高中數(shù)學第1章立體幾何初步123直線與平面的位置關(guān)系直線與平面垂直高一數(shù)學教案

第2課時

直線與平面垂直學習

目標

核心修養(yǎng)1．能正確判斷直線與平面垂直的地點關(guān)系．(要點)2．認識點到平面的距離和直線與平面間的距離．(難點)經(jīng)過學習本節(jié)內(nèi)容來提高學生的邏輯3．理解直線與平面垂直的判斷定理和性質(zhì)定理．(重推理和數(shù)學運算核心修養(yǎng).點、難點)4．認識直線與平面垂直的觀點及直線與平面所成角的觀點．(要點)1．直線與平面垂直的定義假如一條直線a與一個平面α內(nèi)的隨意一條直線都垂直，則稱直線a與平面α相互垂直，符號表示：a⊥α．直線a叫做平面α的垂線，平面α叫做直線a的垂面，垂線和平面的交點稱為垂足．圖形表示：2．直線與平面垂直的判斷定理文字語言圖形語言符號語言a⊥m假如一條直線和一個平面內(nèi)的兩a⊥n條訂交直線垂直，那么這條直線m∩n＝A⊥aα垂直于這個平面mαnα3.直線與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言假如兩條直線垂直于同一個a⊥αa∥b?平面，那么這兩條直線平行b⊥α距離及直線與平面所成的角距離①點到平面的距離從平面外一點引平面的垂線，這個點和垂足間的距離，叫做這個點到這個平面的距離．②直線和平面的距離一條直線和一個平面平行，這條直線上隨意一點到這個平面的距離，叫做這條直線和這個平面的距離．直線與平面所成的角平面的一條斜線與它在這個平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線與這個平面所成的角．特別地：假如直線和平面垂直，那么就說這條直線與平面所成的角是直角；假如直線與平面平行或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0°的角．思慮辨析(1)若直線l與平面α內(nèi)無數(shù)條直線垂直，則l⊥α.( )若直線l垂直于平面α，則l與平面α內(nèi)的直線可能訂交，可能異面，也可能平行．()(3)若a∥b，aα，l⊥α，則l⊥b.()(4)若l⊥平面，則⊥.()ABCDlBC[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．以下條件中，能判斷直線l⊥平面α的是()A．l與平面α內(nèi)的兩條直線垂直B．l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直C．l與平面α內(nèi)的某一條直線垂直D．l與平面α內(nèi)的隨意一條直線垂直D[由直線與平面垂直的定義及判斷定理知D正確．]3．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝1，則點C到平面B1BDD1的距離為________，AB到平面A1B1CD的距離為________．2222

[連接AC，BD，則AC⊥BD，又BB1⊥AC，故AC⊥平面12B1BDD1，所以點C到平面B1BDD1的距離為2AC＝2，AB到平面A1B1CD距離等于A到該平面的距離，等于2.]24．如下圖，三棱錐-中，⊥平面，＝，則直線PB與平面所成的PABCPAABCPAABABC角等于________．45°[∵⊥平面，PAABC∴∠PBA即為直線PB與平面ABC所成的角，在Rt△PAB中，PA＝AB，∴∠PBA＝45°.]線面垂直的定義及判斷定理的應(yīng)用【例1】如下圖，已知PA垂直于⊙O所在的平面，是⊙的直徑，CABO是⊙上隨意一點，過點A作⊥于點，求證：⊥平面.OAEPCEAEPBC思路研究：只需證AE垂直于平面PBC內(nèi)兩訂交直線即可，已知AE⊥PC，再證AE⊥BC，即轉(zhuǎn)為證BC垂直于平面PAC即可．[證明]∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB是⊙O的直徑，∴BC⊥AC.而PA∩AC＝A，BC⊥平面PAC.又∵AE平面，∴⊥.PACBCAEPC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.用線面垂直的判斷定理判斷一條直線與此平面垂直時，需在平面內(nèi)找兩條訂交直線，證明一條直線同時垂直于這兩條訂交直線，這是證明線面垂直的一個常用方法．線線垂直與線面垂直的轉(zhuǎn)變關(guān)系線線垂直線面垂直如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC的中點，O是底面ABCD的中心，求證：EF⊥平面BB1O.[證明]∵E，F(xiàn)分別是棱AB，BC的中點，∴EF是△ABC的中位線，∴EF∥AC.ABCD為正方形，∴AC⊥BO，EF⊥BO.又∵BB1⊥平面ABCD，EF平面ABCD，EF⊥BB1.又BO∩BB1＝B，∴EF⊥平面BB1O.線面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用【例

2】

如圖，在正方體

ABCD-A1B1C1D1中，點

E，F(xiàn)分別在

A1D，AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求證：EF∥BD1.思路研究：利用線面垂直的性質(zhì)定理證明EF，BD1垂直于平面AB1C可得結(jié)論．[證明]如下圖，連接AB1，B1C，BD，B1D1，DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，DD1⊥AC.又AC⊥BD，BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1B1，又BD1平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理可證BD1⊥B1C，∴BD1⊥平面AB1C.EF⊥AC，EF⊥A1D，又A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.空間中證明兩條直線平行的方法利用線線平行定義證兩線無公共點；若a∥b，b∥c，則a∥c(公義4)；利用線面平行的性質(zhì)定理把證線線平行轉(zhuǎn)變?yōu)樽C線面平行；若a⊥α，b⊥α，則a∥b(線面垂直的性質(zhì)定理)．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一點，N是A1C的中點，MN⊥平面A1DC.求證：MN∥AD1.[證明]∵在正方體ABCD-A1B1C1D1中，四邊形ADD1A1為正方形，A1D⊥AD1.又∵CD⊥平面

