反證法 教學(xué)設(shè)計(jì)

反證法教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)與技能：結(jié)合己經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解間接證明的一種基本方法一反證法；了解反證法的思考過程、特點(diǎn)。過程與方法：多讓學(xué)生舉命題的例子，培養(yǎng)他們的辨析能力；以及培養(yǎng)他們的分析問題和解決問題的能力；情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過學(xué)生的參與，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。教學(xué)重點(diǎn)：了解反證法的思考過程、特點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)：反證法的思考過程、特點(diǎn)教學(xué)過程：1.反證法證明命題“設(shè)夕為正整數(shù)，如果或是偶數(shù)，則夕也是偶數(shù)”，我們可以不去直接證明〃是偶數(shù)，而是否定"是偶數(shù)，然后得到矛盾，從而肯定夕是偶數(shù)。具體證明步驟如下：假設(shè)夕不是偶數(shù)，可令片2代1,A為整數(shù)?？傻?2=4A2+44+l,此式表明，P2是奇數(shù)，這與假設(shè)矛盾，因此假設(shè)夕不是偶數(shù)不成立，從而證明夕為偶數(shù)。一般地，由證明p=q,轉(zhuǎn)向證明：p=r==3t與假設(shè)矛盾，或與某個(gè)真命題矛盾，從而判定下為假，推出q為真的方法，叫做反證法。例1.求證：正是無理數(shù)。證明：假設(shè)正是有理數(shù)，則存在互質(zhì)的正整數(shù)也〃，使得收=%,從而有n〃?=也〃，因此〃所以/〃為偶數(shù)，于是可設(shè)〃?=2女（A是正整數(shù)），從而有4左2=2n2,即〃2=2抬，所以〃也為偶數(shù)。這與他"互質(zhì)矛盾！由上述矛盾可知假設(shè)錯(cuò)誤，從而也是無理數(shù)從上例看出，反證法不是直接去證明結(jié)論，而是先否定結(jié)論，在否定結(jié)論的基礎(chǔ)上，運(yùn)用演繹推理，導(dǎo)出矛盾，從而肯定結(jié)論的真實(shí)性。2.反證法的主要步驟（1）反設(shè)：反設(shè)是反證法的基礎(chǔ)，為了正確地作出反設(shè)，掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大（小）于/不大（?。┯?；都是/不都是；至少有一個(gè)/一個(gè)也沒有；至少有〃個(gè)/至多有（〃一1）個(gè)；至多有一個(gè)/至少有兩個(gè)；唯一/至少有兩個(gè)。（2）歸謬：歸謬是反證法的關(guān)鍵，導(dǎo)出矛盾的過程沒有固定的模式，但必須從反設(shè)出發(fā)，否則推導(dǎo)將成為無源之水，無本之木。推理必須嚴(yán)謹(jǐn)。導(dǎo)出的矛盾有如下幾種類型：與已知條件矛盾；與己知的公理、定義、定理、公式矛盾；與反設(shè)矛盾；自相矛盾。所謂矛盾，主要指：（a）與假設(shè)矛盾（上述兩例就是導(dǎo)致了與假設(shè)矛盾）；（b）與數(shù)學(xué)公理、定理、公式、定義或已被證明了的結(jié)論矛盾；（c）與公認(rèn)的簡(jiǎn)單事實(shí)矛盾（例如導(dǎo)出0二1,0^0等之類的矛盾）（3）結(jié)論：由前兩步，得到正確的結(jié)論，一點(diǎn)要在前面的基礎(chǔ)上肯定結(jié)論的真實(shí)性。例2：證明質(zhì)數(shù)有無窮多個(gè)跟蹤練習(xí)：如果4+1為無理數(shù)，求證Q是無理數(shù).提示：假設(shè)。為有理數(shù)，則a可表示為p/夕（p,q為整數(shù)），即。=p/q.由a+l=（p+g）%,則〃+1也是有理數(shù)，這與己知矛盾./.a是無理數(shù).例3.證明1,V3,2不能為同一等差數(shù)列的三項(xiàng)。證明：假設(shè)1,V3,2是某一等差數(shù)列中的三項(xiàng)，設(shè)這一等差數(shù)列的公差為d,則1=V3—nd2=6+nd,其中加，n為某兩個(gè)正整數(shù)，由上兩式中消去〃，得到加2〃產(chǎn)（/升/〃）VI,因?yàn)椋?2勿為有理數(shù)，（冊(cè)玲也為無理數(shù)，所以加2〃必（加/〃）道,因此假設(shè)不成立，1,石，2不能為同一等差數(shù)列中的三項(xiàng)。例4.平面上有四個(gè)點(diǎn)，沒有三點(diǎn)共線，證明以每三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形不可能都是銳角三角形。證明：假設(shè)以每三點(diǎn)為頂點(diǎn)的四個(gè)三珀形都是銳角三加形，記這四個(gè)點(diǎn)為4B,GD,考慮△/厲。，點(diǎn)〃在△力回之內(nèi)或之外兩種情況。（1）如果點(diǎn)〃在△/仍。之內(nèi)，根據(jù)假設(shè)，圍繞點(diǎn)〃的三個(gè)角都是銳角，其和小于270°,這與一個(gè)周角等于360°矛盾；（2）如果點(diǎn)。在△力肥之外，根據(jù)假設(shè)四邊形力四的四個(gè)內(nèi)角分別是某銳角三角形的內(nèi)角，即N4/反ZG都小于90°,這和四邊形內(nèi)角和等于360°矛盾,綜上所述，原題的結(jié)論正確。例5、設(shè)依+力3=2,求證a+Z<2證明：假設(shè)護(hù)》2,則有蘇2—6,從而a3>8—12〃6力2—03,@3+63>6。2—12〃8=6（力-1）2+2.因?yàn)?（。-1）2+222,所以a3+b3>2,這與題設(shè)條件爾+。3=2矛盾，所以，原不等式a+5W2成立。例6、已知a+Z?+c>0,a