北師大版選擇性必修第一冊(cè)第5章4.2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)作業(yè)

4.2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.已知(a+b)n展開式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,則n等于()A.11 B.10 C.9 D.82.(a+b)n二項(xiàng)展開式中與第r-1項(xiàng)系數(shù)相等的項(xiàng)是()A.第(n-r)項(xiàng) B.第(n-r+1)項(xiàng)C.第(n-r+2)項(xiàng) D.第(n-r+3)項(xiàng)3.若x+1xn展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,A.10 B.20 C.30 D.1204.若3x-13x2n的二項(xiàng)式系數(shù)之和為A.7x3 B.-7x3 C5.已知Cn0+2Cn1+22Cn2+…+2nCnnA.64 B.32 C.63 D.316.(多選題)(2021廣東東莞期中)我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》就給出了著名的楊輝三角,以下關(guān)于楊輝三角的猜想中正確的有()A.由“與首末兩端等距離的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等”猜想:CB.由“在相鄰的兩行中,除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它‘肩上’兩個(gè)數(shù)的和”猜想:CC.由“第n行所有數(shù)之和為2n”猜想:Cn0+Cn1+D.由“111=11,112=121,113=1331”猜想:115=7.設(shè)(2x-3)10=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a10(x-1)10,則a0+a1+a2+a3+…+a10=.?8.已知(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5.求:(1)a0+a1+a2+a3+a4+a5;(2)|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|;(3)a1+a3+a5.9.若(2x-3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+…+a10y10,求:(1)各項(xiàng)系數(shù)之和;(2)奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和與偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和.關(guān)鍵能力提升練10.(1+x)n(3-x)的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為1024,則n的值為()A.8 B.9 C.10 D.1111.若(1-2x)2016=a0+a1x+…+a2016x2016(x∈R),則a12+a222+A.2 B.0C.-C1D.-D212.x+1xn的展開式中第8項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng),A.第8項(xiàng)B.第9項(xiàng)C.第8項(xiàng)、第9項(xiàng)D.第11項(xiàng)、第12項(xiàng)13.將楊輝三角中的奇數(shù)換成1,偶數(shù)換成0,便可以得到如圖的“0-1三角”.在“0-1三角”中,從第1行起,設(shè)第n(n∈N*)次出現(xiàn)全行為1時(shí),1的個(gè)數(shù)為an,則a3等于()A.26 B.27 C.7 D.814.(多選題)(2021江蘇揚(yáng)州一模)在x-1x7的展開式中,下列說(shuō)法正確的有()A.所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為128B.所有項(xiàng)的系數(shù)和為0C.系數(shù)最大的項(xiàng)為第4項(xiàng)和第5項(xiàng)D.存在常數(shù)項(xiàng)15.如圖數(shù)表滿足:(1)第n行首尾兩數(shù)均為n;(2)圖中的遞推關(guān)系類似楊輝三角,則第n(n≥2)行的第2個(gè)數(shù)是.?16.若(2x+3)4=a0+a1x+…+a4x4,則(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值為.?17.已知(3x2+3x2)n的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和比它的二項(xiàng)式系數(shù)和大992.(1)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng);(2)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).18.(2021江蘇張家港期中)已知函數(shù)f(n,x)=2m+mxn(m>0,x>(1)當(dāng)m=2時(shí),求f(7,x)的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng);(2)若f(10,x)=a0+a1x+a2x2+…+①求∑i=110②求ai(0≤i≤10,i∈N)的最大值.學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練19.