2022年福建省龍巖市高考數(shù)學(xué)第一次質(zhì)檢試卷及答案解析

2022年福建省龍巖市高考數(shù)學(xué)第一次質(zhì)檢試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

1.（5分）已知集合/={x||x|<3},5={x|x+l<0},則Zfl（CRB）=（）

A.{x\-2<x<3}B.{x\-l<x<3}C.{x|-l<x<3}D.{x|-2?3}

2.（5分）已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足iz=-l+2i,則復(fù)數(shù)2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.（5分）若〃和6是異面直線(xiàn)，6和c是異面直線(xiàn)，則。和c的位置關(guān)系是（）

A.異面或平行B.異面或相交

C.異面D.相交、平行或異面

八、.sin（n+8'）1,

4.（5分）已知-------=――,則mtan28=（）

cosd2

344_31

A.-B.-C.一或一D.-

43342

，y2

5.（5分）在平面直角坐標(biāo)系x。），中，雙曲線(xiàn)C：--^2=1（a>0,b>0）的左、右焦

點(diǎn)分別為Q,尸2,點(diǎn)M是雙曲線(xiàn)右支上一點(diǎn)，且△0m用為等邊三角形，則雙曲線(xiàn)C的

離心率為（）

LV3L、V3+1

A.V3+1B.—+\C.2（V3-1）D.—y-

6.（5分）國(guó)外新冠肺炎疫情形勢(shì)嚴(yán)峻，國(guó)內(nèi)疫情傳播風(fēng)險(xiǎn)加大，為了更好地抗擊疫情，國(guó)

內(nèi)進(jìn)一步加大新冠疫苗的接種力度.某制藥企業(yè)對(duì)某種新冠疫苗開(kāi)展臨床接種試驗(yàn)，若

使用該疫苗后的抗體呈陽(yáng)性，則認(rèn)為該新冠疫苗有效.該企業(yè)對(duì)參與試驗(yàn)的1000名受試

者的年齡和抗體情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如圖表所示：

年齡頻率

[20,30)0.20

[30,40)0.30

[40,50)0.10

[50,60)0.20

[60,70)0.10

[70,80]0.10

第1頁(yè)共21頁(yè)

則下列結(jié)論正確的是（)

A.在受試者中，50歲以下的人數(shù)為700

B.在受試者中，抗體呈陽(yáng)性的人數(shù)為800

C.受試者的平均年齡為45歲

D.受試者的疫苗有效率為80%

7.（5分）已知函數(shù)/（x）=$3+4*,記等差數(shù)列｛“”｝的前〃項(xiàng)和為S〃，若/（m+2）=100,

f（42022+2）=-100,則S2022=（）

A.-4044B.-2022C.2022D.4044

8.（5分）已知函數(shù)/（x）=2sin（3x-第+b（3>0）,若存在實(shí)數(shù)a,對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都

3

有/（a+x）+f（a-x]=2,且/（x）在區(qū)間[0,I]上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則/[）的取

值范圍是（）

A.[-1,一冬B.[-1,V3）C.[-1,V3+1）D.[0,V3+1）

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

（多選）9.（5分）已知二項(xiàng)式（依-上）”的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和是士，則下列說(shuō)法

乙xIZo

正確的有（）

A.展開(kāi)式共有7項(xiàng)

B.二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)

C.所有二項(xiàng)式系數(shù)和為128

D.展開(kāi)式的有理項(xiàng)共有4項(xiàng)

（多選）10.（5分）在△/BC中，已知8C=6,且訪=DE=EC,AD'AE=S,則（）

第2頁(yè)共21頁(yè)

A.AD=^AB+^AEB.AE=^AB+^AC

C.AB2+AC2=36D.AB1.AC

（多選）11.（5分）已知點(diǎn)P（xo，_yo）是直線(xiàn)/：聲7=4上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作圓。：x2+y2

=2的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為B,連接。I,OB,貝U（）

A.當(dāng)四邊形WP8為正方形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,2）

B.|我|的取值范圍為［遍，+8）

C.當(dāng)△R1B為等邊三角形時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（1,3）

D.直線(xiàn)48過(guò)定點(diǎn)弓，1）

（多選）12.（5分）已知數(shù)列｛端的前〃項(xiàng)和為S“m=l,“”+i=［冊(cè)+（-，）“，:為奇數(shù),

1期+2"+1,n為偶數(shù)

則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.數(shù)列｛〃”｝的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列是等差數(shù)列

B.數(shù)列｛斯｝的偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列是等比數(shù)列

C.ai3=8191

D.Sio=671

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（5分）拋物線(xiàn)上一點(diǎn)4（2V2,2）到焦點(diǎn)的距離為.

