2020屆高三數(shù)學備考沖刺140分問題29立體幾何中的最值問題含解析

問體何的值題一、考情分析立體幾何中的最值問題一般涉及到距離、面積、體積、角度等四個方,此類問題多以規(guī)則幾何體為載,涉及到幾何體的結(jié)構(gòu)特征以及空間線面關(guān)系的邏輯推理、空間角與距離的求解,題目較為綜合,解決此類問題一般可從兩個方面思考：一是函數(shù),即利用傳統(tǒng)方法或空間向量的坐標運,建立所求的目函,轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解；二是直接,根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征或平面幾何中的相關(guān)結(jié),直接斷最值縱觀近幾年高考對于組合體的考查,重放在與球相關(guān)的外接與內(nèi)切問題上.要求學生有較強的空間想象能力和準確的計算能力,才順利解答從實際教學來看,這部分知識是學生掌握最為模糊看到頭的題目.分析原因,除這類題目的入手實不易之外,主要是學生沒有形成解題的模式和套路,以至遇類似的題目便產(chǎn)生畏懼心理．二、經(jīng)驗分享1.解決立體幾何中的最值問題常方法有：(1)建立函數(shù)法是一種常用的最方法，很多情況下，我們都是把這類動態(tài)問題轉(zhuǎn)化成目標函數(shù)，最終利用代數(shù)方法求目標函數(shù)的最.解途徑很多，在函數(shù)建成后，可用一次函數(shù)的端點法；二次數(shù)的配法、公試法；有界數(shù)界值法（如三函數(shù)等）及高階函數(shù)的拐點導數(shù)法.(2)公理與定義法通常以公理與義作依據(jù)，直接推理問題的最大值與最小值，一般的公理與定理有：兩點之間以線段為最短，分居在兩異面直線上的兩點的連線段中，以它們的公垂線段為球上任意兩點間的連線中以過這兩點與球心的平面所得圓的劣弧長為最短.果直接建立函數(shù)關(guān)系求之比較困難，運用兩異面直線公垂線段最短則是解決問題的捷.(3)解不等式法是解最值問題的用方法、在立體幾何中同樣可利用不等式的性質(zhì)和一些變量的特殊不等關(guān)系求解：如

最小角定理所建立的不等關(guān)系等.(4)展開體圖法是求立體幾何最的一種特殊方法，也是一種常用的方法，它可將幾何題表面展開，也可將幾何體內(nèi)部的某些滿足條件的部分面展開成平面，這樣能使求解問題，變得十分直觀，由難化易(5)變量分析法是我們要透過現(xiàn)看本質(zhì)，在幾何體中的點、線、面，哪些在動，哪些不動，要分析透徹，明白它們之間的相互關(guān)系，從而轉(zhuǎn)化成求某些線段或角等一些量的求解最值總題的方.除了上述種常方法外，還一些使用并不普遍的特殊方，可以讓我們達到求解最值問題的的，這就是：列方程法、極限思想法、向量計算法等等其各法的特點與普遍性，大家可以通過實例感其精彩內(nèi)涵與思想方法所.

2.決定棱錐體積的量有兩個，即面積和高，當研究其體積的最值問題時，若其中有一個量確，則只需另一個量的最值；若兩個量都不確定，可通過設(shè)變量法，將體積表示為變量的函數(shù)解析式，利用函思想確定其最值；將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題是轉(zhuǎn)化思想的重要體現(xiàn)過轉(zhuǎn)到一個平面內(nèi)利兩點之間距離最短求解3.解決幾何體體積最值問題的方(1)根據(jù)條件建立兩個變量的和或積為定值,利用基本不等式體積的最值通過建立相關(guān)函數(shù),將所的最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求,此法應用最為廣泛由形的特殊位置確定最值如垂直求解球與柱、棱錐的接、切問題時，一般過球心及接、切點作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解．4.解題時通應注意分析題目所有的條件，首先應該在充分理解題意的基礎(chǔ)上，分析是否能用公理與定義直接解決題中問題；如果不能，再看是否可將問題條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)，若能寫出確定的表意函數(shù)則可用建立函數(shù)法求解；再不能，則要考慮其中是否存在不等關(guān)系，看是否能運用解等不式法求解；還不則應考慮是否可將其體圖展開成平面，這樣依次從本文所標定的方法順序思考，必能找到解題的途徑三題分一)距最問空間中點距的值題【例1】正方體

