概率論與數(shù)理統(tǒng)計 學(xué)習(xí)指導(dǎo)(,)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計學(xué)習(xí)指導(dǎo)(3,4)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》學(xué)習(xí)指導(dǎo)·疑難分析·例題解析·自測試題安徽工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系·內(nèi)容提要編第一章隨機(jī)事件及其概率...................錯誤！未定義書簽。第二章隨機(jī)變量及其分布...................錯誤！未定義書簽。第三章多維隨機(jī)變量及其分布................................2第四章第五章第六章第七章第八章隨機(jī)變量的數(shù)字特征.................................12大數(shù)定律和中心極限定理.............錯誤！未定義書簽。數(shù)理統(tǒng)計的基本概念.................錯誤！未定義書簽。參數(shù)估計...........................錯誤！未定義書簽。假設(shè)檢驗...........................錯誤！未定義書簽。1第三章多維隨機(jī)變量及其分布內(nèi)容提要1、二維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布函數(shù)設(shè)X，Y為隨機(jī)變量，則稱它們的有序數(shù)組（X,Y）為二維隨機(jī)變量.設(shè)（X,Y）為二維隨機(jī)變量，對于任意實數(shù)x、y，稱二元函數(shù)F(x,y)?P{X?x,Y?y}為（X,Y）的聯(lián)合分布函數(shù).聯(lián)合分布函數(shù)具有以下基本性質(zhì)：（1）F(x,y)是變量x或y的非減函數(shù)；（2）0?F(x,y)?1且F(??,y)?0，F(xiàn)(x,??)?0，F(xiàn)(??,??)?0，F(xiàn)(??,??)?1；（3）F(x,y)關(guān)于x右連續(xù)，關(guān)于y也右連續(xù)；（4）對任意點(diǎn)(x1,y1),(x2,y2)，若x1?x2,y1?y2，則F(x2,y2)?F(x2,y1)?F(x1,y2)?F(x1,y1)?0.上式表示隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落在區(qū)域[x1?X?x2,y1?Y?y2]內(nèi)的概率為：P{x1?X?x2,y1?Y?y2}.2、二維離散型隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布律如果二維隨機(jī)變量(X,Y)所有可能取值是有限對或可列對，則稱(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量.設(shè)(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量,它的所有可能取值為(xi,yj),i,j?1,2,?將P{X?xi,Y?yj}?pij(i,j?1,2,?)或表3.1稱為(X,Y)的聯(lián)合分布律.表3.12??i?1j?1聯(lián)合分布律具有下列性質(zhì)：（1）pij?0；（2）??pij?1.3、二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度函數(shù)如果存在一個非負(fù)函數(shù)p(x,y),使得二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)F(x,y)對任意實數(shù)x,y有xyF(x,y)dy，則稱(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，稱p(x,y)為(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)p(x,y)dx（或概率密度函數(shù)）.聯(lián)合密度函數(shù)具有下列性質(zhì)：（1）對一切實數(shù)x,y，有p(x,y)?0；（2）??dy?1；p(x,y)dx（3）在任意平面域D上，(X,Y)取值的概率P{(X,Y)?D}p(x,y)dxdy；D?2F(x,y)?p(x,y).（4）如果p(x,y)在(x,y)處連續(xù)，則?x?y4、二維隨機(jī)變量的邊緣分布設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)變量，則稱FX(x)?P{X?x,Y}，F(xiàn)Y(y)?P{X,Y?y}分別為(X,Y)關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù).當(dāng)(X,Y)為離散型隨機(jī)變量，則稱pi.??pij(i?1,2,?)p.j??pij(j?1,2,?)分別為j?1i?1??(X,Y)關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布律.當(dāng)(X,Y)為連續(xù)型隨機(jī)變量，則稱(X,Y)關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù).pX(x)p(x,y)dy,pY(y)p(x,y)dx分別為5、二維隨機(jī)變量的條件分布（1）離散型隨機(jī)變量的條件分布3設(shè)(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布律和邊緣分布律分別為P{X?xi,Y?yj}?pij,P{X?xi}?pi.,P{Y?yj}?p.j(i,j?1,2,?)