14.（5分）函數(shù)/（x）=/+/內(nèi)在點(diǎn)（1,/（I））處的切線(xiàn)/與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積

為.

15.（5分）已知△N8C是等腰直角三角形，點(diǎn)尸在平面48C的同一側(cè)運(yùn)動(dòng)，尸到平面Z8C

的距離為6,三棱錐P7BC的體積為18且其外接球的半徑為5,則滿(mǎn)足上述條件的點(diǎn)P

的軌跡長(zhǎng)度為.

16.（5分）已知函數(shù)/（x）=9X-m-y+m+6,若方程/（-x）+f（x）=0有解，則實(shí)數(shù)加

的取值范圍是.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（10分）己知數(shù)列｛如｝是等比數(shù)列,公比4>0,且一是2a1,3a2的等差中項(xiàng),as=32.

（1）求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

（2）若b”=（2n+l）an,求數(shù)列｛瓦｝的前■項(xiàng)和北.

18.（12分）如圖，在四棱錐P-/8co中，底面N8CD為直角梯形，AD//BC,ADVDC,

第3頁(yè)共21頁(yè)

1

PA=PD=PB,BC=DC=^D=2,E為/￡>的中點(diǎn)，且PE=4.

（1）求證：尸E_L平面N8CZ）；

（2）記PE的中點(diǎn)為M若M在線(xiàn)段8c上，且直線(xiàn)與平面以8所成角的正弦值為

二,求線(xiàn)段8M的長(zhǎng).

9

19.（12分）近年來(lái)，我國(guó)大學(xué)生畢業(yè)人數(shù)呈逐年上升趨勢(shì)，各省市出臺(tái)優(yōu)惠政策鼓勵(lì)高校

畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，以創(chuàng)業(yè)帶動(dòng)就業(yè).某市統(tǒng)計(jì)了該市其中四所大學(xué)2021年的畢業(yè)生人數(shù)

及自主創(chuàng)業(yè)人數(shù)（單位：千人），得到如下表格:

/大學(xué)8大學(xué)C大學(xué)。大學(xué)

當(dāng)年畢業(yè)人數(shù)X3456

（千人）

自主創(chuàng)業(yè)人數(shù)N0.10.20.40.5

（千人）

（1）已知y與x具有較強(qiáng)的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程丫=a+6x；

（2）假設(shè)該市政府對(duì)選擇自主創(chuàng)業(yè)的大學(xué)生每人發(fā)放1萬(wàn)元的創(chuàng)業(yè)補(bǔ)貼.

（i）若該市E大學(xué)2021年畢業(yè)生人數(shù)為7千人，根據(jù)（1）的結(jié)論估計(jì)該市政府要給

E大學(xué)選擇自主創(chuàng)業(yè)的畢業(yè)生創(chuàng)業(yè)補(bǔ)貼的總金額;

（ii）若4大學(xué)的畢業(yè)生中小明、小紅選擇自主創(chuàng)業(yè)的概率分別為p,2p-1

該市政府對(duì)小明、小紅兩人的自主創(chuàng)業(yè)的補(bǔ)貼總金額的期望不超過(guò)1.4萬(wàn)元，求p的取值

范圍.

參考公式：回歸方程丫=a+bx中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為6=

2,Lt—yUA,.

Ei=ix^-nx

第4頁(yè)共21頁(yè)

20.(12分)記△Z8C的內(nèi)角力、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,已知a、b、c是三個(gè)連續(xù)的

正整數(shù)，且a<6Vc,C=2N.

