簡(jiǎn)單的三角恒等變換第六節(jié)

簡(jiǎn)單的三角恒等變換第六節(jié)第一頁，共二十九頁，2022年，8月28日2．三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)三角函數(shù)式是為了更清楚地顯示式中所含量之間的關(guān)系，以便于某種要求的應(yīng)用．(1)化簡(jiǎn)的基本原則．①能求值的盡量求出值；②使三角函數(shù)的種類盡量少；③使項(xiàng)數(shù)盡量少；④盡量使分母不含三角函數(shù)；⑤盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù)．(2)化簡(jiǎn)中“次數(shù)”與“角”的關(guān)系．“次降角升”、“次升角降”是基本的規(guī)律，根號(hào)中含有三角函數(shù)式時(shí)，一般需要升次．常用公式有：1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2；1－sin2α＝(sinα－cosα)2；1＋cos2α＝2cos2α；1－cos2α＝2sin2α.第二頁，共二十九頁，2022年，8月28日(3)化簡(jiǎn)中常用技巧：①“1”的代換，1＝sin2α＋cos2α；1＝2cos2α－cos2α；1＝cos2α＋2sin2α，1＝tan等等．②用“弦化切”，“切化弦”的手法來減少函數(shù)的種類．3．三角函數(shù)式的證明恒等式的證明，包括有條件的恒等式和無條件的恒等式兩類．無條件時(shí)，常用綜合法(執(zhí)因索果)和分析法(執(zhí)果索因)，證明的形式有化繁為簡(jiǎn)，左右歸一，變更論證等．有條件時(shí)，常先觀察條件及欲證式中左、右兩邊三角函數(shù)式的區(qū)別與聯(lián)系，靈活使用條件，變形得證，無論何種情形，基本原則是從消去等式兩端的差異去思考，或“從左證到右”，或“從右證到左”，或“從兩邊到中間”地具體操作.第三頁，共二十九頁，2022年，8月28日第四頁，共二十九頁，2022年，8月28日第五頁，共二十九頁，2022年，8月28日【答案】

A第六頁，共二十九頁，2022年，8月28日【答案】

A第七頁，共二十九頁，2022年，8月28日【答案】

1第八頁，共二十九頁，2022年，8月28日第九頁，共二十九頁，2022年，8月28日【答案】

a<c<b第十頁，共二十九頁，2022年，8月28日【思路點(diǎn)撥】

(1)直接利用公式；(2)利用二倍角公式把“1”消掉，也可利用平方差公式．第十一頁，共二十九頁，2022年，8月28日第十二頁，共二十九頁，2022年，8月28日第十三頁，共二十九頁，2022年，8月28日第十四頁，共二十九頁，2022年，8月28日【證明】因?yàn)閟in(2α＋β)－2cos(α＋β)sinα＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα－2cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝sin[(α＋β)－α]＝sinβ，所以sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sinα＝sinβ()將()式兩邊同除以sinα得：第十五頁，共二十九頁，2022年，8月28日證明三角恒等式的實(shí)質(zhì)就是消除等式兩邊的差異，有目的地化繁為簡(jiǎn)，左右歸一或變更論證．本題三角等式左側(cè)較為復(fù)雜，可以從等式左側(cè)入手證明，一步一步推證到等式的右側(cè)，中間也可以采用變更論證等技巧．第十六頁，共二十九頁，2022年，8月28日1．求證以下條件恒等式：(1)已知：2sinβ＝sinα＋cosα，sin2γ＝2sinα·cosα，求證：2cos2β＝cos2γ；(2)已知：5sinα＝3sin(α－2β)，求證：tan(α－β)＋4tanβ＝0.【證明】

(1)由已知4sin2β＝1＋2sinαcosα＝1＋sin2γ，∴1－sin2γ＝2－4sin2β＝2(1－2sin2β)．由此得cos2γ＝2cos2β，∴所證等式成立．第十七頁，共二十九頁，2022年，8月28日(2)把5sinα＝3sin(α－2β)化成5sin[(α－β)＋

β]＝3sin[(α－β)－β]，得5sin(α－β)cosβ＋5cos(α－β)sinβ＝3sin(α－β)cosβ－3cos(α－β)sinβ.移項(xiàng)合并得2sin(α－β)cosβ＋8cos(α－β)sinβ＝0.依題意α≠kπ＋且α－β≠kπ＋，k∈Z.上式兩邊都除以2cosβcos(α－β)，即得tan(α－β)＋4tanβ＝0.第十八頁，共二十九頁，2022年，8月28日已知函數(shù)f(x)＝cos4x－2sinxcosx－sin4x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)若x∈，求f(x)的最大值及最小值．第十九頁，共二十九頁，2022年，8月28日第二十頁，共二十九頁，2022年，8月28日第二十一頁，共二十九頁，2022年，8月28日第二十二頁，共二十九頁，2022年，8月28日第二十三頁，共二十九頁，2022年，8月28日第二十四頁，共二十九頁，2022年，8月28日本節(jié)內(nèi)容是靈活運(yùn)用三角公式特別是倍角公式進(jìn)行三角恒等變換，進(jìn)而考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，多以解答題的形式呈現(xiàn)，屬中、低檔題．1．(2009年安徽卷)已知函數(shù)f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)，y＝f(x)的圖象與直線y＝2的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于π，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(