2022屆福州市重點高三最后一模數(shù)學(xué)試題含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.i是虛數(shù)單位，Z='-貝!||z|=()

1-z

A.1B.2C.V2D.272

2.已知函數(shù)/'(x)c均為常數(shù))的圖象關(guān)于點(2,1)對稱，則/(5)T)=()

A.-2B.-1C.2D.4

3.設(shè)函數(shù)g(x)=e'+(l-&)龍一。(aeR,e為自然對數(shù)的底數(shù))，定義在R上的函數(shù)/(x)滿足f(-x)+f{x)=x2,

且當xWO時，f\x)<x.若存在/w{x|/(x)+gz/(l—x)+x},且為函數(shù)y=g(x)-x的一個零點，則實數(shù)

。的取值范圍為()

A.-B.We,+oo)C.[Je,+8)D.

\)

4.(x+y)(2x-y)5的展開式中dy3的系數(shù)為()

A.-30B.-40C.40D.50

5.閱讀下面的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，程序運行輸出的結(jié)果是()

A.1.1B.1C.2.9D.2.8

6,若直線二不平行于平面二，且二仁二，則()

A.二內(nèi)所有直線與二異面

B.二內(nèi)只存在有限條直線與二共面

C.二內(nèi)存在唯一的直線與二平行

D.二內(nèi)存在無數(shù)條直線與二相交

7.已知ZVU5C是邊長為1的等邊三角形，點O,E分別是邊AB，8C的中點，連接。￡并延長到點廠，使得

DE=2￡F,則通?比的值為()

11511

A.—B.—C.—D.一

8448

x>0

8.已知。，b,ceR,a>b>c,a+b+c^Q.若實數(shù)》,丁滿足不等式組<4,則目標函數(shù)z=2x+y

bx+ay+c>0

()

A.有最大值，無最小值B.有最大值，有最小值

C.無最大值，有最小值D.無最大值，無最小值

9.已知向量￡=(加,1),6=(-1,2),若(￡一26_1凡則3與坂夾角的余弦值為()

A.一迤B,g1C.一處D.巫

13136565

10.定義在R上的偶函數(shù)/(x)滿足f(x+2)=f(x),當xG[-3,-2]時，f(x)=-x-2,貝！J()

A./.<>m—B.f(si"3)<f(cos3)

C./卜加卜osf]D.f(2020)>f(2019)

11.已知向量1=(1,0),5=(1,百)，則與y-加共線的單位向量為()

-[》用B."書

C惇司或卜孚,JC供司或■用

2x-y-6<0

則*+』的最小值是()

12.在<x-y+2N0條件下，目標函數(shù)z=czx+力(a>0力>0)的最大值為40,

ab

x+y>2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.《易經(jīng)》是中國傳統(tǒng)文化中的精髓，如圖是易經(jīng)八卦（含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦），每一卦由三根

線組成（“.?”表示一根陽線，”■■”表示一根陰線），從八卦中任取兩卦，這兩卦的六根線中恰有兩根陽線，四根

陰線的概率為.

天

地

14.已知數(shù)列｛《,｝為等比數(shù)列，4+4=-2,4+4=6,則.

15.已知數(shù)列｛%｝的前八項和為S“，且滿足％+3%+…+3”-%,=〃，貝!|S4=

16.已知拋物線C：V=8x的焦點為/，直線/與拋物線C相切于“點，N是/上一點（不與加重合），若以線段MN

為直徑的圓恰好經(jīng)過F，則點N到拋物線頂點。的距離|av|的最小值是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

221

17.（12分）如圖，在平面直角坐標系X。），中，橢圓C:0+方=1（。＞。＞0）的離心率為萬，且過點（0,6）.

(1)求橢圓C的方程;

(2)已知4BMN是橢圓C的內(nèi)接三角形，

①若點8為橢圓C的上頂點，原點。為的垂心，求線段MN的長；

②若原點。為的重心，求原點。到直線MN距離的最小值.