，則當(dāng)P{Y?yj}?p.j?0時，稱P{X?xi,Y?yj}P{Y?yj}pijpi.j固定，且P{X?xi|Y?yj}??pijp.j,i?1,2,?為Y?yj條件下隨機(jī)變量X的條件分布律.同理，有P{Y?yj|X?xi}?,j?1,2,?（2）連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布設(shè)(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，其聯(lián)合密度函數(shù)和邊緣密度函數(shù)分別為：p(x,y),pX(x),pY(y).則當(dāng)pY(y)?0時，在p(x,y)和pX(x)的連續(xù)點(diǎn)處，(X,Y)在條件Y?y下，X的條件概率密度函數(shù)為：pX|Y(x|y)?p(x,y)p(x,y).同理，有pY|X(x|y)?.pY(y)pX(x)6、隨機(jī)變量的獨(dú)立性設(shè)F(x,y)及FX(x)、FY(y)分別是(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù).如果對任何實數(shù)x,y有F(x,y)?FX(x)?FY(y)則稱隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立.設(shè)(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量，X與Y相互獨(dú)立的充要條件是pij?pi.p.j(i,j?1,2,?).設(shè)(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，X與Y相互獨(dú)立的充要條件是對任何實數(shù)x,y，有p(x,y)?pX(x)pY(y).7、兩個隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為p(x,y)，Z??(X,Y)是X,Y的函數(shù)，則Z的分布函數(shù)為FZ(z)??(x,y)?z??p(x,y)dxdy.（1）Z?X?Y的分布若(X,Y)為離散型隨機(jī)變量，聯(lián)合分布律為pij，則Z的概率函數(shù)為：PZ(zk)??p(xi,zk?xi)或PZ(zk)??p(yj,zk?yj).ij若(X,Y)為連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度函數(shù)為p(x,y)，則Z的概率函數(shù)為：pZ(z)p(x,z?x)dxp(z?y,y)dy.（2）Z?X的分布Y若(X,Y)為連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度函數(shù)為p(x,y)，則Z的概率函數(shù)為：4??.pZ(z)yp(yz,y)dy疑難分析1、事件{X?x,Y?y}表示事件{X?x}與{Y?y}的積事件，為什么P{X?x,Y?y}不一定等于P{X?x}?P{Y?y}？如同僅當(dāng)事件A、B相互獨(dú)立時，才有P(AB)?P(A)?P(B)一樣，這里P{X?x,Y?y}依乘法原理P{X?x,Y?y}?P{X?x}?P{Y?y|X?x}.只有事件P{X?x}與P{Y?y}相互獨(dú)立時，才有P{X?x,Y?y}?P{X?x}?P{Y?y}，因為P{Y?y|X?x}?P{Y?y}.2、二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布、邊緣分布及條件分布之間存在什么樣的關(guān)系？由邊緣分布與條件分布的定義與公式知，聯(lián)合分布唯一確定邊緣分布，因而也唯一確定條件分布.反之，邊緣分布與條件分布都不能唯一確定聯(lián)合分布.但由p(x,y)?pX(x)?pY|X(y|x)知，一個條件分布和它對應(yīng)的邊緣分布，能唯一確定聯(lián)合分布.但是，如果X、Y相互獨(dú)立，則P{X?x,Y?y}?P{X?x}?P{Y?y}，即F(x,y)?FX(x)?FY(y).說明當(dāng)X、Y獨(dú)立時，邊緣分布也唯一確定聯(lián)合分布，從而條件分布也唯一確定聯(lián)合分布.3、兩個隨機(jī)變量相互獨(dú)立的概念與兩個事件相互獨(dú)立是否相同？為什么？兩個隨機(jī)變量X、Y相互獨(dú)立，是指組成二維隨機(jī)變量(X,Y)的兩個分量X、Y中一個分量的取值不受另一個分量取值的影響，滿足P{X?x,Y?y}?P{X?x}?P{Y?y}.而兩個事件的獨(dú)立性，是指一個事件的發(fā)生不受另一個事件發(fā)生的影響，故有P(AB)?P(A)?P(B).兩者可以說不是一個問題.但是，組成二維隨機(jī)變量(X,Y)的兩個分量X、Y是同一試驗E的樣本空間上的兩個一維隨機(jī)變量，而A、B也是一個試驗E1的樣本空間的兩個事件.因此，若把“X?x”、“Y?y”看作兩個事件，那么兩者的意義近乎一致，從而獨(dú)立性的定義幾乎是相同的.例題解析例1設(shè)某班車起點(diǎn)站上的乘客數(shù)X服從參數(shù)為?(??0)的泊松分布，每位乘客中途下車的概率為p(0?p?1)，且中途下車與否相互獨(dú)立，以Y表示中途下車的人數(shù)，求二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布律．解5P(X?n,Y?m)?P(Y?m|X?n)P(X?n)???n?nn?mep(1?p)??n,0?m?n,n?0,1,2,?n!?m?