的棱長為1,、分在線段

AC11

與BD上求MN的小值【分析法,該題可以結(jié)合方體的結(jié)構(gòu)特將其轉(zhuǎn)化為兩異面直線的距離來求法,可設(shè)出變,構(gòu)建相應的函數(shù)利用函數(shù)的最值求解；方法建立空間直角坐標,利用點的坐標以及距離公式示出目標函數(shù)然利用函數(shù)方法求解最.【解析】方法一（定義轉(zhuǎn)化法）因為直A11取得最小值

與BD是面直線所以當MN是直線的共垂線段,

MN

取

AC11

的中點P,的點

.則線段

就是兩異面直線

AC11

與BD的共垂線下證明之.在矩形

BDDB中PQ為位線,所以11

PQBB1

,又因為平ABCD,以面ABCD1又因為

平面

ABCD

,所以

PQBD

.同理可證

PQA1

,而,所以線段就兩異面直線

AC11

與的垂線,PQ.由異面直線公垂線段的定義可得,故

MN

的最小值為1.方法二數(shù)法）如,取

AC11

的中點P,BD的中

.則線段

就是兩異面直線

AC11

與BD的垂線段由方體的棱長為1可得PQ.連結(jié)

,則

AC//C,所BQC為異面直線1

AC11

與BD所.在正方形

中

ACBD

,所以.過點作

AC

,垂足為H,連結(jié)

,則PQ,且

.設(shè)PM,則QHm.在Rt中

,在MHN中

.顯然,當

時MN

取得最小值1,即

MN

的最小值為1.

方法三量法）如,以D為標原,分別以射線DADC、為、y、z軸建立空間直角坐標1系設(shè),A1

.則,即；,即.所以,故當時MN

取得最小值1,即

的最小值為1.【點評】空間中兩點距離的最值,基本的方法就是利用距離公式建立目標函數(shù),根目標函數(shù)解式的結(jié)構(gòu)特征求解最值.對于分別在兩不同對象上的點之間距離的最值,可以據(jù)這兩個元素之間的關(guān)系,借立體幾何中相關(guān)的性質(zhì)、定理等判斷并求解相應的最如【典例1】中的兩點分別在兩條異面直,然這兩點之間距離的最小值即為兩異面直線的公垂線段的長度另外注意直線和平面的距離,兩面的距離等

的靈活運用【小試牛刀省沙市2019屆上學期高三統(tǒng)一檢測正方體

的棱長為，為的中點，為線

上一點，為面

內(nèi)一點，則，兩間距離的最小值為（）A．B．

C．

D．【答案】【解析】結(jié)合題意，繪制圖形結(jié)合題意可知OE是角形

中位線，題目計距離最短，即求OE與，所以距離d，合三角形面積計算公式可得，解得，選B。

兩平行線的距離，幾何體面的短離題【例2】正三棱柱—BC中各長均為為AA中,N為BC的中點則棱柱的表面上從點N的短距離是多?并求之.【分析】將正三棱柱的表面展開,可轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)兩點間距離的最小值問題求解.注意種不同展開方式的比較【解析】(1)從側(cè)面到如1,棱柱的側(cè)棱AA剪開并展開,則(2)從底面到點,沿棱柱的ACBC剪開展,如圖2.

則43

.∵∴.圖（1）

圖（）【點評】求解幾何體表面上的最短距離問,往往需要將幾何體的側(cè)面或表面展,將問題轉(zhuǎn)化為面圖形中的最值進而利用平面幾何中相關(guān)結(jié)論判斷并求解最.【典例2中是利用了平面內(nèi)兩點線段最短來確定最值,但要注意幾何體面的展開方式可能有多,解相關(guān)最值時,需要比較才能得到正結(jié).【小試牛刀】在側(cè)棱長為

的正三棱錐

中,過作截面,于,于,則面【答案】

周長的最小值為__________．【解析】將棱錐的側(cè)面沿側(cè)棱三角形的性質(zhì)得

展開,如圖,

的長就是截面.

