第1章證明2.直角三角形

有一些涉及直角三角形的問(wèn)題,常常需要通過(guò)建立各種數(shù)學(xué)“模型”來(lái)解決，這是一種十分重要的思想方法?，F(xiàn)舉例說(shuō)明。模型1

例1：如圖1，在Rt⊿ABC中，∠C=90o∠ADC=60o，∠B=45o，BD=10，求AC的長(zhǎng)。

說(shuō)明：這類問(wèn)題的特征是：具有公共直角的兩個(gè)直角三角形，并且它們均位于直角三角形邊的同側(cè)。ABC60o45oD模型1

例1：如圖1，在Rt⊿ABC中，∠C=90o，∠ADC=60o，∠B=45o，BD=10，求AC的長(zhǎng)。ABC60o45oD推廣1

如圖,小山上有一電視塔CD,由地面上一點(diǎn)A,測(cè)得塔頂C的仰角為30o,由A向小山前進(jìn)100米到B點(diǎn),又測(cè)得截頂C的仰角為60o,已知CD=20米,求小山高度DE。推廣2

如圖，有長(zhǎng)為100米的大壩斜坡AB，坡角α=45o，現(xiàn)要改造成坡角β=30o，求伸長(zhǎng)的坡度DB的長(zhǎng)。ADBCβα分析：此題的條件只不過(guò)是在模型1中稍加變化而已。

如圖，海島A四周20海里周圍內(nèi)為暗礁區(qū)，一艘貨輪由東向西航行，在B處見(jiàn)島A在北偏西60?，航行24海里到C，見(jiàn)島A在北偏西30?，貨輪繼續(xù)向西航行，有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)？推廣3例3、如圖，海島A四周20海里周圍內(nèi)為暗礁區(qū)，一艘貨輪由東向西航行，在B處見(jiàn)島A在北偏西60?，航行24海里到C，見(jiàn)島A在北偏西30?，貨輪繼續(xù)向西航行，有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)？答：貨輪無(wú)觸礁危險(xiǎn)。∵∠NBA=60?，∠N1BA=30?，∴

∠ABC=30?，∠ACD=30?，在Rt△ADC中，CD=AD?cot∠ACD=x?cot60?,在Rt△ADB中，BD=AD?cot30?=x?cot30?,∵BD-CD=BC,BC=24∴

x?cot30?-x?cot60?=24∴

x=24cot30?-cot60?=123√≈12×1.732=20.784>20解：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于D,設(shè)AD=xABDCNN130?60?

1、如圖，在⊿ABC中，∠C=90o，AD=BD，∠BDC=30o，你是否能利用這個(gè)圖形求15o的三角函數(shù)值？練習(xí)ADCB

2、如圖，AC⊥BC，cos∠ADC=，∠B=30o，AD=10，求BD的長(zhǎng)。ABDCABCD30o

45o

模型2

在⊿ABC中,∠B=30o,∠C=45o,AC=2,求AB和BC。

此類問(wèn)題的特點(diǎn)是：通過(guò)作三角形一條邊上的高，可將原來(lái)的斜三角形化成二個(gè)直角三角形來(lái)求解。

解:作AD⊥BC于D,則DC=AD=ACsin45o=∴AB=2AD=2又BD=ADcot30o=∴BC=BD+DC=+推廣1ABDCE45o30o

在平地上有兩幢樓AB及CD相距60米,在A處測(cè)得CD底部的俯角為30o,又測(cè)得CD頂部的仰角為45o,求CD的高。解：在Rt⊿ADE中，解得DE=20，在Rt⊿ACE中，解得CE=AE=60∴CD=CE+DE=（60+20）米推廣2

廠房屋架為等腰三角形，傾角為30o，跨度AB為15米，求中柱CD和屋面AC的長(zhǎng)。ABDC解：在Rt⊿ACD中∠A=30o，

AD=AB=7.5∴CD=ADtan30o=米。推廣3

在山坡上種樹(shù),要求株距(相鄰兩樹(shù)間的水平距離)是7米,測(cè)得斜坡坡度為1:3.5,求斜坡上相鄰兩樹(shù)之間的坡面距離。CBA解：Rt⊿ABC中，∠C=90o，AC=7，tan∠BAC=1:3.5=2:7，而tan∠BAC=∴BC=ACtan∠BAC=7×=2

練習(xí)1、如圖，在⊿ABC中，AB=5，AC=7，∠B=60o，求BC的長(zhǎng)。ABC572、已知：在⊿ABC中，∠A=30o，

∠B=45o，AB=+1，求⊿ABC的面積。CBA真知在實(shí)踐中誕生模型1如圖,根據(jù)圖中已知數(shù)據(jù),求△ABC其余各邊的長(zhǎng),各角的度數(shù)和△ABC的面積.