例2設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為22222??c(R?x?y),x?y?R;f(x,y)??222?x?y?R?0,試求（1）系數(shù)c；(2)(X,Y)落在圓x2?y2?r2(0?r?R)內(nèi)的概率．解??(1)1f(x,y)dxdy?x2?y2?R222??c(R?x?y)dxdy?cR??R2?cx2?y2?R222??x?ydxdyR2???cR3?c?0?0d?d?(令x??cos?,y??sin?)2?R3c?R3?c?R?c?333所以c?3?R(2)設(shè)D?(x,y):x2?y2?r2,3??P?(X,Y)?Dc(R?x2?y2)dxdyD?r3?3r22r2?c??Rr?22(1?)3?3RR注:利用分布函數(shù)的基本性質(zhì)可以確定待定系數(shù)，從而可以計算二維隨機(jī)變量落在某一區(qū)域內(nèi)的概率，值得注意的是計算過程中，由于f(x,y)通常是分區(qū)域函數(shù)，故積分區(qū)域要特別小心，以免出錯．例3考慮一元二次方程x2?Bx?C?0，其中B,C分別是將一枚骰子接連擲兩次先后出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，求該方程有實根的概率p和有重根的概率q．解方程x2?Bx?C?0有實根的充要條件是判別式??B2?4C?0或C?B2/4，由條件知，0＋1＋2＋4＋6＋6＝19所以p?19/36，使方程有重根的充要條件是B2?4C，滿足此條件的基本事件個數(shù)為0＋1＋0＋1＋0＋0＝2因此q?2/36?1/18例4設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)均勻分布于以(1,0),(0,1),(?1,0),(0,?1)四項點(diǎn)所構(gòu)成的正方形中，求X與Y的邊緣密度函數(shù)．解?1/2,|x|?|y|?1f(x,y)??0,其它?6?x?111?x?0時，fX(x)1o當(dāng)－f(x,y)dyx?1dy?x?12??x?11當(dāng)0?x?1時，fX(x)dy??x?1?f(x,y)dy??x?12所以?1?|x|,?1?x?1;fX(x)??0,其它?2o類似1o可得?1?|y|,?1?y?1fY(y)??0,其它???2/(1?x?y)3,x?0,y?0例5隨機(jī)變量(X,Y)的密度函數(shù)為p(x,y)??，求X?1條件下Y的條件分布?0,其它?密度.分析：通過(X,Y)的聯(lián)合密度和邊緣密度函數(shù)，來求在X?1條件下Y條件分布密度.?解：當(dāng)x?0時，有pX(x)??02/(1?x?y)3dy?1/(1?x)2，故??8/(2?y)3,y?0pY|X(y|x?1)?p(1,y)/pX(1)0,y?0..例6在(0,a)線段上任意拋兩個點(diǎn)（拋擲二點(diǎn)的位置在(0,a)上獨(dú)立地服從均勻分布），試求兩點(diǎn)間距離的分布函數(shù)．（0,a）解設(shè)拋擲兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為X和Y，則X與Y相互獨(dú)立，且都服從上的均勻分布，故(X,Y)的聯(lián)合概率密度為2??1/a,0?x?a,0?y?a;f(x,y)0,其它?記兩點(diǎn)距離為Z，則Z?|X?Y|的分布函數(shù)為FZ(z)?P(|X?Y|?z)當(dāng)z?0時，顯然FZ(z)?0；當(dāng)0?z?a時，F(xiàn)Z(z)?P(|X?Y|?z)?1??1?2aa?z(a??202a?20??zdy?ay?zdxy?z)dy?z(2a?z)a2當(dāng)z?a時，F(xiàn)Z(z)?1故兩點(diǎn)距離Z的分布函數(shù)為?0,z?0??z(2a?z)FX(z)??,2?a??1,a?a0?z?a;例7假設(shè)一電路裝有三個同種電氣元件，其工作狀態(tài)相互獨(dú)立，且無故障時間都服從參數(shù)為??0的指數(shù)分布，當(dāng)三個元件都無故障時，電路正常工作，否則整個電路不能正常工作，試求電路正常工作的時間T的概率分布．解設(shè)Xi(i?1,2,3)為第i個電子元件無故障工作的時間，則X1,X2,X3是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為7??1?e??x,x?0F(x)???0,x?0?記G(t)為了T的分布函數(shù)，則當(dāng)t?0，G(t)?0；當(dāng)t?0時，G(t)?P(T?t)?1?P(T?t)?1?P(X1?t,X2?t,X3?t)?1?[1?F(t)]3?1?e?3?t??1?e?3?t,t?0所以G(t)???t?0?0,即電路正常工作時間T服從參數(shù)為3?的指數(shù)分布．例8設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立同分布，其概率密度為?2?x2e,0?xf(x)0,其它?求隨機(jī)變量Z?X2?Y2的概率密度．解由于X與Y獨(dú)立同分布，故(X,Y)的聯(lián)合概率密度為?4?(x2?y2),?ef(x,y)?fX(x)fY(y)?0,其它?0?x??,0?y??當(dāng)z?0時，顯然FZ(z)?0當(dāng)z?0時，F(xiàn)Z(z)?2??x?y?z2f(x,y)dxdy?z??24?x?y?z22?(x??e222?y2)dxdy?4??02d??0e??d??1?e?z故Z?X2?Y2的概率密度為??0,z?0;?fZ(z)?F(z)???z2?2ze,z?0?1??0例9.已知隨機(jī)變量X~??,P{Y??1/2}?1，又n維向量a1,a2,a3線性無關(guān)。求1/43/4??a1?a2,a2?2a3,Xa3?Ya1向量線性相關(guān)的概率。