楊輝是中國(guó)南宋末年的一位杰出的數(shù)學(xué)家、教育家.楊輝三角是楊輝的一項(xiàng)重要研究成果,它的許多性質(zhì)與組合數(shù)的性質(zhì)有關(guān),楊輝三角中蘊(yùn)藏了許多優(yōu)美的規(guī)律.如圖是一個(gè)11階楊輝三角:(1)求第20行中從左到右的第4個(gè)數(shù);(2)在第2斜列中,前5個(gè)數(shù)依次為1,3,6,10,15;第3斜列中,第5個(gè)數(shù)為35.顯然,1+3+6+10+15=35.事實(shí)上,一般有這樣的結(jié)論:第m斜列中(從右上到左下)前k個(gè)數(shù)之和,一定等于第m+1斜列中第k個(gè)數(shù).試用含有m,k(m,k∈N*)的數(shù)字公式表示上述結(jié)論,并給予證明.答案：1.D2.D3.B4.C5.B由已知(1+2)n=3n=729,解得n=6.則Cn1+6.ABCA,B,C顯然正確,115=(10+1)5,當(dāng)系數(shù)超過(guò)10時(shí),需要向前進(jìn)一位,故115=,所以D錯(cuò)誤.故選ABC.7.1令x=2,則(2×2-3)10=a0+a1+a2+…+a10,所以a0+a1+…+a10=1.8.解(1)令x=1,得(2×1-1)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5,∴a0+a1+a2+a3+a4+a5=1.①(2)∵(2x-1)5的展開式中偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)值,∴|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=a0-a1+a2-a3+a4-a5.令x=-1,得[2×(-1)-1]5=-a0+a1-a2+a3-a4+a5,即a0-a1+a2-a3+a4-a5=-(-3)5=35.②則|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=35=243.(3)由①②兩式聯(lián)立,得a則a1+a3+a5=12×(1-243)=-1219.解(1)各項(xiàng)系數(shù)之和即為a0+a1+a2+…+a10,可用“賦值法”求解.令x=y=1,得a0+a1+a2+…+a10=(2-3)10=(-1)10=1.(2)奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和為a0+a2+a4+…+a10,偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和為a1+a3+a5+…+a9.由(1)知a0+a1+a2+…+a10=1,①令x=1,y=-1,得a0-a1+a2-a3+…+a10=510,②①+②得,2(a0+a2+…+a10)=1+510,則奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和為1+5102;①-②得,2(a1+a3+…+a9)=1-510,10.B11.C令x=0,則a0=1,令x=12,則a0+a12+a222+…+a20162201612.D13.D第3次出現(xiàn)全行為1,這說(shuō)明楊輝三角中這一行全是奇數(shù),即Cnr(r=0,1,2,…,n)是奇數(shù),經(jīng)驗(yàn)證可知,第3次出現(xiàn)全行為1時(shí),1的個(gè)數(shù)為14.AB選項(xiàng)A,所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為27=128,故A正確;選項(xiàng)B,令x=1,則x-1x7=0,所以所有項(xiàng)的系數(shù)的和為0,故B正確;選項(xiàng)C,二項(xiàng)式的通項(xiàng)為Tk+1=C7kx7-k-1xk=C7k(-1)kx7-第4項(xiàng)為T4=C73(-1)3x=-35x,第5項(xiàng)為T5=C74(-1)4x-顯然第5項(xiàng)的系數(shù)最大,故C錯(cuò)誤;選項(xiàng)D,令7-2k=0,解得k=72,故不存在常數(shù)項(xiàng),D錯(cuò)誤.故選AB15.n2-n+2217.解令x=1得展開式各項(xiàng)系數(shù)和為(1+3)n=4n.展開式二項(xiàng)式系數(shù)和為Cn0+Cn1+…+Cnn=2n,由題意有即(2n)2-2n-992=0,(2n-32)(2n+31)=0,解得n=5.(1)因?yàn)閚=5,所以展開式共6項(xiàng),其中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第3項(xiàng)、第4項(xiàng),它們是T3=C52(3x2)3·(3x2)2=90x6,T4=C53(3x(2)設(shè)展開式中第k+1項(xiàng)的系數(shù)最大.由Tk+1=C5k(3x2)5-k·(3x2)k得C則3k≥16-k,15-k≥3k+1,解得72≤k≤92.因?yàn)閗∈Z,18.解(1)當(dāng)m=2時(shí),f(7,x)=1+2x7的展開式共有8項(xiàng),二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第四項(xiàng)或第五項(xiàng),所以T4=C732x3=280x3或T5=C(2)①f(10,x)=2m+mx10的二項(xiàng)式通項(xiàng)為Tk+1=C10k2m10-kmxk=210-k·m2k-10·且f(10,x)=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,所以1x2的系數(shù)為a2所以f(10,x)的二項(xiàng)式通