周長的最小值,由意,等腰二)面的值旋轉(zhuǎn)體面的值【例3】一個圓錐軸截面的頂角為

6

,母線為2,過頂點作圓錐的截面最大截面面積為.【分析】本題是截面問題中的常見,根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征確定截面形,然后求解截面的數(shù)特進

而確定其最值.【解析】設(shè)圓錐的軸截面頂角是,母線長為l,則截面面積的最大值為由題意可知圓錐的軸截面頂角為

6

,∴最大面積為

12

.【點評】由圓錐的性質(zhì)可,過圓錐頂點的截面一定是等腰三角,且腰長等于圓錐的母線,該等三角形的頂角的最大值為軸截面的頂角,以截面面積的最大值取決于軸截面頂角的取值范圍,不能誤認軸截面的面積就是最大.【小試牛刀】圓柱軸截面的周長

l

為定值求柱側(cè)面積的最大.【解析】設(shè)圓柱的底面直徑為

,高

.則由題意得：

.所以

.而圓柱的側(cè)面積為

.由均值不等式可得

,即dh

L16

（當且僅當

d

時等號成立）.所以圓柱側(cè)面積為

,即圓柱側(cè)面積的最大值為

16

2

.多面體的積值【例4如中所示邊＝3,BC4,AB5三角形簡易遮陽,其AB是地面上南北方向個定,正西方向射出的太陽光線與地面成30°試問：遮陽棚ABC地面成多大角度,才能保證所影面ABD面積最大【分析】首先分析幾何體的結(jié)構(gòu)特,明確遮影面中的定值——AB,則求最值問題轉(zhuǎn)化為該上的高

的最值進根據(jù)已知——太陽光的照射角度將其與中AB上高建立聯(lián)系從確定最值.【解析】易,ΔABC為直三角形,引AB的垂線垂為Q,則應有DQ為CQ在地上的斜射影,AB垂直于平面CQD,如圖2所.因太陽光與地面成角所∠＝30°,又知在Δ中CQ＝

125

,由正弦定理有

CQsin

＝,即QD＝sin∠QCD.為使面ABD的積最大需QD最,只有當∠QCD＝90°時才可達到從而∠CQD故當遮陽棚ABC與面成60°時才能保證所遮影面ABD面最.【點評】求解幾何體中的面積最,首先要明確所求圖形面積的表示式,區(qū)分該圖形中的定值與變,后根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征和已知條件確定變量的最值即.該題中抓住QD的變,建立與已知——太光的照射角的關(guān)系是準確確定最值的關(guān)鍵所.【小試牛刀】在三棱錐A—BCD中ΔABC和ΔBCD都是邊長為的三角形,求三棱錐的全面積的大.【解析】如,取BC中M,連AMDM,ΔABC和ΔBCD都是正三角,∴∠AMD是二面角A-BC-D的面,∠AMD＝,又∵Δ≌ΔACD,且∠ACD＝90°,ΔACD和ΔABD面最大,此時AD＝a,在ΔAMD中由弦定理cos＝

,∴當

時三錐A-BCD的面積最大.三)體的值題【例5】如圖3,已知在中

,A平面ABC,E于E,FPC于F,,

AEF

,當

變化時求棱錐

EF

體積的最大.

【分析

圖3的變化是由ＡＣ與ＢＣ的變化引起要求三棱錐P-AEF的體則需找到三棱錐P-AEF的面積和高,高為定值時,底面積最大則體積最.【解析】因為PA平面

C

平面ABC,所PBC又因為

,所以B平又

平面PAC,所BCAF,又

,所以平面PBC,即AEF.EFAE在面PBC上射影,因為AEPB,所以F即P面AEF.三棱錐

EF

中

,所以,,因為

,所因此,當

時

V

P

取得最大值為

26

.【點評】幾何體體積的最值問題的解要根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征確定其體積的求解方,分清定與變量然后根據(jù)變量的取值情況,利用數(shù)法或平面幾何的相關(guān)結(jié)論判斷相應的最值.如題中確定三棱錐底面的面積最值是關(guān)鍵【小試牛刀市龍坡區(qū)2019屆末國古代數(shù)學名著九章算術(shù)中這樣一些數(shù)學用塹堵”意指底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱，而“陽馬”指底面為矩形且有一側(cè)垂直于底

面的四棱錐現(xiàn)有一如圖所示的塹

，，，塹堵

的外接球的體積為

時，則陽馬

體積的最大值為A．2【答案】

B．4C．．【解析】塹

的外接球的體積為

，其外接球的半徑

，即

，又

，

．則

．．即陽馬

體積的最大值為．故選D

．四)角最【例6】如圖在棱錐S－ABCD中底面ABCD直角梯側(cè)棱SA⊥面ABCD,AB垂于AD和BC,SA=AB=BC=2,AD=1M是棱SB的中點．（Ⅰ）求證：AM∥SCD；（Ⅱ）求面SCD與SAB所成二角的余弦值；（Ⅲ）設(shè)點N是線CD上的,MN與SAB所成的角為sin最大值【分析】直接根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征建立空間直角坐標,出相關(guān)點的坐標和向量坐,利用向運算進行證明計算即可【解析】

（Ⅱ）易知平面SAB的法向量為

.設(shè)面與平面SAB所成二面角為,則

,即

63

.

