、0.02+[(60-52.5)2+(67.5-60)2]x0.13

+[(60-57.5)2+(62.5-60)2]x0.35~25

(2)由已知可得從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，體重在[55,65)的概率為0.7.

隨機(jī)拍取3人，相當(dāng)于3次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，隨機(jī)交量X服從二項(xiàng)分布8(3,0.7),

2

則尸(X=0)=G(x0.7°x=0027,P(X=1)=C；x0.7x0.3=0.189,

p(X=2)=C；x0.72x0.3=0.441,P(X=3)=C；x0.73x0.3°=0.343,

所以X的分布列為：

X0123

P0.0270.1890.4410.343

數(shù)學(xué)期望EX=3x0.7=2.1

(3)由題意知丫服從正態(tài)分布N(6(),25),

則P(4-2bWV<〃+2b)=P(50<丫<70)=0.96>0.9544,

所以可以認(rèn)為該校學(xué)生的體重是正常的.

【點(diǎn)睛】

本題考查了由頻率分布直方圖求進(jìn)行數(shù)據(jù)估計(jì)，考查了二項(xiàng)分布，考查了正態(tài)分布.注意，統(tǒng)計(jì)類(lèi)問(wèn)題，如果題目中沒(méi)

有特殊說(shuō)明，則求出數(shù)據(jù)的精度和題目中數(shù)據(jù)的小數(shù)后位數(shù)相同.

18.⑴—（2）S“=3".

【解析】

(1)由％=1,公差d>0,有1,1+。，1+4"成等比數(shù)列，所以(l+dy=lx(l+4d),解得。=2.進(jìn)而求出數(shù)列｛q,｝,

也｝的通項(xiàng)公式；

⑵當(dāng)〃=1時(shí)，由『,所以。=3,當(dāng)*2時(shí),由尹/尹.呢二%,尹尹尹…+,/

可得%=23'T,進(jìn)而求出前“項(xiàng)和S”.

【詳解】

解：(1)由題意知，a,=l,公差d>0,有1,1+d,l+4d成等比數(shù)列,

所以(l+d)2=lx(l+4d),解得d=2.

所以數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式a?=2n-\.

數(shù)列也｝的公比4=3,其通項(xiàng)公式d=3"，

⑵當(dāng)〃=1時(shí)，由/=%,所以9=3.

幺+義+色￡L+

當(dāng)〃22時(shí)，由2+…+J，W..+Sd_=a

b

h耳41,b\b2%%

兩式相減得了=4+i-4,

所以C.=2-3"T.

故c”-

所以匕,｝的前〃項(xiàng)和S?=3+2x3+2x32+2x33+---+2x3fl_|

3x（1-3"叫

=3+2----------=3”,n>2.

1-3

又〃=1時(shí)，S,=?,=3',也符合上式，故S“=3".

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念，通項(xiàng)公式，前”項(xiàng)和公式的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，方程思

想，分類(lèi)討論思想，應(yīng)用意識(shí)，屬于中檔題.

23

19.(1)—；(2)(i)詳見(jiàn)解析；(?)會(huì)超過(guò)；詳見(jiàn)解析

114

【解析】

(1)利用組合進(jìn)行計(jì)算以及概率表示，可得結(jié)果.

(2)(0寫(xiě)出X所有可能取值，并計(jì)算相對(duì)應(yīng)的概率，列出表格可得結(jié)果.

(?)由(力的條件結(jié)合7月與8月空氣質(zhì)量所對(duì)應(yīng)的概率，可得7月與8月經(jīng)濟(jì)損失的期望和，最后7月、8月、9

月經(jīng)濟(jì)損失總額的數(shù)學(xué)期望與2.88萬(wàn)元比較，可得結(jié)果.