解：令?1(a1?a2)??2(a2?2a3)??3(Xa3?Ya1)?0,即(?1??3Y)a1?(?1??2)a2?(2?2??3X)a3?0.10要使該齊次方程組有非零解，充要條件是1102Y0?X?2Y?0.X所以，向量組線性相關(guān)的概率為P{X+2Y=0}=P{X+2Y=0,Y=-1/2}=P{X=1,Y=-1/2}=P{X=1}-P{X?1,Y??1/2}?P{X=1}=3/4.例10設(shè)X1,X2,?,Xn為獨(dú)立同分布的連續(xù)型隨機(jī)變量，共同的分布函數(shù)為F(x)，分布密度為****p(x)．將X1,X2,?,Xn按大小排成順序統(tǒng)計量X1.求Xk的分布密度．?X2Xn**解設(shè)Xk的分布密度為hk(x)，那么Xk落在區(qū)間(x,x+dx)內(nèi)的概率就是hk(x)dx，我們只要計8**算P(Xk?(x,x?dx))．Xk?(x,x?dx)表示X1,X2,?,Xn中有一個落在(x,x+dx)中，(k-1)個落在(??,x)中，(n-k)個落在(x?dx,??)中，落入(x,x+dx)的可以是X1,X2,?,Xn中的任意一個，有n種可能,然后在剩下(n-1)的個中挑選(k-1)個落在?n?1?(??,x)中，有??k?1??種可能，這樣??*?(x,x?dx))?n?P(Xk??n?1??[F(x)]k?1p(x)dx[1?F(x)]n?k??k?1?這就是hk(x)dx，所以hk(x)?nn?1??[F(x)]k?1[1?F(x)]n?kp(x)??k?1?例11設(shè)隨機(jī)變量X,Y獨(dú)立同分布，且X?0,Y?0.證明P(XX?Y?cX)?1?2P(Y?).cc提示：利用XY與同分布即可．YX測試題一、填空題：csin(x?y),0?x,y?4,（X,Y)的聯(lián)合密度f(x,y)??１．已知二維隨機(jī)變量則c?，X的邊?其他,?0,緣分布密度fX(x)?（X,Y)的聯(lián)合分布率由下表給出，則??，??時X與Y相互獨(dú)立．２．３．設(shè)隨機(jī)變量X1,X2相互獨(dú)立，且分布函數(shù)均為F(x)，則Y?2(3?min{X1,X2}?4)的分布函數(shù)5為_______.（X,Y)的聯(lián)合分布率及關(guān)于X和關(guān)于Y的邊４．隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，下表列出二維隨機(jī)變量緣分布律中部分?jǐn)?shù)值，試將其余數(shù)值填入表中空白處．５．隨布，則P{max（X,Y)?1}．二、選擇題：6．下列函數(shù)可以作為二維分布函數(shù)的是（）.9yx?s?t??1,x?y?0.8,dsdt,x?0,y?0,??0?0e(A)F(x,y)??(B)F(x,y)??0,其他.?其他.??0,?x?y?,x?0,y?0,?e(D)F(x,y)???0,其他.?(C)F(x,y)?yx?s?tdsdt；e7．設(shè)事件A,B滿足P(A)??1,若A發(fā)生,?1,若B發(fā)生,11，P(A|B)?P(B|A)?．令X??則Y??420,若A不發(fā)生.0,若B不發(fā)生.??P(X?0,Y?0)?1357(A)；(B)；(C)；(D)．88888．設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立且同分布：P(X?1)?P(Y?1)?P(XY?1)?11，P(X??1)?P(Y??1)?，則22(A)1112；(B)；(C)；(D)．24339．設(shè)X~N?0?1?,Y~N?1?2?,X,Y相互獨(dú)立，令Z?Y?2X，則Z~（）（A）N(?2,5)；(B)N(1,5)；(C)N(1,6)；(D)N(2,9)．2（X,Y)服從G上的均勻分布，G的區(qū)域由曲線y?x與y?x所圍，則（X,Y)10．設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為.（A）f(x,y)6,(x,y)?G?1/6,(x,y)?G；（B）f(x,y)??；0,其他0,其他???2,(x,y)?G?1/2,(x,y)?G；（D）f(x,y)??.其他其他?0,?0,（C）f(x,y)??三、解答題：11．班車起點(diǎn)站上客人數(shù)X服從參數(shù)為?的泊松分布，每位乘客在中途下車的概率為p(0?p?1)，且中途下車與否相互獨(dú)立．以Y表示在中途下車人數(shù)，求：（1）發(fā)車時有n個乘客的條件下，中途（X,Y)的概率分布．有m人下車的概率；（2）二維隨機(jī)變量??ke?(3x?4y),x?0,y?012．隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)??，（1）確定常數(shù)k；（2）求(X,Y)?0,其他?的分布函數(shù)；（3）求P(0?X?1,0?Y?2)；（4）求fX(x)，fY(y)；（5）X與Y是否相互獨(dú)立？（X,Y)在G上服從二維13．區(qū)域G是由直線y=x，y=3，x=1所圍成的三角形區(qū)域，二維隨機(jī)變量（X,Y)的聯(lián)合概率密度；均勻分布．求：（1）（2）P{Y?X?1}；（3）X的邊緣概率密度．14．假設(shè)隨機(jī)變量U在區(qū)間[?2,2]上服從均勻分布，隨機(jī)變量X1若U??1??1若U?1Y??1若U??11若U?1??試求X和Y的聯(lián)合概率密度．1015．有4個同樣的球，依次寫上1，2，2，3，從袋中任意取出一球，不放回袋中，再任取一球，（X,Y)的分布率，并證明X與Y不相互獨(dú)立；以X,Y表示第1、2次取到球上的數(shù)字：（1）求（2）求Z?X?Y的分布率；（3）求V?max(X,Y)的分布率；（4）求U?min(X,Y)的分布率；（5）求W?U?V的分布率．??2e?