(1)求a；

71

(2)將線(xiàn)段AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)］到AD,求△ZCO的面積.

x2y23V2

21.(12分)已知橢圓C：方+77=1(。>6>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)E(V2,――),左頂點(diǎn)為。，右

aL匕2

焦點(diǎn)為凡已知點(diǎn)尸(0,V2),且。，P,E三點(diǎn)共線(xiàn).

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸的直線(xiàn)/與橢圓C交于4,8兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)8作直線(xiàn)y=32的垂線(xiàn)，

垂足為G,求證：直線(xiàn)ZG過(guò)定點(diǎn).

22.(12分)已知函數(shù)f(x)—axlnx+\>g(x)=(a-2)x2-3^~+2xlnx+\,aGR.

(1)當(dāng)a=3時(shí)，判斷函數(shù)/(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(2)若/(x)(x)恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

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2022年福建省龍巖市高考數(shù)學(xué)第一次質(zhì)檢試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

1.（5分）已知集合/={x||x|V3},S={x|x+l<0},則45（CR5）=（）

A.{x\-2<x<3}B.{x\-l<x<3}C.{x\-l<x<3}D.{x|-2<x<3}

【解答】解：：/={x|-3<x<3},

：.QRB={X\X>-1},

：.AQ（CR8）={X|-l<x<3}.

故選：C.

2.（5分）已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足iz=-1+23則復(fù)數(shù)2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【解答】解：?；iz=-l+2i,

.—1+21（―1+2i）t..

..Z=:=75~~—=2+l,

Ilz

：.z=2-i,

復(fù)數(shù)2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（2,-1）,位于第四象限.

故選：D.

3.（5分）若“和6是異面直線(xiàn)，6和c是異面直線(xiàn)，則a和c的位置關(guān)系是（）

A.異面或平行B.異面或相交

C.異面D.相交、平行或異面

【解答】解：在長(zhǎng)方體中，

①若直線(xiàn)N小記為直線(xiàn)“，直線(xiàn)BC記為直線(xiàn)b,直線(xiàn)囪小記為直線(xiàn)c,

則滿(mǎn)足。和6是異面直線(xiàn)，6和c是異面直線(xiàn)，

而。和c相交：

②若直線(xiàn)/小記為直線(xiàn)a,直線(xiàn)8c記為直線(xiàn)b,直線(xiàn)。。記為直線(xiàn)c,

此時(shí)a和c平行；

③若直線(xiàn)441記為直線(xiàn)。，直線(xiàn)8c記為直線(xiàn)從直線(xiàn)記為直線(xiàn)c,

此時(shí)a和c異面：

故選：D.

第6頁(yè)共21頁(yè)

1

D.

2

【解答】解：因?yàn)橛钠r=*=—tanO=T

1

所以tan0=2，

la2tan02X4

貝1m”tan20=m兩國(guó)=匚芬2=3-

故選：B.

_x2y2、

5.（5分）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，雙曲線(xiàn)C：~一J■一記=1（〃>0，b>0）的左、右焦

點(diǎn)分別為尸1，尸2,點(diǎn)〃是雙曲線(xiàn)右支上一點(diǎn)，且△0MF2為等邊三角形，則雙曲線(xiàn)。的

離心率為（）

4V3V3+1

A.V3+1B.—+1C.2(V3-1)D.-----

22

【解答】解：如圖，

cV3

??,△。四尸2為等邊三角形，：.M—c）,

c?3c2

代入雙曲線(xiàn)方程，可得在-4-c2_4a2=1，

SPe4-8e2+4=0,解得e=遮+1(e>l).

故選：A.