18.(12分)某商場以分期付款方式銷售某種商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計，顧客購買該商品選擇分期付款的期數(shù)X的分

布列為：

X234

P0.4ab

其中0<a<l,0<匕<1

(I)求購買該商品的3位顧客中，恰有2位選擇分2期付款的概率；

(II)商場銷售一件該商品，若顧客選擇分2期付款，則商場獲得利潤100元，若顧客選擇分3期付款，則商場獲得

利潤150元，若顧客選擇分4期付款，則商場獲得利潤200元.商場銷售兩件該商品所獲的利潤記為y(單位：元)

(i)求y的分布列；

(n)若p(y4300)2o.8,求y的數(shù)學(xué)期望E(Y)的最大值.

19.(12分)已知函數(shù)f(x)=xlnx-21nx+3x-5,g(x)=lnx+2x"a"+=ci

xx

37)

求證：在區(qū)間(上有且僅有一個零點飛,且

(1)f(x)1,”)2,4r

(2)若當xNl時，不等式g(x)20恒成立，求證：a<—.

4

20.(12分)［選修4-5：不等式選講］

設(shè)函數(shù)/(x)Ux+l|.

(1)求不等式/(x)<5—f(x—3)的解集;

(2)已知關(guān)于x的不等式2/(x)+|x+。區(qū)x+4在上有解，求實數(shù)。的取值范圍.

1

x=—cosa

2

21.(12分)已知曲線"的參數(shù)方程為〈j(。為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極

y=—sina

2

2

坐標系，曲線N的極坐標方程為。=---------

2-sin2。

(1)寫出曲線M的極坐標方程；

(2)點A是曲線N上的一點，試判斷點A與曲線M的位置關(guān)系.

22.(10分)設(shè)等差數(shù)列的首項為()，公差為a,aeN*;等差數(shù)列也｝的首項為0,公差為6,8eN*.由數(shù)列｛叫

和也｝構(gòu)造數(shù)表M,與數(shù)表”

記數(shù)表M中位于第i行第J列的元素為q,其中q=4+旬，(i,j=l,2,3,…).

記數(shù)表M*中位于第i行第j列的元素為4/,其中羯=《一%(l<z</7,/eNS/￡N*),如：%=%+。2,

以2=%一氏.

(1)設(shè)a=5,b=9,請計算。2.6,。396,6，d2,6

(2)設(shè)a=6,b=79試求力,4j的表達式(用i,/表示)，并證明：對于整數(shù)f,若，不屬于數(shù)表M,貝!h屬于數(shù)

表M*

(3)設(shè)。=6,b=79對于整數(shù)￡,1不屬于數(shù)表M,求，的最大值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.C

【解析】

由復(fù)數(shù)除法的運算法則求出Z,再由模長公式，即可求解.

【詳解】

由z=2；。=-1+i,|z=夜.

故選:C.

【點睛】

本題考查復(fù)數(shù)的除法和模，屬于基礎(chǔ)題.

2.C

【解析】

根據(jù)對稱性即可求出答案.

【詳解】

解：1?點(5,/(5))與點(-1,/(-1))滿足(5-1)+2=2,

故它們關(guān)于點(2,1)對稱，所以/(5)+/(-1)=2,

故選：C.

【點睛】

本題主要考查函數(shù)的對稱性的應(yīng)用，屬于中檔題.

3.D

【解析】

先構(gòu)造函數(shù)T(x)=〃x)-gf,由題意判斷出函數(shù)T(x)的奇偶性，再對函數(shù)T(x)求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性，進而可求

出結(jié)果.

【詳解】

構(gòu)造函數(shù)T(x)=/(x)-gx2,

因為/(-%)+/(力=*2,

所以T(x)+T(-x)=/(力_；X2+-=0,

所以T(x)為奇函數(shù)，

當xWO時，T'(x)=/'(x)-x<0>所以T(x)在(-8,0］上單調(diào)遞減，

所以T(x)在R上單調(diào)遞減.

