2018年數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第四章三角函數(shù)、解三角形第7講解三角形應(yīng)用舉例學(xué)案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精12-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE第7講解三角形應(yīng)用舉例最新考綱能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)方法解決一些與測(cè)量、幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題.知識(shí)梳理1.仰角和俯角在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方叫仰角,目標(biāo)視線在水平視線下方叫俯角（如圖1)。2.方位角從正北方向起按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線之間的水平夾角叫做方位角。如B點(diǎn)的方位角為α(如圖2).3.方向角:正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，如南偏東30°，北偏西45°等。4。坡度:坡面與水平面所成的二面角的正切值.診斷自測(cè)1.判斷正誤（在括號(hào)內(nèi)打“√"或“×”)(1)東北方向就是北偏東45°的方向.()（2）從A處望B處的仰角為α,從B處望A處的俯角為β，則α，β的關(guān)系為α＋β＝180°。（)（3)俯角是鉛垂線與視線所成的角，其范圍為eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1(0，\f（π,2）））。（）（4）方位角與方向角其實(shí)質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)之間的位置關(guān)系。(）解析(2)α＝β.(3)俯角是視線與水平線所構(gòu)成的角.答案（1）√（2）×(3）×（4）√2。若點(diǎn)A在點(diǎn)C的北偏東30°,點(diǎn)B在點(diǎn)C的南偏東60°，且AC＝BC，則點(diǎn)A在點(diǎn)B的(）A.北偏東15° B.北偏西15°C.北偏東10° D.北偏西10°解析如圖所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，∴∠CBA＝45°,而β＝30°,∴α＝90°－45°－30°＝15°?！帱c(diǎn)A在點(diǎn)B的北偏西15°.答案B3。如圖，飛機(jī)的航線和山頂在同一個(gè)鉛垂面內(nèi),若飛機(jī)的高度為海拔18km，速度為1000km/h，飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?0°,經(jīng)過1min后又看到山頂?shù)母┙菫?5°,則山頂?shù)暮０胃叨葹?精確到0.1km，參考數(shù)據(jù)：eq\r（3）≈1。732)(）A。11。4km B。6.6kmC。6.5km D。5。6km解析∵AB＝1000×eq\f（1,60）＝eq\f（50,3)(km）,∴BC＝eq\f(AB,sin45°)·sin30°＝eq\f(50,3\r（2))(km)?！嗪骄€離山頂h＝eq\f(50，3\r（2))×sin75°＝eq\f(50,3\r(2))×sin（45°＋30°）≈11.4（km）?！嗌礁邽?8－11。4＝6.6（km）.答案B4.（必修5P11例1改編）如圖，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，要測(cè)量?jī)牲c(diǎn)之間的距離，測(cè)量者在A的同側(cè),在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離是m米，∠BAC＝α，∠ACB＝β，則A，B兩點(diǎn)間的距離為（)A.eq\f（msinα,sinβ) B.eq\f(msinα，sin（α＋β））C.eq\f（msinβ，sin（α＋β）) D。eq\f（msin（α＋β），sinα＋sinβ）解析在△ABC中，∠ABC＝π－(α＋β)，AC＝m,由正弦定理，得eq\f(AB，sinβ）＝eq\f（AC,sin∠ABC)，所以AB＝eq\f（msinβ,sin［π－（α＋β）］）＝eq\f（msinβ，sin（α＋β）)。答案C5。輪船A和輪船B在中午12時(shí)同時(shí)離開海港C，兩船航行方向的夾角為120°，兩船的航行速度分別為25nmile/h，15nmile/h,則下午2時(shí)兩船之間的距離是______nmile。解析設(shè)兩船之間的距離為d，則d2＝502＋302－2×50×30×cos120°＝4900,∴d＝70，即兩船相距70nmile。答案706。(2017·湖州調(diào)研)一緝私艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45°方向，距離12nmile的海上有一走私船正以10nmile/h的速度沿南偏東75°方向逃竄,若緝私艇的速度為14nmile/h，緝私艇沿北偏東45°＋α的方向追去，若要在最短的時(shí)間內(nèi)追上走私船,則追上所需的時(shí)間為________h，α角的正弦值為________.解析如圖所示，A,C分別表示緝私艇、走私船的位置,設(shè)經(jīng)x小時(shí)后在B處追上走私船.則AB＝14x，BC＝10x，∠ACB＝120°，在△ABC中，由余弦定理得（14x）2＝122＋(10x)2－240·x·cos120°，解得x＝2.故AB＝28，sinα＝eq\f(20sin120°，28）＝eq\f（5\r（3)，14),即所需時(shí)間為2小時(shí)，sinα＝eq\f（5\r（3)，14)。答案2eq\f（5\r(3)，14)考點(diǎn)一測(cè)量高度問題【例1】(2015·湖北卷）如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600m后到達(dá)B處，測(cè)得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山的高度CD＝________m。解析在△ABC中，AB＝600，∠BAC＝30°,∠ACB＝75°－30°＝45°，由正弦定理得eq\f（BC，sin∠BAC)＝eq\f（AB，sin∠ACB),即eq\f（BC,sin30°)＝eq\f（600,sin45°)，所以BC＝300eq\r(2)（m).在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，CD＝BCtan∠CBD＝300eq\r(2)·tan30°＝100eq\r（6）(m)。