第7頁(yè)共21頁(yè)

6.(5分)國(guó)外新冠肺炎疫情形勢(shì)嚴(yán)峻，國(guó)內(nèi)疫情傳播風(fēng)險(xiǎn)加大，為了更好地抗擊疫情，國(guó)

內(nèi)進(jìn)一步加大新冠疫苗的接種力度.某制藥企業(yè)對(duì)某種新冠疫苗開(kāi)展臨床接種試驗(yàn)，若

使用該疫苗后的抗體呈陽(yáng)性，則認(rèn)為該新冠疫苗有效.該企業(yè)對(duì)參與試驗(yàn)的1000名受試

者的年齡和抗體情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如圖表所示：

年齡頻率

[20,30)0.20

[30,40)0.30

[40,50)0.10

[50,60)0.20

[60,70)0.10

[70,80]0.10

于50歲低于50歲

A.在受試者中，50歲以下的人數(shù)為700

B.在受試者中，抗體呈陽(yáng)性的人數(shù)為800

C.受試者的平均年齡為45歲

D.受試者的疫苗有效率為80%

【解答】解：在受試者中，50歲以下的人數(shù)為1000X(0.2+0.3+0.1)=600,故選項(xiàng)/

錯(cuò)誤；

在受試者中，抗體呈陽(yáng)性的人數(shù)為600X0.9+400X0.85=880,故選項(xiàng)8錯(cuò)誤；

受試者的平均年齡為25X0.2+35X0.3+45X0.1+55X0.2+65X0.1+75X0.1=45,故選項(xiàng)C

正確；

OOQ

受試者的疫苗有效率為777京=88%,故選項(xiàng)。錯(cuò)誤：

1000

第8頁(yè)共21頁(yè)

故選：c.

7.(5分)已知函數(shù)/(x)=1X3+4X,記等差數(shù)列｛檢｝的前〃項(xiàng)和為S〃，若/(ai+2)=100,

/(02022+2)=700,貝|JS2O22=()

A.-4044B.-2022C.2022D.4044

【解答】解：因?yàn)?(一為=—4爐一4%=—f(x),.../(x)是奇函數(shù)，

因?yàn)?(0+2)=100,/(“2022+2)=-100,所以/(m+2)=-/"2022+2),

所以“1+2+42022+2=0,所以。1+。2022=-4,

所以52022=-2—&+。2022)=-4044.

故選：A.

8.(5分)已知函數(shù)/(x)=2sin(cox-看)+b(a)>0),若存在實(shí)數(shù)〃，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都

3

有/(〃+x)=2,且/(x)在區(qū)間[0,1]上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則/(J的取

值范圍是()

A.[-1,-器)B.[-1,V3)C.[-1,V3+1)D.[0,V3+1)

【解答】解：因?yàn)?(a+x)+fCa-x)=2,

所以/(x)的圖象關(guān)于(。，1)對(duì)稱(chēng)，

所以b=1,

所以/(x)=2sin(air—看)+1(3>0),

令f(x)=0,則2sin(cox-看)+1=0,

即sin(cox—看)=—4，

因?yàn)閤W[0,1],

所以0)%一看€[一3—看],

因?yàn)?G)在區(qū)間[0,1]上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，

7r

”,117T197r,107r

所以二一<co-7V—?jiǎng)t2TTW3〈不一，

666D

?.4TT37r7177r,3nn

所以T7W二一二V^T，貝!J-1Wsin(二一二)V亍，

346346/

-?3兀7T「

所以-1W2sin(—――)+1<V3+1,

46

第9頁(yè)共21頁(yè)

3L

即-IWf（Z）＜V3+1.

故選：C.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

（多選）9.（5分）已知二項(xiàng)式（式-上）”的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和是士，則下列說(shuō)法

正確的有（）

A.展開(kāi)式共有7項(xiàng)

B.二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)

C.所有二項(xiàng)式系數(shù)和為128

D.展開(kāi)式的有理項(xiàng)共有4項(xiàng)

【解答】解：令X=1可得：（*尸=鼻，解得〃=7,故該二項(xiàng)式為（夜—人）7,

乙JL乙。乙人

故展開(kāi)式中共7+1=8項(xiàng)，故/錯(cuò)誤；

二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間的第4、5項(xiàng)，故8錯(cuò)誤；

所有二項(xiàng)式系數(shù)之和為27=128,故C正確；

-I7-3k

展開(kāi)式的通項(xiàng)為7\+i=（-之）（1,妗?k=0,1,2,....,7,當(dāng)％=1,3,5,7

時(shí)，為有理項(xiàng)，故。正確.

故選：CD.