(x?2y),x?0,y?0（X,Y)的概率密度為f(x,y)??16．隨機(jī)變量，求隨機(jī)變量Z?X?2Y的分布??0,其他函數(shù)和分布密度函數(shù)．?17．設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為：f(x,y)??1?(1?xy),?4?0,證明X與Y不獨(dú)立，而X2與Y2相互獨(dú)立．x?1,y?1其他11第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征內(nèi)容提要1、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為P{X?xk}?pk,k?1,2,?，如果級數(shù)?xkpk絕對收斂，則稱級k?1?數(shù)的和為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望.??設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為p(x)，如果廣義積分xp(x)dx絕對收斂，則稱此積分值??X的數(shù)學(xué)期望.E(X)xp(x)dx為隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望有如下性質(zhì)：（1）設(shè)C是常數(shù)，則E(C)?C；（2）設(shè)C是常數(shù)，則E(CX)?CE(X)；（3）若X1、X2是隨機(jī)變量，則E(X1?X2)?E(X1)?E(X2)；對任意n個隨機(jī)變量X1,X2,?,Xn，有E(X1?X2Xn)?E(X1)?E(X2)E(Xn)；（4）若X1、X2相互獨(dú)立，則E(X1X2)?E(X1)E(X2)；對任意n個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X1,X2,?,Xn，有E(X1X2?Xn)?E(X1)E(X2)?E(Xn).2、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為P{X?xk}?pk,k?1,2,?，則X的函數(shù)Y?g(X)的數(shù)學(xué)期望為E[g(x)]??g(xk)pk,k?1,2?，式中級數(shù)絕對收斂.k?1?設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為p(x)，則X的函數(shù)Y?g(X)的數(shù)學(xué)期望為??E[g(x)]g(x)p(x)dx，式中積分絕對收斂.3、隨機(jī)變量的方差設(shè)X是一個隨機(jī)變量，則D(X)?Var(X)?E{[X?E(X)]2}稱為X的方差.D(X)??(X)稱為X的標(biāo)準(zhǔn)差或均方差.計算方差也常用公式D(X)?E(X2)?[E(X)]2.方差具有如下性質(zhì)：（1）設(shè)C是常數(shù)，則D(C)?0；（2）設(shè)C是常數(shù)，則D(CX)?C2D(X)；（3）若X1、X2相互獨(dú)立，則D(X1?X2)?D(X1)?D(X2)；12對任意n個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X1,X2,?,Xn，有D(X1?X2Xn)?D(X1)?D(X2)D(Xn)；（4）D(X)?0的充要條件是：存在常數(shù)C，使P{X?C}?1(C?E(X)).4、幾種常見分布的數(shù)學(xué)期望與方差（1）X~(0?1).E(X)?p,D(X)?p(1?p)；（2）X~B(n,p).E(X)?np,D(X)?np(1?p)；（3）X~H(n,M,N).E(X)?nMnM(N?M)(N,D(X)?N?n)N2(N?1)；（4）X~?(?).E(X)??,D(X)??；（5）X~G(p).E(X)?1/p,D(X)?(1?p)/p2；（6）X~U(a,b).E(X)?(a?b)/2,D(X)?(b?a)2/12；（7）X~e(?).E(X)?1/?,D(X)?1/?2；（8）X~N(?,?2).E(X)??,D(X)??2.5、矩設(shè)X是隨機(jī)變量，則?k?E(Xk),k?1,2,?稱為X的k階原點(diǎn)矩.如果E(X)存在，則?k?E{[X?E(X)]k},k?1,2,?稱為X的k階中心矩.設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量，則?kl?E(XkYl),k,l?1,2,?稱為(X,Y)的k?l階混合原點(diǎn)矩；?kl?E{[X?E(X)]k?[Y?E(Y)]l},k,l?1,2,?稱為(X,Y)的k?l階混合中心矩.5、二維隨機(jī)變量的數(shù)字特征(1)(X,Y)的數(shù)學(xué)期望E(X,Y)?[E(X),E(Y)]；若(X,Y)是離散型隨機(jī)變量，則E(X)xipij，E(Y)yi?1j?1i?1j?1ipij.若(X,Y)是連續(xù)型隨機(jī)變量，則E(X)xp(x,y)dxdy，E(Y)yp(x,y)dxdy.這里，級數(shù)與積分都是絕對收斂的.（2）(X,Y)的方差D(X,Y)?[D(X),D(Y)]若(X,Y)是離散型隨機(jī)變量，則D(X)[xi?E(X)]2p??ij，D(Y)[yi?E(Y)]2pi?1j?1i?1j?1ij.若(X,Y)是連續(xù)型隨機(jī)變量，則D(X)E(X)]2[xp(x,y)dxdy，D(Y)2[y?E(Y)]p(x,y)dxdy.這里，級數(shù)與積分都是絕對收斂的.6、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)13隨機(jī)變量(X,Y)的協(xié)方差為cov(X,Y)?E{[X?E(X)][Y?E(Y)]}.