因為存在/dX/(X)+^>/(l-X)+X

所以/(%0)+32/(1一%0)+%0，

所以7(%)+/；+3"(1-40)+；(1-40)-+入0,

化簡得T(Xo)NT(l_/),

所以%)41即/4g

11^=g(x)-x=ex-y/ex-a^x<-^,

因為與為函數(shù)y=g(x)—x的一個零點，

所以A(x)在xK；時有一個零點

11

因為當xVa時，"(x)=ex—y[e<前—&=0,

所以函數(shù)〃(x)在無wg時單調(diào)遞減，

a1

由選項知。>0,一

所以要使〃(力在XKg時有一個零點，

只需使解得當,

「五1

所以。的取值范圍為*,+/,故選D.

_/

【點睛】

本題主要考查函數(shù)與方程的綜合問題，難度較大.

【解析】

先寫出(2x-y)5的通項公式，再根據(jù)Vy3的產(chǎn)生過程，即可求得.

【詳解】

對二項式(2x-y)’，

r

其通項公式為Tr+l=C；(2x)"‘(-y)=C；25-，(-1/產(chǎn)y

(x+y)(2x—y)5的展開式中x3y3的系數(shù)

是(2x—y)s展開式中x2/的系數(shù)與MV的系數(shù)之和.

令廠=3,可得％2y3的系數(shù)為以22(-1)3=TO;

令r=2,可得的系數(shù)為《2-3(—1)2=80；

故(x+y)(2x—y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為80-40=40.

故選：C.

【點睛】

本題考查二項展開式中某一項系數(shù)的求解，關(guān)鍵是對通項公式的熟練使用，屬基礎(chǔ)題.

5.C

【解析】

根據(jù)程序框圖的模擬過程，寫出每執(zhí)行一次的運行結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題.

【詳解】

初始值〃=0,5=1

,1

第一次循環(huán)：n=ls==lx—=：

922

121

第二次循環(huán)：n=29s：=-x—：——a

233，

131

第三次循環(huán)：〃=3,s;=—x—='-f

34

141

第四次循環(huán)：n=4,s：=-x—:二一?

45

151

第五次循環(huán)：n=5s;=—x—=:一?

956

16

第六次循環(huán)：〃=6,s：=-x—:二一?

67

17

第七次循環(huán)：〃=7,s：=-x—:二一?

78

181

第九次循環(huán)：H=8,s=：—x—=—;

89

19

第十次循環(huán)：71=9,s=-x——=—<0,1；

91010

所以輸出S=9x\=0.9.

故選：C

【點睛】

本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的讀取以及運行結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題.

6.D

【解析】

通過條件判斷直線二與平面二相交，于是可以判斷ABCD的正誤.

【詳解】

根據(jù)直線二不平行于平面二，且二U二可知直線二與平面二相交，于是ABC錯誤，故選D.

【點睛】

本題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，直線與直線的位置關(guān)系，難度不大.

7.D

【解析】

設(shè)麗=￡，BC=b>作為一個基底，表示向量屁==；0可，而詼=1,_￡),

AF^Ab+DF^~a+^-(b-a)^-a+^-h,然后再用數(shù)量積公式求解.

24、>44

【詳解】

設(shè)BA=a，BC=b>

所以詼=!衣—辦DF^DE=^(b-a),AF=AD+DF=--a+^(h-a]=-^a+^b,

22、,24V>24、)44

____53i

所以A戶53=-二￡%=-.

448

故選：D

【點睛】

本題主要考查平面向量的基本運算，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.B

【解析】

判斷直線區(qū)+a)，+c=O與縱軸交點的位置，畫出可行解域，即可判斷出目標函數(shù)的最值情況.

【詳解】

由a+b+c=O,a>h>c,所以可得a>0,c'<0.

cc1clic

a>b=>a>-a-c=>—>-2,Z?>c=>-?-c>c=>—<——-2<—<——=>—<——<2,

aa2a22a

hc

所以由法+ay+c=Ony=-±x-因此該直線在縱軸的截距為正，但是斜率有兩種可能，因此可行解域如下圖

aa

所示:

由此可以判斷該目標函數(shù)一定有最大值和最小值.