（多選）10.（5分）在△ZBC中，已知BC=6,且訪=DE=EC,AD'AE=S,則（）

A.AD=^1AB^-^1AEB.ATE=^2ATB^^1A.TC

C.AB2+AC2=36D.AB±AC

【解答】解：在△48C中，已知8C=6,且薪=茄=應(yīng)?，可知。，E是8C的三等分

點(diǎn)，

T1T1T

所以。是8E的中點(diǎn)，所以4。=打8+今犯所以/正確：

ATE=^1ATB+^7ATC,所以5不正確；

AD=AB+^BC,AE=AB+^BC,

所以幾）?族=8=AB2+AB-BC+^BC2,

第10頁(yè)共21頁(yè)

可得+gBC=O,即e(4B+BC)=0,^AB-AC=0,所以。正確,

同時(shí)滿(mǎn)足+扇2=36,所以c正確.

故選：ACD.

（多選）11.（5分）已知點(diǎn)尸（xo，州）是直線(xiàn)/：xtr=4上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓O：f+jJ

=2的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為4,B,連接04OB,則（）

A.當(dāng)四邊形。力尸8為正方形時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（2,2）

B.|我|的取值范圍為［括，+8）

C.當(dāng)△必8為等邊三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1,3）

D.直線(xiàn)48過(guò)定點(diǎn)弓，1）

【解答】解：

.,.|P0|=J(V2)2+(V2)2=2,

又點(diǎn)尸(xo?/)是直線(xiàn)/：x+y=4上的一點(diǎn),

設(shè)P(xo，4-xo)>

22

\P0\—d(&-0)2+(4—Xo—0)2—，2xo~—8x0+16=2,即沏—4%0+6=0,

該方程△<(),xo無(wú)解，

故不存在點(diǎn)P使得OAPB為正方形，A錯(cuò)誤；

對(duì)于8選項(xiàng)：由/知，|PA|=J|P0|2一|0川2=，仍。|2一2,

：.\PO\=君+(4—沏)2=2&)2-8沏+16=2(尤0—2)2+828,

第11頁(yè)共21頁(yè)

：.\P0\2-226,則\PA\>V6,即PA的取值范圍是［遍，+00),

故8正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：若三角形△以8為等邊三角形為等邊三角形，易知乙4尸8=60°,

又0P平分/APB,

：.ZAPO=ZBPO=30Q,

在RtZVM。中，由于|。川=夜，

：.sin300=假=>\0P\=2V2,

又尸點(diǎn)坐標(biāo)為：Go,4-xo),

222

.,.XQ+(4—x0)—8,即2x0-8x0+8=0=(x0—2)—0,

?"?xo-2,yo—2,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)。：：尸(xo,4-xo),

22

\P0\=Xp+(4—x0)=2x0—8x0+16,

記OP中點(diǎn)為D(乎空)，

\P0\

則以。為圓心，1yL為半徑的圓與圓0的公共弦為45,

圓D方程為(％—苗/+(y---"(2%o2-8%Q+16),

整理得f+f-X0X-(470)y=0,

聯(lián)立F；+￥一一“一&)y=°,化簡(jiǎn)得如什a「°)、=2,

即得直線(xiàn)方程為xox+(4-xo)y-2=0,

將x=y=*代入方程恒成立；故直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)(去，i),。正確.

故選：BD.

(即+(—2尸，n為奇數(shù)

(多選)12.(5分)已知數(shù)列｛斯｝的前“項(xiàng)和為S”，m=l,

U+2n+bn為偶數(shù)

則下列選項(xiàng)正確的是()

A.數(shù)列｛〃”｝的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列是等差數(shù)列

B.數(shù)列｛??)的偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列是等比數(shù)列

C.013=8191

D.Sio=671

第12頁(yè)共21頁(yè)

%+(-2)"，n為奇數(shù)

【解答】解：因?yàn)?1,即+1=

.斯+2計(jì)1，xi為偶數(shù)'

所以匆=1+(-21=—1/Q3=-1+2醫(yī)