平面SCD平面SAB成二面角的余弦值為

63

.（Ⅲ）設(shè),則.又面SAB的向量為

,所以,

..當

3,即x時x5

.【小試牛刀長為1的正方體—ABCD,P是上一動,平面PAD和面與角面ABCD所成的二面角的平面角分別為β,試求α+β的大和最小.

解析.對角面ABCD⊥對角ABCD,交線為過作PQ⊥于Q,則⊥角面ABC.別連、PF.∵EF⊥AD,PE⊥AD三垂線定理故由二面角的平面角定義知∠PFQ＝,同理,∠PFQ＝β.設(shè)AP≤x≤1),1-x.∵EQ＝P,QF＝PB,PQ＝

2,∴當0＜＜時有tan＝,tan＝,22x)∴α+β)＝＝＝

,而當x＝0時α＝,tan(α+)＝tan(+β)＝-cotβ＝＝2,上式仍成22AE立；類似地可以驗證當x＝時上也成于是當＝

時tan(α+β)取小值-2；x＝或時tan(+β)取最值.又∵0＜+β＜π∴α+β)max＝π-arctan,(+)minπ-arctan2.五遷運1北省荊門市2019屆三考】在棱長為正方體

中，是

中點，點是方形A．

內(nèi)的動(含邊界，且滿足B．C．D．

，則三棱錐

的體積最大值是（）【答案】【解析】因為在棱長為4的方界，滿足，所以,所以,即,

中，是

中點，點是方形

內(nèi)的動點(含邊

令點P在DC上投影點為O，

，，所以整理得根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可得當因為,

，時，

，有最大值為16，所以

的最大值為，所以三棱錐

體積最大值為：

，故選D。2省昌市2018屆試圖正四棱臺

中上底面邊長為4下底面邊為，高為5，點

分別在

上，且

.過

的平面與四棱臺的下底面會相交，則平面與棱臺的面的交線所圍成圖形的面積的最大值為A．B．C．．【答案】【解析當面α經(jīng)過點

時與四棱臺的面的交線圍成的圖形的面積最大時α為腰梯形底為MN=4，底為BC=8此作正四棱臺

俯視圖如下：則MN中點底面的投影到BC的離為8-2-1=5因為正四棱臺所以截面面積的最大值為所以選B

的高為5，所以截面等腰梯形的為3省陽市2019屆三學期期末三棱柱

外接球表面積為，，

矩形A．

外接圓的半徑分別為B．C．D．

，則

的最大值為（）【答案】【解析】由外接球表面積為

，可得外接球半徑為2.設(shè)

中點為，

，矩形

外接圓的圓心分別為，心為，由

平面

與

平面

得

為矩形，，，，

，當且僅當

時取等號.故選.4京豐臺區(qū)2019屆三一學期期末】如圖，在棱長為的正體

中，

分別是棱

的中點，是面

內(nèi)一動點，若直線

與平面

不存在公共點，則三角形

的面積的最小值為A．B．C．D【答案】【解析】

延展平面

，可得截面,其中

分別是所在棱的中點，直線所以

與平面平面

不存在公共點，,由中位線定理可得

,在平面在平面

內(nèi)，外，所以因為

平面與在平面

,

內(nèi)相交，所以平面所以在

平面上時，直線

,與平面

不存在公共點，因為

與

垂直，所以與重時

最小，此時，三角形最小值為

的面積最小，，故選C.5南省開封市2019屆三學期第一次模擬】有四根長都為的直條，若再選兩根長都的直條，使這六根鐵條端點處相連能夠焊接成一個對棱相等的三棱錐形的鐵架，則此三棱錐體積的值范圍是A．B．CD．【答案】【解析】構(gòu)成三棱錐的兩條對角線長為a其他各邊長為2，如圖所示，AD=BC=a,時＜＜2．

取BC中點E,連AE,DE,易得BC⊥平面ADE,∴，當且僅當4

即

時，等號成立，∴此三棱錐體積的取值范圍是故選：6建龍巖市2019屆三學期教學質(zhì)量檢查】如圖，已知正方體

的棱長為4，是的中點，點在面

內(nèi)，若，

面積的最小值為（）A．8

B．4C．D．【答案】【解析】以，，為標軸建立空間坐標系如圖所示：則P（，，（，，0（，，

設(shè)M（，0∵D⊥，

（，4，﹣（4，﹣，4a+16+2﹣＝，即＝a﹣．取的點N連結(jié)，則點跡線段BN，過B作⊥，則BQ又⊥面ABB，故BC⊥BQ，∴的小值為eq\o\ac(△,S)BCMeq\o\ac(△,S)QBC故選：．

．

．2018北京市首師附高三理零長為1的方體

中點

P,1

分別是線段

AB,BD1（不包括端點）上的動點,且線

PP1

平行于平面

AADD11

,則四面體

PPAB11

的體積的最大值是A.