故選：B

【點睛】

本題考查了目標函數(shù)最值是否存在問題，考查了數(shù)形結(jié)合思想，考查了不等式的性質(zhì)應(yīng)用.

9.B

【解析】

11一一一?一a?b

直接利用向量的坐標運算得到向量a-2b的坐標，利用(a-2b)-b=0求得參數(shù)m,再用cos〈a,?=-^4-計算即可.

【詳解】

依題意，a-2b=(m+2,-3'),而(a-2楊?5=0,即—加一2—6=0,解得/律=-8,則I

a-b_102V13

cos(a,b)=

\a\\b\V5-V6513

故選:B.

【點睛】

本題考查向量的坐標運算、向量數(shù)量積的應(yīng)用，考查運算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想.

10.B

【解析】

根據(jù)函數(shù)的周期性以及3,-2］的解析式，可作出函數(shù)/(x)在定義域上的圖象，由此結(jié)合選項判斷即可.

【詳解】

由/(x+2)=/(x),得f是周期函數(shù)且周期為2,

先作出/(x)在xG［-3,-2］時的圖象，然后根據(jù)周期為2依次平移，

并結(jié)合f(x)是偶函數(shù)作出f(x)在R上的圖象如下，

y(

-4-3-2T01234

選項A,0<sin—=—<=cos—<1，

6226

所以/卜山晟

</個,選項A錯誤;

選項B,因為；-V3V所以0Vsi〃3<'^V—cos3V1,

42

所以/(si"3)<f(-cos3),即/(si"3)</(cos3),選項B正確;

立木c?4〃64萬I1.4〃4萬八

琰壩C9sin——-----,cos———,I>—sin—>—cos—>()，

323233

所以/(一si〃彗47，即/(si〃當

-cos——

3

選項C錯誤;

選項D,/(2020)=/(0)</(l)=/(2019),選項D錯誤.

故選：B.

【點睛】

本題考查函數(shù)性質(zhì)的綜合運用，考查函數(shù)值的大小比較，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

【解析】

根據(jù)題意得，2￡-設(shè)與共線的單位向量為(x,y),利用向量共線和單位向量模為1,列式求出X，)'即

可得出答案.

【詳解】

因為3=(1,0),1=(1,百)，貝!J2。=(2,0),

所以2力

設(shè)與2a-b共線的單位向量為(％>1),

-\[3x_y=0

則

x2+y2=1

11

X--X-——

22

解得或

V3V3

y=----y=—

I2r2

所以與共線的單位向量為；,一'，或一?曰

I'/k)

故選：D.

【點睛】

本題考查向量的坐標運算以及共線定理和單位向量的定義.

12.B

【解析】

畫出可行域和目標函數(shù)，根據(jù)平移得到最值點，再利用均值不等式得到答案.

【詳解】

如圖所示，畫出可行域和目標函數(shù)，根據(jù)圖像知：

當x=8,y=io時，z=8a+10Z?有最大值為40,即z=8a+10Z?=40,故4a+5Z?=20.

-+-=—f-+-\4?+5Z?)=—1<25+—+—K—(25+2^/i00)=-.

ab201ab)y，20(ab)20^14

25b_4a_10._4

當---=—9即。=—=一時等號成立.

ab33

本題考查了線性規(guī)劃中根據(jù)最值求參數(shù)，均值不等式，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