。4=-1+2?+(—2?=-1,Q5=-1+2‘，

7

即=+(—2)5=—1,a7=—14-2,

CLQ=-1,Q9=-1+2“，

11

。10=-1/an=-1+2,

13

a12=-1，Q13=-1+2=8191,

可以看出：偶數(shù)項(xiàng)為常數(shù)列，可看作是以1為公比的等比數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)不是等差數(shù)列,

Si0=。1+。2+。3+。4+。5+。6+。7+。8+々9+。10

=1+(-1)+(-1+23)+(-1)+(-1+25)

+(-1)+(-1+27)+(-1)+(-1+29)+(-1)

=1+9X(-1)+(23+25+27+29)

=-8+23匕1?4)=672,

故選：BC.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(5分)拋物線(xiàn)F=4y上一點(diǎn)/(2V2,2)到焦點(diǎn)的距離為3.

【解答】解：拋物線(xiàn)/=4y上一點(diǎn)N(2V2,2)到焦點(diǎn)的距離就是N到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，準(zhǔn)

線(xiàn)方程為：y=-1，

所以?huà)佄锞€(xiàn)f=4y上一點(diǎn)/(2V2,2)到焦點(diǎn)的距離為2+1=3.

故答案為：3.

14.(5分)函數(shù)/(X)=x3+/〃x在點(diǎn)處的切線(xiàn)/與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積

為-.

一8一

【解答】解：由/(x)—x3+lnx,得，(x)=3f+1,

：.f(1)=4,又/⑴=1,

二函數(shù)/(x)=x3+/〃x在點(diǎn)(1,/(I))處的切線(xiàn)/為y-1=4(x-1),

Q

取x=0,得y=-3,取歹=0,得x=].

切線(xiàn)/與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為5=次"3=》

Z4,O

第13頁(yè)共21頁(yè)

9

故答案為：

O

15.(5分)已知△Z8C是等腰直角三角形，點(diǎn)尸在平面Z8C的同一側(cè)運(yùn)動(dòng)，尸到平面Z8C

的距離為6,三棱錐P-ABC的體積為18且其外接球的半徑為5,則滿(mǎn)足上述條件的點(diǎn)P

的軌跡長(zhǎng)度為

【解答】解：如圖所示，由△48C是等腰直角三角形，可得力8=8C=x,

又由尸到平面Z8C的距離為6,三棱錐P-ABC的體積為18,

可得=解得x=3四，所以4C=6,

因?yàn)槠渫饨忧虻陌霃絉=5,可得52=4。：+。。；=32+。。；，解得001=4,

即圓心0到平面ABC的距離為4,

又因?yàn)辄c(diǎn)P到平面ABC的距離為6,所以球心0到點(diǎn)P軌跡所在圓的距離為2,

設(shè)點(diǎn)P的軌跡所在圓的半徑為廠，可得「=后■二=

所以點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為2nr2=2兀x(VH)2=2低兀.

故答案為：2?m

16.(5分)已知函數(shù)/(x)=9X-m-3x+m+6,若方程/(-x)4/(x)=0有解，則實(shí)數(shù)〃?

的取值范圍是_[2V14+4,+8).

【解答】解：?函數(shù)/(x)=夕-機(jī)?3'+〃什6,

-x)+fCx)=0即9r-nf3x+m+6+9'x-m>?>'x+m+6=0,

可得：(3*+3r)2-^(3"3、)+2加+10=0,

令―3'+3」,則f》2,

可得P-加什2加+10=0,即w(f-2)=內(nèi)"10有解，顯然f=2無(wú)意義，

故t>2,m=學(xué)羅=(々邛號(hào)陽(yáng)+”=「2+丹+4》2舊+4.當(dāng)且僅當(dāng)仁V14+2

C-/AC-ZL-L

第14頁(yè)共21頁(yè)

時(shí)等號(hào)成立，

故答案為：［2舊+4,+8).

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(10分)已知數(shù)列｛&｝是等比數(shù)列，公比4>0,且是2。|,3a2的等差中項(xiàng)，“5=32.

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(2)若加=⑵+1)a,?求數(shù)列｛瓦｝的前“項(xiàng)和7”.

【解答】解：(1)依題意得：2。遇2=2ai+3aiq,

，2q2-3q-2=0,

g>0,?'.g=2,

又as=a1q4=32.'.