11B.C.D.2【答案】【解析】由意在棱長為的方體

中，點

P,1

分別是線段

AB,BD1

上的動點，且線段

PP12

平行于平面

，設(shè)，

到平面

AAB的離為，1所以四棱錐

PPAB11

的體積為

，當

x

1時，體積取得最大值，選A24

【2018年江西省撫州市高三八聯(lián)考】如圖，在長方體

中，,,，是棱

的中點在

上滿，是面四邊形

內(nèi)一動點(含界.若

平面，則線段

長度的取值范圍是（）A.【答案】

B.C.D.【解析】取則平面

中點，平面，

上取點，得，結(jié)，因為是面所以，

內(nèi)的一動點（含邊界

平面，所以當與的中點重合時，線段

長度取最小值，當與點或重合時，線段

長度取得最大值或，因為長方體

中，

，點是所以

的中點，點在

上，且滿足，

,所以線段

，長度的取值范圍是，選A.

9.如圖，在棱長為5的方體ABCD－D中EF是棱上的一條線段，且＝，是A的中點，點P是棱CD的動點，則四面體－QEF的體積()A.是量且有最大值B.是量且有最小值C.是量且有最大值和最小值D.是量【答案】【解析】因為＝，點到的距離為定值，∴△的面積為定值，設(shè)為S．又DCAB

平面，AB

平面QEF，∴D∥面，∴點P到平面的距離也為定值，設(shè)為d∴四面體－QEF體積為定值

13

．選D．10.若一條直線與一個平面成A.B.C.

角則條直線與這個平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成角中最大角等于（）D.【答案】【解析】當這個平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線與條直線在這個平面內(nèi)射影垂直時,直與這直線垂直所成角為直角而兩直線所成角范圍

,所以直線與條直線所成角最值為

,所以選B.11.如圖在四棱錐

中側(cè)

是邊長為4的三角形底

為正方形,側(cè)面

⊥底面,為底面

內(nèi)的一個動點,且滿足

,則點到線

的最短距離為()

A.B.C.D.【答案】【解析】試題分析：設(shè)面⊥面,所

的中點為,連平面,則

,側(cè)面,由

是邊長為4的三角形所,可,故

平面

又因為側(cè),可,所點在面

內(nèi)的軌跡是以

為直徑的圓,則點到線

的最短距離是圓心到直線

的距離與半徑的差,圓到直線

的距離是

圓半徑為

,所以到線

的最短距離是,故選C.12．已知各棱長均為1的面體ABCD中E是AD的中點P直線CE,則BP|＋|DP|的最小值為（）A．1＋

63

B．

633C．．32【答案】【解析】如,將

旋轉(zhuǎn)至與

BCE

共面,連結(jié),則與

CE

的交點P,為|BP||DP|取最小值的點．易知,在

BCE

中由余弦定理得,從而由平方關(guān)系得在BDE中余弦定理得

,,所以．

2213.兩球O和O在長為1的方體－BC的內(nèi)部,且互相外,若球與過點A的正方體的三個面相切,球與過的方體的個面相則球O和O表面積之和的最小值()A．(6－33)C．(6＋33)

B．(8－3)D．(8＋3)【答案】【解析】選A設(shè)O球的徑分別為r、,則3＋3r＋＝3,3－3rr＝,從而4(＋r

)≥4·

r＋2

＝－3)π.14東日照市2017屆三學期第一次模擬】現(xiàn)有一半球形原料，若通過切削將該原料加工成一正方體工件，則所得工件體積與原料體積之比的最大值__________．【答案】【解析】設(shè)球半徑為R，方體邊長為，由題意得當正方體體積最大時：∴，∴所得工件體積與原料體積之比的最大值為：．故答案為

R，15省合肥一中鞍二等六校教育研究會屆高三第二次聯(lián)考棱

中面滿足，，在底

的射影為

的中點