3

13.—

14

【解析】

觀察八卦中陰線和陽線的情況為3線全為陽線或全為陰線各一個，還有6個是1陰2陽和1陽2陰各3個。抽取的兩

卦中共2陽4陰的所有可能情況是一卦全陰、另一卦2陽1陰，或兩卦全是1陽2陰。

【詳解】

八卦中陰線和陽線的情況為3線全為陽線的一個，全為陰線的一個，1陰2陽的3個，1陽2陰的3個。抽取的兩卦中

共2陽4陰的所有可能情況是一卦全陰、另一卦2陽1陰，或兩卦全是1陽2陰。

...從8個卦中任取2圭卜，共有量=28種可能，兩卦中共2陽4陰的情況有+=6,所求概率為「=女=百。

故答案為：弓3。

14

【點睛】

本題考查古典概型，解題關(guān)鍵是確定基本事件的個數(shù)。本題不能受八卦影響，我們關(guān)心的是八卦中陰線和陽線的條數(shù),

這樣才能正確地確定基本事件的個數(shù)。

14.81

【解析】

設(shè)數(shù)列｛4｝的公比為4,利用等比數(shù)列通項公式求出力國，代入等比數(shù)列通項公式即可求解.

【詳解】

設(shè)數(shù)列｛4｝的公比為q,由題意知，

=-3=q

q+出

因為4+4=-2,由等比數(shù)列通項公式可得，

q-3al=-2,解得q=1,

由等比數(shù)列通項公式可得，

a5==1x(-3)，=81.

故答案為：81

【點睛】

本題考查等比數(shù)列通項公式；考查運算求解能力；屬于基礎(chǔ)題.

40

15.

27

【解析】

對題目所給等式進行賦值，由此求得?！暗谋磉_式，判斷出數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，由此求得54的值.

【詳解】

解：4+3a2+…+3"?Q”=〃，可得〃=1時，4=1,

=n又。)

2時，a1+3a2+…+3”~4n-1—194+3+...+3"?=〃，

兩式相減可得即%=“T1

3"-'4=1,Q|,上式對〃=i也成立，可得數(shù)列｛%｝是首項為1,公比為§的等比數(shù)列，可

1-J_

得TW

3

【點睛】

本小題主要考查已知S“求％,考查等比數(shù)列前〃項和公式，屬于中檔題.

16.2

【解析】

根據(jù)拋物線C:丁=8x,不妨設(shè)M（加,2而）

，取y=2y/2x9通過求導(dǎo)得勺二下,

1\y-2A/2^=(x-in）,再根據(jù)以線段MN為直徑的圓恰好經(jīng)過尸，則MF工NF，得到

1m

72—//

:y=五五=（”一2），兩式聯(lián)立,求得點N的軌跡，再求解最值.

【詳解】

因為拋物線C:y2=8x,不妨設(shè)"（加,2庖），取y=2岳,

及

所以/=亍，即4,

金

所以/：y-2揚=斗

X-叫,

yJm

因為以線段用N為直徑的圓恰好經(jīng)過戶,

所以MF上NF，

12-777

所以4S

2-勿

所以1**y(I),

2廝

y-2yJ2m

由9解得x=—2,

，=舒1）

所以點N在直線％=—2上,

所以當N（—2,0）時，|ON|最小，最小值為2.

故答案為：2

【點睛】

本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系直線的交軌問題，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（1）二+f=1；（2）①拽1；②巨

【解析】

（1）根據(jù)題意列出方程組求解即可；

⑵①由原點。為ZXBMN的垂心可得BO_LMN,肱V//x軸，設(shè)則N（—x,y）,x2=4-1/,根據(jù)

麗.麗=0求出線段MN的長；

②設(shè)M/V中點為O,直線6?與橢圓交于A,B兩點,。為△BM7V的重心，則60=28=。4,設(shè)皿：y=kx+m,

N（x2,y2）,則A（玉+々,乂+必），當MN斜率不存在時，則。到直線MN的距離為1,

(4二+3)XyX+4mk(%j+x)+4m2+6=0,由<+：,則(4左2+3)尢2+8.+4/—12=0,

223d+4/=12')

-SmkW-12\m\「去求解即可.