它是1+1階混合中心矩，有計算公式：cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y).隨機(jī)變量(X,Y)的相關(guān)系數(shù)為?XY?相關(guān)系數(shù)具有如下性質(zhì)：（1）?XY?1；（2）?XY?1?存在常數(shù)a,b，使P{Y?aX?b}=1，即X與Y以概率1線性相關(guān)；（3）若X,Y獨(dú)立，則?XY?0，即X,Y不相關(guān).反之，不一定成立.cov(X,Y)DXDY.疑難分析1、隨機(jī)變量的數(shù)字特征在概率論中有什么意義？知道一個隨機(jī)變量的分布函數(shù)，就掌握了這個隨機(jī)變量的統(tǒng)計規(guī)律性.但求得一個隨機(jī)變量的分布函數(shù)是不容易的，而且往往也沒有這個必要.隨機(jī)變量的數(shù)字特征則比較簡單易求，也能滿足我們研究分析具體問題的需要，所以在概率論中很多的應(yīng)用，同時也刻畫了隨機(jī)變量的某些特征，有重要的實際意義.例如，數(shù)學(xué)期望反映了隨機(jī)變量取值的平均值，表現(xiàn)為具體問題中的平均長度、平均時間、平均成績、期望利潤、期望成本等；方差反映了隨機(jī)變量取值的波動程度；偏態(tài)系數(shù)、峰態(tài)系數(shù)則反映了隨機(jī)變量取值的對稱性和集中性.因此，在不同的問題上考察不同的數(shù)字特征，可以簡單而切實地解決我們面臨的實際問題.2、在數(shù)學(xué)期望定義中為什么要求級數(shù)和廣義積分絕對收斂？首先，數(shù)學(xué)期望是一個有限值；其次，數(shù)學(xué)期望反映隨機(jī)變量取值的平均值.因此，對級數(shù)和廣義積分來說，絕對收斂保證了值的存在，且對級數(shù)來說，又與項的次序無關(guān)，從而更便于運(yùn)算求值.而由于連續(xù)型隨機(jī)變量可以離散化，從而廣義積分與無窮級數(shù)有同樣的意義.要求級數(shù)和廣義積分絕對收斂是為了保證數(shù)學(xué)期望的存在與求出.3、相關(guān)系數(shù)?XY反映了隨機(jī)變量X和Y之間的什么關(guān)系？相關(guān)系數(shù)?XY是用隨機(jī)變量X和Y的協(xié)方差和標(biāo)準(zhǔn)差來定義的，它反映了隨機(jī)變量X和Y之間的相關(guān)程度.當(dāng)?XY?1時，稱X與Y依概率1線性相關(guān)；當(dāng)?XY?0時，稱X與Y不相關(guān)；當(dāng)0??XY?1時，又分為強(qiáng)相關(guān)與弱相關(guān).4、兩個隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立和不相關(guān)是一種什么樣的關(guān)系？（1）若X、Y相互獨(dú)立，則X、Y不相關(guān).因為X、Y獨(dú)立，則E(XY)?E(X)E(Y)，故14cov(X,Y)?E(XY)?E(X)?E(Y)?0，從而?XY?0，所以X、Y不相關(guān).（2）若X、Y不相關(guān)，則X、Y不一定獨(dú)立.如：??1/?,x2?y2?1,因為E(X)?E(Y)?0，D(X)?D(Y)?1/4p(x,y)0,其它.?cov(X,Y)?0,?XY?0，知X、Y不相關(guān).但pX(x)?2?x2/?，pY(y)?2?y2/?,p(x,y)?pX(x)py(Y),知X、Y不獨(dú)立.（3）若X、Y相關(guān)，則X、Y一定不獨(dú)立.可由反證法說明.（4）若X、Y不相關(guān)，則X、Y不一定不相關(guān).因為X、Y不獨(dú)立，E(XY)?E(X)E(Y)，但若E(X)?E(Y)?E(XY)?0時，可以有?XY?0，從而可以有X、Y不相關(guān).但是，也有特殊情況，如(X,Y)服從二維正態(tài)分布時，X、Y不相關(guān)與X、Y獨(dú)立是等價的.例題解析例1.一整數(shù)等可能地在1到10中取值，以X表示除得盡這一整數(shù)的正整數(shù)的個數(shù)，求EX,DX.解記d(n)表示除盡n(n?1,2,?10)的正整數(shù)的個數(shù)，則d(1)?1,d(2)?d(3)?d(5)?d(7)?2d(4)?d(9)?3,d(6)?d(8)?d(10)?4故X的分布列為P(X?k)10101010所以142327?2??3??4??1010101010142383EX2?12??22?32??42??1010101010101DX?EX2?(EX)2?100EX?1?例2.將n個球放于M個盒子中，設(shè)每個球放于各個盒子是等可能的，求有球的盒子數(shù)X的數(shù)學(xué)期望和方差.?，?1,第i個盒子中至少有一個球解記隨機(jī)變量Xi???，i?1,2,?,M?0,第i個盒子中無球則Xi兩兩獨(dú)立（X1,?,XM是否相互獨(dú)立？），且同分布15M?1nM?1n),P(Xi?0)?()MMM?1nM?1nEXi?1?(),EXi2?1?()MMM?1n?M?1n?DXi?EXi2?(EXi)2??1?()?()MM??P(Xi?1)?1?(MMM?1n??EX?E(?Xi)??EXi?M?1?()?Mi?1i?1??MMM?1n?M?1n?DX?D(?Xi)??DXi?M?1?()?()Mi?1i?1??M例3.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為2??ax?bx?c,f(x)????0,其它已知EX＝0.5，DX?0.15，求系數(shù)a,b,c.0?x?1;?12解f(x)dx?1,??0(ax?bx?c)dx?111即a?b?c?132（1）（2）又111?12EXxf(x)dx??0x(ax?bx?c)dx,?a?b?c?0.543212DX?EX2?