答案100eq\r(6）規(guī)律方法(1)在處理有關(guān)高度問題時(shí)，要理解仰角、俯角(它是在鉛垂面上所成的角）、方向（位)角(它是在水平面上所成的角)是關(guān)鍵。（2）在實(shí)際問題中，可能會(huì)遇到空間與平面(地面）同時(shí)研究的問題，這時(shí)最好畫兩個(gè)圖形，一個(gè)空間圖形，一個(gè)平面圖形,這樣處理起來(lái)既清楚又不容易搞錯(cuò).(3）注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.【訓(xùn)練1】(2017·鄭州一中月考）如圖所示,在山頂鐵塔上B處測(cè)得地面上一點(diǎn)A的俯角為α，在塔底C處測(cè)得A處的俯角為β。已知鐵塔BC部分的高為h，求山高CD。解由已知得，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α,∠BAC＝α－β,∠CAD＝β.在△ABC中，由正弦定理得eq\f(AC,sin∠ABC)＝eq\f（BC，sin∠BAC）,即eq\f(AC，sin（90°－α)）＝eq\f（BC,sin（α－β）)，∴AC＝eq\f（BCcosα，sin（α－β））＝eq\f(hcosα，sin（α－β)）.在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝ACsinβ＝eq\f（hcosαsinβ,sin（α－β))。故山高CD為eq\f（hcosαsinβ，sin（α－β))。考點(diǎn)二測(cè)量距離問題【例2】如圖,A,B兩點(diǎn)在河的同側(cè)，且A，B兩點(diǎn)均不可到達(dá)，要測(cè)出AB的距離，測(cè)量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C，D，測(cè)得CD＝a，同時(shí)在C，D兩點(diǎn)分別測(cè)得∠BCA＝α，∠ACD＝β,∠CDB＝γ，∠BDA＝δ。在△ADC和△BDC中，由正弦定理分別計(jì)算出AC和BC,再在△ABC中，應(yīng)用余弦定理計(jì)算出AB。若測(cè)得CD＝eq\f（\r（3），2)km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°,∠ACB＝45°，求A，B兩點(diǎn)間的距離.解∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝eq\f(\r(3），2）（km).在△BCD中，∠DBC＝45°，由正弦定理，得BC＝eq\f(DC,sin∠DBC)·sin∠BDC＝eq\f（\f（\r(3）,2），sin45°）·sin30°＝eq\f（\r(6），4)(km）.在△ABC中，由余弦定理,得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos45°＝eq\f（3,4)＋eq\f(3,8）－2×eq\f(\r（3)，2)×eq\f(\r(6）,4)×eq\f(\r（2）,2)＝eq\f（3，8）?！郃B＝eq\f（\r(6）,4）(km).∴A，B兩點(diǎn)間的距離為eq\f(\r(6）,4)km。規(guī)律方法(1）選定或確定要?jiǎng)?chuàng)建的三角形，首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知?jiǎng)t直接求解;若有未知量,則把未知量放在另一確定三角形中求解.(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理.【訓(xùn)練2】如圖所示，要測(cè)量一水塘兩側(cè)A，B兩點(diǎn)間的距離，其方法先選定適當(dāng)?shù)奈恢肅，用經(jīng)緯儀測(cè)出角α，再分別測(cè)出AC，BC的長(zhǎng)b，a，則可求出A，B兩點(diǎn)間的距離,即AB＝eq\r(a2＋b2－2abcosα）。若測(cè)得CA＝400m，CB＝600m，∠ACB＝60°,試計(jì)算AB的長(zhǎng)。解在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB,∴AB2＝4002＋6002－2×400×600cos60°＝280000,∴AB＝200eq\r(7）(m），即A，B兩點(diǎn)間的距離為200eq\r(7)m.考點(diǎn)三測(cè)量角度問題【例3】如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東40°，燈塔B在觀察站C的南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的________方向。解析由已知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，又AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝50°，60°－50°＝10°，∴燈塔A處于燈塔B的北偏西10°.答案北偏西10°規(guī)律方法解決測(cè)量角度問題的注意事項(xiàng)(1）首先應(yīng)明確方位角或方向角的含義.（2)分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步。（3）將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題后，注意正弦、余弦定理的結(jié)合使用.【訓(xùn)練3】如圖，兩座相距60m的建筑物AB，CD的高度分別為20m，50m，BD為水平面,則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角∠CAD等于（)A。30° B.45°C。60° D.75°解析依題意可得AD＝20eq\r(10)m,AC＝30eq\r(5）m，又CD＝50m，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝eq\f（AC2＋AD2－CD2，2AC·AD)＝eq\f（(30\r(5）)2＋（20\r(10））2－502，2×30\r(5）×20\r(10））＝eq\f(6000，6000\r(2)）＝eq\f（\r（2），2），又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以從頂端A看建筑物CD的張角為45°.答案B[思想方法］1.利用解三角形解決實(shí)際問題時(shí)：（1）要理解題意，整合題目條件,畫出示意圖,建立一個(gè)三角形模型；（2）要理解仰角、俯角、方位角、方向角等概念；(3)三角函數(shù)模型中，要確定相應(yīng)參數(shù)和自變量范圍,最后還要檢驗(yàn)問題的實(shí)際意義。