解得ai=2,

/.On=2X2n-1=2n.

n

(2)bn=(2n+l)2,

T,,=3-21+5-22+7?23+-4-(2n-1)-2n-x+(2n+1)-23

234nn+1

2Tn=3-2+5?2+7?2+-+(2n-1)-2+(2n+1)-2,

nn+1

相減得:-7n=6+2?02+23+…+2)-(2n+1)-2,

-G=6+2.4a渭T)一(2n+1).2n+1,

n+1

整理得：Tn=2+(2n-1)-2.

18.(12分)如圖，在四棱錐P-/BCD中，底面N8CD為直角梯形，AD//BC,ADVDC,

PA=PD=PB,BC=DC=^AD=2,E為/。的中點(diǎn)，且PE=4.

(1)求證：/>￡_1_平面/88；

(2)記尸E的中點(diǎn)為N,若/在線(xiàn)段8C上，且直線(xiàn)與平面RI8所成角的正弦值為

V3

―,求線(xiàn)段8〃的長(zhǎng).

A

第15頁(yè)共21頁(yè)

【解答】解：(1)證明：連接8￡,

1

'：BC=^AD=DE=2,AD//BC,

:.BC=DE,BC//DE,

四邊形38E為平行四邊形，.?.8E=CO=2,

'：PA=PD,且E為/。的中點(diǎn)，：.PELAD,

：.PD=y/PE2+DE2=V16+4=2麻，二PB=PD=2有，

：.PE1+BE1=PB'1,即PE工BE,

又ADCBE=E,ABCD.

(2)以E為原點(diǎn)，以為x軸，E8為y軸，EP為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系，

則力(2,0,0),B(0,2,0),C(-2,2,0),P(0,0,4),

：.AB=(-2,2,0),PB=(0,2,-4),

設(shè)平面刃8的法向量為骨=(x,“z),

則&&~2x+2y=0,取z=],得建⑵2,1),

(.n?PB=2y-4z=0

設(shè)5M=1(怎[0,2]),貝2,0),Vy(0,0,2),：.MN=(3-2,2),

?.?平面以8的法向量為￡=(2,2,1),設(shè)直線(xiàn)"N與平面以8所成的角為0,

則sind=\cos(MN,n)\=I溫工2川=V-

化簡(jiǎn)得llz2-24什4=0,解得f=2或仁云，滿(mǎn)足生[0,2],

第16頁(yè)共21頁(yè)

故線(xiàn)段8M的長(zhǎng)度為2或

19.（12分）近年來(lái)，我國(guó)大學(xué)生畢業(yè)人數(shù)呈逐年上升趨勢(shì)，各省市出臺(tái)優(yōu)惠政策鼓勵(lì)高校

畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，以創(chuàng)業(yè)帶動(dòng)就業(yè).某市統(tǒng)計(jì)了該市其中四所大學(xué)2021年的畢業(yè)生人數(shù)

及自主創(chuàng)業(yè)人數(shù)（單位：千人），得到如下表格：

/大學(xué)8大學(xué)C大學(xué)。大學(xué)

當(dāng)年畢業(yè)人數(shù)X3456

（千人）

自主創(chuàng)業(yè)人數(shù)y0.10.20.40.5

（千人）

（1）已知y與x具有較強(qiáng)的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程丫=a+bx；

（2）假設(shè)該市政府對(duì)選擇自主創(chuàng)業(yè)的大學(xué)生每人發(fā)放1萬(wàn)元的創(chuàng)業(yè)補(bǔ)貼.

（i）若該市E大學(xué)2021年畢業(yè)生人數(shù)為7千人，根據(jù)（1）的結(jié)論估計(jì)該市政府要給

E大學(xué)選擇自主創(chuàng)業(yè)的畢業(yè)生創(chuàng)業(yè)補(bǔ)貼的總金額；

（ii）若4大學(xué)的畢業(yè)生中小明、小紅選擇自主創(chuàng)業(yè)的概率分別為p,2p-1<p<\）,

該市政府對(duì)小明、小紅兩人的自主創(chuàng)業(yè)的補(bǔ)貼總金額的期望不超過(guò)1.4萬(wàn)元，求p的取值

范圍.