【詳解】

(1)設(shè)S為選取的3天中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)，

C2C'7C=_L

則尸（<=2）=-^-=—,p（e=3）

C57

則這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率

為“金

3857114

、201

（2）（OP（X=0）=P（0<x<100）=—=-

707

P（X=220）=P（100<x<250）=j^=—,

P（X=1480）=P（250<XW300）=蓋$,

X的分布列如下:

X02201480

工71

p

5ioio

(U)由3)可得:

171

E（X）=0x-+220x—+1480X—=302（元）,

51010

故該企業(yè)9月的經(jīng)濟(jì)損失的數(shù)學(xué)期望為30E（X）,

即30E（X）=9060元,

設(shè)7月、8月每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失為￥元,

可得：p（r=o）=1+l=1,

O32

P（y=220）=-+—+—=P（r=1480）=-,

17612123\'6

E（F）=0x1+220x1+1480x-=320（元），

636

所以該企業(yè)7月、8月這兩個(gè)月因空氣質(zhì)量造成

經(jīng)濟(jì)損失總額的數(shù)學(xué)期望為320x(31+31)=19840(元)，

由19840+9060=28900>28800,

即7月、8月、9月這三個(gè)月因空氣質(zhì)量造成

經(jīng)濟(jì)損失總額的數(shù)學(xué)期望會(huì)超過(guò)2.88萬(wàn)元.

【點(diǎn)睛】

本題考查概率中的分布列以及數(shù)學(xué)期望，屬基礎(chǔ)題。

20.(1)見(jiàn)解析；(2)述.

9

【解析】

(1)要證明BELAP,只需證明BE1平面P4c即可；

(2)以C為原點(diǎn)，分別以麗，而，麗的方向?yàn)閤軸、)'軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求

co^<AM,DP>,并求其最大值從而確定出BM=13戶(hù)使問(wèn)題得到解決.

【詳解】

(1)連結(jié)AGAE,由已知，四邊形45CE為正方形，則AC_LBE①，因?yàn)镻C_L底面

ABCD,則PCLBE②，由①②知8E1平面B4C，所以BELAP.

(2)以C為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

戶(hù)(0,0,0),所以通=(一1,0,0),麗=(0,—1,0),=(-2,0,72),設(shè)兩=4而,

AM-~DP

(0<2<1),貝!］而=而+麗=(一1,一，,夜；1),所以cos<麗:萬(wàn)戶(hù)

>-\AM^D?\

2+2/1V6A+1A+lt

,----=------,,設(shè)幾+1=，￡[1,2],貝UI=I=

71+3A2-V6371+322Vl+322J3/-6/+4

I1,|1234_______

b4”6°一花，2一3、步243,所以當(dāng)t一=彳2，即『=—3時(shí)，cos<A",DP>取最大值，

從而<而，。戶(hù)>取最小值，即直線AM與直線OP所成的角最小，此時(shí)1=；,

——1一

則5M=—3尸，因?yàn)?C，C￡>,BCLCP,則平面POC,從而M到平面POC的

3

距離/7=「C=：,所以Vp_8M=%_ps=1x；x2x0x9￥.

【點(diǎn)睛】

本題考查線面垂直證線線垂直、異面直線直線所成角計(jì)算、換元法求函數(shù)最值以及等體積法求三棱錐的體積，考查的

內(nèi)容較多，計(jì)算量較大，解決此類(lèi)問(wèn)題最關(guān)鍵是準(zhǔn)確寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，是一道中檔題.

Q

21.（1）有97.5%的把握認(rèn)為顧客購(gòu)物體驗(yàn)的滿(mǎn)意度與性別有關(guān)；（2）石.

【解析】

（1）由題得K?=^?5.556>5.024,根據(jù)數(shù)據(jù)判斷出顧客購(gòu)物體驗(yàn)的滿(mǎn)意度與性別有關(guān)；

（2）獲得了10（）元購(gòu)物券的6人中男顧客有2人，記為4，4；女顧客有4人，記為用，B2,層，B&.從中隨機(jī)抽

取