(EX)2??0x(ax2?bx?c)dx?0.52,111?a?b?c?0.4（3）543由(1)，(2)，(3)得a?12,b??12,c?31?x2?2x?1例4.已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)?，則X的數(shù)學(xué)期望為e.解此題簡單解法是利用正態(tài)分布的均值與方差已知直接寫出，即把f(x)變形為標(biāo)準(zhǔn)型，從而有EX?1,DY?1/2.例5一零件的橫截面是圓，對截面的直徑進(jìn)行測量，設(shè)其直徑服從區(qū)間[0，2]上的均勻分布，則橫截面積的數(shù)學(xué)期望為，而面積的方差為.分析此題是計算均勻分布隨機(jī)變量函數(shù)的期望與方差，由公式得2?221xESf(x)dx??0x?dx?,44232?2241?2??x22ES()f(x)dx??0x?dx?4162522??4?DS?ES2?(ES)2??()2?5345?4?2解分別填和.345例6.設(shè)隨機(jī)變量X~N(0,1),Y?|X|，求Y的概率密度及EY,DY.解此題計算Y的期望與EY時可直接用公式：?EY?E|X||x|?21?e?x22dx?22?2;EY2?E|X|2?EX2?DX?(EX)2?1?0?1DY?EY2?(EY)2?1?(22?)2?1??16例7.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)在矩形G?{(x,y)|0?x?2,0?y?1}上服從均勻分布，記?0,若X?Y,?0,若X?2YU??,V1,若X?Y?1,若X?2Y（1）求(U,V)的聯(lián)合分布；（2）求U與V的相關(guān)系數(shù)r.解(U,V)為二維離散型隨機(jī)變量，其可能值為（0,0），（0,1），（1,0），（1,1）；由條件知(X,Y)的聯(lián)合概率密度為?1?,(x,y)?Gf(x,y)??2??0,(x,y)G1（1）P(U?0,V?0)?P(X?Y,X?2Y)?P(X?Y)?4P(U?0,V?1)?P(X?Y,X?2Y)?P(?)?0類似可求出11P(U?1,V?0)?,P(U?1,V?1)?42（2）由（1）知1?1??0?0??U~?V~?1/43/4??1/21/2??EU?3/4,DU?3/16,EV?1/2,DV?1/4E(UV)?0?0?1/4?0?1?0?1?0?1/4?1?1?1/2?1/2Cov(U,V)?E(UV)?EUEV?13112428r?Cov(U,V)DV,DV?33例8設(shè)EX?2,EY?4,DX?4,DY?9,?XY??0.5，試求：(1)Z?3X2?2XY?Y2?3的數(shù)學(xué)期望；(2)W?3X?Y?5的方差.分析此題條件中沒有給出有關(guān)隨機(jī)變量X,Y的分布信息，故其函數(shù)Z與W的數(shù)學(xué)特征只能運(yùn)用性質(zhì)來計算.解(1)EZ?3EX2?2E(XY)?EY2?3??XYDX?DY]?[DY?(EY)2]?3=68(2)DW?9DX?DY?2cov(3X,?Y)?9?4?9?6cov(X,Y)?45?6?XYDX?DY?63例9.假設(shè)一部機(jī)器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2，機(jī)器發(fā)生故障時全天停止工作，若一周5個工作日里無故障，可獲利潤10萬元；發(fā)生一次故障可獲利潤5萬元；發(fā)生二次故障所獲利潤0元；發(fā)生三次或三次以上故障就要虧損2萬元，求一周內(nèi)期望利潤是多少？分析若以X表示一周5天內(nèi)機(jī)器發(fā)生故障的天數(shù)，Y表示一周利潤，則Y為X的函數(shù)，故問題化為求隨機(jī)變量Y的數(shù)學(xué)期望.k5?k?0.20.8,k?0,1,?,5解由條件知X~B(5,0.2)，即P{X?k}5??k??10,?5,?Y?g(X)0,2,5k?0X?0;X?1;X?2;X?3EY?Eg(X)??g(k)P{X?k}?10?P{X?0}?5?P{X?1}?0?P{X?2}?2?[P{X?3}?P{X?4}?P{X?5}]?10?0.328?5?0.410?2?0.057?5.216(萬元)17例10.設(shè)X,Y為服從正態(tài)分布N(a,?2)的隨機(jī)變量,X與Y相互獨(dú)立,求E(min(X,Y)).解令Z?X?Y,則Z~N(0,2?2).X?Y?X?Y2X?Y?Z2min(X,Y)???X?Y?X?Y所以E[min(X,Y)]?E?2??z24??EX?EY?EZ1?a?EZ??22??z24EZz1??e?dz?10ze?dz?2?所以E[min(X,Y)]?a?112??EZ?aa?.22例11.已知甲、乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品，其中甲箱中裝有3件合格品和3件次品，乙箱中僅裝有3件合格品.從甲箱中任取3件產(chǎn)品放入乙箱后，求：(1)乙箱中次品件數(shù)的數(shù)學(xué)期望；(2)從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率.分析:乙箱中可能的次品件數(shù)為0，1，2，3，分別求出其概率，再按定義求數(shù)學(xué)期望即可；而求從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率，涉及到兩次試驗，是典型的用全概率公式的情形，第一次試驗的各種可能結(jié)果（取到的次品數(shù)）就是要找的完備事件組.