參考公式：回歸方程丫=a+bx中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為匕=

%々％一呵

22a=y-bx.

Zi=ixt-nx，

0.1+0.2+0.4+0.5

【解答】解:（1）由題意得彳=3+勺5把=45,5==0.3,

4

2：=1xiVi=6.1，￡：=1#=86,

勺乃一4取_6.1—4x4.5x0.3

b==0.14,

/1xj-4x~286-81

所以a=7一bx=0.3—0.14X4.5=-0.33,

故得y關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程為y=0.14x-0.33；

（2）（/）將x=7代入，y=0A4x-0.33=0.14X7-0.33=0.65,

所以估計(jì)該市政府需要給E大學(xué)畢業(yè)生選擇自主創(chuàng)業(yè)的人員發(fā)放補(bǔ)貼金總額為0.65X

第17頁(yè)共21頁(yè)

1000X1=650(萬(wàn)元);

(n)設(shè)小明、小紅兩人中選擇自主創(chuàng)業(yè)的人數(shù)為X,則X的所有可能值為0,1,2,

P(%=0)=(1-p)(2-20)=2p2-4P+2,

P(X=l)=(1-p)(2p-1)+p(2-2p)=-4p2+5p-1,

P(X=2)=p(2p-1)=2p2-p,

：.E(X)=0X(2p2-4P+2)+(-4p2+5p-1)X1+(2/?2-p)X2=3p-1,

4

E(1xX)=1x(3p-l)<1.4=>p<J,

1

V-<P<1，

14

2y5

故p的取值范圍為G,紅

20.(12分)記△力8C的內(nèi)角4、B、C的對(duì)邊分別為〃、b、c,已知a、b、c是三個(gè)連續(xù)的

正整數(shù)，且aV6〈c,C=2A.

(1)求a；

(2)將線(xiàn)段AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)三到AD,求△4CD的面積.

【解答】解：(1)且a、b、c是三個(gè)連續(xù)的正整數(shù),

b—1b+1b+1b+l

???可得a=b-l,c=b+l,由正弦定理得面=嬴

sin2A2sinAcosAf

b+1

cosA—

又由余弦定理得皿人=小啜=患方，

b+1b+4

，解得b5,

'々(I)=2(b+l)

.\a=4.

(2)由(1)知。=4,b=5,c=6,

,/DAr52+62—423

sinXBAC=y/1—cos2Z-BAC=0

=H'

It

將線(xiàn)段AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)§到AD時(shí)，分兩種情況如下:

(i)如圖1：=2T+TX4=-8-'

第18頁(yè)共21頁(yè)

c1v…八"+3e45^+1577

S?ACD=2x5x6x-g-=----g----；

(")如圖2：'：cos^CAB=^>^,G<z.CAB<n,

**?乙CABV?,可得sinZ-CAD=sin(5—Z.BAC^=-y-cos乙BAC—sinZ-BAC=xy—

?DD乙乙乙i

1473V3-V7

2XT=-8-'

c_lx5x6x^77_45/3-15T7

、&ACD—2xxbx8-8，

xy_3V2

21.(12分)已知橢圓C：/+$=1(a>6>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)E(或，—),左頂點(diǎn)為。，右

焦點(diǎn)為E已知點(diǎn)尸(0,V2),且。，P,E三點(diǎn)共線(xiàn).

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)，與橢圓C交于48兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)8作直線(xiàn)y=3a的垂線(xiàn),

垂足為G,求證：直線(xiàn)/G過(guò)定點(diǎn).

9

【解答】解：⑴依題意，馬+登=1,

arb￡

又P(0,V2)是夕軸上一點(diǎn)，且尸，D,E三點(diǎn)共線(xiàn)，

廣3-9

所以c/°、-2r-?解得a=2V2,代入馬+卷=1，得P=6,

0-(-a)V2-0arb乙

/y2

所以，橢圓。的方程為7■十—=1.

86

第19頁(yè)共21頁(yè)

(2)證明：當(dāng)力(-2V2,