ADD1A1，AD1

平面

ADD1A1，CD⊥AD1.∵A1D∩CD＝

D，A1D

A1DC，CD

A1DC，AD1⊥平面A1DC.又∵MN⊥平面A1DC，MN∥AD1.距離問題及直線與平面所成角的求法[研究問題]1．如圖，長方體-1111中，＝＝2，1＝1.點B與1到平面11的距離ABCDABCDABBCAADACCA分別是多少？BC1到平面ADD1A1的距離是多少？[提示]由題意知BD＝B1D1＝22，B，D1到平面AC1的距離分別為BDB1D12；2和2，都為1到平面1的距離等于AB的長，為2.BCAD2．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線BD1與平面AC及平面A1C1所成的角相等嗎？A1B與平面A1B1CD所成的角是多少度？[提示](1)由于平面AC與平面A1C1平行，所以BD1與兩平面所成的角相等．A1B與平面A1C所成的角為30°，連接BC1交B1C于點O，連接A1O.設(shè)正方體的棱長為a，由于A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，所以A1B1⊥平面BCC1B1，所以AB⊥BC.111又由于BC1⊥B1C，A1B1∩B1C＝B1，所以BC⊥平面ABCD.111所以A1O為斜線A1B在平面A1B1CD內(nèi)的射影，即∠BA1O為A1B與平面A1B1CD所成的角．11221所以BO＝A1B，∠BA1O＝30°.2所以，直線A1B與平面A1B1CD所成的角為30°.【例

3】

如下圖，在直三棱柱

ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M，N分別是A1B，B1C1的中點．求證：MN⊥平面A1BC；求直線BC1與平面A1BC所成的角的大小．思路研究：(1)證明MN∥AC1.(2)C1點在平面A1BC上的射影為A1C中點．[解](1)證明：如下圖，由已知BC⊥AC，BC⊥CC1，AC∩CC1＝C，得BC⊥平面ACC1A1.連接AC1，則BC⊥AC1.由已知，可知側(cè)面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1.又BC∩A1C＝C，所以AC1⊥平面A1BC.由于側(cè)面ABB1A1是正方形，M是A1B的中點，連接AB1，則點M是AB1的中點．又點N是B1C1的中點，則MN是△AB1C1的中位線，所以MN∥AC1.故MN⊥平面A1BC.由于AC1⊥平面A1BC，設(shè)AC1與A1C訂交于點D，連接BD，則∠C1BD為直線BC1與平面A1BC所成的角．設(shè)AC＝BC＝CC1＝a，則1＝2，1＝2a.CD2aBC在Rt△1中，sin∠＝C1D11＝30°，1＝，所以∠BDCCBDBC12CBD故直線BC1與平面A1BC所成的角為30°.求直線與平面所成角的步驟：找尋過斜線上一點與平面垂直的直線；連接垂足和斜足獲得斜線在平面上的射影，斜線與其射影所成的銳角或直角即為所求的角；把該角歸納在某個三角形中，經(jīng)過解三角形，求出該角．3．如圖，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面邊長為1，側(cè)棱長為2，E，F(xiàn)分別為CC1，DD1的中點．求證：A1F⊥平面BEF；求直線A1B與平面BEF所成的角的正弦值．[解]

(1)證明：連接

AF.E，F(xiàn)分別為CC1，DD1的中點，∴EF∥AB且EF＝AB，∴四邊形ABEF為平行四邊形．又在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB⊥平面

AA1D1D，A1F

平面

AA1D1D，AB⊥A1F，∴EF⊥A1F.由已知，得AF＝2，A1F＝2，AA1＝2，222，∴A1F＋AF＝AA1AF⊥A1F.又AF∩EF＝F，A1F⊥平面ABEF，即A1F⊥平面BEF.(2)∵A1F⊥平面BEF.A1B在平面BEF上的射影為BF，∴∠A1BF為直線A1B與平面BEF所成的角．由已知，得A1F＝2，A1B＝5，∴sin∠A1BF＝10，5即A1B與平面BEF所成角的正弦值為105.1．本節(jié)課的要點是理解并掌握直線與平面垂直的定義，明確立義中“隨意”兩字的重要性；掌握直線與平面垂直的判斷定理，并能解決相關(guān)線面垂直的問題．難點是認識直線和平面所成的角的含義，并知道其求法．2．本節(jié)課要要點掌握的規(guī)律方法證明線面垂直的方法．求斜線與平面所成角的方法步驟．3．本節(jié)課的易錯點是用線面垂直的判斷定理時遺漏兩條直線訂交這一條件．求線面角時不注意出現(xiàn)的線面垂直條件．1．直線l⊥平面α，直線mα，則l與不行能( )mA．平行B．訂交C．異面D．垂直[答案]

A2．空間中直線

l

和三角形的兩邊

AC，BC同時垂直，則這條直線和三角形的第三邊

AB的地點關(guān)系是

________．垂直[∵l⊥AC，l⊥BC，且AC∩BC＝C，∴l(xiāng)⊥平面ABC，又∵AB平面ABC，l⊥AB.]3．已知平面α外兩點A，B到平面α的距離分別是2和4，則A，B的中點P到平面的距離是______．1或3[A，B在α同一側(cè)時，P到α的距離為3；A，B在α異側(cè)時，P到α的距離為1.]4.(2019·全國卷Ⅰ)如圖，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點．證明：MN∥平面C1DE；求點C到平面C1DE的距離．[解](1)連接B1C，ME，由于M，E分別為BB1，BC的1中點，所以ME∥B1C，且ME＝2B1C，又由于N