解(1)X的可能取值為0，1，2，3，X的概率分布為?3??3?3?k??k3?k??C3?P{X?k}，k=0,1,2,3.63即X0123P因此EX?0?19913?1??2??3??.202020202199120202020(2)設(shè)A表示事件“從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品”，由于{X?0}，{X?1}，{X?2}，{X?3}構(gòu)成完備事件組，因此根據(jù)全概率公式，有P(A)??P{X?k}P{AX?k}k?03=?P{X?k}?k?03k13??kP{X?k}66k?0181131=EX.6624本題對數(shù)學(xué)期望的計算也可用分解法：設(shè)Xi??,?0,從甲箱中取出的第i件產(chǎn)品是合格品?1,從甲箱中取出的第i件產(chǎn)品是次品,則Xi的概率分布為Xi0P111i?1,2,3.22因為X?1?X2?X3，所以3EX?EX1?EX2?EX3?.2111例12.設(shè)A,B為隨機(jī)事件，且P(A)?,P(BA)?,P(AB)?，令432?1,A發(fā)生,?1,B發(fā)生,Y??0,0,B不發(fā)生.A不發(fā)生;??求：（I）二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布；X??（II）X和Y的相關(guān)系數(shù)?XY.分析：先確定(X,Y)的可能取值，再求在每一個可能取值點(diǎn)上的概率，而這可利用隨機(jī)事件的運(yùn)算性質(zhì)得到，即得二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布；利用聯(lián)合概率分布可求出邊緣概率分布，進(jìn)而可計算出相關(guān)系數(shù)．【詳解】（I）由于P(AB)?P(A)P(BA)?1，12P(B)?P(AB)1?,P(AB)61，12所以P{X?1,Y?1}?P(AB)?1，61,12P{X?1,Y?0}?P(A)?P(A)?P(AB)?P{X?0,Y?1}?P(AB)?P(B)?P(AB)?P{X?0,Y?0}?P()?1?P(A?B)?1?P(A)?P(B)?P(AB)?23（或P{X?0,Y?0}?1?1112），故(X,Y)的概率分布為126123YX1010213121161219(II)X,Y的概率分布分別為X01Y01p則EX?1513p446611315，DY?,E(XY)?,,EY?，DX?461612361，從而24故Cov(X,Y)?E(XY)?EX?EY?Cov(X,Y)DX?DY?XY??.15例13.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的密度函數(shù)為f(x,y)?[?1(x,y)??2(x,y)]21其中?1(x,y)和?2(x,y)都是二維正態(tài)密度函數(shù),且它們對應(yīng)的二維隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)分別為131和?.它們的邊緣密度函數(shù)所對應(yīng)的隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望都是0,方差都是1.(1)求隨機(jī)變量X3和Y的密度函數(shù)f1(x)和f2(y)及X和Y的相關(guān)系數(shù)?(可直接利用二維正態(tài)密度的性質(zhì));(2)問X與Y是否獨(dú)立?為什么?解(1)由二維正態(tài)密度的性質(zhì)12??y22i(x,y)dxe??,i(x,y)dy?12?e?x22(i=1,2)x21??1?2f1(x)f(x,y)dy?[1(x,y)dy2(x,y)dy]?e22???f2(y)f(x,y)dx?1??1??[1(x,y)dxe??2(x,y)dx]?22??y22所以E(X)=0,E(Y)=0,D(X)=1,D(Y)=11E(XY)xyf(x,y)dxdy?[??xy[?1(x,y)??2(x,y)]dxdy2?1?1102??33??XY?E(XY)?E(X)E(Y)D(X)D(Y)?020(2)由已知條件?1(x,y)?12??9exp[?122(x?xy?y2)]132(1?)?2(x,y)?12??1exp[?122(x?xy?y2)]132(1?)所以f1(x)f2(y)?f(x,y)因此X,Y不相互獨(dú)立.注：在本題中要澄清幾個犯的錯誤：布,它們的聯(lián)合分布可以不是正態(tài),除非它們獨(dú)立;(1)(X,Y)的邊緣分布都是正態(tài)分布,且X,Y互不相關(guān),但X,Y未必獨(dú)立,只有當(dāng)(X,Y)是聯(lián)合正態(tài)時＂獨(dú)(2)(X,Y)的邊緣分布都是正態(tài)分立＂才與＂不相關(guān)＂等價．14．A、B兩個代表隊進(jìn)行乒乓球?qū)官悾筷犎爢T，A隊隊員是A1，A2，A3，B隊隊員是B1，B2，B，按以往多次比賽的統(tǒng)計，對陣隊員之間勝負(fù)概率如下：分分別為?,?（1）求?,?的概率分布；（2）求E?,E?.注：本小題考查離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望等概念，考查運(yùn)用概率知識解決實際問題的能力.解：（1）?,?的可能取值分別為3，2，1，0.P(??3)?P(??2)?P(??1)?2228355752*********8355355355752331231322，35535535551333P(??0)35525根據(jù)題意知3，所以P(??0)?P(??3)?8/75,P(??1)?P(??2)?28/75,P(??2)?P(??1)?2/5,P(??3)?P(??0)?3/25,.（2）E??3?8?2?28?1?2?0?3?22；因為3，所以E??3?E??23.7575525151521測試題一、填空題1．隨機(jī)