9得出4加2=4々2+3，根據(jù)d=/

…=記石，玉”中與VFTi4

【詳解】

b=V3a2=4

2222

解：（1）設(shè)焦距為2c,由題意知：＜b=a-c9.b=3

clc=1

a2

22

因此，橢圓。的方程為：土+匕==1；

43

⑵①由題意知：BOVMN,故用N//x軸，設(shè)"（x,y）,則N（-x,y）,x2=4-^y2,

BM-ON=-x2+y2-y/3y=-y2-y/3y-4=0,解得：或—迪，

37

B,加不重合，故＞=一±叵，/=坐，故〃N=2|X|=*叵；

②設(shè)A/N中點為。，直線8與橢圓交于A,B兩點,

。為的重心，則30=20。=。4,

當MN斜率不存在時，則。到直線MN的距離為1；

設(shè)MN：y=kx+m,用（3，兇），"（孫為），則A（玉+工2，）'1+%）

才|才_41￡_（苞+々）\（兇+'）11.3中2+4＞比=-6

434343

3玉龍2+4（瓦+加）（必+〃?）=-6

（4左2+3）大%2+4〃成（玉+W）+4"/+6=0

y=kx+m

貝!］（4%2+3）x2+8mkx+4/?2-12=0

'3f+4y2=12'

-4mk±2*（41+3-也

八=48（4女2+3—m2）＞o,

x=

4P+3

-Smk4w2-12

則:代入式子得:

8川-6-J—=0,4M=4k2+3

4左2+3

4r+3

設(shè)。到直線MN的距離為4,則d

4二+4

%=°時，"min=當；

綜上，原點。到直線MN距離的最小值為且.

2

【點睛】

本題考查橢圓的方程的知識點，結(jié)合運用向量，韋達定理和點到直線的距離的知識，屬于難題.

18.(I)0.288(H)(i)見解析(ii)數(shù)學(xué)期望石(丫)的最大值為280

【解析】

(I)根據(jù)題意，設(shè)購買該商品的3位顧客中，選擇分2期付款的人數(shù)為〃，由獨立重復(fù)事件的特點得出7?3(3,04),

利用二項分布的概率公式，即可求出結(jié)果；

(II)(i)依題意，y的取值為200,250,300,350,400,根據(jù)離散型分布求出概率和V的分布列；(ii)由題意

知0.4+a+Z?=l,尸(丫W(wǎng)300)=0.16+0.48+/20.8,解得a<0.6,根據(jù)Y的分布列，得出丫的數(shù)學(xué)期望石(丫),

結(jié)合ae[0.4,0.6),即可算出E(Y)的最大值.

【詳解】

解：(I)設(shè)購買該商品的3位顧客中，選擇分2期付款的人數(shù)為〃，則〃?8(3,0.4),

則=2)=C；x(1-0.4)x0.42=0.288,

故購買該商品的3位顧客中，恰有2位選擇分2期付款的概率為0.288.

(H)(i)依題意，y的取值為200,250,300,350,40(),

P(y=200)=0.4X0.4=0.16,P(y=250)=2X0.4a=0.8a,

尸(y=3OO)=2xO.4/?+a2=o.%+q2,p(y=350)=2/,P(y=400)=Z?2

的分布列為：

Y200250300350400

p0.160.8。0.8Z?+ci~2abb2

（ii）P（Y<300）=P（Y=200）+P（V=250）+P（Y=300）=0.16+0.8（?+Z?）+a2,

由題意知0.4+。+/?=1,「.。+/?=0.6,「.人=0.6—。，

p（y<300）=0.16+0.48+/20.8,

:.a>0A9又?.,b>0,即0.6—?！?,解得a<0.6,

/.6re[0.4,0.6),

E(y)=200x0.16+250x0.8?+300x(0.8Z?+a2)+350x2^+400Z?2

=320—100。，

當a=0.4時，E(y)的最大值為280,

所以y的數(shù)學(xué)期望E(Y)的最大值為280.

【點睛】

本題考查獨立重復(fù)事件和二項分布的應(yīng)用，以及離散型分布列和數(shù)學(xué)期望，考查計算能力.

19.(1)詳見解析；(2)詳見解析.