隨堂練習(xí)P168模型2

如圖,根據(jù)圖中已知數(shù)據(jù),求AD.ABCβαaD┌ABCαβa老師期望:體會(huì)這兩個(gè)圖形的“模型”作用.將會(huì)助你登上希望的峰頂.

如圖：為測(cè)得一河兩岸相對(duì)兩電線桿A、B間的距離，在距離A點(diǎn)15米的C處（AC⊥AB）測(cè)得∠ACB=50o，則A、B間的距離應(yīng)為（）

A15sin50o米B15cos50o米C15tan50o米D15cot50o米BACC基礎(chǔ)訓(xùn)練？┛50015

如圖攔水壩的截?cái)嗝鏋樘菪蜛BCD，已知DC=3m，高CE=4m,AD=5m，BC的坡度I=1：,坡底AB的長(zhǎng)為（）A（3+4）mB（6+4）mC（8+4）mD14mBABCDE┐┐F345 i=1:4?如圖，在離鐵塔150米的A處，用測(cè)角儀測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?00，已知測(cè)角儀高AD=1.52米，則塔高BE=______________D30O150mABE88.12（米）┐H1.52?150

如圖，燈塔A周圍1000米水域內(nèi)有礁石，一艦艇由西向東航行，在O處測(cè)得燈塔A在北偏東74度方向線上。這時(shí)，O、A相距4200米，如果不改變航向，此艦艇是否有觸礁的危險(xiǎn)？OA東北解：在Rt△ACO中，∠ACO=90o，過(guò)點(diǎn)A作AC船的航向，垂足為C，∵sin16o=∵AC=4200×sin16o≈1158（米）＞1000（米）∴艦艇沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)。C7404200┏？

如圖，某飛機(jī)于空中A處探測(cè)到目標(biāo)C，此時(shí)飛行高度AC=1200米，從飛機(jī)上看地平面控制點(diǎn)B的俯角α=30度，求飛機(jī)A到控制點(diǎn)B距離.A︶1200米BCa30°

兩大樓的水平距離為30米，從高樓的頂部A點(diǎn)測(cè)得低樓的頂部D點(diǎn)的俯角為45度，測(cè)得低樓的底部C點(diǎn)的俯角為60度，求兩樓的高度。ADBC30米450600燈塔上發(fā)現(xiàn)在它的南偏東300，距離500m的A處有一艘船，該船向正西方向航行，經(jīng)過(guò)3分鐘到達(dá)燈塔西北方向的B處，求這船的航速是每小時(shí)多少千米AB一漁船在航行中不幸遇險(xiǎn)，發(fā)出警報(bào)后，在遇險(xiǎn)地點(diǎn)西南方向12km處，有一只貨輪收到警報(bào)后立即前往營(yíng)救，發(fā)現(xiàn)這只漁船向南偏東450航行，并以每小時(shí)18km的速度向某小島靠近，貨輪恰好用了30分鐘趕到把漁船搶救出來(lái)，求貨輪的航向和速度。SOSABC大家都動(dòng)起來(lái)某校的教室A位于工地O的正西方向，且OA＝200m,一部拖拉機(jī)從O點(diǎn)出發(fā)，以5m/s的速度沿北偏西53°方向行駛，設(shè)拖拉機(jī)的噪聲污染半徑為130m,試問(wèn)教室A是否在拖拉機(jī)的噪聲污染范圍內(nèi)？若不在請(qǐng)說(shuō)明理由；若在，求出教室A受到污染的時(shí)間有多少秒？(精確到1°，1m)

探索研究

1．弄清俯角、仰角、方位角等概念的意義，明確各術(shù)語(yǔ)與示意圖中的什么元素對(duì)應(yīng)，只有明確這些概念，才能恰當(dāng)?shù)匕褜?shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題

2．認(rèn)真分析題意、畫(huà)圖并找出要求的直角三角形，或通過(guò)添加輔助線構(gòu)造直角三角形來(lái)