線性參數(shù)的最小二乘法處理

線性參數(shù)的最小二乘法處理1第一頁，共二十五頁，2022年，8月28日教學目標最小二乘法是一種在數(shù)據(jù)處理和誤差估計等多學科領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用的數(shù)學工具。隨著現(xiàn)代數(shù)學和計算機技術(shù)的發(fā)展，最小二乘法成為參數(shù)估計、數(shù)據(jù)處理、回歸分析和經(jīng)驗公式擬合中必不可少的手段，并已形成統(tǒng)計推斷的一種準則。通過本章的學習，用戶可以掌握最小二乘法的基本原理，以及在組合測量問題的數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用。主菜單結(jié)束2第二頁，共二十五頁，2022年，8月28日教學重點和難點最小二乘法原理線性參數(shù)的最小二乘法非線性參數(shù)的最小二乘法組合測量主菜單結(jié)束3第三頁，共二十五頁，2022年，8月28日第一節(jié)最小二乘法原理最小二乘法的產(chǎn)生是為了解決從一組測量值中尋找最可信賴值的問題。對某量進行測量，得到一組數(shù)據(jù),不存在系統(tǒng)誤差和粗大誤差，相互獨立，且服從正態(tài)分布,其標準差為測得值落入的概率主菜單結(jié)束4第四頁，共二十五頁，2022年，8月28日測得值同時出現(xiàn)的概率為最可信賴值滿足權(quán)因子最小二乘法原理

雖然是在正態(tài)分布下導(dǎo)出最小二乘法，實際上，按誤差或殘差平方和為最小進行統(tǒng)計推斷已形成一種準則。主菜單結(jié)束5第五頁，共二十五頁，2022年，8月28日第二節(jié)

線性參數(shù)的最小二乘法主菜單結(jié)束6第六頁，共二十五頁，2022年，8月28日組合測量基本概念如為精密測定1號、2號和3號電容器的電容量測得值待解的數(shù)學模型待求量為了獲得更可靠的結(jié)果，測量次數(shù)總要多于未知參數(shù)的數(shù)目組合測量，指直接測量一組被測量的不同組合值，從它們相互所依賴的若干函數(shù)關(guān)系中，確定出各被測量的最佳估計值。主菜單結(jié)束7第七頁，共二十五頁，2022年，8月28日一、正規(guī)方程組主菜單結(jié)束8第八頁，共二十五頁，2022年，8月28日線性測量方程組線性測量方程組的一般形式為測量殘差方程組

含有隨機誤差矩陣形式主菜單結(jié)束9第九頁，共二十五頁，2022年，8月28日最小二乘法原理式求導(dǎo)正規(guī)方程組正規(guī)方程組解不等權(quán)正規(guī)方程組主菜單結(jié)束10第十頁，共二十五頁，2022年，8月28日三、標準差的估計

1、直接測量結(jié)果的標準差估計

（加權(quán)）未知量個數(shù)方程個數(shù)殘差2、待求量的標準差估計

直接測量量的標準差對角元素誤差傳播系數(shù)

3、待求量與的相關(guān)系數(shù)

元素主菜單結(jié)束11第十一頁，共二十五頁，2022年，8月28日【例5-１】為精密測定1號、2號和3號電容器的電容量，進行了等權(quán)、獨立、無系統(tǒng)誤差的測量。測得1號電容值，2號電容值，1號和3號并聯(lián)電容值，2號和3號并聯(lián)電容值。試用最小二乘法求及其標準偏差?！窘狻苛谐鰷y量殘差方程組

矩陣形式主菜單結(jié)束12第十二頁，共二十五頁，2022年，8月28日正規(guī)方程組主菜單結(jié)束13第十三頁，共二十五頁，2022年，8月28日正規(guī)方程組解即主菜單結(jié)束14第十四頁，共二十五頁，2022年，8月28日標準差的計算代入殘差方程組，計算

主菜單結(jié)束15第十五頁，共二十五頁，2022年，8月28日第三節(jié)非線性參數(shù)的最小二乘法測量殘差方程組

非線性函數(shù)取的初始似值泰勒展開按線性參數(shù)最小二乘法解得

迭代直至滿足精度為止主菜單結(jié)束16第十六頁，共二十五頁，2022年，8月28日【例5-2】在例8-1的基礎(chǔ)上，再增加一次測量串聯(lián)電容，測得。試用最小二乘法求及其標準偏差?！窘狻苛谐龇蔷€性測量方程組

主菜單結(jié)束17第十七頁，共二十五頁，2022年，8月28日

對前４個線性測量方程組，按例8-1求出解，作為初次近似解

在附近，取泰勒展開的一階近似

主菜單結(jié)束18第十八頁，共二十五頁，2022年，8月28日寫出線性化殘差方程組

整理得正規(guī)方程組

解出

迭代主菜單結(jié)束19第十九頁，共二十五頁，2022年，8月28日6次迭代結(jié)果

表8-2迭代次數(shù)00000.325-0.4250.1501-0.0473-0.03630.04180.278-0.4610.1922-0.0713-0.03730.05430.206-0.4990.2463-0.0472-0.05550.02640.159-0.5040.27340.001980.001050.006280.161-0.4940.2665-0.00113-0.00142-0.001270.160-0.4950.26860.0003150.0004190.0003670.160-0.4950.267主菜單結(jié)束20第二十頁，共二十五頁，2022年，8月28日第四節(jié)

組合測量問題應(yīng)用舉例主菜單結(jié)束21第二十一頁，共二十五頁，2022年，8月28日【例5-3】

要求檢定絲紋尺0，1，2，3刻線間的距離。已知用組合測量法測得圖所示刻線間隙的各種組合量。試用最小二乘法求及其標準偏差。主菜單結(jié)束22第二十二頁，共二十五頁，2022年，8月28日計算步驟【解】列出測量殘差方程組

主菜單結(jié)束23第二十三頁，