【解析】

(D利用求導(dǎo)數(shù)，判斷f(x)在區(qū)間(1,e>)上的單調(diào)性，然后再證./?(},/§)異號，即可證明結(jié)論；

(2)當xNl時，不等式g(x)20恒成立，分離參數(shù)只需x>l時，「《廣(>苫+2)恒成立,

x-1

設(shè)僦為=爐(歷"+2)(x>l)f需〈竺，根據(jù)(1)中的結(jié)論先求出Mx).,再構(gòu)造函數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)法,

x-14

49

證明〃即可?

【詳解】

22

(1)fr(x)=1+Inx---1-3=Inx----1-4,

xx

12

令ra)=m(x)，則/。)=一+=>0,

xx

所以m(x)=f\x)在區(qū)間(l,4w)上是增函數(shù),

則f\x)>尸(1)=2,所以/(%)在區(qū)間(l,4w)上是增函數(shù).

、

又因為J(不3卜一弓1也3不_1不<0,

>0,

⑷4444(4

所以.f(x)在區(qū)間(1,-KO)上有且僅有一個零點％，且X。W13

。V

(2)由題意，g(x)=lnx+上L@+320在區(qū)間[1,+8)上恒成立,

即(尤—1)。<x2(lnx+2)在區(qū)間[1,北o)上恒成立，

當％=1時，aeR；

當x>l時，a20nx+2)恒成立,

X—1

絲，/、x2(lnx+2).,、

設(shè)〃(x)=----------(%>1),

X—1

x[(x-2)lnx+3x-5]x-7(x)

所以/(元)=

(工一1)2

31

3me，使/(，")=。,

由(1)可知,5a

所以，當xe(l,m)時，h\x)<0,當xw(m,+oo)時，h'(x)>0,

由此〃(x)在區(qū)間(1,〃?)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(見+o。)上單調(diào)遞增,

的I”，/、,/m2(]nm+2)

所以力(?min=〃(加x)=-------：~--

m-\

又因為/(m)=(///-2)Inm+3/72-5=0,

qa2

所以In機=----/,從而/?(%)=〃(〃?)=——

m-2m,n2-m

M2

的I、I/'A>Zm「37]

所以aW----.令h(m)=-----,mw,

2-m2-m[2^)

-m2+4/77

則h'(m)=>0,

(2-，〃)2

37

所以〃(加)在區(qū)間上是增函數(shù),

254

(7、4949

所以力(〃2)</7[]]=彳故aWh(m)<——.

4

【點睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的零點、極值最值、不等式的證明，分離參數(shù)是解題的關(guān)鍵,

意在考查邏輯推理、數(shù)學(xué)計算能力，屬于較難題.

20.(1){x|-2<x<3}(2)-2<a<4

【解析】

(1)零點分段去絕對值解不等式即可(2)由題|x+a|W2-x在上有解，去絕對值分離變量a即可.

【詳解】

(1)不等式f(x)W5—f(x—3),即|x+l|+|x—2|w5

x<-1,f-1<x<2,［x>2,

等價于〈或〈或〈

—x—1—x+2^5,x+1—x+2<5,x+1+%—245,

解得-2<x<3,

所以原不等式的解集為｛x|-2Wx?3｝；

(2)當時，不等式2f(x)+|x+a|Wx+4,即|x+a|V2—x,

所以|x+a區(qū)2-x在［-1,1］上有解

即—2WaW2—2x在上有解，

所以，—2WaW4.

【點睛】

本題考查絕對值不等式解法，不等式有解求參數(shù)，熟記零點分段，熟練處理不等式有解問題是關(guān)鍵，是中檔題.

21.(1)(2)點A在曲線”外.

【解析】

(1)先消參化曲線M的參數(shù)方程為普通方程,再化為極坐標方程；

(2)由點A是曲線N上的一點，利用sin2。的范圍判斷P的范圍，即可判斷位置關(guān)系.

【詳解】

x=Jcosa

(1)由曲線M的參數(shù)方程為■、可得曲線M的普通方程為犬+寸=—，則曲線M的極坐標方程為p2=~,